Estatistica_aulas_07_08_Probabilidade

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Estatística
Prof Paulo Renato A. Firmino
praf62@gmail.com
Aulas 07-08
EstatEstatíísticastica -- Paulo Renato A. FirminoPaulo Renato A. Firmino 2
Probabilidade – Apanhado Geral
• Seguimos nossas discussões sobre a Incerteza
• Decidir usualmente envolve incerteza
ƒ Uma presa decide qual direção tomar ao se desviar de um predador, 
que por sua vez decide qual direção seguir para alcançar a presa...
• Considerar as incertezas é ser racional
ƒ Como medir a capacidade de produção sem a consideração das 
incertezas sobre a confiabilidade de máquinas e de pessoas?
ƒ Como firmar e cumprir contratos sem o conhecimento das incertezas
envolvidas no processo?
ƒ Como decidir sobre a melhor estratégia a adotar?
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Probabilidade – Apanhado Geral
• Ela busca medir matematicamente incertezas
ƒ Por isso é um tema desenvolvido nas ciências exatas
• Ela envolve muito mais do que dados formais
ƒ Envolve conhecimento, epistemologia
• Por isso embasa discussões filosóficas
• Dados formais dão indícios sobre a incerteza
ƒ Distribuições de frequências, gráficos e medidas estatísticas são
obtidos
• A probabilidade vai além, muito além dos conjuntos de dados
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Probabilidade – Apanhado Geral
• Com suposições adequadas e sem observar diretamente o 
fenômeno, podemos criar os modelos teóricos subjacentes a 
distribuições de frequências
ƒ São os chamados modelos probabilísticos (distrib. de probabilidade)
• Exemplo 1: De um grupo de três mulheres e dois homens, uma
pessoa será sorteada para presidir a reunião. 
ƒ Supondo que o sorteio seja aleatório, cada uma das 5 pessoas terá a 
mesma chance de ser sorteada
ƒ Se desejamos estudar as probabilidades de que o presidente seja do sexo
feminino (1) ou masculino (2), o modelo probabilístico será (sem
recorrer a experimentação):
Sexo Probabilidade (pi)
1 (F) 3/5
2 (M) 2/5
Total 100%
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Probabilidade – Conceitos Básicos
• Especificamente, modelos probabilísticos relacionam-se a experimentos 
aleatórios
ƒ Do exemplo 1, o experimento aleatório tratava do sorteio de uma 
pessoa do grupo
• Experimento aleatório (ε) – Qualquer processo (fenômeno) cujos 
resultados não são certamente conhecidos previamente
• Todo ε terá seu modelo probabilístico especificado quando 
estabelecermos
1. Seu espaço amostral (Ω) – Conjunto de todos os possíveis resultados
de ε: Ω = {ω1, ω2, ...}
• Cada elemento ωi de Ω é chamado de ponto (elemento) amostral 
2. Uma regra que associe probabilidades a subconjuntos de Ω
• Quando Ω é um conjunto enumerável (discreto), temos uma 
probabilidade associada a cada ponto amostral, P(ωi)
• A soma de todas as probabilidades deverá equivaler a 1
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Probabilidade – Conceitos Básicos
• Do exemplo 1, como desejava-se estudar as incertezas quanto ao sexo da pessoa 
a presidir a reunião,
ƒ Espaço amostral: Ω = {F, M}
• Ou Ω = {1, 2}, onde 1 representa o sexo feminino e 2 o masculino
ƒ Probabilidades
• P(F) = 3/5 e P(M) = 2/5
• Experimentos aleatórios podem envolver uma ou várias variáveis
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Probabilidade – Conceitos Básicos
• Exemplo 2: Um aluno é convidado a responder duas questões de 
múltipla escolha sobre as quais ele não tem qualquer conhecimento.
Cada questão possui 2 alternativas: a e b.
ƒ Deseja-se estudar seu desempenho em ambas as questões
ƒ ε: Ele sorteará aleatoriamente uma alternativa para cada questão
ƒ Ω = {ω1=(a, a), ω2=(a, b), ω3=(b, a), ω4=(b, b)}
• O 1º e 2º elementos de cada ωi implicam nas opções sorteadas pelo aluno 
para a 1ª e 2ª questões, respectivamente
ƒ Probabilidades
• A ignorância do aluno o levará a sortear aleatoriamente a 
resposta de cada questão
– Assim, todos os elementos de Ω têm a mesma chance de ocorrer (1/4 
para cada)
• P(ωi) = ¼, i = 1, 2, 3, 4
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Probabilidade – Conceitos Básicos
• Exemplo 3: Quatro pessoas são convidadas a participar de um jogo, 
duas do sexo masculino (M1 e M2) e duas do feminino (F1 e F2). 
Um dado é lançado e cada pessoa escolhe previamente dois 
números. Quem acertar o resultado ganha o jogo. As escolhas 
foram: M1 = {2, 4}, M2 = {2, 5}, F1 = {1, 4}, F2 = {4, 6}.
ƒ ε: O lançamento do dado
ƒ Ω = {ωi =(i), i = 1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Probabilidades
– Supõe-se que o dado seja honesto (não-viciado)
» Assim, todos os elementos de Ω têm a mesma chance de ocorrer (1/6 
para cada)
– P(ωi) = 1/6, i = 1, 2, ..., 6
ƒ Qual é a probabilidade de uma mulher ganhar?
ƒ Qual é a probabilidade de M1 e F1 ganharem?
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Probabilidade – Conceitos Básicos
• Conjunto – Coleção de objetos (elementos)
ƒ Exemplos: A = {1, 2, 3}; B = {2, 5, 6}; C = {“Adequado”, “Inadequado”}; 
D = {x é real| 3 ≤ x ≤ 20}
ƒ Diz-se que um conjunto ocorre se ao menos um dos seus elementos
ocorre
• Se 2 ocorre então A e B ocorrem; se 3 ocorre então A e D ocorrem
• Experimento (ε) – Qualquer processo (fenômeno) cujos resultados não são 
certamente conhecidos
ƒ experimento aleatório: As realizações são executadas sob as mesmas
condições
• Sem reposição: Apenas o espaço amostral se altera entre as realizações de ε. As 
demais condições de ε mantém-se inalteradas
• Espaço amostral (Ω) – Conjunto de todos os possíveis resultados de dado ε
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Probabilidade – Conceitos Básicos
• Probabilidades associam-se a eventos
• Evento (E): Subconjunto de dado Ω
ƒ Definido a partir de operações de união e/ou interseção sobre os elementos de Ω ou
seus complementares
ƒ Simbologia e regras:
• Interseção de A com B: A ∩ B → Ocorrem todos os eventos, A “e” B
– Do exemplo 3, Seja Y ≡ “M1 e F1 ganharem”. Então, Y = M1 ∩ F1 = {4}
– P(Y) = P(ω4) = 1/6
• União de A com B: A U B → Ocorre ao menos um dos eventos, A “ou” B
– Do exemplo 3, Seja X ≡ “mulher ganhar”. Então, X = F1 U F2 = {1, 4, 6}
– P(X) = 3/6 ≠ P(F1) + P(F2). De fato, P(X) = P(F1) + P(F2) – P(F1∩F2)
M1Ω
2
5
M2
4
1
F1
F26
3
Diagrama de Venn
intersect(A, B)
union(A, B)
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Probabilidade – Conceitos Básicos
• Eventos (Simbologia a regras)
ƒ Regra da adição de probabilidades:
• P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
• P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) –
- P(A∩B) – P(A∩C) – P(B∩C) + 
+ P(A∩B ∩C)
Ω A B
Ω A B
C
( )
( ) ( ) ( ) ( )∑∑ ∑∑∑∑
= +=
−
+== +==
∩∩∩⋅−+−∩∩+∩−
=∪∪∪
r
1i
r
1ij
r21
1k
r
1jk
kji
r
1i
r
1ij
ji
r
1i
i
r21
E...EEP)1(...EEEPEEPEP
E...EEP
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Probabilidade – Conceitos Básicos
• Eventos (Simbologia a regras)
ƒ Complementar de A: Ac → Não ocorre A
• Do exemplo 3, Seja Z ≡ “M1 não ganhar”. Então, Z = M1c = {1, 3, 5, 6}
• P(M1c) = 4/6 = 1 – P(M1) = 1 – 2/6
ƒ Conjunto vazio: Ø→ Não ocorre qualquer evento de Ω
• Do exemplo 3, Seja Y ≡ “M2 e F1 ganharem”. Então, Y = M2 ∩ F1 = 
{Ø}
ƒ Leis de Morgan: (A U B)c = Ac ∩ Bc; (A ∩ B)c = Ac U Bc
• Do exemplo 3, Seja Xc ≡ “mulher não ganhar”. Então, Xc = (F1 U F2)c = 
F1c ∩ F2c = {2, 3, 5}
M1Ω
2
5
M2
4
1
F1
F26
3
Z=setdiff(Ω, M1)
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Probabilidade – Conceitos Básicos
• Eventos (Simbologia a regras)
ƒ Se A e B são eventos mutuamente exclusivos (disjuntos): A∩B= Ø
• Do exemplo 3, Seja Y ≡ “M2 e F1 ganharem”. Então, Y = M2 ∩ F1 = 
{Ø}
ƒ Se A e B são eventos exaustivos: A U B = Ω
• Do exemplo 3, Seja T ≡ “ocorre Y ou não ocorre Y”. Então, T = Y U Yc = 
{1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω
ƒ Partição de Ω : um conjunto de r eventos C = {E1, E2, ..., Er} é dito uma
partição de Ω se seus eventos são mutuamente exclusivos (Ei∩Ej = Ø, i≠j = 1, 
2, ..., r) e exaustivos em relação a Ω (E1 U E2 U ... U Er = Ω)
M1Ω
2
5
M2
4
1
F1
F26
3
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Probabilidade – ConceitosBásicos
• Espaços amostrais e eventos: Exemplos
1. ε1 = “Fabricar peças em série e contar o número de defeituosas durante 24 
horas”:
• Ω = {x é inteiro| 0 ≤ x ≤ N}; N – nº máximo de peças fabricadas
• E1 = {x ≤ 3}; E2 = {x é par}; E3 = E1c = {x > 3}; E4 = E1 U E1c = Ω
2. ε2 = “Implementar um software e simular o seu uso de maneira a medir o tempo 
até a ocorrência de um bug (em horas)”:
• Ω = {t é real | t > 0}
• E1 = {t ≤ 100}; E2 = {200 ≤ t ≤ 700}; E3 = E1 ∩ E2=Ø; E5 = {t=3.42}
3. ε3 = “De um lote com N peças, selecionar 2 e registrar a sequência de resultados 
em relação à (não-)conformidade destas”:
• Ω = {(B1 ∩ B2), (B1 ∩ B2c), (B1c ∩ B2), (B1c ∩ B2c)} Bi – Conformidade da i-
ésima peça extraída
• E1 = “Ambas as peças são igualmente classificadas”={(B1 ∩ B2) U (B1c ∩
B2c)}; E2 = “Ao menos uma peça está conforme”={(B1 ∩ B2) U (B1 ∩ B2c) U 
(B1c ∩ B2)}
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Probabilidade – Conceitos Básicos
• Exercício 2: Elabore o espaço amostral e eventos de interesse sobre os
seguintes experimentos
1. ε1 = “Contar o nº de peças retiradas de um lote de tamanho N até
que alguma não-conformidade seja encontrada ou todo o lote seja 
inspecionado”
2. ε2 = “Simular o uso de um componente que opera sob demanda até
que este falhe e contar o nº de demandas efetuadas”
3. ε3 = “Medir o tempo necessário que duas equipes de manutenção 
sob treinamento levam para consertar determinado equipamento”
4. ε4 = “Medir o tempo necessário para a implementação de um 
projeto de pesquisa & desenvolvimento de um novo componente”
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Probabilidade – Definição Matemática
• Probabilidade: Função matemática, P(•), que associa a cada particular 
evento Ei relacionado a Ω um nº real tal que:
1. 0 ≤ P(Ei) ≤ 1
2. P(Ω) = 1
3. Se Ei e Ej são eventos mutuamente exclusivos de Ω, i≠j = 1, 2, ...r: 
• Pode-se ter r→∞
• Embora não seja possível afirmar com certeza qual evento (Ei) do espaço
amostral (Ω) ocorrerá ao se realizar o experimento (ε), pode-se 
quantificar as incertezas sobre a ocorrência de cada Ei através de P(Ei)
( )∑
==
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ r
1i
i
r
1i
i EPEP U
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Probabilidade – Modelagem de P(•)
• Exercício 3: Calcule a probabilidade para os seguintes eventos
1. ε1 = “lançar um dado e registrar número da face”
ƒ E1={“resultado superior a 3”}; E2={“resultado par”}
2. ε2 = “Simular o uso de um componente que opera sob demanda até
que este falhe e contar o nº de demandas efetuadas”
ƒ Sabe-se que a probabilidade de o componente falhar até a 10ª
demanda é igual a 30%. Qual é a probabilidade de a falha ocorrer 
após a 10ª demanda?
3. ε3 = “Medir o tempo de vida de um componente”
ƒ Qual é a probabilidade de o equipamento falhar em qualquer instante 
após ser posto em operação?
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Probabilidade – Modelagem de P(•)
• Abordagem clássica: Supondo simetria entre todos os elementos de um dado Ω
(equiprobabilidade):
ƒ P(Ei) = ni /nΩ
ƒ ni – nº de casos de Ω favoráveis à ocorrência de Ei ao se realizar ε
ƒ nΩ – número total de elementos de Ω.
ƒ Exemplos: 
• ε1 – “Registrar o resultado do lançamento de um dado”
• Ω1 = {x é inteiro| 1 ≤ x ≤6}
• E1 = {x é par} → P(E1) = 3/6
• E2 = {x ≥ 5} → P(E2) = 2/6
• ε2 – “Registrar a origem de uma peça extraída de um lote do qual sabe-se 
apenas que as peças provém de 10 origens distintas”
• Ω2 = {O1, O2, ..., O10}
• E1 = O1 U O2→ P(E1) = 2/10
• E2 = O10c→ P(E2) = 9/10
ƒ Embora seja necessário total conhecimento acerca dos elementos de Ω, 
ignora-se qualquer diferença entre tais elementos em termos probabilísticos
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Probabilidade – Modelagem de P(•)
• Abordagem frequentista: Via um experimento aleatório:
ƒ P(Ei) = freq(Ei) / n 
ƒ n – número de realizações do experimento
ƒ freq(Ei) – freqüência da ocorrência de Ei nas n realizações do experimento
ƒ Exemplos:
• ε1 – “Registrar o resultado do lançamento de um dado em 1000 realizações”
• E1 = {x é par} → P(E1) = 487/1000 (observou-se E1 487 vezes)
• E2 = {x ≥ 5} → P(E2) = 350/1000 (observou-se E2 350 vezes)
• ε2 – “Registrar a origem de peças extraídas com reposição de um lote em 1000 realizações”
• E1 = {O1 U O2} → P(E1) = 195/1000 (observou-se E1 195 vezes)
• E2 = {O10c} → P(E2) = 905/1000 (observou-se E2 905 vezes)
ƒ A definição do espaço amostral (Ω) pode ser dada após a realização do 
experimento, o que pode levar a equívocos para n razoavelmente pequeno
ƒ Quando n →∞, P(Ei) tenderá a se estabilizar em torno da “verdadeira”probabilidade de ocorrência de Ei. Está e a conhecida Lei dos Grandes Números
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Probabilidade – Modelagem de P(•)
• Abordagem Subjetiva: Considerando determinada pessoa classificada
como especialista (com conhecimento teórico e/ou prático sobre os
elementos de um dado Ω):
ƒ P(Ei) – Nível de credibilidade (verossimilhança) em termos númericos que o 
especialista atribui à ocorrência de Ei
ƒ Exemplos:
• ε1 – “Entrevistar um fabricante de dados sobre o resultado do lançamento de um 
deles”.
• E1 = {x é par} → P(E1) = 2/6
• E2 = {x ≥ 5} → P(E2) = 3/6
• ε2 – “Entrevistar um empacotador sobre a origem de uma peça extraída de um 
lote por ele empacotado”
• E1 = {O1 U O2} → P(E1) = 30%
• E2 = {O10c} → P(E2) = 85%
ƒ O especialista é tratado como um banco de dados inerentemente ruidoso, 
devido a fenômenos heurísticos e limitações humanas
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Probabilidade – Conceitos Básicos
• Exercício 4: Solucione os seguintes casos
1. Dois dados são lançados simultaneamente e registram-se as faces 
voltadas para cima. Qual é o espaço amostral? Qual é a distribuição 
de probabilidades da soma dos resultados? Em um jogo que ganha 
quem acertar o valor da soma, qual seria a sua aposta? 
2. Em uma partida de futebol, inicia o jogo quem vencer no “par ou 
impar”. Os capitães lançam as mãos direitas simultaneamente, 
expondo 0, 1 ou 2 dedos. Se a soma dos dedos expostos for par, 
ganha aquele que optou por par. O mesmo ocorre para o que optou 
por ímpar. Qual seria o espaço amostral? Qual é a distribuição de 
probabilidades associada? Qual seria sua opção, par ou ímpar?
3. Lança-se uma moeda três vezes e registra-se o nº de caras. Qual é o 
espaço amostral? Qual é a distribuição de probabilidades 
associada? Qual é a probabilidade de dar ao menos 2 caras?