Estatistica_aulas_11_12_VariaveisDiscretas

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ESTATÍSTICA 
Prof Paulo Renato A. Firmino
praf62@gmail.com
Aulas 11-12
EstatEstatíísticastica -- Paulo Renato A. FirminoPaulo Renato A. Firmino 2
Variáveis Aleatórias (VAs)
• Definição: Função que associa a cada elemento ω de Ω um nº
(ou símbolo) dos reais: X(ωi) = x
• O seu conceito permite que o analista defina o experimento 
(ε), e consequentemente seu Ω, de maneira mais elaborada 
(sistemática)
ƒ Pode-se aumentar a quantidade de informações extraídas com a 
realização de ε
ƒ Pode-se associar várias VAs para um dado Ω
• Isto contribui para um melhor planejamento de ε
• Economiza-se tempo e dinheiro
• Aumenta-se o potencial de suporte à decisão
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Variáveis Aleatórias (VAs)
• Exemplo
ƒ ε1 - “Entrevistar pessoas e contar o nº de preferências pelo candidato B durante 24 horas”
ƒ ε2 - “Entrevistar pessoas e classificá-las segundo sua preferência de voto durante 24 horas”
ƒ ε3 - “Entrevistar pessoas e obter X(ω3), Y(ω3), Z(ω3), ... durante 24 horas”
ƒ ε1 é um experimento contido em ε2 que, por sua vez, está contido em ε3
ƒ Ω1 = {0, 1, 2, ..., N}; N – nº máximo de pessoas entrevistadas
ƒ Ω2 = {(B1∩B2 ∩B3 ∩.... ∩BN), (B1 ∩B2 ∩B3 ∩.... ∩BNc), ..., (B1c ∩B2c ∩B3c ∩.... ∩BNc)}; 
• Bi – A i-ésima pessoa vota no candidato B
ƒ Ω3 = {Pessoa 1, Pessoa 2, ..., Pessoa N};
ƒ X(ω3i) = 1, se ocorre Bi; X(ω3i) = 0, se ocorre Bic;Σi X(ω3i) ≡ nº de preferências por B
ƒ Y ≡ nº de votantes em B até o surgimento do 1º não-votante em B (ausente a partir de ε1)
ƒ Z(ω3i) ≡ Horário da entrevista; W ≡ nº de não-votantes em B no turno diurno [função de X 
e Z]
• Em suma, ou determinada variável aleatória de interesse é indexada a ε ou é função das que 
compõem ε (todas as informações necessárias devem estar em ε)
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Variáveis Aleatórias (VAs)
• Possíveis resultados (ΩX)
ƒ A cada VA X tem-se associado um espaço de possibilidades 
(ΩX): o contradomínio de X, em termos matemáticos
• VAs qualitativas (VAQs): ΩX é um conjunto finito de rótulos
• VAs discretas (VADs): ΩX é um conjunto enumerável (finito 
ou infinito) de números
• VAs contínuas (VACs): ΩX é um conjunto dos números reais
• Aqui, trata-se naturalmente de uma variável quantitativa “contínua”
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VADs - Distribuição de Probabilidades
• Modelam as incertezas inerentes à VAD
• Associa a cada evento elementar de ΩX, {xi}, uma probabilidade p(xi)
• A partir dela pode-se avaliar qualquer evento associado à VA X
ƒ Os eventos elementares {x1, x2, ..., xk} de ΩX são mutuamente exclusivos e 
exaustivos
• Pode ser visualizada através de gráficos de pares ou histogramas
• Devido aos axiomas nos quais p(xi) se baseiam:
1. .
2. p(xi) ≥ 0, i=1, ..., k. (k pode crescer indefinidamente)
( )∑
=
=
k
1i
i 1xp
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Variáveis Aleatórias (VAs) –
Exercício 2
1. Suponha que tenhamos uma moeda viciada, cuja P(Ki) = 1/3, onde 
Ki≡”dar cara no iº lançamento”. 
ƒ Seja ε≡ lança-se a moeda por 2 vezes e registra-se os resultados
ƒ Seja X≡nº de caras observadas
a. Qual é o espaço amostral de ε?
b. Como a função X opera sobre o espaço amostral?
c. Qual é o espaço de possibilidades de X?
d. Qual é a distribuição de probabilidades de X?
e. ?
f. p(xi) ≥ 0, i=1, ..., k?
2. Refaça o quesito 1, agora considerando 3 lançamentos ao 
invés de 2.
( )∑
=
=
k
1i
i 1xp
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VADs - Distribuição de Probabilidades
• Quando a variável em questão caracteriza-se como 
quantitativa
ƒ Em geral provinda de um processo de contagem
ƒ Pode-se trabalhar com a média
• Média de X = E(X) = E(X1)
ƒ Pode-se trabalhar com a variância
• Variância de X = V(X) = E(X2) – [E(X)]2
• E(Xr) = ( )∑
=
⋅
k
1i
i
r
i xpx
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VADs - Distribuição de Probabilidades –
Exercício 3
1. Considere o experimento de lançar dois dados honestos. 
Sejam X e Y os resultados do 1º e 2º dados, respectivamente. 
Seja Z = X+Y. Qual é o valor esperado de Z? E sua variância?
2. Qual é a média, variância e o coeficiente de variação da 
variável X descrita no Exercício 2?
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VADs - Distribuição de Probabilidades
• Distribuição Uniforme
ƒ Emerge quando todos os possíveis resultados de um 
experimento aleatório (ε) são equiprováveis
ƒ O experimento não permite qualquer preferência de resultados
ƒ ΩX = {x, a, b inteiros | a ≤ x ≤ b}; a e b são respectivamente os 
valores mínimo e máximo de ΩX, o qual possui k elementos
ƒ .
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ∈=
contrário Caso ,0
],[ ,1
)(
bax
kxp
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VADs - Distribuição de Probabilidades
• Distribuição Geométrica
ƒ Emerge quando um experimento aleatório (ε) é repetido até que um evento 
de interesse (Ev) ocorra
ƒ Uma VA Geométrica representa o número de repetições de ε até a ocorrência 
de Ev
ƒ ΩX = {x inteiro | x > 0}
ƒ Considerando P(ocorrência de Ev) = p: 
P(x) = p•(1-p)x-1
ƒ Supõe-se que os eventos sejam independentes
• p não varia ao longo das repetições de ε
ƒ E(X) = 1/p
ƒ V(X) = (1-p)/p2
.
Evc Evc Evc Evc ... Ev
1-p
(x-1) vezes
p
1 vez
dgeom() # density
pgeom () # probability
qgeom () # quantile
rgeom () # random
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VADs - Distribuição de Probabilidades –
Exercício 4
1. De acordo com pesquisas de intenção de voto, 35% das 
pessoas preferem o candidato B. Desta forma, sorteando-se 
pessoas aleatoriamente e perguntando sobre sua intenção de voto,
a. Quantas pessoas devemos entrevistar, em média, até que a primeira 
votante em B apareça?
b. Qual é a probabilidade de a 1ª pessoa votante em B aparecer já na 1ª
entrevista? E de aparecer apenas na 2ª entrevista? E de aparecer 
apenas na 3ª? E de aparecer apenas na 10ª? 
2. A probabilidade de um componente falhar quando demandado é de 
3%. Qual é a probabilidade de o componente quebrar apenas após 
30 demandas? Quais suposições fundamentam seus cálculos?
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Revisão - Combinatória
• Exemplo: Um curso possui 4 estudantes. Deseja-se elaborar um ranking 
de desempenho (do melhor até o pior colocado).
1. (a) Quantos possíveis resultados (sequências) existem? (b) Ilustre 4 deles.
2. Deseja-se premiar os 2 primeiros colocados, onde o 1º receberá um 
prêmio maior que o 2º. (a) Quantos possíveis resultados existem? (b) 
Ilustre 4 deles.
3. Deseja-se premiar igualmente os 2 primeiros colocados. (a) Quantos 
possíveis resultados existem? (b) Ilustre 4 deles.
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Revisão - Combinatória
• Seja o seguinte conjunto A = {a1, a2, ..., an}
• Permutação dos n elementos de A: qualquer sequência (ordenada) dos 
elementos
ƒ A ordem importa
ƒ Há n! possíveis permutações
• Arranjo de p elementos dentre os n de A: qualquer sequência (ordenada) 
de p (<n) elementos
ƒ A ordem importa
ƒ Há n!/(n-p)! possíveis arranjos
• Combinação de p elementos dentre os n de A: qualquer grupo de p (<n) 
elementos
ƒ A ordem não importa
ƒ Há n!/[p!(n-p)!] possíveis combinações
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VADs - Distribuição de Probabilidades
• Distribuição Binomial
ƒ Emerge quando um experimento aleatório (ε) envolvendo um evento de 
interesse (Ev) de Ω pode ser repetido por n vezes
ƒ Uma VA Binomial representa o número de ocorrências de Ev dentre as n 
oportunidades
ƒ ΩX = {x, n inteiros | 0 ≤ x ≤ n}
ƒConsiderando P(ocorrência de Ev) = p: P(x) = nCx·px·(1-p)n-x
ƒ Supõe-se que os eventos sejam independentes
• p não varia ao longo das repetições de ε
ƒ E(X) = n·p
ƒ V(X) = n·p·(1-p)
Ev Evc Ev Evc ... Ev
p
x vezes
1-p
(n-x) vezes
dbinom() # density
pbinom() # probability
qbinom () # quantile
rbinom () # random
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VADs - Distribuição de Probabilidades –
Exercício 5
1. De acordo com pesquisas de intenção de voto, 35% das 
pessoas preferem o candidato B. Desta forma, sorteando-se 10
pessoas aleatoriamente e perguntando sobre sua intenção de voto,
a. Quantas pessoas, em média, votam em B?
b. Qual é a probabilidade de que das 10 pessoas entrevistadas, apenas 
uma vote em B? E de que 3 votem em B? E de que menos que 3 
votem em B? E de que as 10 votem em B?
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VADs - Distribuição de Probabilidades
• Distribuição de Poisson
ƒ Emerge quando um experimento aleatório (ε) envolvendo um evento de 
interesse (Ev) de Ω pode ocorrer ao longo de determinada unidade de medida 
(metros, minutos, km2, etc)
ƒ Uma VA Poisson representa o número de ocorrências de Ev ao longo da 
unidade de medida adotada
ƒ ΩX = {x inteiro | x ≥ 0}
ƒ Com λ sendo a taxa de ocorrência de Ev durante o experimento:
• λ não varia ao longo da unidade de medida
P(x) = e-λ·λx/x!
ƒ E(X) = λ
ƒ V(X) = λ
.
t1 tempot2 tnt3 ...
dpois() # density
ppois() # probability
qpois () # quantile
rpois () # random
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VADs - Distribuição de Probabilidades –
Exercício 6
1. De maneira a calcular quantos eleitores estiveram presentes no 
comício do candidato B, a defesa civil informou que a cada 400 m2
(metros quadrados) havia, em média, 1 centena de pessoas. Foi dito 
também que a área onde ocorreu o evento era de 2000 m2.
a. Quantas centenas de pessoas, em média, participaram do 
evento?
• Qual é a variável de interesse?
b. Qual é a probabilidade de ter havido não mais que 3 centenas de 
pessoas no evento?
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VADs - Distribuição de Probabilidades –
Exercício 7
• Identificar, em cada quesito abaixo, o tipo de variável inerente a cada problema, 
as suposições implícitas e, em seguida, resolvê-lo:
1. Uma página de internet recebe cerca de 30 acessos por semana. Deseja-se, 
baseando-se nesta evidência, medir a probabilidade de que em determinado dia 
haja mais do que 6 acessos.
2. Um gerente de banco argumenta que a probabilidade de erro no atendimento dos 
caixas seja de 1%. Diante disto, quantas transações equivocadas ele espera que 
ocorram após selecionar aleatoriamente 200 delas?
3. A equipe de controle de qualidade de uma fábrica tem a missão de fixar a 
probabilidade de falha na demanda de determinada máquina em 0.01%. 
Avaliando-se tal máquina, evidenciou-se que após 150 demandas esta falhou. 
Como medir a viabilidade da missão atribuída à equipe de controle de qualidade 
diante desta evidência?
4. Sabe-se que a probabilidade de a bolsa fechar em alta equivale a 50%. Qual é a 
probabilidade de a bolsa fechar em baixa após uma sequência de 5 dias em alta?
5. Elabore problemas da sua futura área de atuação envolvendo ao menos uma 
variável Geométrica, Binomial e de Poisson. Destaque as suposições necessárias 
a cada modelo no problema.