capitulo1 - Exercísios G.A

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C O O R D E N A DA S C A RT E S I A N A S
Geometria Anal´ıtica e´ o estudo das formas geome´tricas usando um sistema de coor-
denadas. Atrave´s dele, os entes geome´tricos e suas inter-relac¸o˜es podem ser traduzidos
em nu´meros e equac¸o˜es. Estas, por sua vez, podem ser resolvidas por meio de operac¸o˜es
alge´bricas ou via algoritmos computacionais. As soluc¸o˜es obtidas podem enta˜o ser in-
terpretadas geometricamente, usando o sistema de coordenadas novamente, para fazer a
passagem reversa do mundo dos nu´meros para o mundo das formas geome´tricas.
Abordaremos neste cap´ıtulo o sistema de coordenadas cartesianas retangulares.
2.1 coordenadas no plano
Um sistema de coordenadas cartesianas retangulares no plano ou o plano xy consiste
num par de retas perpendiculares, denominadas respectivamente eixo x e eixo y, cada
qual graduada em nu´meros reais. O ponto de intersec¸a˜o das retas tem coordenada zero em
cada eixo. As retas perpendiculares ao eixo x (retas verticais) formam uma partic¸a˜o do
plano, isto e´, por cada ponto P do plano passa exatamente uma reta vertical. Assim, para
encontrar a coordenada x do ponto P, basta identificar onde a reta vertical que passa por
P intercepta o eixo x (cf. Figura 1.(a)). Um procedimento ana´logo leva a` coordenada y do
ponto P (cf. Figura 1.(b)). O par ordenado (x,y) registra as coordenadas do ponto P no
plano xy. Neste caso, escrevemos P = (x,y) para indicar que o ponto P tem coordenadas
(x,y) (cf. Figura 1.(c)). Note que na˜o ha´ nada de especial com as letras x e y. Em vez
delas, poder´ıamos utilizar as letras y e z e enta˜o falar de plano yz.
A coordenada x de um ponto P e´ chamada de abcissa e e´ igual a` distaˆncia do ponto P
ao eixo y. Analogamente, a coordenada y do ponto P e´ chamada de ordenada e e´ igual
a` distaˆncia do ponto P ao eixo x (cf. Figura 2.(a)). A ordem em que as coordenadas
sa˜o listadas e´ fundamental, assim P = (1, 2) e Q = (2, 1) sa˜o pontos diferentes porque o
primeiro tem abcissa 1 enquanto o segundo tem abcissa 2 (cf. Figura 2.(b)). Pontos do
7
2.1 coordenadas no plano 8
x
y
1 2 30
P
(a)
x
y
1
2
3
0
P
(b)
x
y
1
2
P = (1, 2)
(c)
Figura 1: Encontrando as coordenadas do ponto P
plano da forma (x, 0) situam-se sobre o eixo x e pontos do plano da forma (0,y) situam-se
sobre o eixo y (cf. Figura 2.(c)).
x
y
1
2
1
2
P = (1, 2)
(a)
x
y
1 2
1
2
P = (1, 2)
Q = (2, 1)
(b)
x
y
P = (1, 0)
Q = (0, 2)
(c)
Figura 2: Encontrando as coordenadas dos pontos P e Q
O conjunto de todos os pares ordenados (x,y) de nu´meros reais e´ denotado por R2,
i.e.,
R2 = {(x,y) : x ∈ R e y ∈ R} ,
onde “:” significa “tais que”.
Atrave´s dum sistema de coordenadas cartesianas, cada ponto P do plano e´ identificado,
de forma u´nica, com um par ordenado (x,y) de nu´meros (coordenadas) reais, tambe´m
chamado de ponto do R2. Assim, cada forma geome´trica (subconjunto de pontos do plano
xy) corresponde a um objeto alge´brico (subconjunto de pontos do R2).
Uma forma sucinta de descrever regio˜es do plano xy sa˜o as equac¸o˜es envolvendo x e y (cf.
Tabela 1 e Figura 3). O conjunto universo de uma equac¸a˜o e´ o conjunto onde buscamos
as suas soluc¸o˜es. Se a equac¸a˜o descreve um objeto do plano xy, enta˜o o conjunto universo
e´ R2.
2.1 coordenadas no plano 9
conjunto universo equac¸a˜o subconjunto
R2 x = 2 {(2,y) : y ∈ R}
R2 −2 6 x 6 2 {(x,y) : −2 6 x 6 2 e y ∈ R}
R2 (x− 2) · (y− 1) = 0 {(2,y) : y ∈ R}∪ {(x, 1) : x ∈ R}
Tabela 1: Descrevendo subconjuntos do plano xy atrave´s de equac¸o˜es
Outra forma de descrever subconjuntos do plano de forma sucinta sa˜o os produtos
cartesianos (cf. Tabela 2 e Figura 4). O produto cartesiano de um conjunto A ⊆ R por
um conjunto B ⊆ R e´ o subconjunto do R2 definido por
A×B = {(x,y) : x ∈ A e y ∈ B}.
Frequentemente, o conjunto A ou o conjunto B e´ um intervalo de nu´meros reais tal como
[1, 3] = {t ∈ R : 1 6 t 6 3}, ]1, 3[= {t ∈ R : 1 < t < 3}, [1,∞[= {t ∈ R : t > 1}.
.
x
y
2
x = 2
x
y
2−2
−2 6 x 6 2
x
y
2
1
(x− 2) · (y− 1) = 0
Figura 3: Descrevendo subconjuntos do plano atrave´s de equac¸o˜es
Em particular,
R =] −∞,∞[ e R2 = R×R.
produto cartesiano subconjunto
{2}× [−2, 2[ {(2,y) : −2 6 y < 2}
{−2, 2}×R {(−2,y) : y ∈ R}∪ {(2,y) : y ∈ R}
[−1, 1[×[−2, 2] {(x,y) : −1 6 x < 1 e − 2 6 y 6 2}
Tabela 2: Descrevendo subconjuntos do plano atrave´s de produtos cartesianos
2.2 coordenadas no espac¸o 10
.
x
y
2
2
−2
{2}× [−2, 2[
x
y
2−2
{−2, 2}×R
x
y
1−1
−2
2
[−1, 1[×[−2, 2]
Figura 4: Descrevendo subconjuntos do plano atrave´s de produtos cartesianos
2.2 coordenadas no espac¸o
Um sistema de coordenadas cartesianas retangulares no espac¸o ou o espac¸o xyz consiste
em treˆs retas mutuamente perpendiculares, denominadas eixo x, eixo y e eixo z, cada
qual graduada em nu´meros reais. As treˆs retas se interceptam num u´nico ponto que tem
coordenada zero em cada eixo. O plano que e´ perpendicular ao eixo z e passa pela origem
e´ chamado de plano xy. De forma ana´loga sa˜o definidos o plano yz e o plano plano xz.
Estes treˆs planos sa˜o conhecidos como planos coordenados (cf. Figura 5).
x
y
z
plano xy
x
y
z
plano yz
x
y
z
plano xz
Figura 5: Planos coordenados
As coordenadas cartesianas de um ponto P do espac¸o sa˜o uma tripla ordenada (x,y, z).
Se o ponto P pertence ao plano xy, enta˜o automaticamente a sua coordenada z e´ zero e
as outras duas sa˜o encontradas projetando o ponto P nos eixos x e y, seguindo o mesmo
procedimento utilizado na Sec¸a˜o 1.1. De forma ana´loga, se encontra as coordenadas de
pontos do espac¸o contidos no plano yz ou no plano xz (cf. Figura 6).
Se o ponto P na˜o estiver contido em nenhum dos planos coordenados, enta˜o para encon-
trar as suas coordenadas (x,y, z) escolhemos um dos planos coordenados e encontramos
a projec¸a˜o ortogonal P ′ do ponto P sobre o plano coordenado escolhido. Se o plano coor-
denado escolhido for o plano xy, enta˜o as coordenadas x e y de P sa˜o as mesmas de P ′
2.2 coordenadas no espac¸o 11
.
x
y
z
P
2
2
0
P = (2, 2, 0)
x
y
z
P
2
1
0
P = (0, 2, 1)
x
y
z
0
P
2
2
0
P = (2, 0, 2)
Figura 6: Encontrando as coordenadas cartesianas de um ponto P do espac¸o.
enquanto que a coordenada z e´ a distaˆncia de P a P ′. Tudo funciona de modo ana´logo,
se em vez do plano xy, escolhermos o plano yz ou o plano xz (cf. Figura 7).
.
x
y
z
P ′
P
2
2
0
3
P = (2, 2, 3)
x
y
z
P ′
P
2
1
2
P = (2, 2, 1)
x
y
z
P ′P
2
2
0
1
P = (2,−1, 2)
Figura 7: Encontrando as coordenadas cartesianas de um ponto P
Segue da ana´lise feita na Figura 7 que planos paralelos aos planos coordenadaos teˆm
uma das componentes constante (cf. Figura 8). Em particular, o plano xy tem equac¸a˜o
z = 0, o plano yz tem equac¸a˜o x = 0 e o plano xz tem equac¸a˜o y = 0.
x
y
z
x = 1
1
x
y
z
y = 1
1
x
y
z
z = 2
0
2
Figura 8: Descrevendo planos paralelos aos planos coordenados
Uma mesma equac¸a˜o pode descrever objetos diferentes em conjuntos universos diferen-
tes. Por exemplo, a equac¸a˜o x = 1 descreve uma reta no plano xy (conjunto universo
igual a R2), enquanto que no espac¸o xyz (conjunto universo igual a R3) a mesma equac¸a˜o
descreve um plano (cf. Tabela 3 e Figura 9).
2.3 aplicac¸o˜es 12
conjunto universo equac¸a˜o subconjunto
R2 x = 1 {(1,y) : y ∈ R}
R3 x = 1 {(1,y, z) : y ∈ R e z ∈ R}
R3 x = 1 e z = 0 {(1,y, 0) : y ∈ R}
Tabela 3: A importaˆncia do conjunto universo
x
y
1
x = 1
x
y
z
x = 1
1
x
y
z
x = 1 e z = 0
1
Figura 9: Uma mesma equac¸a˜o pode descrever objetos diferentes
Tomandounio˜es de planos paralelos aos eixos coordenados obtemos regio˜es como aque-
las descritas na Figura 10. Vale observar que
[0, 1]× [1, 2]× [1, 2] = {(x,y, z) : 0 6 x 6 1, 1 6 y 6 2 e 1 6 z 6 2}.
x
y
z
0 6 x 6 1
1
0
x
y
z
1 6 y 6 2
1 2
x
y
z
1 6 z 6 2
1
2
x
y
z
[0, 1]× [1, 2]× [1, 2]
1
1 1 2
2
Figura 10: Descrevendo regio˜es do espac¸o
2.3 aplicac¸o˜es
Pontos do plano xy ou do espac¸o xyz tambe´m podem ser utilizados para descrever a
configurac¸a˜o de um sistema f´ısico, isto e´, a posic¸a˜o simultaˆnea de todas as part´ıculas ou
partes do sistema.
2.4 exercı´cios 13
2.3.1 Bilhar unidimensional
Um bilhar unidimensional e´ formado por uma mesa retil´ınea sobre a qual duas bolas
de sinuca se movem sem atrito (cf. Figura 11.(a)). As bolas esta˜o sujeitas a coliso˜es
ela´sticas entre elas ou com as bordas da mesa. Naturalmente, elas na˜o podem mudar de
lado, isto e´, na˜o podem alternar posic¸o˜es.
x
y
1
(a)
x
y
1
1
(x,y)
(b)
Figura 11: O bilhar unidimensional e o seu espac¸o de configurac¸o˜es
A configurac¸a˜o instantaˆnea do sistema e´ um par ordenado (x,y), sendo x a posic¸a˜o da
primeira bola e y a posic¸a˜o da segunda bola. O espac¸o de configurac¸o˜es (i.e. o conjunto
de todos os pares de posic¸o˜es do sistema) e´ o conjunto
S = {(x,y) : 0 < x < y < 1},
esboc¸ado na Figura 11.(b). O conjunto S na˜o e´ um produto cartesiano.
2.3.2 O peˆndulo duplo
O peˆndulo duplo e´ um peˆndulo com duas articulac¸o˜es popularmente conhecido por seu
comportamento cao´tico, conforme atestam diversos v´ıdeos da internet. Como o sistema
tem duas articulac¸o˜es, a sua configurac¸a˜o em cada instante de tempo e´ um par ordenado
(θ1, θ2) que fornece a posic¸a˜o angular simultaˆnea das duas hastes (cf. Figura 12.(a)). O
seu espac¸o de configurac¸o˜es e´ enta˜o o produto cartesiano
S = {(θ1, θ2) : −pi < θ1 6 pi,−pi < θ2 6 pi} = (−pi,pi]× (−pi,pi].
2.4 exercı´cios
1. Esboce no plano xy os pontos que satisfazem a equac¸a˜o ou inequac¸a˜o dada.
(a) x = 3 (b) y > 1 (c) (x− 3) · (y− 1) = 0 (d) xy− x− 3y+ 3 = 0 (e) x2 − 4 6 0
2.4 exercı´cios 14
(a)
θ1
θ2
θ1
θ2
pi
pi
(θ1, θ2)
(b)
Figura 12: O peˆndulo duplo e o seu espac¸o de configurac¸o˜es
2. Esboce no plano xy os produtos cartesianos dados abaixo.
(a) {0, 1}× {1, 2} (b) [0, 1]× {1, 2} (c) {0, 1}×]1, 2[ (d) [0, 1]× [1, 2]
3. Descreva ou deˆ a equac¸a˜o dos conjuntos esboc¸ados na figura abaixo.
x
y
1 2
1
2
3
(a)
x
y
2
(b)
x
y
1 2
(c)
x
y
1
1
2
(d)
4. Descreva os conjuntos esboc¸ados na figura abaixo.
x
y
1
(a)
x
y
1
3
(b)
x
y
1
1
(c)
x
y
2
1
2
(d)
5. Dadas as figuras abaixo, encontre as coordenadas dos pontos A,B,C,D,E, F,G e G ′.
2.4 exercı´cios 15
.
x
y
z
A
B
C
1 1
1
2
2
2
0
x
y
z
D
E
F
1 1
1
2
2
2
0
x
y
z
1 1
2
2
1
0 G
G ′
6. Encontre as coordenadas dos pontos D,D ′,E,E ′, F e F ′ na figura abaixo.
.
x
y
z
D
D ′
1 1
2
2
0
3
x
y
z
E
E ′ 1
1
2
2
1
x
y
z
F
F ′
1
1
2
2
0
1
7. Deˆ as coordenadas dos 8 ve´rtices do paralelep´ıpedo esboc¸ado na figura abaixo.
. x
y
z
1 1
2
2
1
0
8. Encontre as equac¸o˜es dos planos dados abaixo.
9. Descreva os conjuntos e regio˜es esboc¸ados na figura abaixo.
2.5 respostas 16
x
y
z
(a)
1
x
y
z
(b)
x
y
z
(c)
1
x
y
z
(a)
1 1
2
x
y
z
(b)
1
2
2
2
x
y
z
(c)
1 2
1
10. Descreva os conjuntos dados na figura abaixo.
.
x
y
z
1 1
2
2
0
(a)
x
y
z
1
1
2
2
(b)
x
y
z
1
1
2
2
0
(c)
11. No compartimento ilustrado na figura abaixo, ha´ duas mole´culas de um mesmo ga´s. A
posic¸a˜o do sistema e´ dada pela quadru´pula (x1,y1, x2,y2). Escreva na forma de produto
cartesiano o conjunto de todas as posic¸o˜es poss´ıveis do sistema, isto e´, descreva o espac¸o
de configurac¸o˜es utilizando um produto cartesiano.
12. Deˆ as coordenadas dos ve´rtices A, B e C exibidos na figura acima.
13. Deˆ a equac¸a˜o das regio˜es dadas na figura abaixo.
2.5 respostas
1.
2.
3. As diversas maneiras de descrever cada regia˜o sa˜o separadas por ponto e v´ırgula.
2.5 respostas 17
1 4
5
x
y
x1 x2
y2
y1
(a)
x
y
z
A
B
C
1 1
1
2
2
2
3
3
3
0
(b)
x
y
1
2
0
(a)
x
y
z
1 2
(b)
(a) {(1, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 2), (1, 3), (2, 3)}; {1, 2}× {1, 2, 3}
(b) x = 2; {2}×R
(c) (x− 1) · (x− 2) = 0; {1, 2}×R
(d) x = 1 e 1 6 y 6 2; {1}× [1, 2]
4. As diversas maneiras de descrever cada regia˜o sa˜o separadas por ponto e v´ırgula.
(a) x > 1; [1,∞[×R
(b) 1 6 y < 3; R× [1, 3[
(c) x > 1 e y > 1; [1,∞[×[1,∞[
(d) 0 6 x 6 2 e 1 6 y 6 2; [0, 2]× [1, 2]
5. A = (2, 0, 0),B = (0, 1, 0),C = (0, 0, 2), D = (2, 2, 0)
E = (0, 2, 1), F = (2, 0, 2), G = (−2, 2, 0),G ′ = (−2, 2, 1)
6. D = (2, 2, 0),D ′ = (2, 2, 3),E = (0, 2, 1),E ′ = (1, 2, 1), F = (2, 0, 2), F ′ = (2,−1, 2)
7. {(0, 0, 0), (−2, 0, 0), (−2, 2, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 1), (−2, 0, 1), (−2, 2, 1), (0, 2, 1)}
8. (a) x = 1 (b) y = 0 (c) z = 1
2.5 respostas 18
x
y
3
(a)
x
y
1
(b)
x
y
3
1
(c),(d)
x
y
2−2
(e)
x
y
1
1
2
(a)
x
y
1
1
2
(b)
x
y
1
1
2
(c)
x
y
1
1
2
(d)
9. (a)

(0, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 0),
(0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 0, 1),
(0, 0, 2), (0, 1, 2), (1, 1, 2), (1, 0, 2)
; {0, 1}× {0, 1}× {0, 1, 2}
(b) 1 6 x 6 2, 0 6 y 6 2 e z = 2; [1, 2]× [0, 2]× {2}
(c) 0 6 x 6 1, 1 6 y 6 2 e 0 6 z 6 1; [0, 1]× [1, 2]× [0, 1]
10.
(a) x = 2 e y = 2; {2}× {2}×R
(b) y = 2 e z = 1; R× {2}× {1}
(c) x = 2 e z = 2; {2}×R× {2}
11. 1 < x1 < 4, 1 < x2 < 4, 0 < y1 < 5 e 0 < y2 < 5; ]1, 4[×]1, 4[×]0, 5[×]0, 5[
12. A = (2, 2, 0), B = (0, 2, 2), C = (2, 0, 3)
13. (a) 1 6 y 6 2 (b) 1 6 y 6 2
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