Geometria Analítica

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MATEMÁTICA
ENSINO MÉDIO
Geometria Analítica
SESI - EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS
 1. IntroduçãoO estudo histórico de pontos e retas no plano cartesiano está relacionado à origem da Geometria Analítica. A ideia essencial da Geometria Analítica consiste na identificação de figuras por meio de suas equações, de tal modo que o estudo dessas figuras possa ser feito com a utilização de procedimentos algébricos. 
De maneira independente, sua invenção está associada a dois grandes nomes: Pierre de Fermat (1601 – 1665), advogado que se interessava por obras sobre geometria, e o filósofo René Descartes (1596 – 1650). Ambos se basearam nos progressos da notação algébrica realizados pelo matemático francês François Viète (1540 – 1603) em fins do século XVI. Mas ainda seriam necessários outros ingredientes para o nascimento da Geometria Analítica como área da Matemática, por exemplo, um sistema de coordenadas sobre uma reta. Isso foi, em certa medida, desenvolvido por Descartes e Fermat.
A partir da invenção da Geometria Analítica, passou-se a ter dois tratamentos básicos para a Geometria, um mais puro, que se dedica ao plano e ao espaço, tratado na obra Os elementos de Euclides, e outro que faz uso de coordenadas e métodos algébricos na resolução de seus problemas. Além de proporcionar o desenvolvimento da própria Geometria, a Geometria Analítica serve de instrumento para diversas áreas da ciência, dentre elas a Física.
2. Coordenadas de um ponto
O termo coordenada de um ponto refere-se a um dos elementos que determinam a posição desse ponto em uma linha, superfície ou espaço. Vamos lembrar que as coordenadas geográficas da Terra são os paralelos e os meridianos, representando as latitudes e as longitudes, respectivamente. Elas servem para localizar precisamente qualquer ponto sobre a superfície da esfera terrestre.
No mapa do Brasil abaixo, temos em destaque as cidades de Manaus e Brasília. Brasília está localizada a uma latitude de 150 46´ 47´´ sul e longitude de 470 55´ 47´´ oeste. Manaus está a 30 6´ 7´´ de latitude sul e 600 1´ 30´´ de longitude oeste.
Quando falamos da reta real, sabemos que a cada ponto dessa reta está associado um número real, e vice-versa. Assim, dado um ponto na reta real, podemos facilmente identificá-lo com um número real que, em módulo, representa sua distância até o ponto O, tomado como referência. Se o ponto estiver à direita de O, o número real será positivo; se estiver à esquerda, o número será negativo.
Identificação:
	
	
	
Assim, na reta real cada ponto é identificado a partir de um único número, que é a coordenada desse ponto.
3. O sistema cartesiano ortogonal
Para determinar a localização de um ponto no plano, utilizamos o chamado sistema cartesiano ortogonal que é estabelecido por duas retas orientadas, denominadas eixos, perpendiculares entre si num ponto O.
Os eixos são identificados pelas letras e . O eixo é denominado eixo das abscissas e o eixo é denominado eixo das ordenadas.
Esses eixos perpendiculares entre si dividem o plano em quatro regiões, chamadas quadrantes.
O principal objetivo de um sistema de coordenadas é determinar um ponto através de um conjunto de informações. Assim, para localizar um ponto no plano, precisamos de um par ordenado de números reais relacionados a esse ponto e que são as suas coordenadas. Para não haver dúvidas, convencionou-se que o primeiro elemento do par ordenado corresponde sempre à abscissa e o segundo elemento à ordenada .No gráfico ao lado, você pode verificar a diferença entre as localizações dos pontos correspondentes aos pares ordenados e .
Assim, é fácil verificar que dois pares ordenados são iguais se os primeiros elementos são iguais e os segundos elementos também são iguais, ou seja, e .
Exemplos: [1] Localize no sistema de coordenadas cartesianas abaixo os pontos: ; ; ; ; ; ; .
[2] Escreva as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E e F, indicados no plano cartesiano.
[3] Observe o triângulo ABC, representado no plano cartesiano a seguir.
[3.1] Quais as coordenadas dos vértices desse triângulo?
[3.2] Para determinar a área de uma região triangular basta determinar a metade do produto da medida da base pela altura. Com base nessa informação, determine a área do triângulo ABC.
Questão 01. Escreva as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E , F e G, indicados no plano cartesiano.
	Pontos
	Coordenadas
	A
	
	B
	
	C
	
	D
	
	E
	
	F
	
	G
	
Questão 02. Considere a circunferência traçada no plano cartesiano a seguir.
[2.1] Escreva as coordenadas do centro da circunferência.
[2.2] Escreva as coordenadas do ponto T.
[2.3] Um segmento cujos extremos são o centro e um ponto qualquer da circunferência é chamado de raio da circunferência. Quantas unidades de comprimento tem o raio dessa circunferência?
[2.4] Considere e para obter o comprimento de uma circunferência, encontre a medida do contorno da circunferência desenhada nessa malha cartesiana.
Questão 03. [UFCE] Os pares ordenados de números reais e são iguais se, e somente se:
[3.1] e 
[3.2] e 
[3.3] e 
[3.4] e 
[3.5] e 
Questão 04. Observe o trapézio ABCD, representado no plano cartesiano a seguir.
[4.1] Quais as coordenadas dos vértices desse trapézio?
[4.2] Para determinar a área de um trapézio use a relação:
onde B é a medida da base maior, b a medida da base menor e h a altura desse trapézio. Com base nessa informação, obtenha a área desse trapézio.
Questão 05. Localize num sistema de coordenadas cartesianas os vértices ; e de um triângulo ABC. Determine a medida do comprimento do lado .
Questão 06. Considere os pontos A, B, C, D, E, F, G e H assinalados.
[6.1] Qual o ponto que possui a menor abscissa? E a maior?
[6.2] Qual o ponto que possui a maior ordenada? E a menor?
[6.3] Quais os pontos que possuem abscissa positiva?
[6.4] Quais os pontos que possuem ordenada negativa?
[6.5] Há algum ponto com abscissa zero? Se houver, qual ?
Questão 07. Marcos estava assistindo o noticiário local de sua região quando iniciou uma reportagem com a seguinte chamada:
Morte de criança em piscina chama a atenção para afogamento doméstico
O afogamento é a segunda causa de morte acidental antes dos 15 anos, conforme estudo feito pela ONG Criança Segura. Na manhã de sábado (17), uma criança de um ano e meio morreu após se afogar na piscina de uma pousada em Arraial D´Ajuda, extremo sul da Bahia. Segundo informações, a fatalidade ocorreu entre 8h e 9h. A criança era turista, do Espírito Santo, e veio à Bahia acompanhada dos pais, porém, estava sozinha na piscina. A piscina era de adulto, de 1.40 metro, junto com a piscina infantil, com 25 centímetros de profundidade. [...]
[Disponível em: http://www.tribunadabahia.com.br/2015/01/19/morte-de-crianca-em-piscina-chama-atencao-para-afogamento-domestico]
Após assistir a reportagem, ele não hesitou em comprar rede e capa de proteção para sua piscina de x metros de contorno e y metros quadrados de área. A piscina de Marcos tem formato poligonal indicado pelos pares ordenados 
. Determine o valor de x e y admitindo que a piscina de Marcos seja o polígono formado pela união dos pontos ABCDEFGHIA.