Cálculo Integral Func Uma Variável Aplicada à Informática - Livro- Texto - Unidade II

28 Unidade II Revisão: ???? - Diagramação: ???? - 00/00/00 Unidade II INTEGRAL DEFINIDA OU INTEGRAL DE RIEMANN 3 INTEGRAL DE RIEMANN No cálculo de ár eas de \ufb01gur as planas não convencionais , é comum utilizarmos o método da exaustão, isto é, utilizar aproximação por meio de outras \ufb01gur as cujas áreas são conhecidas . A soma dessas áreas fornece um valor aproximado da ár ea que se deseja calcular . Consideremos uma função contínua e f(x) > 0, num intervalo fechado [a, b]. Queremos determinar a área A da r egião plana formada pelo grá\ufb01co da função, pelo eixo x e as retas x = a e x = b , conforme a \ufb01gura a seguir: y a b f(x) x A área da r egião não é conhecida da geometria elementar . V amos , então, dividir essa r egião em outras \ufb01gur as conhecidas , por exemplo, em r etângulos . P ar a isso, far emos uma partição no intervalo [a, b]. 3.1 Partição Chamamos de partição de um intervalo o conjunto de pontos {x 0 , x 1 , . . , x n } que dividem o intervalo em n intervalos menores , com a = x 0 e b = x n . Esses subintervalos não são necessariamente do mesmo tamanho. Em nosso exemplo, ver emos o que acontece quando n = 3 e quando n = 12. P ara facilitar , tomaremos as divisões com mesmo tamanho ( \u2206 x): 29 Revisão: ???? - Diagramação: ???? - 00/00/00 CÁLCULO INTEGRAL: FUNÇÕES DE UMA V ARIÁVEL APLICADAS À INFORMÁTICA y a b f(x) x A \u2206 x y a b f(x) x A Note que a ár ea sob o grá\ufb01co de f(x) é aproximadamente igual à soma das ár eas dos retângulos . Nesse caso, os retângulos foram formados com altura igual ao valor de f(x i ); extremidade direita do subintervalo. O mesmo pode ser feito com a extremidade dir eita, com o ponto médio ou com qualquer ponto do intervalo. Em todos os casos, ter emos resultados semelhantes . Observe que no caso de n = 3, a difer ença entre a região em azul, a ár ea r eal e a soma das ár eas dos retângulos é maior que no caso de n = 12. Em alguns casos, a área do retângulo é maior que a região correspondente em azul e em outr os é menor . Concluímos, assim, que quanto maior o número de divisões do intervalo [a, b] menor o valor de \u2206 x e menor o erro cometido com a apr oximação pela soma das áreas dos r etângulos. Cada r etângulo tem base igual à \u2206 x e altura igual à f(x i ). Nesse caso, x i é a extr emidade dir eita do intervalo correspondente. A ár ea de cada um deles é dada por ( \u2206 x . f(x i ) ), e a soma dessas áreas é: S x f x n i n i = = \u2211 \u2206 1 . ( ) 3.2 Soma de Riemann A soma S x f x n i i n i = = \u2211 \u2206 1 . ( ) é chamada de soma de Riemann da função f(x). Note que agora estamos utilizando \u2206 x i para indicar a base dos r etângulos. Queremos o valor mais próximo da ár ea A . P ara isso, devemos colocar a menor base possível, isto é, \u2206 x i tendendo a zero ( \u2206 x i \u2192 0); o que ocorr e quando n tende à in\ufb01nito. 3.3 Integral de\ufb01nida ou integral de Riemann Seja f uma função de\ufb01nida em [a, b] e L um númer o real, tal que L x f x x i i i i n Lim = \u2192 = \u2211 \u2206 \u2206 0 1 . ( ) x i Chamamos de integral de\ufb01nida de f de a até b o número L , e indicamos f x a b dx ( ) \u222b . Assim, temos por de\ufb01nição: 30 Unidade II Revisão: ???? - Diagramação: ???? - 00/00/00 f x x f x a b x i i i i n dx Lim ( ) . ( ) \u222b = \u2192 = \u2211 \u2206 \u2206 0 1 Observação Lê-se: integral de a até b de f(x) dx Se esse limite existe, dizemos que a função é integrável no intervalo [a, b]. Na notação de integral de\ufb01nida, os números a e b são chamados de limites de integração ; a é o limite inferior e b o limite superior . Quando a função f for contínua e f(x) > 0 no intervalo [a, b], a integr al de\ufb01nida será a área da região sob o grá\ufb01co de f de a até b . Não far emos cálculos de integr ais de\ufb01nidas utilizando limites. Utilizar emos o T eorema Fundamental do Cálculo Integral par a resolver essas integr ais por meio de primitivas. 4 TEOREMA FUNDAMENT AL DO CÁLCULO INTEGRAL (TFCI) Se f é contínua em um intervalo fechado \u0399 , e F é uma primitiva de f nesse intervalo, isto é, F(x) = f \u2019(x), então, para quaisquer a, b de \u0399 , temos: f(x) = F(b) - F(a ) a b dx \u222b P odemos escrever também: f x F x F b F a a b a b dx ( ) ( ) ( ) - ( ) \u222b = [ ] = Ou ainda: f x F x F b F a a b a b dx ( ) ( ) ( ) - ( ) \u222b = = Assim, par a o cálculo das integr ais de\ufb01nidas, vamos utilizar as r egras e métodos das integr ais inde\ufb01nidas para encontr ar as primitivas. Exemplos: 1) Calcular as integrais de\ufb01nidas (utilizando o TFCI). 31 Revisão: ???? - Diagramação: ???? - 00/00/00 CÁLCULO INTEGRAL: FUNÇÕES DE UMA V ARIÁVEL APLICADAS À INFORMÁTICA a) x dx 1 2 \u222b Inicialmente, determinamos a primitiva de f(x) = x. P elas regr as, sabemos que: F(x) = x c 2 2 + Assim: x x c F F c c dx 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 \u222b = + \uf8eb \uf8ed \uf8ec \uf8f6 \uf8f8 \uf8f7 = = + \uf8eb \uf8ed \uf8ec \uf8f6 \uf8f8 \uf8f7 \u2212 + \uf8eb ( ) - ( ) \uf8ed \uf8ed \uf8ec \uf8f6 \uf8f8 \uf8f7 = \u2212 = 4 2 1 2 3 2 Observe que a constante c será cancelada após a distribuição do sinal de menos . Isso ocorrerá sempre. P or esse motivo, vamos utilizar a primitiva sempre sem a constante. b) 2 1 0 3 x dx - ( ) \u222b Inicialmente, determinamos a primitiva de f(x) = 2 x \u2013 1 pelas r egras . Temos: 2 1 2 2 2 2 x dx x x x x \u2013 . \u2013 ( ) = \u2212 = \u222b Note que não escrevemos a constante c . Assim: 2 1 3 0 3 3 0 0 9 0 3 2 0 3 2 2 x x x F F dx - ( ) - ( ) ( ) ( ) ( ) = \u2212 ( ) = = \u2212 \u2212 \u2212 = \u2212 \u222b 3 3 6 = c) x x dx 2 1 0 3 - - ( ) \u222b Determinando a primitiva de f(x) = x 2 \u2013 3 x pelas r egras , temos: . x x dx x x x x 2 2 1 2 3 2 3 2 1 3 2 3 3 2 \u2212 ( ) = + \u2212 = \u2212 + \u222b P ortanto: x x x x F F dx 2 1 0 3 2 1 0 3 3 3 2 0 1 - ( ) - (- ) - - ( ) = \u2212 \uf8eb \uf8ed \uf8ec \uf8f6 \uf8f8 \uf8f7 = \u222b (a) Determinando os valores de F(0) e F(\u20131), temos: F(0) = 0 3 3 0 2 0 0 0 3 2 \u2212 = \u2212 = . 32 Unidade II Revisão: ???? - Diagramação: ???? - 00/00/00 F(\u20131) = ( ) . (- ) . \u2212 \u2212 = \u2212 \u2212 = \u2212 \u2212 = \u2212 \u2212 = \u2212 1 3 3 1 2 1 3 3 1 2 1 3 3 2 2 9 6 11 6 3 2 Substituindo em (a), temos: x x x x F F dx 2 1 0 3 2 1 0 3 3 3 2 0 1 0 1 - ( ) - (- ) - - - ( ) = \u2212 \uf8eb \uf8ed \uf8ec \uf8f6 \uf8f8 \uf8f7 = = \u2212 \u222b 1 1 6 11 6 \uf8eb \uf8ed \uf8ec \uf8f6 \uf8f8 \uf8f7 = Observe que nos exemplos a) e b), os cálculos de F(a) e F(b) foram feitos dir etamente na integral. Já no exemplo 3, os cálculos for am feitos separadamente e só depois colocados na integral. O modo mais conveniente depende da função com que se trabalhará. P ara funções com expr essões mais simples, é indiferente um ou outro modo, porém, para expressões mais longas ou complicadas , o cálculo separado facilita o pr ocesso. d) sen x dx 0 2 \u03c0 \u222b Já sabemos que \u222b sen x dx = \u2013 cos x. Logo: sen x x F F dx 0 2 0 2 0 2 \u03c0 \u03c0 \u03c0 \u222b = \u2212 ( ) = cos ( ) - ( ) ( a) Determinando os valores de F( \u03c0 2 ) e F(0), temos: F( \u03c0 2 ) = \u2013 cos ( \u03c0 2 ) = \u2013 0 = 0 F(0) = \u2013 cos 0 = \u2013 1 Substituindo em (a) , vem: sen x x F F dx 0 2 0 2 0 0 1 1 2 \u03c0 \u03c0 \u03c0 \u222b = \u2212 ( ) = = = cos ( ) - ( ) - (- ) e) x x dx 2 0 2 2 \u2212 \u222b Note que essa integral não é imediata; deve ser r esolvida por substituição. Resolvendo a integral inde\ufb01nida, temos: 33 Revisão: ???? - Diagramação: ???? - 00/00/00 CÁLCULO INTEGRAL: FUNÇÕES DE UMA V ARIÁVEL APLICADAS À INFORMÁTICA x x dx u du u du Ln u Ln x c 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 \u2212 = = = = \u2212 + \u222b \u222b \u222b . | | . | | u du dx \u2019 = u = x 2 - 2 = 2x, isto é, du x d x 2 = P elo TFCI, temos: x x Ln x L n dx 2 0 2 2 0 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 + = + + \u222b = . | | . | | - 1 1 2 0 2 1 2 6 1 2 2 1 2 1 2 . | | . | | - . | | . Ln Ln Ln + = = = , , - . , , 792 1 2 0 693 0 5 50 = f) ( ) 2 3 2 1 2 x dx + \u222b Essa integral não é imediata, deve ser r esolvida por substituição. Resolvendo a integral inde\ufb01nida, temos: 2 3 2 1 2 1 2 3 1 6 2 3 2 2 3 3 2 x dx u du u du u x + ( ) = \u222b \u222b = = \u222b = + ( ) . . u du dx \u2019 = u = 2x + 3 = 2, isto é, du x d x 2 = = dx P elo TFCI, temos: ( ) . . . 2 3 1 6 2 3 1 6 2 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3 x x dx + + ( ) + ( ) \u2212 \u222b = = 6 6 2 1 3 1 6 2 2 3 1 6 2 1 3 1 6 3 3 3 . . . . . . . + ( ) = + ( ) \u2212 + ( ) = = 7 1 6 5 36 3 3 3 3 . , \u2212 = Saiba mais P ara saber sobr e Newton e a sua in\ufb02uência no cálculo integral, acesse: .matematica.com.br/site/index.php?option=com_content &view=article&id=1 12:isaac-newton&catid=40:biogra\ufb01as&Itemid=183>

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