Cálculo de Derivadas e Integrais

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Resposta: \( \int e^{-3x} \, dx = -\frac{1}{3}e^{-3x} + C \). 
 Explicação: A integral de \( e^{-3x} \) é \( -\frac{1}{3}e^{-3x} \) mais a constante de 
integração \( C \). 
 
47. Problema: Determine a derivada de \( h(x) = \ln(3x^2 + 2x + 1) \). 
 Resposta: \( h'(x) = \frac{6x + 2}{3x^2 + 2x + 1} \). 
 Explicação: A derivada de \( \ln(3x^2 + 2x + 1) \) é \( \frac{6x + 2}{3x^2 + 2x + 1} \) 
usando a regra da cadeia. 
 
48. Problema: Calcule a integral definida de \( f(x) = \cos(2x) \) de 0 a \( \frac{\pi}{2} \). 
 Resposta: \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x) \, dx = 
\left[\frac{1}{2}\sin(2x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}\sin(\pi) - \frac{1}{2}\sin(0) = 0 - 0 
= 0 \). 
 Explicação: Aplicamos o teorema fundamental do cálculo e calculamos a diferença das 
funções nos limites superior e inferior da integral. 
 
49. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \cos^2(x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = -2\sin(x)\cos(x) \). 
 Explicação: A derivada de \( \cos^2(x) \) pode ser encontrada usando a regra da cadeia e 
a identidade trigonométrica \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \). 
 
50. Problema: Calcule a integral indefinida de \( g(x) = \tan(x) \). 
 Resposta: \( \int \tan(x) \, dx = -\ln|\cos(x)| + C \). 
 Explicação: A integral de \( \tan(x) \) é \( -\ln|\cos(x)| \) mais a constante de integração \( 
C \). 
 
51. Problema: Determine a derivada de \( h(x) = \sqrt{\frac{1}{x} + 2} \). 
 Resposta: \( h'(x) = -\frac{1}{2x\sqrt{\frac{1}{x} + 2}} \). 
 Explicação: A derivada de \( \sqrt{\frac{1}{x} + 2} \) é \( -\frac{1}{2x\sqrt{\frac{1}{x} + 2}} \) 
usando a regra da cadeia. 
 
52. Problema: Calcule a integral definida de \( f(x) = e^{3x} \) de 0 a 1. 
 Resposta: \( \int_{0}^{1} e^{3x} \, dx = \left[\frac{1}{3}e^{3x}\right]_{0}^{1} = 
\frac{1}{3}e^3 - \frac{1}{3}e^0 = \frac{1}{3}e^3 - \frac{1}{3} \). 
 Explicação: Aplicamos o teorema fundamental do cálculo e calculamos a diferença das 
funções nos limites superior e inferior da integral. 
 
53. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \sin(2x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = 2\cos(2x) \).