AULA 02 DETERMINANTES

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AULA 02 - DETERMINANTES
Permutação: Seja S = {1,2,...,n}, com n ( IN* , ordenados em ordem crescente. Uma outra ordem 
{ j1,j2,...,jn } dos elementos de S é chamada de permutação de S.
Exemplo 1: S = {1,2,3,4}. Então 3214 é uma permutação de S, assim se formarmos todas as permutações possíveis com os elementos de S teremos 24 permutações, ou seja, 4! = 24. Generalizando n!.
 Exemplo 2: Seja S = {1,4,9}. Então S3 tem 3! = 6 permutações: 149, 419, 941, 194, 491, 914.
Uma permutação j1,j2,...,jn do conjunto S = {1,2,...,n} tem uma inversão se um inteiro jr precede um inteiro menor js. Uma permutação é dita par(ímpar) se o número total de inversões é par(ímpar). 
Exemplo 3: Seja S = {1,4,9}. Então a permutação 194 é ímpar, pois o 9 está antes do 4 (uma inversão).
A permutação 914 é par, pois o 9 está antes do 1 e do 4 (duas inversões).
Note que se n ( 2 Sn tem 
permutações pares e 
 ímpares. No exemplo anterior temos 3 permutações pares e 3 ímpares.
 
DETERMINANTES
Seja A =[aij ] uma matriz de quadrada. O determinante de A, cuja notação pode ser dada por det(A) ou por |A|, é determinado por:
,
Sendo o somatório tomado sobre todas as permutações 
 do conjunto 
S ={1,2, . . . , n}. O sinal da permutação é + se o número de inversões for par e será – se o número de inversões for ímpar. 
Se A é uma matriz de ordem 1 tem-se: A = [a11], então det A = a11
Se A é uma matriz de ordem 2 tem-se: , então det A = a11.a22 – a12.a21
	Produto elementar
	Permutação associada
	Par ou ímpar
	Produto elementar com sinal
	a11.a22
	(1,2)
	Par (0 inversões)
	+ a11.a22
	a12.a21
	(2,1)
	Ímpar (1 inversão)
	- a12.a21
Se a matriz A for de ordem três, usando o processo anterior tem-se a regra de Sarrus:
Dada uma matriz A quadrada de ordem três, repete-se à direita, a 1a e a 2a colunas, multiplicando os elementos seguindo cada diagonal, observando sempre o sinal, como no esquema:
 
 
 Temos então: det (A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a31 – a13a22a31 – a11a23a32 – a12a21a33
Exemplos:
1) Calcule o determinante da matriz 
 
2) Calcule o determinante da matriz 
Propriedades dos determinantes:
O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.
det(A) = det(AT)
 = 4 – 6 = -2 
 = 4 – 6 = - 2
Se uma matriz B é obtida de uma matriz A trocando-se duas linhas ou colunas de A, então:
det(B) = – det(A)
 = - 2 
 = 6 – 4 = 2
Se a matriz A tem uma linha ou uma coluna nula, então:
det(A) = 0
 = 0 
 = 0 
Se duas linhas ou colunas da matriz A são iguais ou proporcionais então:
det(A) = 0
 = 2 – 2 = 0 
 = 4 – 4 = 0 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se na matriz A uma linha (ou coluna) é uma combinação linear das demais linhas (ou colunas), então:
det(A) = 0
 = 0 pois L3 = 2L1 + L2
Se B é obtida multiplicando-se uma linha ou coluna de A por um número real “c”, então:
det(B) = c . det(A)
 = - 2 
 = 
 = 8 – 12 = -4
Seja A matriz quadrada de ordem n e k escalar ( R, então:
det(k.A) = kn . det(A)
 = - 2 
 = 
 = 16 – 24 = - 8, 
- 8 = ( 2)2. (-2), k = 2 e n = 2 
O determinante de um produto de matrizes é igual ao produto de seus determinantes, ou seja:
det(A.B) = det(A). det(B)
Se a matriz A é uma matriz triangular superior (ou inferior), então o determinante da matriz A é igual o produto dos elementos da diagonal principal, ou seja:
det(A) = a11 . a22 . a33 . . . ann
 = (- 1).1.4 = - 4 
Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada se descompõem em duas somas, então seu determinante é igual a soma dos determinantes que têm nessa linha ou coluna o primeiro e a segunda soma respectivamente, sendo os elementos restantes iguais aos determinantes iniciais.
Um determinante não se altera quando somamos, a uma fila, outra fila paralela previamente multiplicada por um número real diferente de zero.
 = - 2 se for feita a seguinte combinação linear L2 = - 3L1 + L2 tem-se o seguinte determinante 
 = - 2.
Cofator
Dada uma matriz A de ordem n, chama-se cofator de aij e indica-se Aij o número real obtido multiplicando-se (-1)i+j pelo determinante da matriz que se obtém da matriz A, excluindo-se a linha i e a coluna j do elemento aij.
Dada da matriz 
, calcule:
Os cofatores A13, A23 e A33
 
	
 
	 
Teorema de Laplace 
O determinante de uma matriz quadrada A é o número real obtido através da soma dos produtos dos elementos de uma linha (ou uma coluna), pelos seus respectivos cofatores.
Do exemplo anterior: a13.A13 + a23.A23 + a33.A33 , assim det(A) = 0.5 + 0.(- 5) + (- 2).5 = - 10
Regra de Chió
Escolhe-se o pivô (que precisa ser um número 1) e a partir dele se exclui sua linha e coluna;
Subtraia de cada elemento da nova matriz o produto dos elementos que pertenciam a sua linha e coluna e que foram retirados.
Multiplique o determinante da nova matriz por (-1)i+j, sendo i e j a posição do elemento pivô
O determinante a ser calculado possui o mesmo valor da matriz inicial e possui uma ordem a menos.
Obs: Caso não haja nenhum elemento 1 (um) na matriz divida uma fila por algum elemento de modo que apareça o elemento 1 e não se esqueça de multiplicar esse elemento ao resultado final do determinante
=? ( 
b) 
 ( 
 = 
 = - 10
Triangularização: 
Calcula-se o determinante transformando a matriz dada em uma matriz triangular.
 ( C2 = -3.C1 + C2 ( 
 = - 10
Determinante de Vandermonde 
 
Exercícios:
1) Seja a matriz 
 , calcule o det(A) utilizando:
a) Regra de Sarrus
b) Teorema de Laplace
c) Triangularização
 
d) Regra de Chió
2) Calcule os determinantes a seguir:
a) 
 b) 
3) Resolva a equação 
4) Calcule o determinante 
LISTA DE EXERCÍCIOS DE DETERMINANTES
1) Calcule os determinantes: 
, 
, 
2) Calcule o determinante a seguir usando a regra de Sarrus, a regra de Chió, o teorema de Laplace e o método da triangularização.
3) Calcule o determinante a seguir usando a regra de Chio, o teorema de Laplace e o método da triangularização.
4) Calcule os determinantes:
a) 
 b) 
5) Se det
, calcule o valor do det
.
6) Sobre os elementos da matriz 
 sabe-se que (x1,x2,x3,x4) e (y1,y2,y3,y4) são duas progressões geométricas de razão 3 e 4 e soma 80 e 255 respectivamente. Calcule o determinante da matriz A.
7) Sejam a, b, c e d números reais não nulos. Exprima o valor do determinante da matriz:
na forma de um produto de números reais.
8) Resolva as equações:
	b) 
 c) 
= -8
9) Resolva a equação 
10) Resolva a equação 
RESPOSTAS
1) a) 13 b) – 15 c) 90 
2) 35 3) 198 
4) a) 275 b) 120
5) 12 6) - 72 7) (b - a) . (c - a) . (d - a) . (c - b) . (d - b) . (d - c).
8) a) 
 b) 
 c) x = - 2
9) (1 = 3, (2 = 6, (3 = 9
10) (1 = 2, (2 = 3, (3 = 6
 
Mantém o sinal
Troca o sinal
� EMBED Equation.3 ���
�PAGE �
�PAGE �1�
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