Resumo de Séries Infinitas

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G r u p o M a t e m á t i c o s 
Ματ ξΜατγκφ δ 
 
http://groups.google.com/group/matematicafema 
E~mail: matematicafema@googlegroups.com 
 
 
 
 
Luiz Francisco Batista Sampaio 
sanuzukesagara@gmail.com 
Séries Infinitas 
 
Definição de Série Infinita: Se { }nu é uma seqüência e 
n 1 2 3 ns u u u . . . u= + + + + 
então { }nu é uma seqüência de somas parciais denominada série infinita e se denota por 
n 1 2 3 n
n 1
u u u u . . . u . . .
+∞
=
= + + + + +∑ 
Os números 1u , 2u , 3u , ... , nu , ... são os termos da série infinita. 
 
Definição da soma de uma Série Infinita: Considere que n
n 1
u
+∞
=
∑ denota uma série infinita dada para 
a qual { }ns é a seqüência de somas parciais. Se n
x
l im s
→+∞
 existe e é igual a S, então a série converge e S 
é a soma da série. Se n
x
l im s
→+∞
 não existe, então a série é divergente, e a série não tem soma. 
 
Teorema: Seja c qualquer constante diferente de 0 
• Se a série n
n 1
u
+∞
=
∑ é convergente e sua suma é S, então a série n
n 1
cu
+∞
=
∑ , também é convergente e 
sua soma é c . S. 
• Se a série n
n 1
u
+∞
=
∑ é divergente, então a série n
n 1
cu
+∞
=
∑ , também é divergente. 
 
Teorema: Se n
n 1
a
+∞
=
∑ e n
n 1
b
+∞
=
∑ são séries infinitas convergentes cujas somas são S e T, respectivamente, 
então 
• ( )n n
n 1
a b
+∞
=
+∑ é uma série convergente e sua suma é S + T. 
• ( )n n
n 1
a b
+∞
=
−∑ é uma série convergente e sua soma é S + T. 
 
Teorema: Se a série n
n 1
a
+∞
=
∑ é convergente e a série n
n 1
b
+∞
=
∑ é divergente, então ( )n n
n 1
a b
+∞
=
±∑ é uma série 
divergente. 
 
Administrador
Tachar
Administrador
Tachar
G r u p o M a t h e m a t h y k o s 
Ματ ξΜατγκφ δ 
 
 
 
 
- 2 
“A matemática foi o alfabeto criado por Deus para descrever o Universo.” – Galileu Galilei 
Teorema: Se n
n 1
u
+∞
=
∑ é uma série convergente de termos positivos, então seus termos podem ser 
reagrupados de qualquer maneira, de modo que a série resultante, também será convergente e terá a 
mesma soma da série original. Definição de Função: Se n
n 1
u
+∞
=
∑ é uma série convergente de termos 
positivos, então a ordem dos termos podem ser modificados, e a série resultante também será 
convergente e terá a mesma soma da série original. 
 
Teorema: Se n
n 1
a
+∞
=
∑ e n
n 1
b
+∞
=
∑ são séries infinitas, que diferem unicamente em seus primeiros m termos 
(é dizer, k ka b= se k m> ), então as duas séries são convergentes ou ambas são divergentes. 
 
Teorema: uma série infinita de termos positivos é convergente se, e somente se, sua seqüência de 
somas parciais tiver um limitante superior. 
 
Definição de Série Alternada: 
Se na 0> para todos os números inteiros positivos n, então a série 
 
 ( ) ( )n 1 n 1n 1 2 3 4 n
n 1
1 a a a a a . . . 1 a . . .
+∞
+ +
=
− = − + − + − − +∑ 
 
e a série 
 
( ) ( )n nn 1 2 3 4 n
n 1
1 a a a a a . . . 1 a . . .
+∞
=
− = − + − + − + − +∑ 
 
denominam-se séries alternadas 
 
Definição do Erro depois de k termos: 
Se uma série infinita é convergente e sua soma é S, então o erro depois de k termos, se obtém ao 
aproximar a soma da série mediante a k-éssima soma parcial ks , denotado por kR é 
k nR S s= − 
 
Teorema: Considere a série alternada ( )n 1 n
n 1
1 a
+∞
+
=
−∑ ou ( )n n
n 1
1 a
+∞
=
−∑ , aonde na 0> e n 1 na a+ > para 
todos os números inteiros positivos n. Se n
x
l im a 0
→+∞
= . Se kR é o erro obtido ao aproximar a soma da 
série mediante a soma dos primeiros k termos, então k k 1R a +< . 
 
G r u p o M a t h e m a t h y k o s 
Ματ ξΜατγκφ δ 
 
 
 
 
- 3 
“A matemática foi o alfabeto criado por Deus para descrever o Universo.” – Galileu Galilei 
Definição de Convergência Absoluta: A série infinita n
n 1
u
+∞
=
∑ é absolutamente convergente se a série 
n
n 1
u
+∞
=
∑ é convergente. 
 
Definição de Convergência Condicional: uma série é convergente, mas não absolutamente 
convergente, se denomina condicionalmente convergente. 
 
Teorema: Se a série n
n 1
u
+∞
=
∑ é convergente, então a série n
n 1
u
+∞
=
∑ é convergente. 
 
 
 
 
Critérios de Convergência 
 
Teorema: Se a série infinita n
n 1
u
+∞
=
∑ é convergente, então n
x
l im u 0
→+∞
= . 
 
Teorema: Se a série harmônica 
n 1
1
n
+∞
=
∑ é divergente. 
 
Teorema: Se a série geométrica n 1 2 n 1
n 1
a r a a r a r . . . a r . . .
+∞
− −
=
= + + + + +∑ é convergente para ( )
a
1 r−
 se 
r 1< e é divergente si r 1≥ . 
 
Teorema: Critério de Comparação 
Seja a série n
n 1
u
+∞
=
∑ uma série de termos positivos 
• Se n
n 1
v
+∞
=
∑ é uma série de termos positivos que é convergente, e n nu v≤ para todos os números 
inteiros positivos n, então n
n 1
u
+∞
=
∑ é convergente. 
• Se n
n 1
w
+∞
=
∑ é uma série de termos positivos que é divergente, e n nu w≥ para todos os números 
inteiros positivos n, então n
n 1
u
+∞
=
∑ é divergente. 
 
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Ματ ξΜατγκφ δ 
 
 
 
 
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“A matemática foi o alfabeto criado por Deus para descrever o Universo.” – Galileu Galilei 
Teorema: Critério de Comparação por Limite 
Seja as série n
n 1
u
+∞
=
∑ e n
n 1
v
+∞
=
∑ duas séries de termos positivos 
• Se n
x
n
u
l im c 0
v→+∞
= > , então as séries são convergentes ou ambas as séries são divergentes. 
• Se n
x
n
u
l im 0
v→+∞
= , e se n
n 1
v
+∞
=
∑ é uma série convergente, então n
n 1
u
+∞
=
∑ é uma série convergente. Se 
n
n 1
v
+∞
=
∑ é uma série divergente nada podemos concluir. 
• Se n
x
n
u
l im
v→+∞
= +∞ , e se n
n 1
v
+∞
=
∑ é uma série divergente, então n
n 1
u
+∞
=
∑ é uma série divergente. Se 
n
n 1
v
+∞
=
∑ é uma série convergente nada podemos concluir. 
 
Teorema: Critério da Integral 
Seja f uma função continua, decrescente, e de valores positivos para todo x 1≥ . Então a série infinita 
( ) ( ) ( ) ( )
n 1
f (n) f 1 f 2 f 3 . . . f n . . .
+∞
=
= + + + + +∑ 
é convergente se a integral 
1
f (x)d x
+∞
∫ existe, e é divergente si 
b
b
1
l im f (x)d x
→∞
= +∞∫ . 
 
Teorema: Critério da Série Alternada 
Suponha que se tem a série alternada ( )n 1 n
n 1
1 a
+∞
+
=
−∑ ou ( )n n
n 1
1 a
+∞
=
−∑ , aonde na 0> e n 1 na a+ > para 
todos os números inteiros positivos n. Se n
x
l im a 0
→+∞
= , então a série alternada é convergente. 
 
Teorema: Critério da Razão 
Seja as série n
n 1
u
+∞
=
∑ uma série infinita para a qual cada nu é diferente de zero: 
• Se n 1
x
n
u
l im L 1
u
+
→+∞
= < , então a série é absolutamente convergente. 
• Se n 1
x
n
u
l im L 1
u
+
→+∞
= > ou se n 1
x
n
u
l im
u
+
→+∞
= +∞ então a série é divergente. 
• Se n 1
x
n
u
l im 1
u
+
→+∞
= , não se pode concluir nada acerca da convergência a partir deste critério. 
 
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- 5 
“A matemática foi o alfabeto criado por Deus para descrever o Universo.” – Galileu Galilei 
Teorema: Critério da Raiz 
Seja as série n
n 1
u
+∞
=
∑ uma série infinita para a qual cada nu é diferente de zero: 
• Se n n 1
x
l im u L 1+→+∞
= < , então a série é absolutamente convergente. 
• Se n n 1
x
l im u L 1+→+∞= > ou se n n 1
x
l im u +→+∞
= +∞ então a série é divergente. 
• Se n n 1
x
l im u 1+→+∞
= , não se pode concluir nada acerca da convergência a partir deste critério. 
 
Teorema: Critério Raabe´s 
Seja as série n
n 1
u
+∞
=
∑ uma série infinita dada para o qual n
x
n 1
u
l im 1
u→+∞ +
= . Então: 
• Se n 1
x
n
u
l im n 1 P 1
u
+
→+∞
 
− = >  
 
 ou n 1
x
n
u
l im n 1
u
+
→+∞
 
− = +∞  
 
 então a série é absolutamente 
convergente. 
• Se n 1
x
n
u
l im n 1 P 1
u
+
→+∞
 
− = <  
 
 ou n 1
x
n
u
l im n 1
u
+
→+∞
 
− = −∞  
 
então a série é divergente. 
• Se n 1
x
n
u
l im n 1 1
u
+
→+∞
 
− =  
 
 ou n 1
x
n
u
l im n 1
u
+
→+∞
 
− = ∃  
 
, não se pode concluir nada acerca da 
convergência a partir deste critério. 
 
Resumos dos Critérios de Convergência e Divergência de Séries Infinitas 
 
A fim de adquirir destreza no reconhecimento e aplicação do critério apropriado, se requer 
considerável pratica, a qual se obtém realizando vários exercícios. Como ajuda, são listados abaixo 
algum passos e se aconselha que sejam aplicados na ordem indicada. Se algum passo em particular não 
é aplicável o não pode levá-lo a nenhuma conclusão, continue com o próximo passo. Algumas vezes 
poderá ser aplicado mais de um critério, contudo, deve-se aplicar o mais eficaz. 
 
Modelo I 
 
1-) Calcule o n
x
l im u
→+∞
. Se n
x
l im u 0
→+∞
≠ , então a série diverge. Se n
x
l im u 0
→+∞
= , não se pode concluir nada 
através deste passo; 
 
2-) Examine a série a fim de determinar se corresponde a um dos seguintes tipos especiais: 
• Uma serie geométrica; n 1
n 1
a r
+∞
−
=
∑ . Convergente para ( )
a
1 r−
 se r 1< . Divergente si r 1≥ ; 
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“A matemática foi o alfabeto criado por Deus para descrever o Universo.” – Galileu Galilei 
• Uma p-série: 
p
n 1
1
n
+∞
=
∑ (aonde p é uma constante). Convergente se p 1> . Divergente se p 1≤ ; 
• Uma série alternada: ( )n 1 n
n 1
1 a
+∞
+
=
−∑ ou ( )n n
n 1
1 a
+∞
=
−∑ . Aplique o critério da série alternada: se 
na 0> e n 1 na a+ > para todos os números inteiros positivos n. Se n
x
l im a 0
→+∞
= , então a série 
alternada é convergente. 
 
3-) Aplique o critério da razão: seja as série n
n 1
u
+∞
=
∑ uma série infinita para a qual cada nu é diferente 
de zero: 
• Se n 1
x
n
u
l im L 1
u
+
→+∞
= < , então a série é absolutamente convergente. 
• Se n 1
x
n
u
l im L 1
u
+
→+∞
= > ou se n 1
x
n
u
l im
u
+
→+∞
= +∞ então a série é divergente. 
• Se n 1
x
n
u
l im 1
u
+
→+∞
= , não se pode concluir nada acerca da convergência a partir deste critério. 
 
5-) Aplique o critério da integral: seja f uma função continua, decrescente, e de valores positivos para 
todo x 1≥ . Então a série infinita 
( ) ( ) ( ) ( )
n 1
f (n) f 1 f 2 f 3 . . . f n . . .
+∞
=
= + + + + +∑ 
é convergente se a integral 
1
f (x)d x
+∞
∫ existe, e é divergente si 
b
b
1
l im f (x)d x
→∞
= +∞∫ . 
 
6-) Aplique o critério de comparação: seja a série n
n 1
u
+∞
=
∑ uma série de termos positivos 
• Se n
n 1
v
+∞
=
∑ é uma série de termos positivos que é convergente, e n nu v≤ para todos os números 
inteiros positivos n, então n
n 1
u
+∞
=
∑ é convergente. 
• Se n
n 1
w
+∞
=
∑ é uma série de termos positivos que é divergente, e n nu w≥ para todos os números 
inteiros positivos n, então n
n 1
u
+∞
=
∑ é divergente. 
 
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“A matemática foi o alfabeto criado por Deus para descrever o Universo.” – Galileu Galilei 
7-) Aplique o teste de comparação por limite: seja as série n
n 1
u
+∞
=
∑ e n
n 1
v
+∞
=
∑ duas séries de termos 
positivos 
• Se n
x
n
u
l im c 0
v→+∞
= > , então as séries são convergentes ou ambas as séries são divergentes. 
• Se n
x
n
u
l im 0
v→+∞
= , e se n
n 1
v
+∞
=
∑ é uma série convergente, então n
n 1
u
+∞
=
∑ é uma série convergente. Se 
n
n 1
v
+∞
=
∑ é uma série divergente nada podemos concluir. 
• Se n
x
n
u
l im
v→+∞
= +∞ , e se n
n 1
v
+∞
=
∑ é uma série divergente, então n
n 1
u
+∞
=
∑ é uma série divergente. Se 
n
n 1
v
+∞
=
∑ é uma série convergente nada podemos concluir. 
 
Modelo II 
 
A seguintes etapas podem ser freqüentemente utilizadas para determinar se uma serie infinita n
n 1
u
+∞
=
∑ é 
convergente ou divergente: 
 
1-) se n 1nu a r
−= , sendo a 0≠ , é uma série geométrica, onde: 
• Se r 1< , a série é convergente e sua soma é 
a
1 r−
; 
• Se r 1≥ , a série é divergente. 
 
2-) Se n n n 1u a a −= − e n
x
l ima 0
→∞
= , então utilizar o método do encurtamento da série (telescoping serie) 
e cuja soma é 0a . 
 
3-) Se n p
a
u
n
= , sendo a 0≠ , a série é uma constante multiplicada por uma p-série. 
• Se p 1> , a série é convergente; 
• Se p 1≤ , a série é divergente. 
 
4-) Calculando n
x
l im u L
→+∞
= 
• Se L 0≠ , a série é divergente; 
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“A matemática foi o alfabeto criado por Deus para descrever o Universo.” – Galileu Galilei 
• Se L 0= e a série é uma série alternada, aplica-se o critério da série alternada: se n 1 nu u+ ≤ 
para todo n pertencente aos inteiros positivos, a série alternada é convergente. Caso contrário 
nada pode se concluir. 
 
5-) Se nu contem os fatores n! ou 
na , aplica-se o critério da razão. Calculando n 1
x
n
u
l im L
u
+
→+∞
= : 
• Se L = ∃ , nada se pode concluir; 
• Se L 1< , a serie é absolutamente convergente; 
• Se L 1> ou L = +∞ , a série é divergente; 
• Se L 1= , aplica-se o critério de Raabe’s. Calculando n
x
n 1
u
l im n 1 P
u→+∞ +
 
− =  
 
: 
o Se P 1> ou P = +∞ , a serie é absolutamente convergente; 
o Se P 1< ou P = −∞ , a serie é divergente; 
o Se P 1= ou P∃ nada se pode concluir. 
 
6-) Se nu contem os fatores 
nn , aplica-se o critério da raiz. Calculando n n 1
x
l im u L+→+∞
= 
• Se L 1< , a série é absolutamente convergente; 
• Se L 1> ou L = +∞ , a série é divergente; 
• Se L 1= ou L∃ ^, nada se pode concluir. 
 
7-) Se nu 0> para todo n pertencente aos inteiros positivos, aplica-se o critério por comparação ou o 
critério de comparação por limite comparando-a com uma p-série ou uma série geométrica. 
• Critério de Comparação: Seja a série n
n 1
u
+∞
=
∑ uma série de termos positivos 
o Se n
n 1
v
+∞
=
∑ é uma série de termos positivos que é convergente, e n nu v≤ para todos os 
números inteiros positivos n, então n
n 1
u
+∞
=
∑ é convergente. 
o Se n
n 1
w
+∞
=
∑ é uma série de termos positivos que é divergente, e n nu w≥ para todos os 
números inteiros positivos n, então n
n 1
u
+∞
=
∑ é divergente. 
• Critério de Comparação por Limite: Seja as série n
n 1
u
+∞
=
∑ e n
n 1
v
+∞
=
∑ duas séries de termos 
positivos 
o Se n
x
n
u
l im c 0
v→+∞
= > , então as séries são convergentes ou ambas as séries são divergentes. 
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- 9 
“A matemática foi o alfabeto criado por Deus para descrever o Universo.” – GalileuGalilei 
o Se n
x
n
u
l im 0
v→+∞
= , e se n
n 1
v
+∞
=
∑ é uma série convergente, então n
n 1
u
+∞
=
∑ é uma série 
convergente. Se n
n 1
v
+∞
=
∑ é uma série divergente nada podemos concluir. 
o Se n
x
n
u
l im
v→+∞
= +∞ , e se n
n 1
v
+∞
=
∑ é uma série divergente, então n
n 1
u
+∞
=
∑ é uma série 
divergente. Se n
n 1
v
+∞
=
∑ é uma série convergente nada podemos concluir. 
8-) Se nu 0> para todo n pertencente aos inteiros positivos, use o critério da integral. Sendo 
nf (n) u= , se f uma função continua, decrescente para x a 1≥ ≥ , então n
n 1
u
+∞
=
∑ é convergente se, e 
somente se, 
a
f (x)d x
+∞
∫ existir.