Avaliaçã0 Geometria Analítica e Algebra Linear P04

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AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
CADERNO DE PERGUNTAS 
curso: Engenharia de Computação/Produção bimestre: 3º bimestre ano: 2018 | 2sem 
CÓDIGO DA PROVA 
P4 
• Preencha atentamente o cabeçalho de TODAS AS FOLHAS DE RESPOSTA que você utilizar. 
• Ao término da prova, entregue apenas a folha de resposta ao aplicador. Leve este caderno de 
perguntas consigo. 
Boa prova! 
disciplina: MGA001 – Geometria Analítica e Álgebra Linear 
 
• É permitido o uso de formulário impresso. 
 
Questão 1 (3,0 pontos: 1,0 ponto cada item) 
Sejam o plano 𝜋𝜋, de equação geral 𝜋𝜋: 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 2𝑧𝑧 = 3, e pontos 𝑃𝑃 = (2,2,1) e 𝑄𝑄 = (1, 2, 0): 
a) calcule 𝑑𝑑(𝑃𝑃,𝑄𝑄) e 𝑑𝑑(𝑃𝑃,𝜋𝜋); 
b) determine uma equação vetorial da reta 𝑠𝑠, perpendicular ao plano 𝜋𝜋 e que contenha o ponto 𝑃𝑃; 
c) determine uma equação vetorial da reta 𝑟𝑟, concorrente com a reta 𝑠𝑠, paralela ao plano 𝜋𝜋 e que 
contenha o ponto 𝑄𝑄. 
 
 
Questão 2 (2,5 pontos: 0,5 ponto item a; b e c 1,0 ponto cada) 
Seja 𝑇𝑇:𝑅𝑅2 → 𝑅𝑅2 a transformação linear dada por 𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = (2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦, 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦): 
a) determine [𝑇𝑇]𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶, a matriz de 𝑇𝑇 na base canônica de 𝑅𝑅2; 
b) encontre os autovalores e os autovetores de 𝑇𝑇; 
c) encontre a única solução do sistema diferencial 𝑋𝑋´(𝑡𝑡) = [𝑇𝑇]𝑐𝑐𝐶𝐶𝐶𝐶 .𝑋𝑋(𝑡𝑡), que verifica as condições 
iniciais 𝑋𝑋(0) = (5, 0), onde 𝑋𝑋(𝑡𝑡) = (𝑥𝑥(𝑡𝑡),𝑦𝑦(𝑡𝑡)) e 𝑥𝑥,𝑦𝑦:𝑅𝑅 → 𝑅𝑅 são funções de classe 𝐶𝐶1. 
 
 
Questão 3 (2,5 pontos: 0,5 ponto cada item) 
Para cada uma das afirmações abaixo, responda se ela é verdadeira (V) ou falsa (F). 
a) Todo subconjunto de 𝑅𝑅3, com três vetores distintos, é um gerador para 𝑅𝑅3. 
b) Se 𝐴𝐴 = {𝑢𝑢1,𝑢𝑢2,𝑢𝑢3,𝑢𝑢4} é um subconjunto L.I. em um espaço vetorial 𝑈𝑈, então 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑈𝑈 = 4. 
c) Existe 𝑇𝑇:𝑃𝑃3(𝑅𝑅) → 𝑃𝑃3(𝑅𝑅) uma aplicação linear tal que dim (𝑁𝑁(𝑇𝑇)) = dim (𝐼𝐼𝑑𝑑(𝑇𝑇)). 
d) Se 𝐴𝐴 é uma matriz invertível, então 𝛼𝛼 = 0 é autovalor de 𝐴𝐴. 
e) Se 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶𝐴𝐴 é um tetraedro qualquer, então seu volume pode ser dado por 1
6
��𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗ ,𝐴𝐴𝐶𝐶�����⃗ ,𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗ ��. 
 
 
Questão 4 (2,0 pontos) 
Considere os vetores 𝑢𝑢�⃗ = (1, 1, 𝑥𝑥); �⃗�𝑣 = (2, 𝑥𝑥, 𝑥𝑥) e 𝑤𝑤��⃗ = (1, 0, 6) de 𝑅𝑅3. Os valores de 𝑥𝑥 para os quais {𝑢𝑢�⃗ , �⃗�𝑣,𝑤𝑤��⃗ } é 
L.I. ou 𝑢𝑢�⃗ ⊥ 𝑤𝑤��⃗ são, respectivamente: 
a) 𝑥𝑥 ≠ 1 e 𝑥𝑥 ≠ 2, ou 𝑥𝑥 = −1
6
. 
b) 𝑥𝑥 ≠ 3 e 𝑥𝑥 ≠ 4, ou 𝑥𝑥 = 1
6
. 
c) 𝑥𝑥 ≠ −3 e 𝑥𝑥 ≠ −4, ou 𝑥𝑥 = 1
6
. 
d) 𝑥𝑥 ≠ 3 e 𝑥𝑥 ≠ 4, ou 𝑥𝑥 = −1
6
. 
2 
 
e) 𝑥𝑥 ≠ −3 e 𝑥𝑥 ≠ 2, ou 𝑥𝑥 = 1
6
. 
 
 
𝑑𝑑(𝐴𝐴, 𝑠𝑠) = �𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗ ˄𝑠𝑠�
‖𝑠𝑠‖
 𝑑𝑑(𝜋𝜋,𝜃𝜃) = |𝑎𝑎𝑥𝑥0 + 𝑏𝑏𝑦𝑦0 + 𝑐𝑐𝑧𝑧0 + 𝑑𝑑|
√𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 
𝑑𝑑(𝑃𝑃,𝜋𝜋) = |𝑎𝑎𝑥𝑥0 + 𝑏𝑏𝑦𝑦0 + 𝑐𝑐𝑧𝑧0 + 𝑑𝑑|
√𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 𝑑𝑑(𝜋𝜋,𝜃𝜃) = |𝑑𝑑1 − 𝑑𝑑2|√𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 
𝑑𝑑(𝑃𝑃,𝜋𝜋) = ��𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗ ,𝐴𝐴𝐶𝐶�����⃗ ,𝐴𝐴𝑃𝑃�����⃗ ��
�𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗ ˄𝐴𝐴𝐶𝐶�����⃗ �
 [𝑇𝑇]𝐵𝐵 = 𝑀𝑀−1[𝑇𝑇]𝐹𝐹𝑀𝑀 
𝑑𝑑(𝑟𝑟, 𝑠𝑠) = �𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗ ˄𝑠𝑠�
‖𝑠𝑠‖
 𝑝𝑝𝑇𝑇(𝑡𝑡) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡([𝑇𝑇]𝐵𝐵 − 𝑡𝑡𝐼𝐼𝐶𝐶) 
𝑑𝑑(𝑟𝑟, 𝑠𝑠) = ��𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗ , 𝑟𝑟, 𝑠𝑠��
‖𝑟𝑟˄𝑠𝑠‖
 𝑉𝑉(𝜆𝜆) = 𝑁𝑁(𝑇𝑇 − 𝜆𝜆𝐼𝐼) 
 
 
FORMULÁRIO 
 
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GABARITO 
curso: Engenharia de Computação/Produção bimestre: 3º bimestre P4 
 
Questão 1 
a) 𝑑𝑑(𝑃𝑃,𝑄𝑄) = �𝑃𝑃𝑄𝑄�����⃗ � = �(1 − 2)2 + (2 − 2)2 + (0 − 1)2 = √1 + 0 + 1 = √2 
𝑑𝑑(𝑃𝑃,𝜋𝜋) = |1.2 − 1.2 + 2.1 − 3|
�12 + (−1)2 + 22 = 1√6 = √66 
 
b) O vetor 𝑛𝑛�⃗ = (1,−1, 2) é ortogonal ao plano 𝜋𝜋. Assim, ele possui a direção da reta 𝑠𝑠 e como 𝑃𝑃 é um ponto 
de 𝑠𝑠, temos que 𝑠𝑠:𝑋𝑋 = 𝑃𝑃 + 𝛼𝛼𝑛𝑛�⃗ = (2, 2, 1) + 𝛼𝛼(1,−1, 2); 𝛼𝛼 ∈ 𝑅𝑅. 
 
c) Como 𝑟𝑟 deve conter o ponto 𝑄𝑄, sua equação é da forma 𝑟𝑟:𝑋𝑋 = 𝑄𝑄 + 𝛽𝛽𝑟𝑟, onde o vetor 𝑟𝑟 é de tal forma que 
as retas sejam ortogonais, pois queremos 𝑟𝑟 paralela ao plano 𝜋𝜋. Para isso, vamos encontrar um ponto 
𝑁𝑁 ∈ 𝑠𝑠 tal que 𝑄𝑄𝑁𝑁������⃗ ⊥ 𝑠𝑠, e então basta escolher 𝑟𝑟 como qualquer múltiplo, não nulo, de 𝑄𝑄𝑁𝑁������⃗ . 
Dessa forma, as retas 𝑟𝑟 e 𝑠𝑠 serão concorrentes no ponto 𝑁𝑁. 
Se 𝑁𝑁 ∈ 𝑠𝑠, 𝑁𝑁 = (2 + 𝛼𝛼, 2 − 𝛼𝛼, 1 + 2𝛼𝛼) para algum 𝛼𝛼 ∈ 𝑅𝑅, teremos: 
𝑄𝑄𝑁𝑁������⃗ = (2 + 𝛼𝛼, 2 − 𝛼𝛼, 1 + 2𝛼𝛼) − (1, 2, 0) = (𝛼𝛼 + 1,−𝛼𝛼, 2𝛼𝛼 + 1) 
𝑄𝑄𝑁𝑁������⃗ ⊥ 𝑠𝑠 ⟺ 𝑄𝑄𝑁𝑁������⃗ . 𝑠𝑠 = 0 ⟺ (𝛼𝛼 + 1,−𝛼𝛼, 2𝛼𝛼 + 1). (1,−1, 2) = 0 ⟺ 𝛼𝛼 + 1 + 𝛼𝛼 + 4𝛼𝛼 + 2 = 0 
Logo, 𝛼𝛼 = −1
2
, e portanto, 𝑄𝑄𝑁𝑁������⃗ = (1
2
, 1
2
, 0). 
 Assim, uma possível equação para a reta 𝑟𝑟 é: 𝑟𝑟:𝑋𝑋 = (1, 2, 0) + 𝛽𝛽(1, 1, 0),𝛽𝛽 ∈ 𝑅𝑅. 
 (Escolhi 𝑟𝑟 = 2.𝑄𝑄𝑁𝑁������⃗ ). 
 
Questão 2 
a) Vamos calcular 𝑇𝑇 nos vetores da base canônica de 𝑅𝑅2: 
𝑇𝑇(1,0) = (2, 2) e 𝑇𝑇(0,1) = (3, 1), logo [𝑇𝑇]𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = �2 32 1�. 
 
b) Vamos calcular os autovalores de 𝑇𝑇: 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 �2 − 𝑡𝑡 32 1 − 𝑡𝑡� = (2 − 𝑡𝑡)(1 − 𝑡𝑡) − 6 = 0 ⇒ 𝑡𝑡2 − 3𝑡𝑡 − 4 = 0 ⇒ �𝑡𝑡 = −1𝑡𝑡 = 4 . 
Agora, vamos calcular os autovetores de 𝑇𝑇. 
𝑉𝑉(−1): �2 32 1� �𝑥𝑥𝑦𝑦� = −1. �𝑥𝑥𝑦𝑦� ⇒ �2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = −𝑥𝑥2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = −𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥, logo 𝑉𝑉(−1) = [(1,−1)] (ou qualquer vetor 
não nulo múltiplo deste, ou seja, com a 2ª coordenada igual a −1 vezes a 1ª coordenada). 
𝑉𝑉(4): �2 32 1� �𝑥𝑥𝑦𝑦� = 4. �𝑥𝑥𝑦𝑦� ⇒ �2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 4𝑦𝑦 ⇒ 𝑦𝑦 = 23 𝑥𝑥, logo 𝑉𝑉(4) = [(3, 2)] (ou qualquer vetor não 
nulo múltiplo deste, ou seja, em que a 2ª coordenada é 2
3
 vezes a 1ª coordenada). 
 
c) O sistema diferencial 𝑋𝑋´(𝑡𝑡) = [𝑇𝑇]𝑐𝑐𝐶𝐶𝐶𝐶 .𝑋𝑋(𝑡𝑡) é, então, 𝑆𝑆: �𝑥𝑥´(𝑡𝑡)𝑦𝑦´(𝑡𝑡)� = �2 32 1� . �𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑦𝑦(𝑡𝑡)�; ou seja, 
𝑆𝑆: �𝑥𝑥´(𝑡𝑡) = 2𝑥𝑥(𝑡𝑡) + 3𝑦𝑦(𝑡𝑡)
𝑦𝑦´(𝑡𝑡) = 2𝑥𝑥(𝑡𝑡) + 𝑦𝑦(𝑡𝑡) , com a condição inicial 𝑋𝑋(0) = (5, 0). 
Por a e b, temos a solução geral: 𝑋𝑋(𝑡𝑡) = 𝑎𝑎𝑑𝑑−𝑡𝑡(1,−1) + 𝑏𝑏𝑑𝑑4𝑡𝑡(3, 2) ⇔ �𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑎𝑎𝑑𝑑−𝑡𝑡 + 3𝑏𝑏𝑑𝑑4𝑡𝑡 
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = −𝑎𝑎𝑑𝑑−𝑡𝑡 + 2𝑏𝑏𝑑𝑑4𝑡𝑡, impondo 
as condições iniciais: �𝑥𝑥(0) = 𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏 = 5 
𝑦𝑦(0) = −𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 = 0 ⇒ �𝑎𝑎 = 2𝑏𝑏 = 1. 
disciplina: MGA001 – Geometria Analítica e Álgebra Linear 
4 
 
Assim, a solução procurada é �𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 2𝑑𝑑−𝑡𝑡 + 3𝑑𝑑4𝑡𝑡 
𝑦𝑦(𝑡𝑡) = −2𝑑𝑑−𝑡𝑡 + 2𝑑𝑑4𝑡𝑡. 
Obs.: no item c, não importa qual autovetor seja escolhido, a resposta é sempre a mesma. 
 
Questão 3 
a) F 
b) F 
c) V 
d) F 
e) V 
 
Questão 4 {𝑢𝑢�⃗ , �⃗�𝑣,𝑤𝑤��⃗ } é L. I.⟺ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 �1 1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥 𝑥𝑥1 0 6� ≠ 0 ⟺ 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2 + 6(𝑥𝑥 − 2) ≠ 0 ⟺ 𝑥𝑥2 − 7𝑥𝑥 + 12 ≠ 0 ⟺ �𝑥𝑥 ≠ 3𝑥𝑥 ≠ 4. 
𝑢𝑢�⃗ ⊥ 𝑤𝑤��⃗ ⟺ 𝑢𝑢�⃗ .𝑤𝑤��⃗ = 0 ⟺ 1 + 6𝑥𝑥 = 0 ⟺ 𝑥𝑥 = − 1
6
. 
 
Alternativa D, 2,0 pontos. 
Alternativas A ou B, 1,0 ponto.