Geometria analitica e Algebra Linear

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Geometria Analítica e Álgebra Linear - Unifran 
 
I 
Questão 1 
 
A soma dos vetores indicados no hexágono regular abaixo é: 
 
 
 
a) AD 
b) AE 
c) DB 
d) BE 
e) EA 
 
 
Questão 2 
 
sabe se que u e v são vetores não nulos paralelos e de sentidos opostos. O 
ângulo formado entre eles mede: 
 
Resposta: 180 ° 
 
 
Questão 3 
 
A soma dos vetores indicados no tetraedro a seguir é: 
 
a) BA 
b) CD 
c) AD 
d) AC 
e) DB 
 
Questão 4 
Do triângulo abc, sabe-se que cm = ½ cb e cn = 1/3 cb. as expressões dos 
vetores na e am em função de ac e ab são respectivamente: 
 
 
 
 
AN = AC + CN 
 
CN = (1/3).CB 
 
AN = AC + (1/2).CB 
 
CB = CA + AB 
 
AN = AC + (1/3).( CA + AB ) 
 
AN = ( 3AC + CA + AB )/3 
 
CA = - AC 
 
AN = ( 3AC - AC + AB )/3 
 
AN = ( 2AC + AB )/3 
 
AN = (2/3).AC + (1/3).AB 
x x x x x 
AM = AC + CM 
 
CM = (1/2).CB 
 
AM = AC + (1/2).CB 
 
CB = CA + AB 
 
AM = AC + (1/2).( CA + AB ) 
 
AM = ( 2AC + CA + AB )/2 
 
CA = - AC 
 
AM = ( 2AC - AC + AB )/2 
 
AM = ( AC + AB )/2 
AM = (1/2).( AC + AB ) 
 
Resposta: 
 
AN = (2/3).AC + (1/3).AB e AM = (1/2).( AC + AB ) 
 
 
II 
 
Questão 1 
A distância do ponto A (2,3,-2) ao plano xy é: 
 
 a. 1 
 b. 3 
 c. 5 
 d. 0 
 e. 2 
 
 
Questão 2 
 
Dado o vetor u= (-3,4) o resultado de u/ modulo de u e? 
 
Calculamos o módulos (a rigor, norma) de um vetor do seguinte modo: 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
Com isso: 
 
 
 
 
Questão 3 
O ponto inicial do segmento orientado que representa o vetor v= (2,-1), 
sabendo que sua extremidade está em (-2,4) é: 
a - (4, -5) 
b - (-4, 5) 
c - (4, 5) 
d - (5, 4) 
e - (-5, 4) 
 
O ponto inicial do segmento orientado que representa o vetor v é (-4, 5). 
Alternativa b) 
O vetor v = (2, -1) é obtido pela diferença entre coordenadas do ponto 
final e inicial. 
Sabendo que o ponto final, ou seja, a extremidade do vetor está em (-2, 
4), podemos encontrar o ponto inicial da seguinte forma: 
(2, -1) = (-2, 4) - (x, y) 
onde (x, y) é o ponto inicial. 
Assim, temos: 
(2, -1) = (-2, 4) - (x, y) 
(2, -1) - (-2, 4) = - (x, y) 
-(2, -1) + (-2, 4) = (x, y) 
(x, y) = (-2, 4) - (2, -1) 
(x, y) = (-2-2, 4+1) 
(x, y) = (-4, 5) 
 
 
Questão 4 
Dados os pontos A(-2,1),B(-1,4) e C(3,5), a expressão analítica que 
representa vetores 3 BA -4 CB é: 
Resposta (13,-5) 
 
a. 
 
 b. 
 
 c. 
 
 d. Resposta Correta 
 
 e. 
 
 
 
 
 
 
 
 
III 
Questão 1 
 
Dados os vetores u = (2,3,-1) e v = (1,-1,4), o resultado de (u+ v) x (u-v) é igual a: 
 
 
u+v = (2+1 , -3-1 , -1+4) = (3 , -4 , 3) 
u-v = (2-1 , -3-(-1) , -1-4) = (1 , -2 , -5) 
(u+v).(u-v) = (3 , -4 , 3).(1 , -2 , -5) 
(3 x 1) + (-4 x -2) + (3 x -5) 
(3) + (8) + (-15) 
11 – 15 = -4 
 
 
a. -3 
 
 
b. -2 
 
 
c. -5 
 
 
d. -4 
 
 
e. -1 
 
 
Questão 2 
O valor de a para que seja 45º o ângulo entre os vetores u= (2,1) e v = (1,a) é: 
 
O angulo entre (2,1) e (1,a) é dado por: 
Como o angulo deve ser de 45° fica: 
cos = cos 45° 
\frac{ a+2 }{ \sqrt{5} \sqrt{ a^{2}+1 } } =√2/2. 
 
Resolvendo fica a = -1/3 ou a =3 
 
 
 
a. 
 
 
 
b. 
 
 
 
c. 
 
 
 
d. 
 
 
 
e. 
 
 
 
Questão 3 
 
O vetor v = (x,y,z é paralelo ao vetor u(2,-1,3), tal que v x u = - 42. Então, o vetor v é? 
 
 
 a.(-6, -3, -9) 
 
 b.(6, 3, -9) 
 
 c. (-6, -3, 9) 
 
 d. (6, 3, 9) 
 
 e. (-6,3,-9) 
 
 
 
Questão 4 
 
Dados os pontos A (4,0,-1) e B (2,-2,1) e os vetores u= (2,1,1) e v = (-1,-2,3), o vetor x 
tal que 3x + 2v = x + (AB x u) v é: 
 
Resposta x = (3, 6, -9) 
 
 
 
a. 
 
 
 
b. 
 
 
 
c. 
 
 
 
d. 
 
 
 
e. 
 
 
3x + 2v = x +(AB ∙ u)v 
 
3x + 2(-1,-2,3) = x +[(-2, -2, 2) ∙ (2,1,1)]∙(-1,-2,3) 
 
3x + (-2, -4, 6) = x +[-4 -2 + 2 ]∙(-1,-2,3) 
 
3x + (-2, -4, 6) = x + (-4)∙(-1,-2,3) 
 
3x + (-2, -4, 6) = x + (4, 8, -12) 
 
3x -x = (4, 8, -12) - (-2, -4, 6) 
 
2x = (6, 12, -18) 
 
x = (6/2, 12/2, -18/2) 
 
x = (3, 6, -9) 
 
IV 
Questão 1 (ERRADA) 
 
Dados os vetores u = (1,2,-2) e v = (3,0,1), os resultados de u x v e de v x u 
são. respectivamente: 
 
 ERRADA 
 
 
 
 
Questão 2 
Utilizando um produto misto , determinamos o volume de um paralelepípedo que tem 
u= ( 2, -6 , 2) e v = ( 0, 4 , -2) e w=( 2, 2, -4) com arestas adjacentes o volume é: 
 
 a. 16 
 
 b. 20 
 
 c. 11 
 
 d. 8 
 
 e.13 
 
 
Questão 3 
 
Dados a = (3, 0, 0), b = (0, 1, 0) e c(3, 3, 0), o ponto d no eixo z (cota) para que o 
tetraedro abcd tenha volume igual a 18 é: 
 
Resposta (0,0 +-12) 
 
O ponto D no eixo z para que o tetraedro ABCD tenha volume igual a 18 é D = 
(0,0,±12). 
 
Se o ponto D está sobre o eixo z, então ele é da forma D = (0,0,z). 
 
Vamos definir os vetores AB, AC e AD. 
 
Dados A = (3,0,0), B = (0,1,0) e C = (3,3,0), temos que: 
 
AB = (0,1,0) - (3,0,0) 
 
AB = (-3,1,0) 
 
AC = (3,3,0) - (3,0,0) 
 
AC = (0,3,0) 
 
AD = (0,0,z) - (3,0,0) 
 
AD = (-3,0,z). 
 
Agora, vamos calcular o produto vetorial entre os vetores AB e AC: 
 
AB x AC = i(1.0 - 3.0) - j((-3).0 - 0.0) + k((-3).3 - 0.1) 
 
AB x AC = i.0 - j.0 + k.(-9) 
 
AB x AC = (0,0,-9). 
 
Por fim, vamos calcular o produto interno entre os vetores AB x AC e AD: 
 
<AB x AC, AD> = 0.(-3) + 0.0 + (-9).z 
 
<AB x AC, AD> = -9z. 
 
O volume do tetraedro é igual a um sexto do módulo do produto misto <AB x AC, 
AD>. 
 
Como o volume é igual a 18, temos que: 
 
18 = |-9z|/6 
 
18.6 = 9z 
 
9z = 108 
 
z = 12 
 
ou 
 
-9z = 108 
 
z = -12. 
 
 
Questão 4 
 
Calcule a área do triangulo com vértices P(1,4,6), Q(-2,5,-1) e R(1,-1,1) 
 
 
a. 
 
 
 
b. 
 
 
c. 
2 
 
d. 
 
 
e. 
 
 
 
 
Resposta: 5√ 82 ÷ 2. 
 
 
V 
PERGUNTA 1 
1. Dado o ponto P(p, 1, q) pertencente à reta que passa por A(3, -1, 4) e B(4, -3, -1), os 
valores de p e q, são, respectivamente: 
 
a. 2 e 4 
 
b. 4 e 9 
 
c. 2 e 9 
 
d. 3 e 9 
 
e. 1 e 3 
0,175 pontos 
PERGUNTA 2 ERRADA 
1. Dada a reta r:(x, y, z) = (1, -2, 3) + t(0, -1, 2), as equações paramétricas de r são: 
 
a. x = -2, y = - 2 – t e z = 3 + 2t 
 
b. x = -1, y = - 2 – t e z = 3 + 2t 
 
c. x = 1, y = - 2 – t e z = 3 + 2t 
 
d. x = 3, y = - 2 – t e z = 3 + 2t 
 
e. x = 2, y = 2 – t e z = 3 + 2t 
0,175 pontos 
PERGUNTA 3 ERRADA 
1. A equação da reta vetorial da reta definida pelos pontos A(-1, 4, 3) e B(2, -1, 5) é: 
 
a. (x, y, z) = (-1, 4, 3) + t(3, -5, 2) 
 
b. (x, y, z) = (-1, 4, 3) + t(-3, -5, 2) 
 
c. (x, y, z) = (-1, 4, 3) + t(3, 5, 2) 
 
d. (x, y, z) = (-1, 4, 3) + t(3, -5, -2) 
 
e. (x, y, z) = (-1, 4, 3) + t(-3, 5, 2) 
0,175 pontos 
PERGUNTA 4 ERRADA 
1. 
 
a. (-2, 4, 9) 
 
b. (2, 4, -9) 
 
c. (1, 4, -6) 
 
d. (-1, 4, -6) 
 
e. (-4, 4, -9) 
 
 
 
Dada a reta r: x = 2+t , y= 3-t , z = -4 +2t , o ponto de r que tem ordenada 4 
é: 
 
VI 
 
Questão 1 
 
Dado o plano π de equação x - y + z + 4 = 0 e, sabendo que os pontos A 
(0,0,-4), B (1,0,-5) e C (0,1,3), são pontos não alinhados de, um sistema de 
equações de π é: 
x=h 
y=t 
z=-4-h+t 
 
 
 
Questão 2 
 
A equação geral da reta r: x = 4 + 3t, y = -3 + 2 t, z= 2 -2t, ortogonal ao plano π que 
passa pelo ponto A (2,-1,-2) é: 
 
 
a. 3x + 2y - 2z – 9 = 0 
 
b. 3x + 2y - 2z – 8 = 0 
 
c. 3x + 2y - 2z – 10 = 0 
 
d. 3x + 2y - 2z – 7 = 0 
 
e. 3x + 2y - 2z - 11 = 0 
 
Questão 3 
O angulo entre os planos π: -x + z -12 = 0 e π: x+y-10= 0 mede: 
 
 
a. 30 graus 
 
b. 60 graus 
 
c. 45 graus 
 
d. 15 graus 
 
e. 90 graus 
 
 
Questão 4 
 
O ponto de intersecção da reta r com o plano π, onde r: x= 1 + t, y= 6 + 2t e π: x-y + 2 z 
+ 6 = o,z= 2 + t, é: 
 
 
 
a. (4, 4, 3) 
 
b. (-4, -4, -3) 
 
c. (4, -4, -3) 
 
d. (-4, 4, 3) 
 
e. (-4, 4, -3)