Aula 8

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MAT 001 - Ca´lculo I
Aula X
IMC-Unifei
1 Introduc¸a˜o
Nesta aula, continuaremos a ver aplicac¸o˜es da derivada.
Conteu´dos a serem vistos:
• O Teorema de Rolle e o Teorema do Valor Me´dio de Lagrange;
• Teste da Derivada Primeira;
• Concavidade e Pontos de Inflexa˜o;
• Teste da Derivada Segunda;
• Aplicac¸o˜es em problemas de maximizac¸a˜o e minimizac¸a˜o.
2 Teoremas Importantes
Teorema 1 (Rolle). Se f e´ uma func¸a˜o cont´ınua em um intervalo fechado e
limitado [a, b] e deriva´vel no intervalo aberto correspondente (a, b) e f(a) = f(b),
enta˜o existe pelo menos um ponto cr´ıtico c ∈ (a, b), isto e´, f ′(c) = 0.
Demonstrac¸a˜o:
1
Figura 1: Teorema de Rolle
Como generalizac¸a˜o do Teorema de Rolle obtemos:
Teorema 2 (Teorema do Valor Me´dio de Lagrange).
Se f e´ uma func¸a˜o cont´ınua em um intervalo fechado e limitado [a, b] e deriva´vel
no intervalo aberto correspondente (a, b), enta˜o existe pelo menos um ponto
c ∈ (a, b) tal que
f ′(c) =
f(b)− f(a)
b− a
Demonstrac¸a˜o:
2
Figura 2: Teorema de Lagrange
3
3 Principais Consequeˆncias do Teorema do Va-
lor Me´dio de Lagrange
Teorema 3. Seja f e´ uma func¸a˜o cont´ınua em um intervalo fechado e limitado
[a, b] e deriva´vel no intervalo aberto correspondente (a, b).
(i) Se f ′(x) > 0; ∀x ∈ (a, b), enta˜o f e´ crescente em [a, b].
(ii) Se f ′(x) < 0; ∀x ∈ (a, b), enta˜o f e´ decrescente em [a, b].
Demonstrac¸a˜o:
4
Figura 3:
Figura 4:
5
4 Teste da Derivada Primeira
Teorema 4. Seja f uma func¸a˜o cont´ınua em [a, b] e deriva´vel em (a, b) exceto,
possivelmente, em um ponto cr´ıtico c ∈ (a, b).
(i) Se f ′(x) > 0; ∀x ∈ (a, c) e f ′(x) < 0; ∀x ∈ (c, b), enta˜o c e´ um ponto de
ma´ximo local de f .
(ii) Se f ′(x) < 0; ∀x ∈ (a, c) e f ′(x) > 0; ∀x ∈ (c, b), enta˜o c e´ um ponto de
mı´nimo local de f .
(iii) Se f ′(x) > 0; ∀x 6= c ∈ (a, b) ou f ′(x) < 0; ∀x 6= c ∈ (a, b), enta˜o c na˜o e´
nem ponto de ma´ximo local nem mı´nimo local de f .
Exemplo 1.
Para cada uma das func¸o˜es abaixo, obtenha os intervalos de crescimento e de-
crescimento assim como seus pontos de ma´ximo local e mı´nimo local:
(A) g : R→ R dada por g(x) = x3 − 12x; ∀x ∈ R.
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(B) f : R→ R dada por f(x) = x4 − 4x2; ∀x ∈ R.
(C) h : R→ R dada por h(x) = 3√x · (8− x); ∀x ∈ R.
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(D) u : R→ R dada por u(x) = (x+ 5)2 · 3√x− 4
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5 Concavidade e Pontos de Inflexa˜o
5.1 Derivadas de Ordem Superior
Consideremos, POR EXEMPLO, f : R→ R dada por f(x) = 2x3−5x2 +x+ 2.
Temos que f e´ deriva´vel e f ′ : R→ R e´ dada por f ′(x) = 6x2 − 10x+ 1.
Note que a func¸a˜o f ′ e´ um polinoˆmio e, portanto, tambe´m e´ deriva´vel e sua
derivada, chamada de derivada segunda, e´ dada por :
(f ′)′(x) = 12x− 10; ∀x ∈ R.
Notac¸a˜o: f ′′.
Podemos enta˜o pensar (novamente) em derivar f ′′ e assim por diante...
Observac¸a˜o 1.
(A) Ja´ interpretamos f ′ como taxa de variac¸a˜o de y = f(x) por unidade de
variac¸a˜o de x. Sendo assim, temos que:
f ′ mede a variac¸a˜o de f ;
f ′′ mede a variac¸a˜o de f ′;
f ′′′ mede a variac¸a˜o de f ′′ e assim por diante...
(B) Vimos que se s(t) representa a posic¸a˜o s de um objeto ao longo de uma linha
reta como func¸a˜o do tempo t, enta˜o v(t) = s′(t) representa a velocidade
instantaˆnea da part´ıcula no instante t. Sendo assim , temos que a(t) =
v′(t) = s′′(t), ou seja, a acelerac¸a˜o e´ a derivada segunda de s.
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5.2 Derivada Segunda e Concavidade
Teorema 5. Seja f deriva´vel em um intervalo aberto contendo o ponto c.
(i) Se existe f ′′(c) > 0, enta˜o no ponto (c, f(c)) o gra´fico de f tem a conca-
vidade voltada para cima .
Figura 5:
(ii) Se existe f ′′(c) < 0, enta˜o no ponto (c, f(c)) o gra´fico de f tem a conca-
vidade voltada para baixo .
Figura 6:
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Exemplo 2.
(A) Seja f : R→ R dada por f(x) = x3.
(B) Seja g : R→ R dada por g(x) = ex.
(C) Seja h : (0,+∞)→ R dada por h(x) = ln(x).
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(D) Seja u : R→ R dada por u(x) = sen(x).
(E) Seja f1 : R→ R dada por f1(x) = x3 − 12x.
Definic¸a˜o 1 (Ponto de Inflexa˜o). Um ponto (c, f(c)) do gra´fico de uma func¸a˜o
f , cont´ınua em c, e´ chamada um PONTO DE INFLEXA˜O, quando neste ponto
a concavidade “muda de sentido”, ou seja, existe um intervalo (a, b) contendo
c tal que uma das seguintes situac¸o˜es ocorre:
(i) f ′′(x) > 0 em (a, c) e f ′′(x) < 0 em (c, b).
(ii) f ′′(x) < 0 em (a, c) e f ′′(x) > 0 em (c, b).
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6 Teste da Derivada Segunda
Teorema 6 (Teste da Derivada Segunda). Se f e´ deriva´vel em um intervalo
aberto contendo o ponto c e f ′(c) = 0, temos:
(i) Se f ′′(c) < 0, enta˜o c e´ ponto de ma´ximo local de f .
(ii) Se f ′′(c) > 0, enta˜o c e´ ponto de mı´nimo local de f .
Exemplo 3. Seja f1 : R→ R dada por f1(x) = x3 − 12x.
Observac¸a˜o 2. Se f ′′(c) = 0 na˜o podemos concluir nada. (Tente utilizar o
Teste da Derivada Primeira)
7 Resumindo...
• f ′ mede a variac¸a˜o de f ; O sinal de f ′ esta´ relacionado com o cresci-
mento ou decrescimento de f ; Teste da Derivada Primeira: Ma´ximos e/ou
Mı´nimos.
• f ′′ mede a variac¸a˜o de f ′; O sinal de f ′′ esta´ relacionado com a concavidade
do gra´fico de f ; Teste da Derivada Segunda: Ma´ximos e/ou Mı´nimos.
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Exemplo 4.
(A) Determine as dimenso˜es do retaˆngulo de a´rea ma´xima que pode ser inscrito
num triaˆngulo equila´tero de lado 1 cm, com dois dos ve´rtices sobre um dos
lados do triaˆngulo.
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(B) Os pontos A e B sa˜o opostos um ao outro nas margens de um rio reto com
3 km de largura. O ponto C esta´ na mesma margem que B, mas a 6 km
de B, rio abaixo. Uma companhia telefoˆnica deseja estender um cabo de A
ate´ C. Se o custo por km do cabo e´ 25% mais caro sob a a´gua do que em
terra, que linha de cabo seria mais econoˆmica para a companhia ?
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(C) Um cartaz de 20 pe´s de altura esta´ localizado no topo de um edif´ıcio de tal
modo que seu bordo inferior esta´ a 60 pe´s acima do n´ıvel do olho de um
observador. Use func¸o˜es trigonome´tricas inversas para determinar a que
distaˆncia de um ponto diretamente abaixo do cartaz o observador deve se
colocar para maximizar o aˆngulo entre as linhas de visa˜o do topo e da base
do cartaz.
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8 Exerc´ıcios
1) Se uma caixa de base quadrada, aberta no topo, deve ter um volume de
4 pe´s cu´bicos, determine as dimenso˜es que exigem a menor quantidade de
material (desprezar a espessura e a perda de material). Refac¸a o problema
considerando o caso de uma caixa coberta.
2) Determine as dimenso˜es do cone circular reto de volume ma´ximo que pode
ser inscrito numa esfera de raio a.
3) Uma longa folha retangular de metal, de 12 polegadas de largura, vai ser
utilizada para formar uma calha, dobrando-se em aˆngulo reto duas bordas
(de mesma medida). Quantas polegadas devem ser dobradas de forma que a
capacidade da calha seja ma´xima ? Refac¸a o problema considerando que os
lados da calha devam fazer um aˆngulo de 2pi/3 rad com a base.
4) Encontre as dimenso˜es do retaˆngulo de maior a´rea que tem 200 cm de
per´ımetro.
5) Determine o ponto do gra´fico de y = x3 mais pro´ximo do ponto (4, 0).
6) Um fabricante vende certo artigo aos distribuidores a US$ 20, 00 por unidade
para pedidos de menos de 50 unidades. No caso de pedidos de 50 unidades
ou mais (ate´ 600), o prec¸o unita´rio tem um desconto igual a US$ 0, 02 vezes
o nu´mero de encomendas. Qual volume de encomendas proporciona maior
receita para o fabricante ?
7) A´s 13:00 horas um navio A esta´ a 30 milhas ao sul do navio B e navegando
rumo norte a 15 mph (milhas por hora). Se o navio B esta´ navegando rumo
oeste a 10 mph, determine o instante em que a distaˆncia entre os dois navios
e´ mı´nima.
8) Uma ilha esta´ num ponto A, a 6 km do ponto B mais pro´ximo numa praia
reta. Um armaze´m esta´ num ponto C a 9 km de B na praia. Se um homem
pode remar a` raza˜o de 4 km/h e caminhar a` raza˜o de 5 km/h,onde ele
deveria desembarcar para ir da ilha ao armaze´m no menor tempo poss´ıvel ?
9) Encontre as dimenso˜es do cilindro circular reto de maior volume que pode
ser inscrito num cone circular reto com altura 12 cm e raio da base 6 cm.
10) Jose´ comprou uma Smart TV nova, 4K, para assistir a` Copa do Mundo. A
TV tem uma altura de 0, 5 m e vai ser colocada a 4 m de distaˆncia dos olhos
de Jose´, quando ele estiver sentado confortavelmente em seu sofa´, xingando
aqueles miliona´rios que esta˜o jogando � vezes o que deveriam para ganhar a
Copa (?→ 0). Sabendo que os olhos de Jose´, ao sentar-se, esta˜o a 1, 5 m de
altura do solo e num n´ıvel entre os bordos inferior e superior da TV, a que
altura do solo deve ser colocada a TV para que o aˆngulo de visa˜o de Jose´
seja ma´ximo ?
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11) Corta-se um pedac¸o de arame de 2 m de comprimento em duas partes. Uma
parte sera´ dobrada em forma de c´ırculo e a outra em forma de quadrado.
Como devera´ ser cortado o arame para que: (a) a soma das a´reas das duas
figuras seja ta˜o pequena quanto poss´ıvel; (b) a soma das a´reas das duas
figuras seja a maior poss´ıvel.
12) Um oleoduto deve ligar dois pontos A e B, distantes 3 milhas e situados nas
margens opostas e um rio retil´ıneo de 1 milha de largura. Parte do oleoduto
sera´ constru´ıda sob a a´gua, de A ate um ponto C na margem oposta, e o
restante a` superf´ıcie, de C ate´ B. Se o custo de construc¸a˜o do oleoduto sob a
a´gua e´ quatro vezes o custo da construc¸a˜o a` superf´ıcie e sabendo que a regia˜o
onde esta´ sendo constru´ıdo o oleoduto na˜o pertence a` Bol´ıvia(e portanto na˜o
sera´ invadida e tomada a` forc¸a), determine a localizac¸a˜o de C que minimize
o custo de construc¸a˜o.
13) O proprieta´rio de um pomar estima que, plantando 24 a´rvores por are (hec-
tare), cada a´rvore produzira´ 600 mac¸as por ano. Para cada a´rvore adicional
plantada por are, havera´ uma reduc¸a˜o de 12 mac¸as por pe´ por ano. Quantas
a´rvores deve plantar por are para maximizar o nu´mero de mac¸as (por are
por ano) ?
14) Um piloto de testes da Fo´rmula 1 percorre um circuito el´ıptico plano, de
forma que sua posic¸a˜o, apo´s t vezes 10 segundos, e´ dada por s(t) = (x(t), y(t)) =
(2 cos(t), sen(t)) (fac¸a um esboc¸o da trajeto´ria percorrida pelo piloto).
O vetor velocidade (tangencial), num instante t, e´ dado por v(t) = s′(t) =
(−2sen(t), cos(t)) (tente fazer um esboc¸o).
A velocidade (tangencial) escalar e´ dada pelo mo´dulo do vetor velocidade:
|v(t)|.
Supondo que o piloto na˜o e´ o Felipe Massa e, portanto, deve completar pelo
menos uma volta no circuito, calcule os pontos onde o piloto alcanc¸a as
velocidades ma´ximas e mı´nimas. (Sugesta˜o: maximizar e minimizar |v(t)|2)
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9 Respostas
1) Aberta: b = 2 pe´s, a = 1 pe´. Coberta: b = a = 3
√
4 pe´s.
2) h =
4a
3
, r =
2a
√
2
3
.
3) Aˆngulo reto: d = 3 pol; Aˆngulo
2pi
3
: d = 4 pol.
4) a = b = 50 cm.
5) P (1, 1).
6) 500 unidades.
7) t = 18/13 horas apo´s 13 : 00.
8) a 8 km de B, entre B e C.
9) h = r = 4 cm
10) a 1, 25 m do solo.
11) (a) Menor:
2
4 + pi
m para o c´ırculo e
8
4 + pi
m para o quadrado. (b) Maior:
2 m para o c´ırculo.
12) a
1√
15
milhas de B, entre B e C.
13) 37 a´rvores por are.
14) Ma´xima em : s
(pi
2
)
e s
(
3pi
2
)
. Mı´nima em : s (0) e s (pi).
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