Relatório de Secagem de Maçã

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ 
CECE - CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS 
RELATORIO DA PRATICA DE LABORATORIO DE ENGENHARIA 
QUIMICA II 
 
 
 
SECAGEM 
 
Brenda Souza, Denise Dutra Bialeski, Emanuelly Sulzbacher, Gabriel Anghinoni 
 
RESUMO: A secagem representa uma das operações mais recorrentes na indústria 
química e tem sua importância no que diz respeito à redução do peso, do volume e dos custos 
de transporte e armazenamento e ainda ao aumento da vida útil do produto. A realização desta 
prática teve por objetivo o estudo do comportamento de secagem de uma amostra de maça a 
uma dada temperatura e consequentemente, a partir dos dados gerados, a determinação dos 
períodos de secagem e o ajuste dos modelos empíricos para a cinética desta. Em virtude disso, 
as amostras de maça foram inseridas em um secador, com temperatura do ar equivalente a 50ºC 
e em intervalos de 10 minutos verificou-se a massa, diâmetro e espessura destas. Dada a 
verificação da estabilização na curva de secagem as amostras foram retiradas do secador e 
colocadas em estufa a 105°C por um período de cerca de 24 horas. Os valores de difusividade 
efetiva (Def) da maça foram ajustados em três modelos cinéticos, os modelos de Lewis, Brooker 
e Page. Além disso, o comportamento de secagem foi estudado tendo por base o ajuste de dados 
experimentais a modelos empíricos, como os modelos de Newton, Page, Midilli, Weibul, Silva, 
Peleg e o modelo Logarithmic. Por fim concluiu-se que o modelo que melhor se ajustou aos 
dados experimentais, a partir do coeficiente de correlação foi o de Weibull, com R2 de 0,99988 
enquanto que o modelo de Peleg teve o pior ajuste, com um valor de R2 de 0,96541. O melhor 
modelo segundo o critério Bayesiano para os dados experimentais é o de Page com BIC = 
14,006 e pelo critério de Akaike, o modelo Logarithmic foi o que apresentou o melhor ajuste 
com AICc = -31,666. A determinação da umidade crítica não se fez possível, tendo em vista 
que devido à ausência de dados para a obtenção das curvas crescentes e constantes do gráfico. 
Além disso, observou-se que a remoção da água ocorreu conforme o esperado, resultando na 
diminuição do tamanho das amostras. 
 
Palavras chaves: secagem; cinética de secagem; comportamento de secagem. 
 
 
MEMORIAL DE CÁLCULO 
 
Primeiramente determinou-se a umidade média (X̅), a qual é dada pela razão entre a 
massa de água no material e a massa do material totalmente seco. 
 
X̅ = 
𝑚 − 𝑚𝑠𝑒𝑐𝑎
𝑚𝑠𝑒𝑐𝑎
 
 
(1) 
 
Para a obtenção da umidade média adimensional (W) utilizou-se a Equação 2 em que X̅ 
é a umidade média, Xe é a umidade no tempo t, e Xo é a umidade de entrada. 
 
 
𝑊 =
X̅ − 𝑋𝑒
𝑋𝑒 − 𝑋𝑒
 
 
(2) 
 
A taxa de secagem pode ser calculada experimentalmente conforme a Equação 3, sendo 
que está é dada em função do conteúdo de umidade a fim de identificar os períodos de secagem 
e a umidade crítica do material. 
 
N =
m
t. A
 (3) 
 
Onde: m (kg) é a variação de massa em determinado intervalo de tempo t (min) e A 
é a área do material secado (m2). 
O modelo de secagem de Lewis é dado pela razão entre a quantidade de água livre em 
qualquer tempo t e razão de umidade ou adimensional de umidade, isto é: 
exp (−𝐾. 𝑡) =
�̅� − 𝑋𝑒
𝑋𝑒 − 𝑋𝑒
 (4) 
 
Em que X̅ é a umidade média, Xe é a umidade no tempo t e K (tempo-1) é a constante de 
secagem. 
Outros modelos que podem ser utilizados são o de Brooker (1974) e o de Page (1949), 
os quais são definidos respectivamente por: 
 
𝐶. exp (−𝐾. 𝑡) =
�̅� − 𝑋𝑒
𝑋𝑒 − 𝑋𝑒
 (5) 
 
exp (−𝐾. 𝑡𝑛) =
�̅� − 𝑋𝑒
𝑋𝑒 − 𝑋𝑒
 (6) 
 
O parâmetro adimensional de secagem (n) tem por finalidade fornecer um melhor ajuste, 
sendo aplicado comumente à secagem de materiais com camadas finas. 
A determinação da constante de secagem (K) permite a obtenção da difusividade efetiva 
(Def) através da Equação 7. 
 
D𝐸𝐹 =
𝐾. 𝐿2
𝜋2
 (7) 
 
Sendo que L é a espessura da amostra(m) e K é dado em s. 
 
A seguir estão dispostos os modelos utilizados para os cálculos dos resultados. A 
modelagem de dados é muito utilizada em várias áreas do conhecimento, tanto engenharia, 
quanto de áreas que não tem relação com a engenharia. 
Um dos problemas com que pesquisadores se deparam ao modelar um conjunto de dados 
é sobre qual a ordem de modelo utilizar. Dados reais têm uma grande chance de nunca se 
adequarem perfeitamente a algum modelo, seja porque os dados contêm distúrbios, ou por que 
o modelo escolhido simplesmente não consegue captar todas as características dos dados a 
serem modelados, tendo então que aumentar a ordem do modelo, permitindo assim, que o 
modelo capte características mais complexas dos dados, porem existe outra questão que é até 
onde é razoável aumentar a ordem do modelo. 
 
CRITÉRIO DE AIC (AKAIKE’S INFORMATION CRITERION) 
 
Este teste permite que se determine qual modelo é mais correto, este critério da uma 
pontuação para o modelo, baseado em sua adequação aos dados e na ordem do modelo. 
 
𝐴𝐼𝐶 = −2 ∙ ln 𝑓(𝑥|𝜃) + 2 ∙ 𝑘 (8) 
 
O primeiro termo é uma bonificação por uma melhor adequação aos dados, em 
que 𝑓(𝑥|𝜃) é a função verossimilhança do modelo, e o segundo termo é uma penalização, que 
é maior à medida que se aumenta a ordem, k. 
 O AIC, é muito aceito e utilizado, porém existem limitações. Ele foi 
desenvolvido de que quando o tamanho da amostra tende a infinito, ele converge para o valor 
exato da divergência de Kullback-Leibler, que é uma medida de quanta informação é perdida 
ao tentar representar um conjunto T de medidas utilizando uma base conhecida L. Mas quando 
se tem um número finito de amostras, este estimador se torna polarizado. Por causa disso as 
vezes o AIC não só falha em escolher um modelo melhor, mas escolhe o modelo de maior 
ordem entre os modelos comparados (SOBRAL et.al.,2011). 
 Por conta desta “falha”, alguns métodos foram sugeridos, para conseguir 
trabalhar satisfatoriamente com um número pequeno de amostras, como o AICc (AICc 
corrigido), KIC, KICc(KIC corrigido), AKICc (Aproximação de KICc) e AICF (AIC Finite 
Sample), sendo o tempo de penalização a diferença entre os métodos (SOBRAL et.al.,2011). 
 
CRITÉRIO DE INFORMAÇÕES BAYESIANO 
 
Também chamado de critério de Schwarz, o critério de informação Bayesiano (BIC) é 
um critério de avaliação de modelos definido em termos da probabilidade a posteriori, sendo 
assim chamado pois Shwarz deu um argumento bayesiano para prova-lo (EMILIANO, 2009). 
Este critério se define como: 
 
𝐵𝐼𝐶 = −2 ∙ log 𝑓(𝑥|𝜃) + 𝑝. 𝑙𝑜𝑔 𝑛 (9) 
Tanto o AIC quanto o BIC fundamentam-se na verossimilhança, impondo, entretanto, 
diferentes penalizações, tais critérios servem para comparar modelos encaixados, mas podem 
ser aplicados também em modelos não encaixados. De modo que quanto menor o valor que este 
critério assumir, mais próximo da realidade o fenômeno está sendo representado. Para n > 8, o 
valor do AIC para um determinado modelo será sempre menor que o valor do BIC, mas os 
resultados não necessariamente o serão (EMILIANO, 2009). 
 
MODELO DE MIDILLI 
 
𝑅𝑈 = 𝑎 ∙ exp(−𝑘 ∙ 𝑡𝑛) + 𝑏 ∙ 𝑡 (10) 
Onde: 
RU - razão de umidade; 
t - tempo de secagem; 
k - coeficiente de secagem; 
b - constante do modelo. 
n - constante do modelo 
 
MODELO DE NEWTON 
 
O princípio do método de Newton é estimar as raízes de uma função, para isso, escolhe-
se uma aproximação inicial para esta. Após isso, calcula-se a equação da reta tangente da função 
nesse ponto e a interseção dela com o eixo das abcissas, afim de encontrar uma melhoraproximação para a raiz (OLIVEIRA et.al., 2012) 
𝑅𝑈 = 𝑒𝑥(−𝑘 ∙ 𝑡) (11) 
 Onde: 
 RU – razão de umidade; 
 t – tempo de secagem; 
 k – constante de secagem. 
 
MODELO DE PAGE 
 
O modelo de Page que é uma simplificação do modelo de Fick, e o modelo semi-
empírico. obtido experimentalmente a partir do estudo da secagem de cogumelos, pólen e 
pistache. Estes modelos além de permitir uma avaliação dos mecanismos e das propriedades 
físicas de transporte de massa durante o processo são importantes na seleção e desenvolvimento 
de equipamentos, e no cálculo dos custos operacionais (PEREZ et. al., 2013) 
 
𝑅𝑈 = 𝑒𝑥𝑝(−𝑘 ∙ 𝑡)𝑛 (12) 
Onde: 
RU – razão de umidade; 
 t – tempo de secagem; 
k – constante de secagem; 
n – constante do modelo. 
 
MODELO DE PELEG 
 
𝑈𝑅 =
1 − 𝑡
𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑡
 
(13) 
 Onde: 
UR – razão de umidade; 
t – tempo de secagem; 
a – constante do modelo; 
b – constante do modelo. 
 
MODELO DE WEIBULL 
 
 A distribuição Weibull é a distribuição mais comumente usada para modelar 
dados de confiabilidade. Esta distribuição é fácil de interpretar e muito versátil. A distribuição 
Weibull pode modelar dados que são assimétricos à direita, esquerda ou simétrica. Portanto, a 
distribuição é usado para avaliar a confiabilidade em diversas aplicações. A distribuição 
Weibull também pode modelar uma função de risco está diminuindo, aumentando ou 
permanece constante, permitindo que ela descreva qualquer fase da vida útil de um produto. 
 
𝑈𝑅 =∝ −𝑏 ∙ exp (−𝑘0 ∙ 𝑡
𝑛) (14) 
 
Onde: 
UR – razão de umidade; 
t – tempo de secagem; 
a – constante do modelo; 
b – constante do modelo; 
k0 – constante de secagem. 
 n – constante do modelo 
 
MODELO LOGARITMICO 
 
𝑈𝑅 = 𝑎 ∙ exp(−𝑘 ∙ 𝑡) + 𝑏 (15) 
Onde: 
UR – razão de umidade 
t – tempo de secagem; 
k – constante de secagem; 
a – constante do modelo; 
b – constante do modelo. 
 
MODELO SILVA 
 
𝑀𝑅 = exp(−𝑎𝑡 − 𝑏√𝑡) (16) 
Onde: 
a – constante do modelo; 
b – constante do modelo 
 
 
MATERIAIS E MÉTODOS 
 
Para a realização do experimento de secagem foram utilizados os materiais dispostos na 
Tabela 1. 
 
Tabela 1- Materiais utilizados durante a prática 
Termômetro Balança analítica 
Anemômetro Cronômetro 
Paquímetro Estufa de convecção natural 
Faca 
 
Ao dar início a prática foi cortado três fatias de maçã, e medido o diâmetro e a espessura 
de cada fatia com a ajuda do paquímetro, em seguida pesou cada fatia e anotou os dados obtidos. 
Posteriormente ligou-se o ventilador do secador e com o auxílio do anemômetro ajustou a 
velocidade do ar desejada, e foi tomado a temperatura do ar no final do secador. 
Após estes procedimentos colou-se as três amostras de maçã no secador e em intervalos 
de 10 minutos as mesmas eram retiradas do equipamento e seu peso, assim como sua espessura 
e diâmetro era medido. O procedimento foi repetido até que a massa se tornasse constante. As 
amostras foram levadas para uma estufa de convecção natural a 105°C e foram tomados ter 
pesos das amostras durante o período de 24 horas. Os dados obtidos foram anotados para 
posteriores cálculos. 
 
 
RESULTADOS E DISCUSSÕES 
 
 Os dados de tempo, velocidade do ar, temperatura de saída, massa, espessura e diâmetro 
coletados durante a prática estão dispostos na Tabela 1. A temperatura de entrada no secador 
foi fixada em 50 oC. 
 
Tabela 2- Dados coletados durante a prática. 
Tempo 
(min) 
Velocidade 
(m/s) 
Ts 
(oC) 
Massa 
1 (g) 
Massa 
2 (g) 
Massa 
3 (g) 
E1 
(mm) 
E2 
(mm) 
E3 
(mm) 
D1 
(mm) 
D2 
(mm) 
D3 
(mm) 
�̅� (mm) 
0 3,1 42 0,36 0,55 0,30 1,00 1,23 1,00 21,00 21,00 21,00 21 
10 2,5 43,5 0,29 0,4 0,13 0,90 1,00 0,50 18,20 20,00 19,20 19,13 
20 3,8 42 0,11 0,25 0,09 0,40 1,00 6,00 16,18 18,00 18,00 17,39 
30 3,5 42 0,06 0,15 0,09 3,00 1,60 1,10 14,78 17,00 14,70 15,49 
40 3,8 42 0,06 0,11 0,08 2,50 0,85 0,25 15,10 16,80 17,00 16,30 
50 3,5 42 0,06 0,11 0,08 0,00 0,70 0,00 14,50 13,80 17,00 15,10 
60 3,4 42 0,06 0,11 0,08 0,00 0,01 0,00 13,73 14,53 13,00 13,76 
70 3,6 42 0,06 0,11 0,08 0,00 0,00 0,00 13,90 13,73 15,03 14,22 
 
Segundo GEANKOPLIS (1993) secagem se refere a remoção de pequenas quantidades 
de água de um material. Essa remoção pode ter como finalidade a conservação de um alimento, 
bem como a obtenção de alimentos ou materiais concentrados. Assim, a partir da Equação (2), 
foi possível calcular os valores de umidade média adimensional (W). Estes valores, em função 
do tempo, encontram-se na Figura 1. 
 
 
Figura 1-Valores de umidade adimensional em função do tempo. 
 
 Percebe-se na Figura 1 que ocorre uma redução na umidade em função do aumento do 
tempo de secagem, como era esperado. Afim de se obter os valores de difusividade efetiva (Def) 
da maça, os valores apresentados na Figura 1 foram ajustados em três modelos cinéticos, os 
modelos de Lewis, Brooker e Page. A partir dos ajustes encontra-se a constante k (tempo-1) para 
cada modelo, e assim realiza-se o cálculo da Def através da Equação (7). Os valores dos 
parâmetros, bem como os de coeficiente de correlação (R2) e de difusividade efetiva são 
apresentados na Tabela 2. 
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0 10 20 30 40 50 60 70 80
W
Tempo (min)
 
Tabela 3- Parâmetros dos modelos de cinética e difusividade efetiva. 
 Parâmetros 
Modelo k (min-1) c n R2 Def (m2/s) 
Lewis 6,73E-02 0,9866 1,317E-10 
Brooker 6,83E-02 1,02E+00 0,9848 1,337E-10 
Page 2,97E-02 1,29E+00 0,9901 5,814E-11 
 
Em um experimento realizado por CÓRDOVA (2006), os valores dos coeficientes de 
difusão para a maça, do tipo Fuji, variam de 3,151 a 4,043x10-10 m2/s a 40°C, estando na mesma 
ordem de grandeza que os valores obtidos na prática. Comparando os modelos utilizados, 
vemos que o de Page foi o que apresentou melhor ajuste dos dados, com um R2 de 0,9901. 
Segundo KALETA et al. (2013) o coeficiente de difusão para maças a 70°C varia de 2,01x10-
10 a 6,85x10-10, tendo o modelo de Page o melhor R2, o que se encontra ainda mais próximo dos 
resultados obtidos. 
A Tabela 3 trás os modelos propostos por ONWUDE et al. (2016), sendo que os 
escolhidos foram os modelos de Midili, Logarithmic, Newton, Page, Peleg, Silva e Weibull. 
 
Tabela 3 – Parâmetros e critérios para os modelos matemáticos 
 Parâmetros Critérios 
Modelo a b c k (min-1) n R2 AICc BIC 
Midili 1,63E+00 7,21E-04 1,04E-01 0,99962 -43,033 28,758 
Logarithmic 1,01E+00 1,49E-02 7,13E-02 0,98268 -31,666 24,236 
Newton 6,73E-02 0,98658 -45,949 15,284 
Page 2,97E-02 1,29E+00 0,99011 -44,022 14,006 
Peleg 1,08E+01 8,36E-01 0,96541 -34,008 15,896 
Silva 1,09E-01 -1,67E-01 0,99177 -45,798 23,163 
Weibull 4,81E-02 -9,52E-01 1,64E-02 1,55E+00 0,99988 -54,542 36,819 
 
Analisando a Tabela 3, pode-se perceber pelo coeficiente de correlação, que todos os 
modelos ajustaram bem os dados, sendo que o melhor ajuste foi para o modelo de Weibull, 
apresentando um R2 de 0,99988, e o pior foi o de Peleg com R2 de 0,96541. Segundo os critérios 
AICc e BIC, um modelo é mais apropriado quanto menor são essas estatísticas, vale ainda 
lembrar que que ambos penalizam modelos com maior número de parâmetros, sendo que para 
BIC essa penalidade é ainda mais rigorosa (BUENO et al. 2011). Tendo em vista tais 
informações é possível afirmar que o melhor modelo segundo BIC é o modelo de Page, que 
possui apenas dois parâmetros, condizendo com a literatura. Pelo critério de Akaike, o melhor 
ajuste foi o do modelo Logarithmic. No estudo de KALETA et al. (2013),verifica-se que o 
modelo de Midili é o que melhor representa os dados, assim como este teve um dos melhores 
ajustes neste estudo, ficando atras apenas do modelo de Weibull. A Figura 2 apresenta os 
gráficos do melhor e pior ajuste, baseado no coeficiente de correlação. 
 
(a) Weibull 
 
(b) Peleg 
Figura 2 - Comparação entre o (a) melhor e (b) pior modelo de ajuste. 
 
Com o decorrer do experimento, notou-se que as amostras sofriam deformações, 
ocorrendo alterações em seus diâmetros e em suas espessuras. Com a média dos diâmetros 
obtidos, pôde-se plotar um gráfico desses valores em função do tempo, como apresentado na 
Figura 3 a seguir. 
 
Figura 3- Gráfico das médias dos diâmetros em função do tempo. 
 
Percebe-se através da Figura 3, que com o aumento do tempo de secagem, houve uma 
redução do diâmetro das amostras, assim como esperado, uma vez que a remoção de umidade 
faz com que o material diminua de tamanho. 
Também é possível expressar a taxa de secagem (N), calculada pera Equação (3), em 
função a umidade média do material. Com o gráfico de W vs N pode-se determinar a umidade 
crítica da amostra, que é o ponto de interseção das tangentes da parte crescente e constante da 
curva da taxa de secagem. A Figura 4 a seguir apresenta os valores de taxa de secagem em 
função da umidade média do material. 
 
 
Figura 4- Taxa de secagem em função da umidade média. 
 
A partir da análise da Figura 4, observa-se que não é possível a determinação da umidade 
crítica, visto que os pontos apresentam uma região de crescimento e outra de decaimento. Pode-
se observar a partir do experimento que a espessura das fatias e a velocidade do ar interferem 
diretamente na duração do processo. Como a espessura utilizada era pequena a resistência de 
migração da umidade do interior para a superfície do sólido era baixa, reduzindo o tempo de 
secagem e impossibilitando a coleta de uma gama de dados. 
 Uma possível solução para esse problema seria a obtenção de um numero maior de 
dados em intervalos de tempos menores e, também, aumentar a espessura da amostra bem como 
o tempo de secagem para obter os valores constantes no tempo. 
 
 
 
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0 20 40 60 80
D
iâ
m
er
o
 (
m
)
Tempo (min)
-0,005
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
0,04
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
N
 (
K
g/
m
2
m
in
)
W
CONCLUSÕES 
 
 A partir dos dados de secagem de maçã obtidos durante a prática, analisou-se que o 
modelo que melhor se ajustou aos dados experimentais, a partir do coeficiente de correlação foi 
o de Weibull, com R2 de 0,99988. Utilizando o mesmo critério de avaliação, foi concluído que 
o modelo de Peleg teve o pior ajuste, com um valor de R2 de 0,96541. O melhor modelo segundo 
o critério Bayesiano para os dados experimentais é o de Page com BIC = 14,006. Pelo critério 
de Akaike, o modelo Logarithmic apresentou o melhor ajuste com AICc = -31,666. Foi 
observado ainda, que com o aumento do tempo de secagem, os diâmetros das amostras de maçã 
diminuíram, o que era esperado, visto que ocorre a remoção de água das mesmas. A obtenção 
da umidade crítica não foi possível devido a falta de pontos para a obtenção das curvas 
crescentes e constantes do gráfico, problema esse, que pode ser solucionado aumentando a 
espessura das amostras, bem como o tempo de secagem e a diminuição do intervalo de tempo 
para coleta de dados. Para a maior confiabilidade dos dados e modelos ajustados, seria 
necessário a realização de mais ensaios de secagem, em condições experimentais diferentes. 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
 
CÓRDOVA, K. R. V. (2006) Desidratação osmótica e secagem convectiva de maçã 
fuji comercial e industrial. p – 91. 
 
EMILIANO, P. C.(2009) Fundamentos e aplicações dos critérios de informação de: 
Akaike e Bayesiano. p 42-49. 
 
MARTINAZZO, A. P.; CORRÊA, P. C.; RESENDE, O.; MELO, E. de C. Análise e 
descrição matemática de cinética de secagem de folhas de capim-limão. Disponível em < 
https://www.researchgate.net/publication/228360449_Analise_e_descricao_matematica_da_ci
netica_de_secagem_de_folhas_de_capim-limao>. Acesso em 27 de novembro de 2018. 
 
GEANKOPLIS, C. J. Transport Processes and Unit Operations. 3° Edição. Editora 
Prentice Hall, Inc. New Jersey, 1993. 
 
KALETA, A.; GÓRNICKI, K.; WINICZENKO, R.; CHOJNACKA, A. Evaluation of 
drying models of apple (var. Ligol) dried in a fluidized bed dryer. Energy Conversion and 
Management. Vol 67, p 179-185, 2013. 
 
OLIVEIRA, D. E. C.; RESENDE, O.; SMANIOTTO, T. A. de S.; CAMPOS, R. C.; 
CHAVES, T. H. Cinética de secagem dos grãos de milho. Disponível em 
<https://ainfo.cnptia.embrapa.br/digital/bitstream/item/104302/1/Cinetica-
secagem.pdf>.Acesso em 27 de novembro de 2018. 
 
ONWUDE, D.L.; HASHIM,N.; JANIUS, R.B.; NAWI,N.M.; ABDAN,K. (2016). 
Modeling the thin-layer drying of fruits and vegetables: A Review. p 610. 
 
PEREZ, L. G.; OLIVEIRA, F. M. N.; ANDRADE, J. S.; FILHO, M. M. Cinética de 
secagem da polpa cupuaçu (theobroma grandiflorum) pré desidratada por imersão-
impregnação. Disponível em < http://www.scielo.br/pdf/rca/v44n1/a13v44n1.pdf>. Acesso 
em 27 de novembro de 2018. 
 
SOUZA, M. S.; CRUZ, V. M. V.; PENA G. L.; CORREIA L. K; SANTANA, L. T.; 
REIS, C. M. (2016) Estudo da cinética de secagem da maçã (malus Domestica borkh) em 
secador solar misto sob convecção forçada. p – 5. 
 
SOBRAL,T. E. L.; BARRETO G. Análise dos critérios de informação para a seleção 
de ordem em modelos auto regressivos. Disponível em <http://www.sbmac.org.br/dinco 
n/2011/files/articles/097.pdf> Acesso em 27 de novembro de 2018.