algebra linear 1-5

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1.
		Uma industria automobilística tem um projeto para fabricar 3 modelos de carros(Hatch , SUV e  Jeep), com  2 ou 4 portas(tipos).
Considere a matriz A = aij, onde aij representa a quantidade de dias que a industria necessita para fabricar um determinado modelo i de um deteminado tipo j.
A = ⎡⎢⎣ 302519322530⎤⎥⎦[ 302519322530]
Qual alternativa abaixo representa a quantidade total de dias necessários para fabricar 2 Jeep de 2 portas?
	
	
	
	30
	
	
	25
	
	
	55
	
	
	74
	
	
	60
	
Explicação:
Solução:
Nesse caso, podemos considerar que as linhas da matriz representam o modelo(Hatch, SUV ou Jeep) e as colunas o tipo(2 ou 4 portas).
⎡⎢⎣ 302519322530⎤⎥⎦[ 302519322530]
Com isso, como deseja-se saber quantos dias são necessários para fabricar 2 Jeeps de 2 portas.
Ou seja, 2 . A3,2 = 2 . 30 = 60 dias.
Conclusão:
São necessários 60 dias para fabricar 2 Jepps de 2 portas.
 
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Se  A  é uma matriz  2x3  e  B  é uma matriz  3x1, então o produto  AB = C  é uma matriz
	
	
	
	1x3
	
	
	3x3
	
	
	1x2
	
	
	3x3 , porém, nula
	
	
	2x1
	
Explicação:
Nessa questão podemos aplicar o seguinte entendimento:
Para efetuar um produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas(p) da matriz A = ao número de linhas(p) da matriz B. 
Am,p . Bp,n = Cm.n  Assim, temos p = p.
Na questão apresentada temos AB = C =>  A2,3 . B 3,1 = C2,1.
Conclusão, a matriz C é uma matriz 2 por 1 (2 x 1).
 
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Considere as matrizes
A=(012345)A=(012345)      B=⎛⎜⎝122334⎞⎟⎠B=(122334)
Efetuando-se o produto A.B encontramos uma matriz cuja soma dos elementos da diagonal principal é:
	
	
	
	25
	
	
	47
	
	
	37
	
	
	36
	
	
	46
	
Explicação:
Você deve fazer o prduto de A . B, e no final somar a diagonal principal.
A=(012345)A=(012345)   B=⎛⎜⎝122334⎞⎟⎠B=(122334) 
A . B = Linha 1 de A  X  coluna 1 de B, Linha 1 de A  X  coluna 2 de B,
            Linha 2 de A  X  coluna 1 de B e Linha 2 de A  X  coluna 2 de B.
Ou seja:
(0+2+60+3+83+8+156+12+20)(0+2+60+3+83+8+156+12+20) =  (8112638)(8112638)  =  8 + 38 = 46.
 
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Qual alternativa abaixo representa a matriz simétrica de A = ⎡⎢⎣ 211111112⎤⎥⎦[ 211111112]?
	
	
	
	⎡⎢⎣ 211111112⎤⎥⎦[ 211111112]
	
	
	⎡⎢⎣ 100010001⎤⎥⎦[ 100010001]
	
	
	⎡⎢⎣ 112111211⎤⎥⎦[ 112111211]
	
	
	⎡⎢⎣ 212111212⎤⎥⎦[ 212111212]
	
	
	[ 0][ 0]
	
Explicação:
Matriz simétrica é uma matriz onde A = At , ou seja, a matriz A é igual a sua transposta. 
Assim, as linhas são transformada em colunas para encontrar a transposta.
Conclusão:
Sendo A = ⎡⎢⎣ 211111112⎤⎥⎦[ 211111112], a sua simétrica também será ⎡⎢⎣ 211111112⎤⎥⎦[ 211111112].
 
	
	
	
	 
		
	
		5.
		O determinante da matriz  A = [aij] , 3x3, onde: 
aij = i - j , se  i <  j  e  aij = i + j  , se i > j   é igual a
	
	
	
	0
	
	
	34
	
	
	26
	
	
	-34
	
	
	-26
	
Explicação:
a11 = 1 - 1 = 0
a12 = 1 - 2 = - 1
a13 = 1 - 3 = - 2
a21 = 2 + 1 = 3
a22 = 2 - 2 = 0
a23 = 2 - 3 = - 1
a31= 3 + 1 = 4
a32= 3 + 2 = 5
a33= 3 - 3 = 0
⎡⎢⎣0−1−20130−13045045⎤⎥⎦[0-1-20130-13045045] = - 26
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Chama-se de traço de uma matriz quadrada X e representa-se por tr(X) a soma dos elementos da sua diagonal principal. Sendo A = [aij] uma matriz quadrada de ordem par onde aij=1 se i é par ou aij=-1 se i é ímpar. Determine tr(3A).
	
	
	
	4
	
	
	1
	
	
	2
	
	
	3
	
	
	0
	
Explicação:
Definimos o traço de uma matriz quadrada A como sendo a soma dos elementos da diagonal principal.
Com base no enunciado podemos montar a seguinte matriz A:
 [ a1,1a1,2a2,1a2,2][ a1,1a1,2a2,1a2,2] = [ −1−111][ −1−111] 
 Tr (3A) = 3 . [ −1−111][ −1−111] =>  [ −3−333][ −3−333] => -3 + 3 = 0.
Conclusão, o tr(3A) = 0.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Chama-se matriz anti-simétrica toda matriz quadrada A, de orden n, tal que A t = -A. Indique qual matriz abaixo é anti-simétrica:
	
	
	
	⎡⎢⎣0ab−a0−c−b−c0⎤⎥⎦[0ab-a0-c-b-c0]
	
	
	⎡⎢⎣0ab−a0c−b−c0⎤⎥⎦[0ab-a0c-b-c0]
	
	
	⎡⎢⎣0ab−a0cb−c0⎤⎥⎦[0ab-a0cb-c0]
	
	
	⎡⎢⎣0ab−a0c−bc0⎤⎥⎦[0ab-a0c-bc0]
	
	
	⎡⎢⎣0aba0c−b−c0⎤⎥⎦[0aba0c-b-c0]
	
Explicação:
Uma matriz quadrada A é dita antissimétrica quando a sua transposta for igual a matriz oposta da própria matriz A, ou seja: At = ¿ A
Para determinação da solução são necessários então dois conceitos! 
Denominamos de matriz transposta de A, representada por At , a matriz obtida quando trocamos as linhas de A por suas colunas, ordenadamente.
Matriz oposta é a matriz - A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A.
Neste caso linhas e colunas devem ter os mesmos elementos, porém com os sinais trocados!
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Determine os valores de x, y de forma que a igualdade se verifique [x2x−1y−2y2−3]=I[x2x-1y-2y2-3]=I
	
	
	
	x=0 e y=0
	
	
	x=2 e y=2
	
	
	x=1 e y=2
	
	
	x=2 e y=1
	
	
	x=1 e y=1
	
Explicação:
Vamos igualar os elementos da matriz em tela aos elementos correspondentes da matriz identidade!
x2 = 1
y2 - 3 = 1
x - 1 = 0
y - 2 = 0
Temos então que x = 1 e y = 2