Aula Curvas Verticais

Prévia do material em texto

ESTRADAS I 
Profa. Sarah Denise Vasconcelos 
 
Tratamentos superficiais 
CURVAS VERTICAIS 
As Curvas Verticais servem para 
unir de modo confortável e 
seguro as rampas de aclive 
(subidas) com as rampas de 
declive (descida) e vice-versa 
SUPERELEVAÇÃO 
DEVEM ATENDER AS CONDIÇÕES DE 
SEGURANÇA, CONFORTO, BOA 
APARÊNCIA E VISIBILIDADE E 
PERMITIR UMA DRENAGEM 
ADEQUADA. 
PERFIL LONGITUDINAL 
Projeto de uma estrada em perfil é constituído de greides retos concordados dois a dois 
com curvas verticais. 
 
)tan(i
 
 
GREIDES RETOS: 
Definidos por sua declividade (i%) = tangente do ângulo que o alinhamento faz com a 
horizontal. 
 
 
Onde: 
i = declividade dos greides retos. 
a = ângulo do alinhamento do greide reto com a horizontal. 
PERFIL LONGITUDINAL 
 
 
 
CURVAS VERTICAIS 
 
 
i1 (+)

l
h PTV2
PCV2
PTV1PCV1
PIV2
PIV1
100.(%)
l
h
i



Onde: 
PIV – Ponto de interseção vertical; 
PCV – Ponto de curva vertical; 
PTV – Ponto de tangente vertical; 
i – Declividade ou rampa do greide; 
 - Ângulo do greide com a horizontal. 
 
CURVAS VERTICAIS 
Greides ascendentes – declividades (i) positivas 
Greides descendentes – declividades (i) negativas 
Sentido do greide  Mesmo do estaqueamento. 
Inclinações Máximas (greide máximo) 
CURVAS VERTICAIS 
Visando suavizar os efeitos decorrentes de passagem brusca de uma inclinação para 
outra, diversas curvas poderiam ser empregadas: 
CURVAS VERTICAIS 
Parábola do 2º grau 
(Recomendada pelo DNIT) 
Curvas de concordância utilizadas em 
rodovias 
Elipse 
 
Parábola cúbica 
Curva circular 
 
PARÁBOLA DO 2º GRAU 
 
→Curva de concordância simples; 
→Recomendada pelo DNIT, preferencialmente simétrica 
→ Definidas pelo parâmetro k; 
→k - taxa de variação da declividade longitudinal na unidade do comprimento - k=f 
(velocidade diretriz). 
→A taxa de variação de declividade da parábola é constante; 
→O PCV e o PTV podem ser locados em estacas inteiras ou +10,00, de acordo com o projeto; 
→Não é necessário o uso de gabaritos ou tabelas para desenhar a curva no projeto. 
→Facilidade no cálculo da cota de qualquer estaca intermediária; 
PTVPIVPIVPCV 
CURVAS VERTICAIS 
CURVAS VERTICAIS 
Tipos de Curvas Verticais 
Cálculo dos elementos definidores da curva parabólica de concordância vertical 
→ Diferença algébrica entre rampas (g) 
21 iig 
g é positivo 
curva vertical parabólica é 
convexa 
g é negativo 
curva vertical parabólica é 
côncava 
 
Podem ser dispensadas curvas verticais quando g for inferior a 0,5% 
Cálculo dos elementos definidores da curva parabólica de concordância vertical 
→ Raio da curva Parabólica 
Menor raio instantâneo da curva parabólica simples 
 
Raio da circunferência (RV) 
 
L – Distância horizontal entre PCV e PTV; 
g - Diferença ou variação entre as declividades do greide (i1 – i2). 
g
L
Rv 
21.. iiRgRL vv 
Cálculo dos elementos definidores da curva parabólica de concordância vertical 
→ Equação da parábola simples 
Considerando a parábola simples com origem do sistema de eixos no PCV. 
cbxaxy  2
0x
0c
0y
Determinação de a, b e c : 
1)Na origem: 
 
 
 
CURVAS VERTICAIS 
→ Equação da parábola simples 
 
 
  12 icbxax
dx
d

12 ibax 
1ib 
0x
2) Em PCV: a derivada da curva 
nesse ponto equivale a inclinação 
da reta tangente. 
 
 
 
CURVAS VERTICAIS 
→ Equação da parábola simples 
 
 
Lx 
3) Em PTV: a derivada da curva 
nesse ponto equivale a inclinação 
da reta tangente à curva. 
 
  22 icbxax
dx
d

 
L
ii
aiiaL
2
2 1221


22 ibax 
CURVAS VERTICAIS 
→ Equação da parábola simples 
 
 
Então, tendo : 
 
xix
L
g
y ..
2
1
2 


: 
 
21 iig 
A equação fornece a ordenada y 
de qualquer ponto da abscissa x 
da curva em relação ao PCV (0,0). 
CURVAS VERTICAIS 
→ Equação da parábola simples 
 
Para a obtenção das cotas de um ponto genérico P em relação a um plano de referência, a equação é a 
que segue: 
 
)(..
2
)( 1
2 PCVCotaxix
L
g
PCota 


CURVAS VERTICAIS 
→ Cálculo das flechas parciais da parábola simples 
 
Para o 1° ramo da figura, 
temos ainda: 
 
 
Então: 
 
 
 
 
 
Sendo: 
f - Flecha da parábola; 
g - Diferença algébrica das rampas; 
L - Comprimento da curva vertical; 
x - Distância horizontal do ponto de cálculo da flecha ao PCV. 
Em PIV (flecha máxima): 
 
xixix
L
g
fxiyf ...
2
. 11
2
1 
2.
2
x
L
g
f 
8
.
2
.
2
2
Lg
F
L
L
g
F 






CURVAS VERTICAIS 
→Cálculo do ponto de ordenada máxima ou mínima da parábola simples: 
 
 
 
No ponto de máximo e mínimo, 
temos: 
 
 
 
 
 
11
2 ...
2
ix
L
g
dx
dy
xix
L
g
y 




0Lx 
0
dx
dy
Então: 
 
 
g
Li
L
.1
0 
g
Li
y
.2
.21
0 
CURVAS VERTICAIS 
→Cotas e estacas do PCV e PTV: 
 
 
 
 
: 
 
 2/)()( LPIVEPCVE 
 2/)()( LPIVEPTVE 
2
.)()( 1
L
iPIVCotaPCVCota 
2
.)()( 2
L
iPIVCotaPTVCota 
 
 
Exercício – Determinar a flecha máxima, as estacas e cotas de PCV e PTV e as flechas parciais da curva 
vertical simétrica, com base nos dados a seguir: 
i1= -2%, i2= -6%, L= 200m, E(PIV) = 215 + 0,00m, cota(PIV) = 152,420m 
 
21 iig 
* Determinar a flecha máxima(F): 
 
04,0)06,0(02,0 g
8
.Lg
F 
* Cálculo das Estacas do PCV e PTV 
 
mF 0,1
8
200.04,0

 2/)()( LPIVEPCVE  mPCVE 00,021000,100)0215()( 
 2/)()( LPIVEPTVE  mPTVE 00,022000,100)0215()( 
Exercício - cont. 
*Cálculo das cotas do PCV e PTV 
cota(PIV) = 152,420m 
 
*Cálculo das Flechas Parciais da Parábola 
De PCV até PIV 
2
.)()( 1
L
iPIVCotaPCVCota  mPCVCota 420,154
2
200
).02,0(420,152)( 
2
.)()( 2
L
iPIVCotaPTVCota  mPTVCota 420,146
2
200
).06,0(420,152)( 
De PIV até PTV 
2.
.2
x
L
g
f  2.
200*2
04,0
xf 
2).(
.2
xL
L
g
f  2200
2002
040
)x.(
*
,
f 
Comprimento a ser adotado para as curvas verticais parabólicas 
 
 
Por questões de ordem prática, os comprimentos de curvas verticais a 
serem utilizados nos projetos geométricos de rodovias são 
preferencialmente arredondados para valores inteiros, múltiplos de 20,00 m, 
de forma a que os pontos de concordância resultem em estacas inteiras ou 
em estacas múltiplas de 10,00 m, dependendo, naturalmente, dos 
posicionamentos dos pontos de interseção verticais (PIV). 
 
 
CURVAS VERTICAIS 
Critério do Mínimo Valor Absoluto 
 
A prática rodoviária indica que curvas verticais muito curtas, embora possam atender tecnicamente 
a outros critérios, resultam em greides com má aparência, desnecessariamente angulosos. Para 
evitar isso, as normas do DNER recomendam que as curvas verticais tenham comprimentos 
suficientes para que as variações de declividades entre os trechos retos do greide sejam 
experimentadas pelos usuários ao longo de um tempo igual ou maior que 2 segundos. 
 
Portanto, o comprimento mínimo da curva, de acordo com este critério, será dado pela distância 
percorrida por um veículo, que se desloca a uma certa velocidade v, no tempo de 2 s, o qual 
poderá ser calculado por: 
 
 
 
vL .2min 
CURVAS VERTICAIS 
Critério do Mínimo Valor Absoluto 
 
Convertendo a expressão para expressara velocidade em km/h, resultará: 
 
 
 
 
 
onde: 
Lmín = comprimento mínimo da curva vertical (m); 
V = velocidade diretriz (km/h) 
 
Por considerações de ordem prática, o valor de Lmín deve ser limitado inferiormente a 20,00 
m. 
 
 
 
VL .6,0min 
CURVAS VERTICAIS 
Critério da Distância de Visibilidade 
 
O comprimento das curvas verticais se fixa de acordo com as distâncias de visibilidade. São duas 
as principais distâncias de visibilidade a serem consideradas: 
 
• Parada (situação mínima) 
• Ultrapassagem (situação especial) 
 
A consideração da distância de visibilidade de ultrapassagem geralmente leva a valores 
exagerados para o comprimento das curvas verticais, que são de difícil aplicação na prática. 
CURVAS VERTICAIS 
Distância de Visibilidade de Parada - Relembrando 
em que: 
DP: Distância de visibilidade de parada; 
i: Greide, em m/m (“+”, se ascendente e “-“, se descendente); 
V: Velocidade de projeto ou de operação, em km/h; 
f: Coeficiente de atrito longitudinal pneu/pavimento. 
 if
V
VDp


.255
.7,0
2
Tabela: Coeficiente de atrito longitudinal pneu/pavimento, considerando Vel. diretriz 
 
CURVAS VERTICAIS 
Critério da Distância de Visibilidade nas Curvas Verticais Convexas 
 
O comprimento mínimo das curvas verticais convexas é determinado em função das condições 
necessárias de visibilidade nas curvas, de forma a dar ao motorista o espaço necessário a uma 
frenagem segura quando este avista um obstáculo parado em sua trajetória. 
 
O critério atualmente estabelecido pelas normas do DNER, para a determinação do 
comprimento mínimo de uma curva vertical convexa, considera que um motorista, com os 
olhos postados a 1,10 m de altura sobre a pista (h1), deva ser capaz de enxergar um 
obstáculo de 0,15 m de altura acima da pista (h2), a uma distância de visibilidade pelo menos 
igual à distância de visibilidade de parada (Dp). 
CURVAS VERTICAIS 
Critério da Distância de Visibilidade nas Curvas Verticais Convexas 
Assim, para todas as curvas 
convexas da estrada deve-se 
ter: 
pDS 
onde: 
S = distância de visibilidade do motorista; 
Dp = distância de visibilidade de parada 
CURVAS VERTICAIS 
Critério da Distância de Visibilidade nas Curvas Verticais Convexas 
 
Para determinar o menor comprimento da curva vertical, de forma a ser respeitada a inequação, 
faz-se S = Dp, considerando a altura da vista do motorista em relação à pista (h1 = 1,10 m) e a 
altura do obstáculo (h2 = 0,15 m). 
 
Observado este critério, há duas situações geometricamente distintas a considerar, dependendo 
das posições do motorista e do obstáculo em relação à curva, conforme os casos apresentados a 
seguir. 
CURVAS VERTICAIS 
Critério da Distância de Visibilidade nas Curvas Verticais Convexas 
 
1º Caso: O motorista, dentro da curva, enxerga o obstáculo também postado na curva 
(S=Dp≤L). 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde: 
Lmín = comprimento mínimo da curva vertical (m); 
Dp = distância de visibilidade de parada (m); 
A = diferença algébrica de rampas (%). 
CURVAS VERTICAIS 
Critério da Distância de Visibilidade nas Curvas Verticais Convexas 
 
2º Caso: O motorista, antes da curva, enxerga o obstáculo situado após a curva (S=Dp>L). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde: 
Lmín = comprimento mínimo da curva vertical (m); 
Dp = distância de visibilidade de parada (m); 
A = diferença algébrica de rampas (%). 
CURVAS VERTICAIS 
Critério da Distância de Visibilidade nas Curvas Verticais Côncavas 
 
Durante o dia e no caso de pistas iluminadas artificialmente, geralmente não ocorrem 
problemas de visibilidade. Para pistas não iluminadas, aplica-se o critério da visibilidade 
noturna, ou seja, a pista deve ser iluminada à distância de visibilidade de parada pelo farol do 
veículo, por hipótese situado a h3 = 0,61 m acima do plano da pista, supondo que seu facho o 
luminoso diverge de 1° do eixo longitudinal do veículo. 
 
Também no caso das curvas verticais côncavas há duas situações a considerar, dependendo das 
posições do veículo (de seus faróis) e do ponto mais distante da área suficientemente iluminada 
em relação à curva, conforme os casos apresentados a seguir. 
CURVAS VERTICAIS 
Critério da Distância de Visibilidade nas Curvas Verticais Côncavas 
 
1º Caso: Os faróis do veículo e o ponto mais distante iluminado estão dentro da curva 
(S=Dp≤L). 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde: 
Lmín = comprimento mínimo da curva vertical (m); 
Dp = distância de visibilidade de parada (m); 
A = diferença algébrica de rampas (%). 
CURVAS VERTICAIS 
Critério da Distância de Visibilidade nas Curvas Verticais Côncavas 
 
2º Caso: Os faróis do veículo, situados antes da curva, iluminam o ponto mais distante, localizado 
após a curva (S=Dp>L). 
 
 
 
 
 
 
 
onde: 
Lmín = comprimento mínimo da curva vertical (m); 
Dp = distância de visibilidade de parada (m); 
A = diferença algébrica de rampas (%). 
CURVAS VERTICAIS 
Exercício 1 - Determinar os elementos definidores de uma concordância vertical com 
parábola simples. 
Resposta: 
 
Determinar o comprimento da 
Parábola(L): 
 
- Critério do mínimo valor absoluto 
VL .6,0min 
mL 3660.6,0min 
Exercício 1 - cont. 
 
- Critério da distância de visibilidade 
 
f =0,33 (tabela) e i = -0,06 (pior situação - descida da maior rampa) 
 
Tabela: Coeficiente de atrito longitudinal pneu/pavimento, considerando Vel. diretriz 
CURVAS VERTICAIS 
 if
V
VDp


.255
.7,0
2
 06,033,0.255
60
60.7,0
2

pD
29,9429,5242 pD mDp 00,95
Exercício 1 - cont. 
 
- Critério da distância de visibilidade 
 
1ª. Hipótese - Considerando Dp≤L 
 
CURVAS VERTICAIS 
 
21 iiA  %8)6(2 A
A
D
L
p
*
412
2
min  8*
412
952
min L
mL 175min 
Dp≤L → Hipótese confirmada 
 
L adotado = 180m 
(Por questões de ordem prática, os comprimentos de curvas verticais a serem utilizados nos projetos 
geométricos de rodovias são preferencialmente arredondados para valores inteiros, múltiplos de 20,00 
m) 
Exercício 1 - cont. 
 
CURVAS VERTICAIS 
21 iig 
* Determinar a flecha máxima(F): 
 
080060020 ,),(,g 
8
.Lg
F 
* Cálculo das Estacas do PCV e PTV 
 
m,
.,
F 81
8
180080

 2/)()( LPIVEPCVE  ),(,)()PCV(E 0010750090080 
 2/)()( LPIVEPTVE  ),(,)()PTV(E 0010840090080 
Exercício 1 - cont. 
CURVAS VERTICAIS 
*Cálculo das cotas do PCV e PTV 
cota(PIV) = 830,00m 
 
*Cálculo do ponto de ordenada máxima da parábola em relação ao PCV 
2
.)()( 1
L
iPIVCotaPCVCota  20828
2
180
02000830 ,).,(,)PCV(Cota 
2
.)()( 2
L
iPIVCotaPTVCota  60824
2
180
06000830 ,).,(,)PTV(Cota 
g
Li
L
.1
0  mL 45
08,0
180.02,0
0 
g
Li
y
.2
.21
0  my 45,0
08,0.2
180.02,0 2
0 
Estaca de ordenada máx. = Estaca(PCV) + L0 = (75+10,00) + 45 = (77+15,00) 
Cota de ordenada máx. = Cota(PCV) + y0 = 828,2 + 0,45 = 828,65m 
Exercício 1 - cont. 
CURVAS VERTICAIS 
*Cálculo das Flechas Parciais da Parábola 
De PCV até PIV 
De PIV até PTV 
2.
.2
x
L
g
f  2
1802
080
x.
*
,
f 
2).(
.2
xL
L
g
f  2180
1802
080
)x.(
*
,
f 
De PCV até PIV 
Cota Greide Reto = Cota(PCV) + i1.x = 828,20 + 0,02.x 
 
De PIV até PTV 
Cota Greide Reto = Cota(PIV) + i2.(x-L/2) = 830,00 + (-0,06).(x-(180,00/2)) 
Exercício 1 - cont. 
CURVAS VERTICAIS 
(Cota Greide Curvo) = (Cota Greide Reto) – (Flecha Parcial) 
Estacas Flechas Parciais Cota Greide Reto Cota Greide Curvo 
Est PCV = Est(75+10,00)0 828,2 828,20 
76 0,022 828,4 828,38 
77 0,200 828,8 828,60 
Est(77+15,00) 0,450 829,1 828,65 
78 0,556 829,2 828,64 
79 1,089 829,6 828,51 
Est PIV = Est(80) 1,800 830 828,20 
81 1,089 828,8 827,71 
82 0,556 827,6 827,04 
83 0,200 826,4 826,20 
84 0,022 825,2 825,18 
Est PTV = Est(84+10,00) 0,000 824,6 824,60 
A estaca Est (77+15,00) é o ponto de ordenada máxima da 
parábola em relação ao PCV. 
Exercício 2 - Calcular os elementos notáveis (estacas e cotas de PCV, PTV e V) da curva cujos dados 
são descritos abaixo e confeccionar a nota de serviço a seguir. O raio da curva vertical (Rv) é igual a 
4000 m e a distância de visibilidade de parada (Dp) é igual a 112 m. 
Dados: 
i1 = +1% 
i2 = -3% 
PIV cota 670 m e estaca 74 + 0,00 m. 
CURVAS VERTICAIS 
Resposta: 
 
Determinar o comprimento da Parábola(L): 
 
 
 L = g*Rv = 0,04*4000 = 160 m 
21 iig 
040030010 ,),(,g 
Exercício 2 - cont. 
 
 - Verificação de Lmin pelo Critério da Distância de Visibilidade 
 
 
 Dp≤L 
CURVAS VERTICAIS 
mDp 00,112
21 iiA  %4)3(1 A
A
D
L
p
*
412
2
min  4*
412
112 2
min L mL 79,121min 
(OK!) 
mLm,Lmin 16079121 
Exercício 2 - cont. 
 
CURVAS VERTICAIS 
* Determinar a flecha máxima(F): 
 
8
.Lg
F 
* Cálculo das Estacas do PCV e PTV 
 
m,
.,
F 80
8
160040

 2/)()( LPIVEPCVE  ),(,)()PCV(E 000700080074 
 2/)()( LPIVEPTVE  ),(,)()PTV(E 000780080074 
Exercício 2 - cont. 
CURVAS VERTICAIS 
*Cálculo das cotas do PCV e PTV 
cota(PIV) = 670,00m 
 
*Cálculo do ponto de ordenada máxima da parábola em relação ao PCV 
2
.)()( 1
L
iPIVCotaPCVCota  m,).,(,)PCV(Cota 20669
2
160
01000670 
2
.)()( 2
L
iPIVCotaPTVCota  m,).,(,)PTV(Cota 60667
2
160
03000670 
g
Li
L
.1
0  m
,
.,
L 40
040
160010
0 
g
Li
y
.2
.21
0  m,
,.
.,
y 200
0402
160010 2
0 
Estaca de ordenada máx. = Estaca(PCV) + L0 = (70+0,00) + 40 = (72+0,00) 
Cota de ordenada máx. = Cota(PCV) + y0 = 669,20 + 0,20 = 669,40m 
Exercício 2 - cont. 
CURVAS VERTICAIS 
*Cálculo das Flechas Parciais da Parábola 
De PCV até PIV 
De PIV até PTV 
2.
.2
x
L
g
f  2
1602
040
x.
*
,
f 
2).(
.2
xL
L
g
f  2160
1602
040
)x.(
*
,
f 
De PCV até PIV 
Cota Greide Reto = Cota(PCV) + i1.x = 669,20 + 0,01.x 
 
De PIV até PTV 
Cota Greide Reto = Cota(PIV) + i2.(x-L/2) = 670,00 + (-0,03).(x-(160,00/2)) 
Exercício 2 - cont. 
CURVAS VERTICAIS 
(Cota Greide Curvo) = (Cota Greide Reto) – (Flecha Parcial) 
Estacas Flechas Parciais Cota Greide Reto Cota Greide Curvo 
Est PCV = Est(70+0,00) 0 669,20 669,20 
71 0,05 669,40 669,35 
72 0,20 669,60 669,40 
73 0,45 669,80 669,35 
Est PIV = Est(74+0,00) 0,80 670,00 669,20 
75 0,45 669,40 668,95 
76 0,20 668,80 668,60 
77 0,05 668,20 668,15 
Est PTV = Est(78+0,00) 0 667,60 667,60 
A estaca Est (72+0,00) é o ponto de ordenada máxima da 
parábola em relação ao PCV.