Secao 16 4 -Teorema de Green

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LISTA DE CÁLCULO III – CÁLCULO VETORIAL
Seção 16.4 - Teorema de Green
1 – 4 Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema
de Green.
1.
∮
C(x− y)dx+ (x+ y)dy, C é o ćırculo com centro na origem e raio 2.
2.
∮
C xydx+ x
2dy, C é o retângulo com vértices (0, 0),(3, 0),(3, 1) e (0, 1).
3.
∮
C xydx+ x
2y3dy, C é o triângulo com vértices (0, 0),(1, 0) e (1, 2).
4.
∮
C xdx+ ydy, C é consiste nos segmentos de reta de (0, 1) a (0, 0) e de (0, 0) a (1, 0) e na
parábola y = 1− x2 de (1, 0) a (0, 1).
5 – 10 Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com
orientacao positiva.
5.
∫
C e
ydx+ 2xeydy, C é o quadrado de lados x = 0, x = 1, y = 0ey = 1.
6.
∫
C x
2y2dx+ 4xy3dy, C é o triângulo com vértices (0, 0),(1, 3) e (0, 3).
7.
∫
C(y+e
√
x)dx+(2x+cos y2)dy, C é a fronteira da região englobada pelas parábolas y = x2
e x = y2.
8.
∫
C xe
−2xdx + (x4 + 2x2y2)dy, C é a fronteira da região entre os ćırculos x2 + y2 = 1 e
x2 + y2 = 4.
9.
∫
C y
3dx− x3dy, C é o ćırculos x2 + y2 = 4.
10.
∫
C sin ydx+ x cos ydy, C é a elipse x
2 + xy + y2 = 1.
11 – 14 Use o Teorema de Green para calcular
∫
C F · dr. (Verifique a orientação da curva antes
de aplicar o Teorema).
11. F(x, y) = 〈
√
x+ y3, x2 +
√
y〉, C consiste no arco da curva y = sinx de (0, 0) a (π, 0) e no
segmento de reta de (π, 0) a (0, 0).
12. F(x, y) = 〈y2 cosx, x2 +2y sinx〉, C é o triângulo com vértices (0, 0) a (2, 6) a (2, 0) a (0, 0).
13. F(x, y) = 〈ex + x2y, ey − xy2〉, C é o circunferência x2 + y2 = 25, orientada no sentido
horário.
14. F(x, y) = 〈y − ln (x2 + y2), 2 tan−1 (y/x)〉, C é o circunferência (x − 2)2 + (y − 3)2 = 1,
orientada no sentido anti–horário.
17. Use o Teorema de Green Para achar o trabalho realizado pela força F(x, y) = x(x+ y)i +
xy2j ao mover uma part́ıcula da origem ao longo do eixo x até (1, 0), em seguida ao longo
de um seguimento de reta até (0, 1), e então de volta a origem ao longo de eixo y.
18. Uma part́ıcula inicialmente no ponto (−2, 0) se move ao longo do eixo x até (2, 0) e então
ao longo da semicircunferência y =
√
4− x2 até o ponto inicial. Utilize o Teorema de
Green para determinar o trabalho realizado nessa part́ıcula pelo campo de forças F(x, y) =
〈x, x3 + 3xy2〉.
19. Use uma das fórmulas em (5) para achar a área sob um arco da cicloide x = t− sin t, y =
1− cos t.
1
RESPOSTAS – SEÇÃO 16.4 – TEOREMA DE GREEN
1. 8π
2. 9/2
3. 2/3
4. 0
5. e− 1
6. 318/5
7. 1/3
8. 0
9. −24π
10. 0
11. 4/3− 2π
12. −16
13. 625π/2
14. −π
17. −1/12
18. 12π
19. 3π
2