Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
AD2 – Questa˜o 2 – Gabarito Em cada item determine o que se pede. a) (1.0 pt) Sabe-se que o lucro de uma empresa e´ dado pela relac¸a˜o L = R−C, onde L representa o lucro, R a receita total e C o custo total da produc¸a˜o. Em uma empresa que produziu x unidades de um produto, verificou-se que R = 600x− x2 e C = x2 − 200x. Nestas condic¸o˜es: i) Obtenha a expressa˜o em x que define o lucro dessa empresa. ii) Considerando que essa empresa teve um lucro nulo, qual foi a quantidade de unidades que ela produziu? iii) Qual o significado da situac¸a˜o considerada no item ii) em termos da receita R e do custo C? Soluc¸a˜o: i) L = R − C = (600x− x2)− (x2 − 200x) = 600x− x2 − x2 + 200x = −2x2 + 800x. ii) L = 0 ⇐⇒ −2x2 + 800x = 0 ⇐⇒ 2x2 − 800x = 0 ⇐⇒ x2 − 400x = 0 ⇐⇒ x(x− 400) = 0 ⇐⇒ x = 0 ou x− 400 = 0 ⇐⇒ x = 0 ou x = 400. Como essa empresa produziu x unidades, x 6= 0. Consequentemente, com lucro nulo essa empresa produziu 400 unidades do produto. iii) O significado e´ que a receita total R e´ igual ao custo total C. De fato, pois para x = 400 R = 600(400)− 4002 = 240000− 160000 = 80000 reais, bem como C = 4002 − 200(400) = 160000− 80000 = 80000 reais. b) (1,5 pt) Obtenha o conjunto soluc¸a˜o das seguintes equac¸o˜es: i) |x2 − 6x| = 9 ii) 2|x2|+ 3|x| − 2 = 0 Soluc¸a˜o: i) |x2 − 6x| = 9⇐⇒ x2 − 6x = ±9. Me´todos Determin´ısticos I AD2 - questa˜o 2 2 1o Caso: x2 − 6x = 9 ⇐⇒ x2 − 6x− 9 = 0 ⇐⇒ x = 6± √ 36 + 36 2 = 6±√2(36) 2 = 6± 6√2 2 = 3± 3 √ 2 ⇐⇒ x1 = 3− 3 √ 2, x2 = 3 + 3 √ 2. 2o Caso: x2 − 6x = −9 ⇐⇒ x2 − 6x+ 9 = 0 ⇐⇒ x = 6± √ 36 − 36 2 = 6 2 = 3 ⇐⇒ x1 = x2 = 3. Logo, S = {3− 3√2, 3 + 3√2, 3}. ii) 2|x2|+ 3|x| − 2 = 0. Lembre-se que |x2| = |x · x| = |x| · |x|. 1o Caso: x > 0 Enta˜o |x| = x e |x2| = |x| · |x| = x · x = x2. Da´ı, 2|x2|+ 3|x| − 2 = 0⇐⇒ 2x2 + 3x− 2 = 0. Logo, x = −3±√9 + 16 4 = −3±√25 4 = −3± 5 4 , Isto e´, x = −3 + 5 4 = 1 2 ou x = −3− 5 4 = −2 Como x > 0, a resposta deste item e´ x = 1 2 . 2o Caso: x < 0 Enta˜o |x| = −x e |x2| = |x| · |x| = (−x) · (−x) = (−x)2. Da´ı, 2|x2|+ 3|x| − 2 = 0⇐⇒ 2(−x)2 + 3(−x)− 2 = 0⇐⇒ 2x2 − 3x− 2 = 0. Logo, x = 3±√25 4 = 3± 5 4 , Isto e´, x = 3 + 5 4 = 2 ou x = 3− 5 4 = −1 2 Como x < 0, a resposta deste item e´ x = −1 2 . Consequentemente, S = { −1 2 , 1 2 } . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Compartilhar