Matemática e Bioestatística - Livro-Texto - Unidade II

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MateMática e Bioestatística
Unidade II
5 ESTATÍSTICA
O método estatístico pode ser entendido como um conjunto de meios que, conduzidos e dispostos 
convenientemente, permite que se canalizem as informações para determinado objetivo.
Os objetivos deste tópico são:
•	 dar	as	noções	iniciais	de	conceitos	básicos	de	Estatística;
•	 fazer	que	você	saiba	diferenciar	as	divisões	da	Estatística	em	Descritiva	e	Indutiva;
•	 diferenciar	os	tipos	de	variáveis;
•	 lidar	com	as	fases	do	trabalho	estatístico.
A	Estatística,	ou	métodos	estatísticos,	como	é	denominada	algumas	vezes,	desempenha	papel	
crescente	 e	 importante	 em	 quase	 todas	 as	 fases	 da	 pesquisa	 humana.	 Lidando	 anteriormente	
apenas	com	negócios	de	Estado,	o	que	justifica	seu	nome,	a	influência	dessa	ciência	estendeu-se	
agora	à	Agricultura,	Biologia,	Comércio,	Química,	Comunicações,	Economia,	Educação,	Eletrônica,	
Medicina,	Física,	Ciências	Políticas,	Psicologia,	Sociologia	e	outros	numerosos	campos	da	ciência	e	
da	Engenharia.	
Ela	está	interessada	nos	métodos	científicos	para	coleta,	organização,	resumo,	apresentação	e	análise	
de	dados,	bem	como	na	obtenção	de	conclusões	válidas	e	na	tomada	de	decisões	razoáveis	baseadas	em	
tais	análises.
5.1 Definição
Existem	 várias	 definições	 para	 Estatística.	 Apresentaremos	 aqui	 uma	 delas,	 encontrada	 na	
bibliografia	anexa.
De	 acordo	 com	 Peatman	 Jr.	 (1963,	 p.	 4),”[...]	 estatística	 é	 um	 conjunto	 de	métodos	 e	 processos	
quantitativos	que	serve	para	estudar	e	medir	fenômenos	coletivos”.	
O	 objetivo	 geral	 da	 Estatística,	 como	 um	 campo	 de	 investigação,	 é	 o	 desenvolvimento	 de	
procedimentos	 que	 permitam	 analisar	 e	 interpretar	 um	 fenômeno	 observado,	 de	 modo	 a	 avaliar	
objetivamente a situação em observação.
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Unidade II
5.2 Conceitos usados em Estatística
5.2.1 População e amostra
Ao	coletar	os	dados	referentes	às	características	de	um	grupo	de	objetos	ou	indivíduos,	como	estatura	
e peso dos estudantes de uma universidade, o número de casos de cólera atendidos em um município 
por	mês	ou	o	número	de	peças	defeituosas	produzidas	 em	uma	 fábrica	 em	um	certo	dia,	 é	muitas	
vezes	 impossível	ou	impraticável	observar	todo	o	grupo,	especialmente	se	for	muito	grande,	ou	se	a	
observação	implica	a	destruição	do	objeto	em	questão.	Em	vez	de	examinar	todo	o	grupo,	denominado	
população	ou	universo,	examina-se	uma	pequena	parte	chamada	amostra.
 Observação
População:	 é	 qualquer	 conjunto	 de	 informações	 que	 tenham,	 entre	
si,	 uma	 característica	 comum.	 Em	 Estatística,	 população	 não	 significa,	
necessariamente,	“pessoas”.
Amostra: é um subconjunto da população, de dimensões menores que 
ela, sem perda das características essenciais.
Uma	população	pode	ser	finita	ou	infinita.	Por	exemplo,	a	população	constituída	de	laranjas	de	um	
pomar	é	finita,	enquanto	a	população	constituída	de	todos	resultados	(cara	ou	coroa)	em	sucessivos	
lances	de	uma	moeda	é	infinita.
5.2.2 Estatística Indutiva e Estatística Descritiva
Se	uma	amostra	é	representativa de uma população, conclusões importantes podem ser inferidas 
de	sua	análise.	A	parte	da	Estatística	que	trata	das	condições	sob	as	quais	essas	inferências	são	válidas	
chama-se	Estatística	Indutiva	ou	Inferência	Estatística.	Como	essa	inferência	não	pode	ser	absolutamente	
certa,	a	linguagem	da	probabilidade	é	muitas	vezes	usada	no	estabelecimento	de	conclusões.
A	parte	da	Estatística	que	procura	somente	descrever	e	analisar	um	certo	grupo,	sem	tirar	quaisquer	
conclusões	ou	inferências	sobre	um	grupo	maior,	é	chamada	Descritiva	ou	Dedutiva.
5.2.3 Variáveis
Chamamos	de	variável	ao	conjunto	de	resultados	possíveis	de	um	fenômeno	aleatório.	As	variáveis	
podem ser qualitativas,	 quando	 representam	 um	 conjunto	 de	 categorias	 ou	 modalidades,	 ou	
quantitativas, quando representam um conjunto de números.
As	variáveis	ainda	podem	ser:
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MateMática e Bioestatística
•	 Contínuas:	são	aquelas	que,	teoricamente,	podem	assumir	qualquer	valor	em	um	intervalo.	Em	
geral,	as	medições	dão	origem	a	dados	contínuos.	Exemplo:	a	altura	H	de	indivíduos,	que	pode	ser	
1,65	m,	1,662	m	ou	1,6772	m,	conforme	a	precisão	da	medida,	é	uma	variável	contínua.
•	 Discretas:	 são	aquelas	 em	que,	 de	um	valor	para	outro,	não	existe	 continuidade.	Geralmente	
originam-se	de	contagens.	Exemplo:	o	número	N	de	crianças,	em	uma	família,	que	pode	assumir	
qualquer	um	dos	valores	0,	1,	2,	3,	...	mas	não	pode	ser	2,5	ou	3,842,	é	uma	variável	discreta.
5.2.4 Mensuração
Desde	 os	 tempos	 remotos,	 o	 homem	 tem	 a	 preocupação	 de	medir	 coisas.	 Em	nossa	 vida	 diária,	
frequentemente	estamos	medindo	algo:	o	tempo	gasto	em	uma	tarefa,	a	distância	a	ser	percorrida	em	
um	compromisso,	o	número	de	convidados	para	uma	festa,	entre	outros.	Mensurar	significa	associar	
a	alguma	coisa	um	número.	As	coisas	que	medimos	diferem	entre	si	quanto	à	classe	a	que	pertencem.	
Exemplo:	estatura,	velocidade,	inteligência,	beleza.	A	forma	de	mensuração	depende	da	classe	ou	nível	
a	que	ela	pertence,	pois	cada	nível	possui	características	próprias,	de	acordo	com	a	sua	complexidade.
Os	níveis	de	mensuração	são	os	seguintes:
•	 1º nível – nominal:	é	o	mais	baixo	nível	da	escala	de	medidas.	É	usado	para	classificar	um	objeto,	
pessoa	ou	característica.	Nele	vale	apenas	a	relação	de	igualdade	(=).	Exemplo:	sexo,	masculino	
e	feminino;	podemos	atribuir	valores	a	essa	variável:	masculino	=	0	e	feminino	=	1.	No	entanto,	
não é possível realizar operações aritméticas com esses números.
•	 2º nível – ordinal:	é	usado	para	atribuir	ordem.	Aqui,	além	da	relação	de	igualdade	(=),	valem	
as	relações	“maior	que/menor	que”	(<,	>).	Exemplo:	na	hierarquia	militar,	sargento	manda	mais	
que	cabo	que	por	sua	vez	manda	mais	que	soldado.	Daí	podemos	representar:	sargento	>	cabo	>	
soldado,	ou	cabo	=	cabo.	Esse	nível	também	não	permite	operações	aritméticas.
•	 3º nível – intervalar: aqui aparece pela primeira vez uma escala verdadeiramente quantitativa. 
Caracteriza-se	pela	existência	de	uma	unidade	de	medida	arbitrária,	porém	fixa,	e	de	um	zero	
convencionado.	Exemplo:	nas	escalas	de	temperatura,	o	zero	é	convencionado	e	a	distância	entre	
graus	de	uma	mesma	escala	também.	Nesse	nível,	as	únicas	operações	aritméticas	são	a	adição	
e	a	subtração	(multiplicação	e	divisão	não	são	permitidas).	Justificativa:	se	um	líquido	A	está	a	 
30º	C	e	o	líquido	B	a	10ºC,	não	podemos	dizer	que	a	temperatura	de	A	é	três	vezes	maior	que	a	
de	B,	pois	na	escala	Fahrenheit	teríamos	o	corpo	A	a	86ºF	e	B	a	50ºF	(na	escala	Fahrenheit	a	água	
vira	gelo	a	32ºF	e	vapor	a	212ºF).	
•	 4º nível – racional:	é	semelhante	ao	nível	intervalar,	com	a	diferença	de	existir	um	zero	verdadeiro,	
ou	seja,	o	zero	não	é	convencionado.	Nesse	nível,	todas	as	operações	aritméticas	são	possíveis.	
Exemplos:	distância	(km),	volume	(m3),	entre	outros.
As	mensurações	em	nível	ordinal	e	nominal	são	as	mais	comuns	nas	ciências	do	comportamento.
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Unidade II
 Observação
Contagem:	das	contagens	originam	números	inteiros;	portanto,	todas	
operações aritméticas são possíveis.
5.3 Para que usamos Estatística?
A	Estatística	serve	para:
•	 Resumir e organizar informações: frequentemente, quandocoletamos dados de uma população, 
obtemos	uma	gama	muito	grande	de	informações	que	precisam	ser	organizadas	e	resumidas.	Nesse	
resumo	são	colocados	resultados	que	caracterizam	uma	população	em	relação	a	certa	variável.
•	 Representar dados: após apuração e resumo, as informações devem ser transmitidas de modo 
simples	e	claro.	Uma	forma	de	representar	os	dados	são	os	gráficos.	
•	 Conhecer como determinada variável apresenta-se distribuída na população: muitas vezes 
o	pesquisador	precisa	saber	se	a	população	tem	determinada	característica	–	por	exemplo,	se	as	
pessoas	que	a	compõem	são	desnutridas.	A	Estatística	ajuda	um	gerente	de	CPD	a	saber	como	o	
processamento	está	distribuído.
•	 Testar hipóteses:	quando	uma	hipótese	é	levantada,	ela	precisa	de	comprovação,	o	que	pode	ser	
conseguido	usando	um	recurso	estatístico	chamado	Teste	de	Hipótese.
•	 Fazer inferências:	ao	estudar	uma	população,	em	geral	não	se	consegue	dados	dela	toda,	seja	por	
causa	do	custo	elevado,	do	tempo	despendido	ou	do	tamanho	dela.	Assim,	a	Estatística	fornece	
meios para que, estudando apenas uma parte, se possa tirar conclusões do todo.
•	 Tomar decisão:	muitas	vezes,	para	tomar	decisão	sobre	determinado	assunto,	é	necessário	saber	
como	tem	sido	o	seu	comportamento,	como	tem	evoluído.	É	aí	que	entra	a	Estatística,	fornecendo	
subsídios	para	a	tomada	de	decisão.	Por	exemplo:	o	político	candidato	a	um	cargo	eletivo	muda	o	
rumo	de	sua	campanha	conforme	ela	esteja	ou	não	surtindo	efeito,	e	quem	vai	dar	essa	informação	
é	a	Estatística.
•	 Correlacionar variáveis:	 é	 usado	 para	 verificar	 o	 grau	 de	 associação	 entre	 variáveis	 e	 para	
fazer	previsões	baseadas	em	amostras	(regressão).	Por	exemplo:	a	ocorrência	de	osteoporose	em	
mulheres	após	a	menopausa	tem	correlação	com	o	consumo	de	café.	Outro	exemplo:	consumo	de	
álcool	versus fumo.
5.3.1 Fases do trabalho estatístico
O	trabalho	estatístico	consiste	de	seis	etapas:
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MateMática e Bioestatística
1)	Definição.
2)	Planejamento.
3)	Coleta	de	dados.
4)	Elaboração.
5)	Análise	e	interpretação	dos	dados.
6)	Relatório.
5.3.1.1 Definição
1) Definir os objetivos: toda pesquisa deve ter um objetivo determinado para saber o que se vai 
procurar	e	o	que	se	pretende	alcançar.	Deve	partir	de	um	objetivo	limitado	e	claramente	definido.	A	não	
definição	de	objetivos	é	como	construir	um	edifício	sem	a	fundação.	É	comum	a	alguns	estudantes,	após	
um	exaustivo	e	dispendioso	trabalho	de	coleta	de	informações,	fazer	uma	pergunta	típica:	“O	que	eu	
faço	com	isto?”.	Esse	fato	é	decorrente	da	falta	de	objetivo.	
2) Formular hipóteses:	hipótese	é	uma	proposição	que	se	faz	na	tentativa	de	verificar	a	validade	de	
resposta	existente	para	um	problema.	É	uma	suposição	que	antecede	a	constatação	dos	fatos	e	tem	como	
característica	uma	formulação	provisória;	deve	ser	testada	para	determinar	sua	validade.	A	clareza	da	definição	
dos	termos	da	hipótese	é	condição	de	importância	fundamental	para	o	desenvolvimento	da	pesquisa.	
3) Definir a população:	a	pesquisa	em	foco	deve	ser	delimitada,	ainda	que	esse	limite	seja	extenso.	
Isso	é	feito	em	função	de	saber	para	qual	população	os	resultados	serão	válidos.
5.3.1.2 Planejamento
Formular	um	plano	para	coleta	de	dados:	o	próximo	passo	é	fazer	um	planejamento	de	como	os	
dados	serão	colhidos.	É	uma	das	fases	mais	importantes,	pois,	se	os	dados	coletados	não	forem	confiáveis	
ou	representativos,	o	pesquisador	não	ficará	sabendo	e	o	resultado	será	prejudicado.
O	resultado	final	da	pesquisa	depende	muito	do	planejamento	no	sentido	de	que	vários	cuidados	
devem	ser	 tomados.	 Por	 exemplo:	uma	pesquisa	que	envolve	 conhecimento	de	particularidades	das	
pessoas deve ser bem cuidadosa, pois os pesquisados poderão esconder ou mascarar tais dados.
Conforme	mencionado	anteriormente,	nem	sempre	é	possível	coletar	dados	de	toda	a	população,	
assim	a	opção	é	trabalhar	com	amostras.	A	fim	de	que	o	resultado	da	pesquisa	seja	válido	para	toda	a	
população,	é	necessário	que	a	amostra	tomada	seja	representativa.	Por	exemplo:	na	impossibilidade	
de	consultar	todos	os	habitantes	de	um	município	sobre	a	atuação	do	prefeito,	um	pesquisador	resolve,	
por	conveniência,	obter	opiniões	em	apenas	um	bairro.	Pode	ocorrer	de	o	bairro	escolhido	ter	acabado	
de	receber	melhorias,	daí	o	resultado	da	pesquisa	não	será	representativo.
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Unidade II
Para	que	essas	situações	não	ocorram,	é	necessário	que	se	use	uma	técnica	de	amostragem.	Existem	
várias	técnicas,	e	as	mais	comuns	são:
•	 Amostragem aleatória simples (AAS):	nessa	 técnica,	 todos	os	elementos	da	população	 têm	
igual	probabilidade	de	serem	selecionados	para	constituir	a	amostra.	Por	exemplo:	para	formarmos	
uma	amostra	de	funcionários	de	uma	empresa,	pegamos	uma	listagem	com	o	nome	de	todos,	
numeramos	e	em	seguida	sorteamos	alguns	usando	papéis	dobrados	ou	uma	“tabela	de	números	
aleatórios”.
•	 Amostragem sistemática (AS): aqui, os elementos da amostra são selecionados por um sistema 
preestabelecido.	Por	exemplo:	uma	clínica	psicológica	deseja	saber	o	perfil	de	seus	pacientes.	Ela	
possui	um	arquivo	com	1.400	prontuários	numerados	de	1	a	1.400.	Decide-se	por	tomar	uma	
amostra	de	10	pacientes,	daí	divide-se	1.400	por	10,	encontrando-se	140.	Em	seguida,	sorteia-se	o	
primeiro	prontuário.	Se	o	sorteado	for	o	número	15,	a	amostra	será	composta	pelos	prontuários	15,	
15+140=155,	155+140=295	e	assim	por	diante,	até	completar	os	10.	Outro	exemplo:	selecionar	
um	cliente	que	entra	na	loja	e	pular	10.
•	 Amostragem estratificada (AE):	é	usada	quando	a	população	apresenta-se	dividida	em	estratos,	
ou	seja,	grupos	distintos.	Por	exemplo:	uma	empresa	de	distribuição	de	energia	elétrica	tem	seus	
clientes	divididos	em	três	estratos:	industrial,	comercial	e	residencial.	Para	realizar	uma	pesquisa	
por	amostragem	nesse	caso,	tomamos	uma	AAS	de	cada	um	dos	estratos	citados.
O	tamanho	da	amostra	a	ser	tomada	é	assunto	que	será	visto	mais	adiante.
Planejamento de experimentos
Dependendo	do	tipo	ou	objetivo	da	pesquisa,	ao	invés	de	colher	amostras,	são	feitas	experiências.	
Nesse	caso,	 será	necessário	 fazer	um	planejamento	de	experimento.	Em	virtude	da	complexidade,	o	
pesquisador	precisará	de	um	conhecimento	bem	amplo	de	Estatística.	
5.3.1.3 Coleta de dados
Etapa	 da	 pesquisa	 em	 que	 se	 inicia	 a	 aplicação	 dos	 instrumentos	 elaborados	 e	 das	 técnicas	
selecionadas,	a	fim	de	efetuar	a	coleta	dos	dados	previstos.
É	uma	tarefa	cansativa,	que	toma	muito	tempo	e	exige	do	pesquisador	paciência,	perseverança	e	
esforço	pessoal,	além	do	cuidadoso	registro	dos	dados	e	de	um	bom	preparo	anterior.
O	rigoroso	controle	na	aplicação	dos	instrumentos	de	pesquisa	é	fator	fundamental	para	evitar	erros	
e	defeitos	resultantes	de	entrevistadores	inexperientes	ou	de	informantes	tendenciosos.
A	seguir,	citaremos	algumas	técnicas	e	instrumentos	de	pesquisa.
•	 Coleta documental:	a	fonte	de	coleta	é	restrita	a	documentos	(livros,	revistas,	jornais	etc.).
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MateMática e Bioestatística
•	 Observação: é uma técnica de coleta de dados em que são utilizados os sentidos para captar 
determinados	 aspectos	 da	 realidade.	 Não	 consiste	 apenas	 em	 ver	 e	 ouvir,	 mas	 também	 em	
examinar	fatos	ou	fenômenos	que	se	desejam	estudar.
•	 Entrevista:	 é	 um	 encontro	 de	 duas	 pessoas,	 a	 fim	de	 que	 uma	 delas	 obtenha	 informações	 a	
respeito de determinado assunto.
•Questionário: é	um	instrumento	constituído	por	uma	série	ordenada	de	perguntas,	que	devem	
ser	preenchidas	sem	a	presença	do	entrevistador.	
•	 Formulário: é o instrumento utilizado na entrevista. 
•	 Testes: são	 instrumentos	 utilizados	 com	 a	 finalidade	 de	 obter	 dados	 que	 permitam	medir	 o	
rendimento,	a	competência,	a	capacidade	ou	a	conduta	dos	indivíduos,	em	forma	quantitativa.
•	 Inquérito por telefone: contato verbal entre o entrevistador e o entrevistado por meio do 
telefone.
•	 Pesquisa por meio da internet:	os	internautas	são	convidados	a	acessar	determinada	página	
para	responder	à	pesquisa.	Pode	ainda	ser	feita	por	e-mail	ou	salas	de	bate-papo.
•	 Sociometria: é	uma	técnica	quantitativa	que	procura	explicar	as	relações	pessoais	entre	indivíduos	
de	um	grupo.
Existem	outras	técnicas	e	instrumentos	para	coleta	de	dados;	mas,	para	aplicação	de	qualquer	uma	
delas,	 é	 necessário	 conhecê-los	 bem.	 Vale	 lembrar	 a	 necessidade	 de	 um	pré-teste antes da coleta 
definitiva	dos	dados.
5.3.1.4 Elaboração dos dados
Após	a	coleta,	os	dados	são	elaborados	e	classificados	de	forma	sistemática,	conforme	a	seguir:
•	 Seleção:	é	o	exame	minucioso	dos	dados	para	verificar	possíveis	falhas	e	erros.
•	 Codificação:	é	uma	técnica	operacional	utilizada	para	categorizar	os	dados	que	se	relacionam.	
Mediante	 a	 codificação,	 os	 dados	 são	 transformados	 em	 símbolos,	 podendo	 ser	 tabelados	 e	
contados.
•	 Tabulação:	é	a	disposição	dos	dados	em	tabelas,	possibilitando	maior	facilidade	na	verificação	
das	inter-relações	entre	eles.	Permite	a	sintetização	dos	dados,	de	modo	que	estes	sejam	mais	bem	
compreendidos e interpretados rapidamente.
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5.3.1.5 Análise e interpretação dos dados
Uma	 vez	 organizados	 os	 dados	 e	 obtidos	 os	 resultados,	 o	 passo	 seguinte	 é	 a	 sua	 análise	 e	 a	
interpretação,	constituindo-se	ambos	no	núcleo	central	da	pesquisa.	Nessa	fase,	serão	obtidas	medidas	
como	média,	mediana,	moda,	proporções,	percentis,	desvio	padrão	etc.	Ao	final,	apresenta-se	a	conclusão	
que	a	análise	e	a	interpretação	levaram.
5.3.1.6 Relatório
Exposição	 geral	 da	 pesquisa,	 desde	 o	 planejamento	 até	 as	 conclusões,	 incluindo	 os	 processos	
metodológicos	empregados.	Deve	ser	expresso	em	linguagem	simples,	clara,	objetiva,	concisa	e	coerente.
Tem	a	finalidade	de	dar	informações	sobre	os	resultados	da	pesquisa,	se	possível,	com	detalhes,	para	
que	eles	possam	alcançar	a	sua	relevância.
São	importantes	a	objetividade	e	o	estilo,	mantendo-se	a	expressão	impessoal	e	evitando-se	frases	
qualificativas	ou	valorativas,	pois	a	informação	deve	apenas	descrever	e	explicar.
O	relatório	deve	abranger	os	seguintes	aspectos:
•	 apresentação	do	problema	ao	qual	se	destina	o	estudo;
•	 processos	de	pesquisa;
•	 resultados;
•	 consequências	deduzidas	dos	resultados.
Exemplo de Aplicação
1)	Quais	são	as	fases	do	trabalho	estatístico?	Descreva	de	forma	sucinta	cada	uma	delas.
2)	Quais	características	deve	apresentar	o	relatório	final	de	pesquisa?
3)	Qual	a	diferença	entre	população	e	amostra?
4)	Qual	a	diferença	entre	amostra	e	amostragem?
5)	Para	que	serve	a	Estatística?
6)	Pesquise	sobre	outras	técnicas	de	amostragem.	Explique	como	funcionam.
7)	Cite	três	técnicas	ou	instrumentos	de	pesquisa.
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MateMática e Bioestatística
8)	Classifique	as	variáveis	a	seguir	quanto	ao	nível	de	mensuração:
a)	Peso	(kg).
b)	Estatura	(cm).
c)	Sexo.
d)	Profissão.
e)	Dia	da	semana.
f)	Idade.
g)	Tipo	de	sangue.
h)	Resultado	de	um	concurso	de	beleza	feminina.
i)	Religião.
j)	Área	(m2).
k)	Renda	familiar	($).
l)	Classe	social.
m)	Altitude.
n)	Estado	civil.
o)	Nº	da	camisa	de	jogador.
p)	Nº	do	CPF.
q)	Nº	da	placa	de	automóvel.
r)	Pressão.
 Observação
Muitas	pessoas	acham	que	a	Estatística	trata	apenas	de	contagens,	mas	
ninguém	 coleta	 números	 só	 para	mostrá-los.	 As	 estatísticas	 são	 usadas	
para	chegar	a	conclusões	ou	testar	hipóteses.
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Unidade II
 Saiba mais
Sugerimos	o	seguinte	site: 
<http://guiadoestudante.abril.com.br/profissoes/ciencias-exatas-
informatica/estatistica-686049.shtml>.	
5.4 Tabulação dos dados
A	tabulação	dos	dados	consiste	no	levantamento	de	dados	naturalmente	tabelados	e	finalizados	com	a	
perfeita	compreensão	dos	elementos	digitados	nas	linhas	e	colunas	de	uma	tabela.	É	o	arranjo	tabular	dos	dados.
Nosso	objetivo	neste	tópico	é	mostrar	como	resumir	dados	e	apresentá-los	em	tabelas,	assim	como	
saber	entender	a	distribuição	de	dados	tabelados	e	organizar	esses	dados	coletados	em	tabelas.
5.4.1 Conceitos
•	 Dados brutos:	após	a	coleta,	temos	dados	ainda	não	organizados	que	chamamos	dados	brutos.
•	 Rol:	é	um	arranjo	de	dados	numéricos	em	ordem	crescente	ou	decrescente	de	grandeza.
•	 Amplitude total: é a diferença entre o maior e o menor número do rol.
•	 Distribuição de frequência:	é	o	arranjo	tabular	dos	dados	por	classes,	juntamente	com	as	frequências	
correspondentes,	sendo	também	denominado	“dados	agrupados”.	Embora	o	processo	de	agrupamento	
geralmente	 inutilize	muitos	 detalhes	 originais	 dos	 dados,	 consegue-se	 vantagem	 importante.	 Esta	
consiste	no	aspecto	global	obtido,	que	se	torna	mais	claro	evidenciando	as	relações	essenciais.
•	 Intervalo de classe: é a diferença entre o maior e o menor número da classe.
•	 Limites de classe:	o	menor	e	o	maior	número	da	classe	chamam-se	limite	inferior	e	superior,	
respectivamente.
•	 Frequência acumulada (Fac): é	a	soma	de	frequências	de	determinada	classe	com	as	anteriores.
•	 Frequência relativa (FR): é	o	quociente	entre	a	frequência	absoluta	da	classe	e	o	total.
Exemplo:	estatura	de	estudantes	(cm)
158		154		153		160		157
171		170		166		165		169
155		161		162		164		163
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MateMática e Bioestatística
Tabela 9 
Estatura (cm) Nº de alunos (fi) Fac FR %
150	 	155 2 2 0,13 13
155	 	160 3 5 0,20 20
160	 	165 5 10 0,33 33
165	 	170 3 13 0,20 20
170	 	175 2 15 0,13 13
Exemplo de Aplicação
1)	Tabular	os	dados	a	seguir	e	calcular	as	frequências	acumuladas	e	relativas:
a)	Estatura	(cm)	de	indivíduos	adultos	(iniciar	em	150	e	usar	intervalo	de	classe	igual	a	5	cm).
182 154 163 151 180 171 189 176 159 151 160 170 161 153 171
160 158 169 157 173 153 174 170 165 174 167 164 156 162 157
166 173 159 157 158 173 167 168 168 169
b)	Notas	finais	de	50	alunos	(iniciar	em	zero	e	usar	intervalo	de	classe	igual	a	1).
2,2 4,6 0,9 4,0 5,7 2,2 2,2 1,3 5,0 4,2 3,5 0,2 1,5 4,1 3,4 5,2 3,2
7,5 6,9 4,4 2,6 4,2 6,0 5,5 3,0 0,3 1,7 7,9 4,5 3,7 0,0 1,2 6,2 5,0
4,5 4,1 5,9 1,1 6,5 3,9 4,3 3,3 7,0 5,0 4,7 2,0 3,6 4,0 6,7 2,9
c)	Idade	dos	funcionários	da	empresa	(iniciar	em	20	e	usar	intervalo	de	classe	igual	a	5).
33 46 49 40 53 59 42 48 34 30 49 36 51 27 38 24 41 25 48
20 50 39 41 33 31 41 27 40 42 39 31 47 46 54 56 35 48 46
58 48 40 57 25 43 40 37 43 49 35 46 33 45 55 52 43 39 41
44 23 37 41 37 42 45 50 54 35 38 32 41 53 41 57 32 48 45
40 55 45 37 57 49 56 54 29 26 54 49 36 50 39 43 38 44 32
d)	 Para	 avaliar	 o	 nível	 de	 estresse	 de	 um	 indivíduo,	 existe	 um	 critério	 que	 atribui	 pontos	 a	
acontecimentos pessoais.	Somando-se	esses	pontos	num	período	de	12	meses,	sabe-se	que	a	pessoaestá	 estressada	 se	 o	 resultado	 for	 superior	 a	 300.	 Os	 números	 a	 seguir	 são	 a	 pontuação	 de	 alguns	
funcionários	da	empresa	L&P	S.A.	(iniciar	em	140	e	usar	intervalo	de	classe	igual	a	40).
230 168 300 265 159 274 198 217 310 155 264 277
225 255 288 301 215 206 240 350 220 337 186 171
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Unidade II
308 140 189 243 144 193 219 154 379 249 251 217
231 278 346 231 292 208 280 324 304 270 166 176
e)	Peso	(kg)	de	estudantes	do	colégio	ACD	(iniciar	em	45	e	usar	intervalo	de	classe	igual	a	5).
69 57 72 54 83 68 72 58 64 62 65 76 60
49 74 59 66 83 70 45 60 81 71 67 63 64
53 73 81 50 67 68 53 75 65 58 80 60 63
53		
f)	Tempo	gasto	(em	minutos	por	dia)	por	executivos	em	reuniões	(iniciar	em	50	e	usar	intervalo	de	
classe	igual	a	20).
55 123 100 62 101 135 78 95 87 118 91 84 98	
125 80 95 82 99 111 103 120 115 77 96 90 114
52 148 57 88 106 104 87 116 82 112 93 130 149
113 56 61 144 96 139 114 91 118 70 87 106 87
 Lembrete
Algumas	 variáveis,	 como	 sexo,	 educação	 e	 estado	 civil,	 apresentam	
possíveis	realizações	–	uma	qualidade	(ou	atributo)	do	indivíduo	pesquisado	
–,	e	são	chamadas	qualitativas.
As	 variáveis	 quantitativas	 apresentam	 como	 possíveis	 realizações	
números	 resultantes	 de	 uma	 contagem	 ou	 mensuração,	 por	 exemplo,	
número	de	filhos,	salário,	idade	etc.
 Saiba mais
Consulte	o	site:		<http://www.ibge.gov.br/home/>
6 MEDIDAS E REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS
6.1 Medidas de tendência central
Essa	denominação	ocorre	porque	os	dados	observados	tendem	a	agrupar-se	em	torno	dos	valores	
centrais da distribuição.
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MateMática e Bioestatística
Nossos	 objetivos	 aqui	 são	 perceber	 que	 medidas	 de	 tendência	 central	 são	 aquelas	 localizadas	
próximas	do	centro	de	uma	distribuição,	saber	calcular	média	aritmética,	mediana	e	moda	e	perceber	a	
utilização adequada de cada uma dependendo da distribuição.
As	medidas	de	tendência	central	são	usadas	para	indicar	um	valor	que	tende	a	representar	melhor	
um	conjunto	de	dados.	Geralmente,	localizam-se	em	torno	do	meio	ou	centro	de	uma	distribuição,	onde	
maior parte dos dados tende a se concentrar. 
Média aritmética
É	dada	por:
x
x
n
i
=
∑
onde x
i
 são os dados apurados e n a quantidade desses dados.
Mediana
Colocados	os	valores	em	ordem	crescente,	mediana	é	o	elemento	que	ocupa	a	posição	central.
133 135 137 138 140 142 145
Figura	10
Nesse	grupo,	o	quarto	indivíduo	tem	estatura	mediana.
A	mediana	é	encontrada	da	seguinte	forma:
•	 número ímpar de dados:	se	n	for	ímpar,	a	mediana	será	o	elemento	central,	de	ordem	0,5(n+1).	
Exemplo:	27,	37,	31,	43,	42.
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Unidade II
Primeiramente,	colocamos	em	ordem:	27	31	37	42	43.	A	seguir,	verificamos	qual	elemento	ocupa	a	
posição	central,	ou	fazemos	0,5(n+1) =	0,5(5+1)	=	3;	portanto,	é	o	3º	elemento.	Assim,	Md	=	37
•	 Número par de dados:	caso	n	seja	par,	a	mediana	será	a	média	entre	os	elementos	centrais,	de	
ordem	0,5n	e	0,5n+1.
Exemplo:	134,	120,	136,	133,	123,	127.
Colocamos	em	ordem	(120	123	127	133	134	136)	e	fazemos	0,5n	=	0,5.6	=	3	e	0,5n+1	=	3+1	=	4;	 
 
logo,	a	mediana	está	entre	o	3º	e	4º	elemento,	ou	seja,	Md =
+127 133
2
	=	130.
 Lembrete
1	–	A	média	aritmética	sofre	a	influência	de	todos	os	dados.
Deve	ser	usada	quando	a	amostra	for	homogênea.
2	–	A	mediana	não	sofre	a	influência	dos	valores	extremos	(muito	altos	
ou	muito	baixos).	Deve	ser	usada	quando	a	amostra	for	heterogênea.
Moda
É	o	valor	que	ocorre	com	maior	frequência	num	conjunto.	Exemplo:	notas	de	matemática:	2,	8,	6,	5,	
4,	6,	1,	0,	6,	7,	9,	3.	Mo	=	6.
6.1.1 Proporção
As	medidas	vistas	anteriormente	aplicam-se	principalmente	a	dados	quantitativos,	com	exceção	da	
moda, que também é útil para dados nominais. Outra medida usada para dados nominais é a proporção, 
que	é	a	fração	ou	porcentagem	de	itens	de	determinado	grupo	ou	classe.	
É	calculada	por:
p
n
N
=
onde n é o número de itens que apresentam determinada característica e N, o número total de 
observações.	 Por	 exemplo:	 a	 cada	40	peças	produzidas,	uma	é	defeituosa.	Portanto,	 a	proporção	de	
peças defeituosas é de:
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MateMática e Bioestatística
p
n
N
= =
1
40
Para	que	a	caracterização	dos	dados	seja	mais	adequada,	podemos	usar	o	seguinte	critério:
•	 média:	quando	os	valores	forem	razoavelmente	homogêneos;
•	 mediana:	quando	os	valores	forem	heterogêneos;
•	 moda: quando ocorrem muitas repetições.
Exemplo de Aplicação
1)	O	número	de	clientes	atendidos,	por	dia,	numa	empresa	de	consultoria,	em	um	período	de	dez	
dias,	foi:	14,	21,	9,	11,	8,	19,	25,	22,	21	e	15.	Determine	a	média,	a	mediana	e	a	moda.
2)	 Uma	 empresa,	 com	 apenas	 cinco	 funcionários,	 paga	 os	 seguintes	 salários:	 $	 50,00,	 $	 27,00,	 
$	26,00,	$	25,00	e	$	24,00.	Qual	das	medidas	de	tendência	central	caracteriza	melhor	os	salários	dessa	
empresa?	(Dica:	calcule	as	três.)
3)	A	porcentagem	de	desempregados	entre	1965	e	1971	nos	EUA	foi:	4,5,	3,8,	3,8,	3,6,	3,5,	4,9	e	5,9.	
Qual	foi	a	média,	a	mediana	e	a	moda	do	período?
4)	Registraram-se	as	seguintes	temperaturas	(º	C)	em	um	dia	frio	no	município	de	Tuiuiu	do	Sul:	-2,	
0,	-3,	4,	-3,	5	e	1.	Quais	as	temperaturas	média,	mediana	e	modal?
5)	Na	pesquisa	anterior,	constatou-se	que	os	alunos	estão	distribuídos	da	seguinte	forma,	em	relação	
à	classe	social:
Tabela 10 
Classe Nº de alunos
A 4
B 15
C 23
D 14
a)	Calcule	as	proporções	de	cada	classe.
b)	Qual	é	a	classe	modal?
6)	Determine	a	moda	e	as	proporções:
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Unidade II
Tabela 11 
Tipo de produto Quantidade vendida (mil)
Televisão 117
Microsystem 92
DVD 180
Microcomputador 23
7)	A	tabela	a	seguir	mostra	o	tráfego	de	pessoas	(em	milhões)	nos	shoppings brasileiros:
Tabela 12 
Ano 1994 1995 1996 1997 1998 1999
Pessoas (milhões) 42 45 50 55 62 100
Determine	a	média	e	a	moda	do	período.
6.1.2 Medidas de posição – separatrizes
Medidas de posição são medidas em que cada parte contém o mesmo número de elementos, porém, 
uma	mesma	série	pode	ser	dividida	em	duas	ou	mais	partes	que	contenham	a	mesma	quantidade	de	
elementos.	O	nome	da	medida	de	posição	separatriz	modifica	de	acordo	com	a	quantidade	de	partes	em	
que é dividida a série.
Aqui, veremos como aplicar adequadamente as medidas de posição ou separatrizes em uma distribuição, 
assim como o modo de calcular e interpretar as medidas de posição, quartil, decil ou percentil.
Se	um	conjunto	de	dados	é	organizado	em	ordem	crescente	de	grandeza,	o	valor	que	divide	o	conjunto	
em	duas	partes	iguais	é	a	mediana.	Por	extensão	desse	conceito,	pode-se	pensar	nos	valores	que	dividem	
o	conjunto	em	quatro	partes	iguais.	Esses	valores	são	denominados	quartis.	Semelhantemente,	os	valores	
que	dividem	os	dados	em	dez	e	cem	partes	iguais	são	denominados decis e percentis, respectivamente.
Quartil
25% 25% 25% 25%
Q1 Q2 Q3
Decil
10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10%
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9
99
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MateMática e Bioestatística
Percentil 
1% 1% 1% ... 1%
P1 P2 P3 ... P99
Os	percentis	são	encontrados	da	seguinte	forma:
•	 Número ímpar de dados:	se	n	for	ímpar,	o	percentil	procurado	será	o	de	ordem	(n+1)p,	onde	n	
é	o	tamanho	da	amostra	e	p,	a	porcentagem	representada	pela	separatriz.
•	 Número par de dados:	se	n	for	par,	o	percentil	procurado	será	a	média	entre	os	elementos	de	
ordem	np	e	np	+	1.
Exemplo:	em	um	teste	você	obteve	o	resultado	236.	Além	de	você,	onze	pessoas	fizeram	o	teste	e	
obtiveram	210,	245,	220,	225,	233,	216,	252,	228,	215,	230	e	241.
a)	Qual	o	percentil	do	seu	resultado	entre	os	12?
Primeiramente,	ordenamos:	210,	215,	216,	220,	225,	228,	230,	233,	236,	241,	245,	252.	O	resultado	
236	 ocupa	 a	 9ª	 posição,	 num	 total	 de	 12	 posições;	 assim:	 9	 :12	 =	 0,75	 =	 75%,	 ou	 seja,	 75%	 dos	
resultados	são	menores	ou	iguais	ao	seu.
b)	Qual	é	o	25º	percentil?
n	=	12;	logo,	n	é	par.	Assim:	
np	=	12.0,25	=	3	⇒	3º	elemento
e	np	+	1	=	3	+	1	=	4	⇒	4º	elemento
Então,	o	25º	percentil	será	a	média	entre	o	3º	e	o	4º	elemento,	ou	seja,	a	média	entre	216	e	220,	que	
é	218.
Exemplo de Aplicação 
1)	O	que	significa	a	frase	a	seguir:	“Somente	os	gerentes	e	executivos	recebem	salários	acima	do	3º	
quartil”	(AS	MELHORES...,	1998)?
2)	Considere	os	salários	a	seguir:
70		82		87		72		107		119		79		102		94		125		96		115		78		84		98		72		87		80		94
a)	Abaixo	de	que	salário	se	situam	os	30%	com	menor	remuneração?
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Unidade II
b)	Acima	de	que	salário	ficam	os	30%	com	maior	remuneração?
3)	O	guia	informou	que	seu	peso	está	no	percentil	85.	O	que	isso	significa?
6.2 Medidas de dispersão ou variabilidade
As	medidas	de	dispersão	ou	de	variabilidade	servem	para	verificar	a	representatividade	das	medidas	
de posição.
Nosso	objetivo	neste	tópico	é	fazer	você	perceber	que	os	dados	obtidos	podem	ser	distribuídos	de	
maneira	dispersa,	em	maior	ou	menor	grau,	e	também	desenvolver	o	senso	crítico	quanto	às	estatísticas	
apresentadas pela mídia.
Como	 vimos	 anteriormente,	 um	 conjunto	 de	 dados	 pode	 ser	 sintetizado	 por	 meio	 de	 valores	
representativos	como	a	média,	a	mediana	e	a	moda.	No	entanto,	essas	medidas	não	têm	a	capacidade	de	
caracterizar	completamente	um	conjunto	de	dados.	Por	exemplo:	se	a	média	final	de	dois	alunos	A	e	B	
é	6,	não	podemos	concluir	que	o	aproveitamento	deles	foi	homogêneo.	O	aluno	A	pode	ter	obtido	notas	
6,	5	e	7	e	o	aluno	B,	10,	8	e	0.	Portanto,	para	qualificar	os	valores	de	uma	certa	variável,	ressaltando	a	
homogeneidade	ou	a	heterogeneidade	de	sua	distribuição,	recorremos	às	medidas	de	dispersão.
6.2.1 Variância
Por	definição,	é:
•	 Populacional:
S
x x
N
2
2
=
−∑ ( )
•	 Amostral:
S
x x
n
=
−
−
∑ ( )2
1
6.2.2 Desvio padrão
É	 a	 raiz	 quadrada	 positiva	 da	 variância,	 ou	 seja,	 S
x x
N
=
−∑ ( )2 e S x x
n
=
−
−
∑ ( )2
1
 para 
população e amostra, respectivamente.
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MateMática e Bioestatística
6.2.3 Coeficiente de variação
É	uma	medida	de	dispersão	relativa	que	estabelece	uma	relação	entre	desvio	padrão	e	média.	Por	
meio	dele,	podemos	ter	uma	ideia	se	o	valor	do	desvio	padrão	é	alto	ou	não.	É	dado	por:
CV
s
x
=
100
 
Exemplo:	tempo	gasto	(em	minutos)	para	a	realização	de	certa	tarefa,	observado	em	uma	amostra	
de	cinco	funcionários	de	uma	agência	de	viagens:
2		5	4		3		6
Como	se	trata	de	uma	amostra,	usamos	a	fórmula	correspondente.	Assim:
Tabela 13 
x (x – x)2
2 (2	-	4)2		=	4
5 (5	-	4)2		=	1
4 (4	-	4)2		=	0
3 (3	-	4)2		=	1
6 (6	-	4)2		=	4
20 Σ(x	–	x)2	=	10
s
x x
n
2
2
2
1
10
4
2 5=
−( )
−
= =
∑
, min
 
Como	min2	não	tem	sentido	prático,	calculamos	o	desvio	padrão.
s
x x
n
=
−( )
−
= =
∑ 2 2
1
2 5 158, , min
E,	para	conhecermos	a	variação,	em	percentual,	calculamos	o	CV:
CV
s x
x
x
= = =
100 158 100
4
39 5
,
, %
Portanto,	os	tempos	variaram	em	39,5%.
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Unidade II
Exemplo de Aplicação
1)	A	 interpretação	de	dados	estatísticos	exige	que	se	realize	um	número	maior	de	estudos,	além	
das	medidas	de	posição.	O	estudo	das	médias,	medianas,	moda,	quartis	e	percentis	 são	válidos,	mas	
não	suficientes	para	estudos	comparativos	ou	conclusões	qualitativas.	As	medidas	de	dispersão	ou	de	
variabilidade	servem	para	verificar	a	representatividade	das	medidas	de	posição.	Por	exemplo:
O	número	de	visitantes	por	mês	(valores	em	milhares),	durante	o	ano	de	2002,	ao	santuário	A	e	ao	
santuário	B	estão	discriminados	a	seguir:
A:	5,43;	6,31;	4,89;	6,15;	6,82;	5,42;	3,99;	4,65;	4,98;	6,46;	5,74;	5,16.
B:	3,15;	2,42;	2,99;	4,10;	3,23;	17,41;	14,45;	3,80;	2,75;	4,27;	3,51;	3,92.
Média	de	visitantes	mensais	no	santuário	A:	5,50	mil	visitantes.
Média	de	visitantes	mensais	no	santuário	B:	5,50	mil	visitantes.
Embora	os	dois	santuários	representem	a	mesma	média	de	visitantes,	a	distribuição	dos	valores	na	
série	é	muito	diferente.	O	santuário	A	apresenta	pequena	variação	no	número	de	visitantes	mensais	
em	relação	ao	valor	médio	(os	valores	do	desvio	em	relação	à	média	são	pequenos).	Já	o	santuário	B	
apresenta	grande	variação	de	seus	valores	mensais	em	relação	à	média	(os	valores	do	desvio	em	relação	
à	média	 são	grandes).	Observamos	que	a	distribuição	dos	valores	na	 série	A	é	numericamente	mais	
próxima,	enquanto	na	série	B	os	elementos	estão	distribuídos	com	valores	mais	distantes.	Podemos	dizer	
que:
a)	A	série	A	é	mais	dispersa.
b)	A	série	B	é	mais	dispersa.
c)	A	série	B	é	mais	coesa.
d)	As	duas	séries	são	coesas	na	mesma	proporção.
e)	As	duas	séries	são	dispersas	na	mesma	proporção.
2)	Calcular	variância,	desvio	padrão	e	coeficiente	de	variação	para	o	consumo	(em	kWh)	de	energia	
elétrica	de	uma	agência	de	viagens:
Tabela 14 
Mês Abril Maio Junho Julho Agosto Setembro Outubro
kWh 278 283 296 233 334 313 251
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MateMática e Bioestatística
3)	Numa	cidade	A,	a	temperatura	média	do	ano	é	 igual	a	27	ºC	e	o	desvio-padrão	é	8	ºC.	Numa	
cidade	B,	a	temperatura	média	do	ano	é	 igual	a	24	ºC	e	o	desvio	padrão	é	 igual	a	6	ºC.	Qual	cidade	
apresenta	a	temperatura	mais	homogênea:	a	cidade	A	ou	a	cidade	B?
4)	Calcule	o	coeficiente	de	variação	para	o	tempo	de	permanência	(em	dias)	de	uma	amostra	de	
hóspedes	no	Hotel	Vista	Azul.
3		4	4		5		2		5		4		3		6
 Observação
A	média	 aritmética	 é	 usada	 como	medida	 de	 tendência	 central,	 ou	
seja, como forma de, por meio de um único número, dar uma ideia das 
características	de	determinado	grupo	de	números.	No	entanto,	é	importante	
ressaltar	que,	em	algumas	situações,	a	presença	de	um	valor	bem	maior	ou	
bem	menor	que	os	demais	faz	que	a	média	aritmética	não	consiga	traçar	o	
perfil	correto	do	grupo.	Consideremos,	por	exemplo,	um	grupo	de	pessoas	
com	idades	de	2,	3,	2,	1,	2	e	50	anos.	A	média	de	idade,	que	é	de	10	anos,	
não	demonstra	as	características	desse	grupo	em	termos	de	idade.	Em	casos	
como	esse	são	usadas	outras	medidas	de	tendência	central,	como	a	moda	
e	a	mediana	(DANTE,	2005).	
6.3 Construção de gráficos
Os	gráficos	estatísticos	são	representações	dos	dados	estatísticos,	com	o	objetivode	permitir	uma	
visão	completa	e	rápida	do	fato	estudado.
Meio de transporte Quantidade de usuários
Trem 235
Ônibus 456
Metrô 423
Carro 255
Bicicleta 75
Total 1444
1500
1000
500
0
Quantidade de usuários Quantidade de usuários
Tre
m
Ôn
ibu
s
Bic
icle
ta
Tot
al
Ca
rro
Me
trô
Trem
Ônibus
Bicicleta
Total
Carro
Metrô
Figura	11 
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Unidade II
Nossos	objetivos	neste	 tópico	 são	 interpretar	os	diferentes	 tipos	de	gráficos	e	 suas	utilizações	e	
aplicar	o	conhecimento	na	construção	e	interpretação	de	gráficos.
Os	 dados	 estatísticos	 podem	 ser	 representados	 por	 meio	 de	 elementos	 geométricos	 chamados	
gráficos,	que	têm	o	objetivo	de	dar	uma	visão	rápida	e	global	do	fenômeno	em	estudo.	No	entanto,	
apresentam	algumas	limitações:
•	 não	são	precisos,	na	medida	em	que	omitem	detalhes;
•	 podem	ser	distorcidos	de	acordo	com	interesses	particulares;
•	 não	permitem	a	representação	de	um	grande	número	de	dados.
Os	gráficos	devem	ser	elaborados	de	forma	simples	e	clara,	retratar	a	realidade	e	respeitar	sua	escala.
Uma	 preocupação	 com	 eles	 é	 relacionada	 com	 a	 estética.	 Um	 gráfico	 com	 um	 eixo	 horizontal	
ou	 vertical	muito	 grande	fica	 ruim	do	ponto	de	 vista	 estético.	 Assim,	 os	 eixos	 devem	 ter	 o	mesmo	
comprimento,	ou	então	o	eixo	vertical	ter,	no	mínimo,	75%	do	comprimento	do	eixo	horizontal.
Figura	12 
Devem	ser	construídos	com	base	no	sistema	de	eixos	cartesianos,	ou	seja,	dois	eixos	perpendiculares	
entre	si,	e	a	origem	(zero)	é	na	sua	intersecção.
No	 eixo	 das	 abscissas	 (horizontal),	 os	 valores	 crescem	 da	 esquerda	 para	 a	 direita.	 Nesse	 eixo,	
geralmente	representamos	cronologia	(tempo),	região	geográfica	(estado	e	município,	entre	outros)	ou	
categorias.	
No	eixo	das	ordenadas	 (vertical),	 os	 valores	 crescem	de	baixo	para	cima.	Nele,	 representamos	as	
quantidades	(valores,	porcentagem).
Os	 gráficos	 devem	 ter	 título	 e,	 nas	 extremidades,	 indicam-se	 as	 variáveis	 que	 estão	 sendo	
representadas, com as respectivas unidades.
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MateMática e Bioestatística
Quando	um	eixo	tem	seus	valores	iniciais	muito	altos,	deve	haver	uma	interrupção,	com	a	indicação	
da posição do zero.
Todo	 gráfico	 deve	 indicar,	 no	 seu	 rodapé,	 a	 fonte,	 ou	 seja,	 a	 instituição	 ou	 pesquisador(es)	 que	
levantou(aram)	os	dados.
6.3.1 Gráfico de colunas
É	usado	para	representar	séries	cronológicas,	geográficas	e	categóricas.	São	retângulos	com	larguras	
de	mesma	medida	e	alturas	proporcionais	às	quantidades	representadas.
Para	construí-lo,	deve-se:
1)	Traçar	um	sistema	de	eixos	cartesianos.
2)	Marcar	os	valores	ou	categorias	das	variáveis	nos	eixos,	evitando	o	uso	de	números	“quebrados”;	
escrever	o	nome	das	variáveis.
3)	Construir	retângulos	representativos	das	variáveis,	mantendo	entre	um	e	outro	distâncias	iguais.
4)	Colocar	o	título	e	a	fonte.
Observação:	as	distâncias	entre	colunas	devem	ter	medida	inferior	à	sua	largura.
Exemplo 1	–	Distribuição	dos	registros	da	produção	brasileira	em	saúde	pública	da	base	de	dados	
LILACS-SP/Brasil	por	ano	de	publicação.
3000
2000
1000
0
Ano
Pu
bl
ic
aç
õe
s 
re
gi
st
ra
da
s 
na
 b
as
e
1982-85 1986-90 1991-95 20011996-2000
Figura	13 
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Unidade II
Exemplo 2	–	O	gráfico	a	seguir	mostra	um	estudo	feito	pelo	Instituto	Florestal,	em	que	foi	possível	
acompanhar	a	evolução	de	ecossistemas	paulistas	desde	1962.	Desse	estudo,	publicou-se	o	Inventário	
Florestal	de	São	Paulo,	que	mostrou	resultados	de	décadas	de	transformações	da	Mata	Atlântica.	
Área de vegetação natural 
(em mil km²)
1962-1963 1971-1973 1990-1992 2000-2001
34,633,3
43,9
72,6
Figura	14 
6.3.2 Gráfico de linhas
Usado	apenas	para	séries	cronológicas,	nas	quais	podemos	perceber	a	evolução	do	fenômeno	no	
decorrer do tempo.
Para	sua	construção,	devem	ser	seguidos	estes	passos:
1	e	2)	Passos	idênticos	ao	gráfico	de	colunas.
3)	Marcar	os	pontos	correspondentes	aos	pares	de	valores	das	duas	variáveis.
4)	Unir	os	pontos	marcados	por	segmentos	de	reta.
5)	Colocar	título	e	fonte.
Veja	os	exemplos:
Os	países	em	desenvolvimento	fazem	grandes	esforços	para	promover	a	inclusão	digital,	ou	seja,	o	
acesso,	por	parte	de	seus	cidadãos,	às	tecnologias	da	era	da	informação.	Um	dos	indicadores	empregados	
é o número de hosts,	 isto é, o número	de	computadores	conectados	à	 internet.	A	tabela	e	o	gráfico	
seguintes	mostram	a	evolução	do	número	de	hosts	nos	três	países	que	lideram	o	setor	na	América	do	
Sul.
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MateMática e Bioestatística
2003 2004 2005 2006 2007
Brasil 2.237.527 3.163.349 3.934.577 5.934.730 7.422.440
Argentina 495.920 742.358 1.050.639 1.464.719 1.837.050
Colômbia 55.626 115.158 324.889 440.585 721.114
Brasil
8.000.000
7.000.000
6.000.000
5.000.000
4.000.000
3.000.000
2.000.000
1.000.000
0
2003						2004					2005						2006						2007
Argentina
Colômbia
Fonte:	IBGE	(Network	Wizards,	2007)
Figura	15 
6.3.3 Gráficos comparativos
Como	o	próprio	nome	diz,	servem	para	comparar	dois	ou	mais	fenômenos.	No	entanto,	se	muitos	
fenômenos	forem	representados	num	mesmo	gráfico,	este	perde	sua	clareza	e	simplicidade.
Cada	 fenômeno	deverá	 ter	uma	cor	ou	motivo,	 de	modo	que	possam	ser	diferenciados	uns	dos	
outros.	Esses	gráficos	necessitam	de	legenda.
Exemplo:	o	gráfico	a	seguir	mostra	o	número	de	transplantes	de	rim,	pâncreas	e	pulmão	no	Estado	
de	São	Paulo.
rim
350
300
250
200
150
100
50
0
Número de transplantes
ano	de	2007 ano	de	2008
pâncreas
pulmão
253
344
27
44
4 8
Figura	16 
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Unidade II
6.3.4 Gráfico de setores
É	usado	quando	queremos	comparar	os	valores	de	uma	categoria	com	o	total	de	todas	as	categorias.	
Seu	aspecto	é	de	um	círculo	onde	estão	traçados	alguns	raios,	por	isso	é	conhecido	como	gráfico	de	
pizza ou torta.
Antes	 de	 iniciar	 sua	 construção,	 precisamos	 converter	 os	 valores	 encontrados	 em	 graus.	 Essa	
conversão	é	feita	por	meio	de	regra	de	três	simples.
Construção:
1)	 Usando	 um	 compasso	 ou	 gabarito,	 traçar	 uma	 circunferência	 com	 raio	 qualquer	 (não	muito	
pequeno)	e	marcar	o	seu	centro.
2)	Traçar	um	raio	qualquer.
3)	Usando	um	transferidor,	marcar	os	ângulos	correspondentes	aos	valores	da	tabela,	começando	
pelo primeiro raio traçado.
4)	Pintar	ou	diferenciar	com	motivos	cada	categoria	representada.
5)	Colocar	legenda,	título	e	fonte.
Exemplo:	 distribuição	 dos	 registros	 da	 produção	 científica	 brasileira	 indexada	 na	 base	 de	 dados	
AdSAÚDE,	por	tipos	de	documentos	de	1990	a	2002.
Teses
15%
Livros
34%
Outros documentos
3%
Trabalhos	de	congressos
8%
Artigos	de	revistas
42%
Figura	17 
6.3.5 Representação gráfica de distribuições de frequência
Podemos	representar	os	dados	agrupados	de	duas	maneiras:	histograma	e	polígono	de	frequência.
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MateMática e Bioestatística
Os histogramas	são	parecidos	com	os	gráficos	de	colunas,	porém	sem	os	espaços	entre	elas.	Eles	são	
construídos	da	seguinte	forma:
1)	Traçando	o	sistema	de	eixos	cartesianos.
2)	Marcando	no	eixo	horizontal	apenas	os	limites	de	classe.
3)	Marcando	as	frequências	no	eixo	vertical.
4)	Traçando	um	retângulo	para	cada	classe,	com	largura	igual	ao	intervalo	de	classe	e	altura	igual	à	
respectiva	frequência.
5)	Colocando	título	e	fonte.
Observação:	as	linhas	que	dividem	as	colunas	são	dispensáveis.
Com	o	histograma,	podemos	calcular	a	moda	graficamente.
Exemplo:	peso	de	recém-nascidos	no	mês	de	novembro	na	Maternidade	Mãe	Santa.
Tabela 15 
Peso (g) F
2000	 	2500 2
2500	 	3000 5
3000	 	3500 12
3500	 	4000 8
4000	 	4500 3
f
12
10
8
6
4
2
2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 Kg
Figura	18	–	Peso	de	recém-nascidos	no	mês	de	novembro	na	Maternidade	Mãe	Santa	
Os polígonos de frequência são	semelhantes	aos	gráficos	de	linha.	São	construídos	da	seguinte	forma:
1,	2	e	3)	Igual	ao	histograma.
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Unidade II
4)	Marcar	os	pontos	médios	das	classes.
5)	Marcar	os	pontos	correspondentes	aos	pares	de	valores	“ponto	médio	da	classe”	e	“frequência	da	
classe”.
6)	Marcar	um	ponto	onde	seria	o	ponto	médio	da	classe	anterior	à	primeira	e	outro	onde	seria	o	
ponto	médio	da	classe	seguinte	à	última.
7)	Unir	os	pontos	por	segmentos	de	reta.
8)	Colocar	título	e	fonte.
Com	o	polígono	de	frequências,	podemos	fazer	a	análise	quanto	à	assimetria,	graficamente.
Exemplo:	peso	de	uma	amostra	de	adolescentes	da	região	XYZ.
Tabela 16 
Peso (kg) Freq.
50	 	55 2
55	 	60 5
60	 	65 6
65	 	70 9
70	 	75 4
Polígono de frequência
50
1
0
5
3
7
2
6
4
8
9
55 60 65 70 75 80
Figura	19	–	Peso	de	uma	amostra	de	adolescentes	da	região	XYZ
Por	sua	vez,	a Ogiva de Galton	é	um	gráfico	em	linha,	traçado	em	relação	às	frequências	acumuladas	nos	
limites	superiores	dos	intervalos	das	classes.	Com	a	Ogiva	de	Galton,	podemos	calcular	a	mediana	graficamente.
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MateMática e Bioestatística
Para	finalizar	este	tópico,	ressaltamos	a	importância	do	papel	milimetrado	na	construção	de	gráficos,	pois	
eles	facilitam	muito.	Mais	modernamente,	podemos	contar	com	os	gráficos	feitos	por	computador,	que	são	
bastante	precisos	e	têm	uma	apresentação	muito	boa.	O	recurso	mais	comum	atualmente	é	o	Microsoft	Excel.
Exemplo de Aplicação
1)	Os	gráficos	permitem	visualizar	e	comparar	dados	com	mais	facilidade.	Por	isso,	aparecem	com	
maior	frequência	nos	meios	de	comunicação.	De	acordo	com	o	gráfico	no	qual	temos	as	cidades	mais	
visitadas	no	Brasil	em	2001,	podemos	afirmar	que	a	preferência	(moda)	é:
Rio	de	Janeiro
Florianópolis
São	Paulo
Salvador
Foz	do	Iguaçu
13%
14%
19%
20%
34%
Figura	20	-	Cidades	mais	visitadas	no	Brasil	em	2001
a)	Rio	de	Janeiro.
b)	Florianópolis.
c)	São	Paulo.
d)	Salvador.
e)	Foz	do	Iguaçu.
2)	O	gráfico	representa	a	evolução	do	peso	de	um	aluno	do	curso	de	Turismo:
70
60
50
40
30
pe
so
 (q
ui
lo
s)
20
10
0
0 20
idade (anos)
40 60
Figura	21	-	Evolução	do	peso	de	um	aluno	do	curso	de	Turismo	segundo	a	idade
De	acordo	com	o	gráfico,	o	peso	desse	aluno	quando	tinha	15	anos	era:
112
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Unidade II
a)	38	kg.
b)	40	kg.
c)	45	kg.
d)	54	kg.
e)	61	kg.
3)	Leia	o	texto,	adaptado	de	uma	reportagem	publicada	por	um	jornal	paulista:
A	Terra	é	um	planeta	cheio	de	água,	mas	a	maior	parte	dela	está	nos	oceanos	
e	nós,	 seres	humanos,	 precisamos	de	 água	doce	para	 consumo	próprio	 e	
para	 a	 agricultura.	 Segundo	 especialistas,	 69%	 da	 água	 doce	 do	mundo	
está	nas	calotas	polares	e	geleiras,	sendo	inexplorável.	Outros	30%	estão	em	
depósitos	subterrâneos,	de	difícil	uso.	O	restante,	que	está	em	rios,	lagos	e	
represas,	é	fácil	de	usar,	mas	a	quantidade	não	é	grande,	sendo,	em	muitos	
casos,	 água	 poluída.	 Isso	mostra	 que	 a	 água	 não	 pode	 ser	mal	 usada	 (O	
ESTADO	DE	S.	PAULO,	2001,	p.	A13.)
O	 texto	mostra	que	não	é	correto	desperdiçar	água,	porque	 se	 trata	de	um	recurso	escasso.	A	
questão	 sugere	 um	 trabalho	 conjunto	 relativo	 ao	 tema	 transversal	 meio	 ambiente.	 Esse	 tipo	 de	
informação,	por	 se	 tratar	de	 resultados	em	porcentagem,	deve	 ser	apresentado	preferencialmente	
sob	forma	de	gráfico	de:
a)	Linhas.
b)	Barras.
c)	Colunas.
d)	Setores.
e)	Comparativos.
6.4 Diagramas de blocos
Exemplo 1:	cargos	em	uma	empresa.
O	diagrama	a	seguir	mostra,	para	a	empresa	ABC	Informática,	em	valores	absolutos,	o	número	de	
mulheres	em	três	tipos	de	cargo:	de	supervisão,	de	gerência	e	de	direção.
113
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MateMática e Bioestatística
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Cargos	de	supervisão Cargos	de	gerência Cargos	de	direção
Figura	22	–	Número	de	mulheres	em	três	cargos
O	diagrama	a	seguir	mostra	o	número	de	mulheres,	para	a	empresa	ABC	Informática,	nos	cargos	
descritos	anteriormente	a	cada	dez	trabalhadores.
Cargos	de	supervisão Cargos	de	gerência Cargos	de	direção
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Figura	23	–	Número	de	mulheres	nos	cargos	a	cada	dez	trabalhadores	
Valores	absolutos	(leitura	do	primeiro	diagrama):
•	 Número	de	mulheres	em	cargos	de	supervisão	=	30.
•	 Número	de	mulheres	em	cargos	de	gerência	=	4.
•	 Número	de	mulheres	em	cargos	de	direção	=	6.
Conclusão:	na	empresa	ABC	Informática,	há	mais	trabalhadoras	em	cargos	de	supervisão	e	menos	
trabalhadoras	em	cargos	de	gerência.
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Unidade II
Valores	relativos	(leitura	do	segundo	diagrama):
•	 Dos	trabalhadores	em	cargos	de	supervisão,	70%	são	mulheres	(7	a	cada	10).
•	 Dos	trabalhadores	em	cargos	de	gerência,	50%	são	mulheres	(5	a	cada	10).
•	 Dos	trabalhadores	em	cargos	de	direção,	20%	são	mulheres	(2	a	cada	10).
Conclusão:	 na	 empresa	 ABC	 Informática,	 o	 maior	 percentual	 de	 mulheres	 está	 em	 cargos	 de	
supervisão	e	o	menor	percentual,	em	cargos	de	direção.
Podemos	afirmar	que	na	empresa	ABC	Informática	há	dez	funcionários	em	cargos	de	direção?
Exemplo 2:	número	de	internautas	(adaptado	do	Enade	2005).
Nos	dias	atuais,	as	novas	tecnologias	se	desenvolvem	de	forma	acelerada	e	a	 internet	ganha	papel	
importante	na	dinâmica	do	cotidiano	das	pessoas	e	da	economia	mundial.	Os	diagramas	a	seguir	mostram	
o	total	de	internautas	em	milhões	(2004)	e	o	número	de	internautas	a	cada	dez	habitantes	(2003).
200
185
100
78
22,2
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
Estados	
Unidos	(1%)
China	(2%) Japão	(3%) Brasil	(10%)
Figura	24	–	Total	de	internautas,	em	milhões	(2004)
6,7
6 5,7
0,8
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Islândia	(1%) Coreia	do	
Sul	(2%)
Suécia	(3%) Brasil	(76%)
Figura	25	–	Internautas	a	cada	dez	habitantes	(2003)	
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MateMática e BioestatísticaValores	absolutos	(leitura	direta	no	primeiro	diagrama):
•	 Número	de	internautas	nos	Estados	Unidos	=	185	milhões.
•	 Número	de	internautas	na	China	=	100	milhões.
•	 Número	de	internautas	no	Japão	=	78	milhões.
•	 Número	de	internautas	no	Brasil	=	22,2	milhões.
Em	2004,	o	país	do	primeiro	diagrama	com	maior	número	absoluto	de	internautas	foram	os	Estados	Unidos.
Valores	relativos	(leitura	do	segundo	diagrama):
•	 Dos	habitantes	da	Islândia,	67%	são	internautas	(6,7	a	cada	10).
•	 Dos	habitantes	da	Coreia	do	Sul,	60%	são	internautas	(6	a	cada	10).
•	 Dos	habitantes	da	Suécia,	57%	são	internautas	(5,7	a	cada	10).
•	 Dos	habitantes	do	Brasil,	8%	são	internautas	(0,8	a	cada	10).
Dos	citados	no	segundo	diagrama,	o	país	com	o	maior	percentual	de	internautas	foi	a	Islândia,	e	aquele	
com	menor	percentual	foi	o	Brasil;	ou	seja,	valor absoluto e valor relativo são conceitos distintos!
6.4.1 Diagramas circulares (pizza)
Exemplo 1:	produção	de	grãos	no	Brasil.
O	diagrama	a	 seguir	mostra	a	produção	de	grãos	 (soja,	milho,	 trigo,	arroz	e	 feijão)	no	Brasil,	no	
período	de	2007/08.
Soja
Milho
Trigo
Arroz
Feijão
5,4
12,1
3,5
58,6
60,1
Figura	26	–	Produção	de	grãos	2007/08	(em	milhões	de	toneladas)	
116
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Unidade II
Valores	absolutos	de	produção	de	grãos	em	ordem	decrescente	(leitura	direta	no	diagrama):
•	 Produção	de	soja	=	60,1	milhões	de	t.
•	 Produção	de	milho	=	58,6	milhões	de	t.
•	 Produção	de	arroz	=	12,1	milhões	de	t.
•	 Produção	de	trigo	=	5,4	milhões	de	t.
•	 Produção	de	feijão	=	3,5	milhões	de	t.
Conclusão:	no	período	de	2007/08,	a	maior	produção	foi	a	de	soja	(maior	região	representada	no	
diagrama).
Valores	relativos	de	produção	de	grãos	em	ordem	decrescente	(cálculos	feitos	a	partir	do	diagrama):
Produção total	de	grãos	no	Brasil	(2007/08)	=	60,1+58,6+12,1+5,4+3,5	=	139,7	milhões	de	t.
•	 Produção	de	soja	→
60 1
139 7
100 43
,
,
% %x = → 43	t	de	soja	a	cada	100	t	de	grãos.
•	 Produção	de	milho	→ 
58 6
139 7
100 42
,
,
% %x =
 
→ 42	t	de	milho	a	cada	100	t	de	grãos.
•	 Produção	de	arroz → 
12 1
139 7
100 9
,
,
% %x =
 
→ 9	t	de	arroz	a	cada	100	t	de	grãos.
•	 Produção	de	trigo	→ 
5 4
139 7
100 4
,
,
% %x =
 
→ 4	t	de	trigo	a	cada	100	t	de	grãos.
•	 Produção	de	feijão	→ 
3 5
139 7
100 3
,
,
% %x =
 
→ 3	t	de	feijão	a	cada	100	t	de	grãos.
Exemplo 2:	população	do	Brasil.
O	diagrama	que	segue	mostra	a	população	do	Brasil	em	2007.
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MateMática e Bioestatística
Norte
51.534.406
77.873.120
26.733.595
13.222.854 14.623.316
Nordeste
Sudeste
Sul
Centro-Oeste
Figura	27	–	População	brasileira	(2007)
Valores	 absolutos	 do	 nº	 de	 alunos	 matriculados	 por	 região	 do	 Brasil,	 2007	 (leitura	 do	 primeiro	
diagrama):
•	 Número	de	alunos	matriculados	no	Ensino	Médio na	Região	Norte	=	730.499
•	 Número	de	alunos	matriculados	no	Ensino	Médio na	Região	Nordeste	=	2.526.311
•	 Número	de	alunos	matriculados	no	Ensino	Médio na	Região	Sudeste	=	3.353.266
•	 Número	de	alunos	matriculados	no	Ensino	Médio na	Região	Sul	=	1.147.062
•	 Número	de	alunos	matriculados	no	Ensino	Médio na	Região	Centro-Oeste	=	612.231
•	 Número	total	de	alunos	matriculados	no	Ensino	Médio no	Brasil	=	8.369.369
Valores	absolutos	da	população	por	região	do	Brasil,	2007	(leitura	do	segundo	diagrama):
•	 População	da	Região	Norte	=	14.623.316.
•	 População	da	Região	Nordeste	=	51.534.406.
•	 População	da	Região	Sudeste	=	77.873.120.
•	 População	da	Região	Sul	=	26.733.595.
•	 População	da	Região	Centro-Oeste	=	13.222.854.
•	 População	total	do	Brasil	=	183.987.291	(soma	das	populações	de	cada	região).
Matriculados	por	região	em	relação	ao	total	de	alunos	matriculados	no	Ensino	Médio	no	Brasil	(%):
•	 Percentual	de	matriculados	na	Região	Norte em relação ao total de alunos: 
730 499
8 369 369
100 9
.
. .
% %x = .
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Unidade II
•	 Percentual	 de	 matriculados	 na	 Região	 Nordeste	 em	 relação	 ao	 total	 de	 alunos:	 
 2 526 311
8 369 369
100 30
. .
. .
% %x = .
•	 Percentual	 de	 matriculados	 na	 Região	 Sudeste	 em	 relação	 ao	 total	 de	 alunos:	 
 3 353 266
8 369 369
100 40
. .
. .
% %x = .
•	 Percentual	de	matriculados	na	Região	Sul	em	relação	ao	total	de	alunos:	
1 147 062
8 369 369
100 14
. .
. .
% %x = .
•	 Percentual	 de	 matriculados	 na	 Região	 Centro-Oeste	 em	 relação	 ao	 total	 de	 alunos:		 
 612 231
8 369 369
100 7
.
. .
% %x = .
População	de	cada	região	em	relação	à	população	total	do	Brasil	(%):
•	 Percentual	 da	 população	 no	 Norte	 em	 relação	 à	 população	 total	 do	 Brasil:	 
 14 623 316
183 987 291
100 8
. .
. .
% %x = .
•	 Percentual	 da	 população	 no	 Nordeste	 em	 relação	 à	 população	 total	 do	 Brasil:	 
 51 534 406
183 987 291
100 28
. .
. .
% %x = .
•	 Percentual	 da	 população	 no	 Sudeste	 em	 relação	 à	 população	 total	 do	 Brasil:	 
 77 873 120
183 987 291
100 42
. .
. .
% %x = .
•	 Percentual	 da	 população	 no	 Sul	 em	 relação	 à	 população	 total	 do	 Brasil:	 
 26 733 595
183 987 291
100 15
. .
. .
% %x = .
•	 Percentual	 da	 população	 no	 Centro-Oeste	 em	 relação	 à	 população	 total	 do	 Brasil	 
 13 222 854
183 987 291
100 7
. .
. .
% %x = .
Matriculados	no	Ensino	Médio	por	região	em	relação	à	sua	população	(%):	
•	 Percentual	 de	 matriculados	 (Ensino	 Médio)	 na	 Região	 Norte	 em	 relação	 à	 sua	 população:	 
 730 499
14 623 316
100 5
.
. .
% %x = .
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a
MateMática e Bioestatística
•	 Percentual	 de	matriculados	 (Ensino	Médio)	 na	 Região	 Nordeste	 em	 relação	 à	 sua	 população:	 
 2 526 311
51 534 406
100 5
. .
. .
% %x = .
•	 Percentual	 de	 matriculados	 (Ensino	 Médio)	 na	 Região	 Sudeste	 em	 relação	 à	 sua	 população:	 
 3 353 266
77 873 120
100 4
. .
. .
% %x = .
•	 Percentual	 de	 matriculados	 (Ensino	 Médio)	 na	 Região	 Sul	 em	 relação	 à	 sua	 população:	 
 1 147 062
26 733 595
100 4
. .
. .
% %x = .
•	 Percentual	de	matriculados	(Ensino	Médio)	na	Região	Centro-Oeste	em	relação	à	sua	população:	 
 612 231
13 222 854
100 4
.
. .
% %x = .
Exemplo de Aplicação
Questão 1.	O	Índice	de	Desenvolvimento	Humano	(IDH)	é	um	indicador	do	nível	do	desenvolvimento	
socioeconômico	 de	 um	 dado	 país	 que	 leva	 em	 conta,	 simultaneamente,	 diversos	 aspectos,	 como	
expectativa	de	vida,	índice	de	mortalidade	infantil,	grau	de	escolaridade	e	poder	de	compra	da	população.	
A	relação	entre	o	consumo	anual	de	energia	per capita	(TEP)	e	o	IDH,	em	vários	países,	está	indicada	no	
gráfico	abaixo,	no	qual	cada	ponto	representa	um	país.
Países	com	médio	desenvolvimento
Países	com	baixo	desenvolvimento
Países	com	alto	desenvolvimento
1,0
0,8
0,6ID
H
0,5
Brasil
0,4
0,2
0 4 8 12
Figura	28	-	Consumo	anual	de	energia	per capita em	toneladas	equivalentes	de	petróleo	(TEP)	
Com	base	nesse	conjunto	de	dados,	pode-se	afirmar	que:
a)	O	IDH	cresce	linearmente	com	o	consumo	anual	de	energia	per capita.
b)	O	IDH	aumenta,	quando	se	reduz	o	consumo	anual	de	energia	per capita.
c)	A	variação	do	IDH	entre	dois	países	é	inferior	a	0,2,entre	aqueles	cujo	consumo	anual	de	energia	
per capita	é	maior	que	4	TEP.
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Unidade II
d)	A	obtenção	de	IDH	superior	a	0,8	requer	consumo	anual	de	energia	per capita	superior	a	4	TEP.
e)	O	IDH	é	inferior	a	0,5	para	todos	os	países	com	consumo	anual	de	energia	per capita menor que 
4	TEP.
Alternativa correta: C. 
Justificativa:	o	gráfico	indica	que	todos	os	países	com	IDH	entre	0,8	e	1	apresentam	consumo	anual	
de	energia	per capita	maior	que	4	TEP.
Questão 2.	Veja	os	gráficos	a	seguir:	
Atlanta
Nova	York
Perth
Vancouver
Zurique
Munique
Bangkok
Tóquio
São	Paulo
Curitiba
Hong	Kong
Cracóvia
Bogotá
Xangai
Cidade	de	Ho	Chi	Minh
Habitantes	por	hectare
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Figura	29		-	Densidade	demográfica	em	15	cidades	-	1995.=
Atlanta
Nova	York
Perth
Vancouver
Zurique
Munique
Bangkok
Tóquio
São	Paulo
Curitiba
Hong	Kong
Cracóvia
Bogotá
Xangai
Cidade	de	Ho	Chi	Minh
Litros	por	pessoa	por	ano
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Figura	30	-	Consumo	de	gasolina	em	transporte	particular	de	passageiros	em	15	cidades	-	1995.
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a
MateMática e Bioestatística
Com	base	nesses	gráficos	sobre	15	cidades,	pode-se	concluir	que,	no	ano	de	1995:	
a)	As	três	cidades	com	menor	número	de	habitantes	por	hectare	são	aquelas	que	mais	consomem	
gasolina	no	transporte	particular	de	passageiros.
b)	Nas	três	cidades	da	América	do	Sul,	vale	a	regra:	maior	população	por	hectare	acarreta	maior	
consumo	de	gasolina	no	transporte	particular	de	passageiros.
c)	As	cidades	mais	populosas	por	hectare	são	aquelas	que	mais	consomem	gasolina	no	transporte	
particular	de	passageiros.
d)	Nas	três	cidades	da	América	do	Norte,	vale	a	regra:	maior	população	por	hectare	acarreta	maior	
consumo	de	gasolina	no	transporte	particular	de	passageiros.
e)	As	três	cidades	da	Ásia	mais	populosas	por	hectare	estão	entre	as	quatro	com	menor	consumo	de	
gasolina	no	transporte	particular	de	passageiros.
Resposta correta: A
Justificativa:	os	gráficos	mostram	que,	quanto	maior	é	a	densidade	demográfica,	menor	é	o	consumo	
de	gasolina	no	transporte	particular	de	passageiros.
Questão 3.	Análise	conjunta	de	dois	gráficos.	
Os	gráficos	a	seguir	ilustram	situações	referentes	à	locadora	de	vídeos	Cinema	em	Casa.
5000
4500
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
ja
ne
iro
nú
m
er
o 
de
 v
íd
eo
s 
al
ug
ad
os
meses (1º semestre de 2009)
fe
ve
re
iro
m
ar
ço
ab
ril
m
ai
o
ju
nh
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Figura	31 
122
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Unidade II
Romance	
16%
Outros 
9%
Infantil	
25%
Terror
20%
Suspense
30%
Figura	32 
Número	de	locações	de	vídeos	no	1º	semestre	de	2009	e	distribuição	de	filmes	alugados	por	gênero	
durante	o	mês	de	junho	de	2009:
•	 Número	de	filmes	alugados	pela	locadora	Cinema	em	Casa	em	janeiro	de	2009:	2.500.
•	 Número	de	filmes	alugados	pela	locadora	Cinema	em	Casa	em	fevereiro	de	2009:	3.000.
•	 Número	de	filmes	alugados	pela	locadora	Cinema	em	Casa	em	março	de	2009:	2.000.
•	 Número	de	filmes	alugados	pela	locadora	Cinema	em	Casa	em	abril	de	2009:	3.500.
•	 Número	de	filmes	alugados	pela	locadora	Cinema	em	Casa	em	maio	de	2009:	4.500.
•	 Número	de	filmes	alugados	pela	locadora	Cinema	em	Casa	em	junho	de	2009:	4.000.
Mês	de	junho	de	2009:	total	de	filmes	alugados	=	4000.
•	 Locações	de	Romance	(junho	de	2009):	16%	de	4000	=	
16
100
4000 640x = .
•	 Locações	de	Suspense	(junho	de	2009):	30%	de	4000	=	
30
100
4000 1200x = .
•	 Locações	de	Terror	(junho	de	2009):	20%	de	4000	=	
20
100
4000 800x = .
•	 Locações	de	Infantil	(junho	de	2009):	25%	de	4000	=	
25
100
4000 1000x = .
•	 Locações	de	Outros	(junho	de	2009):	9%	de	4000	=	
9
100
4000 360x = .
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MateMática e Bioestatística
Variação	percentual	do	número	de	filmes	alugados	no	período	de	janeiro	a	junho	de	2009:	o	número	
de	locações	passou	de	2.500	para	4.000.
Variação	no	número	de	locações	no	período	=	4.000	–	2.500	=	1.500.
Por	regra	de	três,	temos:	
2.500	–	100%
1.500	–	X ,	ou	seja,	2.500	.	X	=	1.500x100→ X	=	150.000/2.500	=	
60%.
Também	podemos	calcular	a	fração	 1 500
2 500
100 60
.
.
. % %= .
O	número	de	locações	teve	aumento	de	60%	de	janeiro	a	junho	de	2009.
Variação	percentual	do	número	de	filmes	alugados	no	período	de	 fevereiro	a	março	de	2009:	o	
número	de	locações	passou	de	3.000	para	2.000.
Variação	no	número	de	locações	no	período	=	2.000	–	3.000	=	-1.000.
Por	regra	de	três,	temos:	
3000			–	100%
–1000	–	X ,	ou	seja,	3.000	.	X	=	-	1.000	x	100→ X	=	-100.000/300	=	
-33,3%.
Também	podemos	calcular	a	fração	
−
=
1 000
3000
100 33 3
.
. % , % .
O	número	de	locações	teve	diminuição	de	33,3%	de	fevereiro	a	março	de	2009.
 Observação
1	–	O	gráfico	escolhido	deve	ser	de	acordo	com	o	tipo	de	variável.
2	–	Se	a	variável	for	qualitativa,	devemos	usar	o	gráfico	de	barras	ou	o	
gráfico	de	setores.
3	 –	 Se	 a	 variável	 for	 quantitativa,	 devemos	 usar	 o	 histograma	 ou	 o	
polígono	de	frequências.
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Unidade II
 Saiba mais
Recomendamos	o	link	a	seguir:
<http://educabilia.com.br/varias/q/estatistica-matematica?eq
=estatistica+matematica&g=matem%C3%A1tica&gclid=CP_jj-
OP874CFQxp7AodimgAYQ>.
7 NOÇÕES DE PROBABILIDADES
A	 probabilidade	 expressa,	 por	 meio	 de	 valores	 numéricos,	 as	 possibilidades	 da	 ocorrência	 dos	
resultados	de	um	fenômeno.
Nossos	objetivos	neste	tópico	são	definir	e	calcular	a	probabilidade	de	um	evento	ocorrer,	identificar	
em	um	problema	evento	e	espaço	amostral	e	resolver	problemas	envolvendo	o	cálculo	de	probabilidades.
7.1 Conceitos básicos
Veja	a	seguir	alguns	conceitos	básicos:
•	 Experimento aleatório:	 e	 aquele	 que,	 repetido	 em	 condições	 consideradas	 idênticas,	 pode	
apresentar	resultados	diferentes.	Por	exemplo,	o	lançamento	de	um	dado.
•	 Espaço amostral (S):	 é	 o	 conjunto	 dos	 possíveis	 resultados	 de	 um	 experimento	 aleatório.	 O	
número	 de	 elementos	 desse	 conjunto	 é	 indicado	 por	 n(S).	 Exemplo:	 no	 lançamento	 do	 dado,	
temos:
S	=	{1,	2,	3,	4,	5,	6}		 	 n(S)	=	6
•	 Evento:	é	um	subconjunto	do	espaço	amostral.	Exemplo:	no	dado,	podemos	ter	como	evento	a	
ocorrência	de	um	número	par:	A	=	{nº	par};	A	=	{2,	4,	6},	n(A)	=	3.
•	 Probabilidades – definição:	as	probabilidades	são	utilizadas	para	exprimir	a	chance	de	ocorrência	
de	determinado	evento.	Num	experimento	aleatório	equiprovável,	a	probabilidade	de	ocorrer	o	
evento	X	dentro	do	espaço	amostral	S	é	dada	por:
P X
n X
n S
P X
n de casos favoraveis
n de casos possiveis
o
o
( )
( )
( )
( )= =
´
´
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MateMática e Bioestatística
Exemplo:	qual	a	probabilidade	de	se	retirar	(sem	reposição)	cinco	cartas	de	Copas	de	um	baralho	
com	52	cartas?
Figura	33 
P Copas x x x x( ) , %5
13
52
12
51
11
50
10
49
9
48
0 0495= =
7.2 Probabilidadecondicional
Sejam	A	e	B	dois	eventos,	com	P(A)	>	0.	Denotemos	por	P(B/A)	a	probabilidade	de	ocorrência	de	B,	
na	hipótese	de	A	ter	ocorrido.		Como	A	ocorreu,	passa	a	ser	o	novo	espaço	amostral,	que	vem	substituir	
o	espaço	original	S.	Daí:
P B A
P A B
P A
n A B
n A
( / )
( )
( )
( )
( )
=
∩
=
∩
Exemplo:	sorteando-se	um	número	ao	acaso	entre	os	inteiros	1,	2,	...	,	15,	qual	a	probabilidade	de	o	
número	ser	6,	sabendo-se	que	saiu	par?
S	=	{1,	2,	3,	...	,	15}		 	 n(S)	=	15
B	=	{o	número	é	6}	=	{6}		 n(B)	=	1
A	=	{o	número	é	par}	=	{2,	4,	6,	8,	10,	12,	14}		 n(A)	=	7
A ∩	B	=	{6}	⇒	n(A	∩	B)	=	1
Daí,	temos:
P B A
P A B
P A
( / )
( )
( )
/
/
,=
∩
= = =
1 15
7 15
1
7
0 1428
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Unidade II
Exemplo de Aplicação
1)	Um	lote	de	30	passagens	é	formado	por	20	passagens	para	Belém,	8	para	Manaus	e	2	para	Natal.	
Retira-se	uma	passagem	ao	acaso.	Calcule	a	probabilidade	de	que:
a)	A	passagem	seja	para	Manaus.
b)	A	passagem	seja	para	Natal.
c)	A	passagem	seja	para	Belém.
2)	 Um	 estudo	 de	 500	 voos	 da	 American	 Airlines	 selecionados	 aleatoriamente	mostrou	 que	 430	
chegaram	no	horário	(com	base	em	dados	do	Ministério	dos	Transportes).	Qual	a	probabilidade	de	um	
voo	da	American	Airlines	chegar	antes	do	horário?	Acha	que	é	um	resultado	satisfatório?
3)	Distribuição	de	hóspedes	em	um	hotel	de	Curitiba.
Tabela 17 
Idade
Sexo
Total
Feminino Masculino
Abaixo	de	20	anos 20 16 35
Entre	20	e	40	anos 65 150 215
Acima	de	40	anos 50 95 145
Total 135 260 395
Se	um	hóspede	é	aleatoriamente	escolhido,	qual	a	probabilidade:
a)	De	ser	mulher?
b)	De	ser	mulher	e	ter	acima	de	40	anos?
c)	De	ser	homem	e	ter	menos	de	20	anos?
d)	De	ser	mulher	entre	20	e	40	anos?
e)	De	ser	homem	e	ter	menos	de	40	anos?
4)	Estilo	de	vida	é	um	fator	que	agrega	o	modo	como	as	pessoas	vivem,	como	se	veem	e	como	
querem	que	 os	 outros	 as	 vejam.	 É	 também	 função	de	 variáveis	 como	 renda,	 ocupação,	 instrução	 e	
convívio	social.	Alguns	estilos	são	especialmente	interessantes	para	quem	gerencia	atrações	(defensores	
de	vida	saudável	são	propensos	a	visitar	clubes	e	centros	esportivos,	ambientalistas	gostam	de	zoos,		
passeios	ecológicos	etc.).	A	tabela	a	seguir	mostra	o	resultado	de	um	teste	de	identificação	de	estilo	de	
vida	com	150	pessoas	aleatoriamente	selecionadas.
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MateMática e Bioestatística
Tabela 18 
Estilo de vida
Pesquisado Tipo A Tipo B Total
Homem 78 42 120
Mulher 19 11 30
Total 97 53 150
Escolhendo	um	dos	questionários	preenchidos	pelos	entrevistados,	sobre	preferências	por	atrações	
turísticas,	qual	a	probabilidade	de	ele	se	referir	a	alguém:
a)	Do	estilo	A?
b)	Do	sexo	feminino?
c)	Do	estilo	B,	dado	que	é	mulher?
d)	Do	sexo	masculino	ou	que	tenha	estilo	de	vida	tipo	B?
 Observação
1	-	O	estudo	sobre	probabilidades	começou	no	século	XVII,	a	partir	dos	
jogos	de	azar.
2	–	Os	jogos	de	azar	têm	duas	características:	a	incerteza	e	a	regularidade.
3	–	Incerteza:	não	podemos	prever	o	resultado,	mas,	podemos	prever	
uma série de resultados.
7.3 Distribuição Normal
A	distribuição	normal	é	uma	das	mais	 importantes	entre	os	modelos	de	distribuição	contínua.	É	
também	conhecida	como	distribuição	de	Gauss,	Laplace	ou	Laplace-Gauss.
Os	 objetivos	 deste	 tópico	 são	 apresentar	 a	 distribuição	 de	 frequência	 mais	 comum	 e	 operar	 e	
interpretar	variáveis	com	distribuição	normal.
Cientistas	do	século	XVIII,	ao	observarem	certos	fenômenos	sociais,	psicológicos	e	físicos,	descobriram	
certa	distribuição	de	frequência	que	ocorria	constantemente,	como	no	gráfico	a	seguir:
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Unidade II
y
x
Figura	34 
Essa	distribuição	ficou	conhecida	como	distribuição normal.
Mais	tarde,	constatou-se	que	ela	podia	ser	aproximada	por	uma	distribuição	matemática.
Fr
eq
uê
nc
ia
Figura	35 
Daí	nasceu	a	chamada	curva normal ou curva de Gauss,	em	homenagem	a	Karl	F.	Gauss.
Atualmente,	a	curva	normal	é	uma	das	mais	importantes	distribuições	de	probabilidades	conhecidas.	
Isso	se	deve	não	só	aos	recursos	que	ela	própria	oferece,	mas	também	ao	fato	de	que	muitas	outras	
distribuições	convergem	para	ela.
7.3.1 Características da curva normal
1)	É	simétrica	em	relação	à	média.
2)	No	ponto	de	maior	frequência	coincidem	média,	mediana	e	moda.
3)	Existe	uma	curva	normal	para	cada	média	e	desvio	padrão	(parâmetros).
4)	É	uma	distribuição	contínua	e	pode	assumir	qualquer	valor	do	campo	real	de	- ∞	a	+	∞.
5)	A	área	total	sob	a	curva	é	considerada	como	100%.
6)	A	área	sob	a	curva	entre	dois	pontos	é	a	probabilidade	de	uma	variável	normalmente	distribuída	
tomar	um	valor	entre	esses	pontos	e	é	função	de	S.
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MateMática e Bioestatística
7)	Como	há	um	número	ilimitado	de	valores	no	intervalo	de	- ∞	a	+	∞, a probabilidade de uma 
variável	aleatória	distribuída	normalmente	tomar	exatamente	determinado	valor	é	aproximadamente	
zero. Assim, as probabilidades se referem sempre a intervalos de valores.
8)	É	assintótica	em	relação	à	horizontal,	ou	seja,	a	curva	se	aproxima	do	eixo	cada	vez	mais,	mas	
nunca o intercepta.
Uma	forma	abreviada	de	indicar	que	uma	variável	X	tem	distribuição	normal	é	X	→	N(X;	S2),	onde	X 
e	S2	são	os	parâmetros	fundamentais.
A B
Figura	36 
Xa	<	Xb
SA	=	SB
A
B
Figura	37 
Xa	=	Xb
SA >	SB
Exemplo:	QI	de	indivíduos	adultos	de	certa	população.
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Unidade II
Fr
eq
uê
nc
ia
70
(-3	o)
x	=	100 130
(+3	o)
99,74%
Figura	38 
Normal reduzida
Vamos	 imaginar	que	uma	variável	X	 tenha	distribuição	normal	com	média	aritmética	X	e	desvio	
padrão	S.	Se	deslocarmos	o	eixo	das	frequências	até	o	centro	da	curva,	teremos	feito	uma	mudança	 
 
de	origem.	 Tomando	uma	nova	variável	Z	e	definindo-a	como	 Z
X X
S
=
−
, teremos construído uma 
 
distribuição	normal	reduzida.	Sendo	assim,	as	infinitas	distribuições	normais	reduzem-se	a	apenas	uma:	
N(0;	1).
Transformação de X em Z
Quando	fazemos	Z
X X
S
=
−
,	estamos	transformando	X	em	unidades	de	desvio	padrão.
Exemplo:	se	X	→ N(40;16);	X	=	44	transforma-se	em	Z	=	1.	Isso	é	um	desvio	padrão	à	direita	da	
média:
Z
X X
S
=
−
=
−
=
44 40
16
1
7.3.2 A distribuição normal como modelo
Tendo	uma	variável	X	distribuição	normal,	podemos	descobrir	a	probabilidade	de	ela	assumir	certo	
intervalo	de	valores,	calculando	a	área	compreendida	sob	a	curva	nesse	intervalo.	Como	esse	cálculo	é	
trabalhoso,	usamos	a	tabela	normal reduzida.
7.3.3 Teorema do limite central
Se	uma	variável	tem	distribuição	normal,	a	distribuição	das	médias	amostrais	também	será	normal	
para	qualquer	 tamanho	de	amostra,	 e	 se	 a	 variável	 tem	distribuição	não	normal,	 a	distribuição	das	
médias	amostrais	será	aproximadamente	normal	para	grandes	amostras.
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MateMática e Bioestatística
Exemplos:
1)	Suponha	que	a	renda