INFERÊNCIA ESTATÍSTICA

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INFERÊNCIA ESTATÍSTICA: estimativas por pontos e intervalos de confiança 
 
Fabiano Sousa Lira1 
Ronaldo Silva2 
 
RESUMO 
 
O universo matemático é bastante amplo, sua aplicabilidade na realidade concreta também, em 
um vasto número de elementos que compõem uma população (de unidades até bilhares deles) 
a capacidade de análise se restringe a uma pequena parte deles, denominada amostra, da qual 
pode-se fazer um estudo matemático descritivo dos dados desta amostra que englobam desde 
medidas de tendência central até de dispersão. Este campo de estudo fica a cargo da estatística 
descritiva, que aliada ao conhecimento de probabilidade dos eventos em um espaço amostral, 
que culminam numa distribuição probabilística contínua ou amostral, possibilitam a 
compreensão da população a partir de amostras suas, as quais permitem inferências originadas 
de dados numéricos estimados que podem ser frutos de amostras pontuais ou de um intervalo 
de amostras. Isto tudo, é um campo de estudo da estatística inferencial sob a ótica das 
estimativas por pontos e intervalos de confiança. 
 
Palavras-chave: Estatística. Estimativa por Ponto. Inferência. Intervalo de Confiança. 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
É de fundamental importância a contribuição da Estatística dentro da realidade dos 
indivíduos, a partir dela, dados de uma população grande podem ser estimados por meio de uma 
amostra da mesma. Em vista de tal importância, foi feito um levantamento bibliográfico tendo 
como ótica o estudo da inferência estatística. 
O presente trabalho tem como objetivo o estudo da inferência estatística onde foi feito 
uso de uma pesquisa bibliográfica, tendo como finalidade a explanação dos tópicos: estimativas 
por ponto e intervalos de confiança. 
 
 
 
 
 
1 Graduando do V período do Curso de Licenciatura em Física do Instituto Federal de Educação, Ciências e 
Tecnologia do Maranhão - Campus Imperatriz – fabianolira.01@gmail.com. 
2 Graduando do V período do Curso de Licenciatura em Física do Instituto Federal de Educação, Ciências e 
Tecnologia do Maranhão - Campus Imperatriz – lanor.silva@gmail.com. 
2 
2 ESTIMADORES, ESTIMATIVAS E PARÂMETROS 
 
Quando é necessário estudar uma determinada característica de uma população, a 
partir de amostras com determinados tamanhos (n), é preciso definir uma variável que indique 
a característica que será estudada da população (X). Para análise desta variável em estudo existe 
um parâmetro populacional (θ) que é constante em uma dada população, porém tal parâmetro 
quando inserido num contexto de análise amostral é especificado por meio de um estimador (𝜃) 
que é variável para cada amostra e oferece um valor aproximado para o parâmetro (θ), sendo 
considerado um parâmetro amostral. 
Estes estimadores podem ser: o desvio padrão amostral (S); a variância amostral (S2); 
a média amostral (�̅�). Sendo que os respectivos parâmetros populacionais constantes são: o 
desvio padrão populacional (𝜎); a variância populacional (𝜎2); a média populacional (𝜇); entre 
outros. 
Os valores numéricos dos estimadores amostrais são denominados de estimativas; 
sendo assim, infere-se que: 
 
À combinação dos elementos da amostra, construída com a finalidade de representar, 
ou estimar, um parâmetro de interesse na população, denominamos estimador. Em 
geral, denotamos os estimadores por símbolos com acento circunflexo: �̂�, �̂�, �̂�, etc. 
Aos valores numéricos assumidos pelos estimadores denominamos estimativas 
pontuais ou simplesmente estimativas. Notamos que um estimador, digamos �̂�, é uma 
função das variáveis aleatórias constituintes da amostra, isto é, �̂� = f (X1, X2, ...). Logo 
o estimador é também uma variável aleatória. (MAGALHÃES, 2010, p. 224). 
 
Sendo os estimadores variáveis amostrais, implica-se portanto que, eles serão os 
valores que determinarão os parâmetros populacionais, quer dizer, a distribuição de 
probabilidade dos estimadores amostrais indica em uma certa faixa de confiança a inclusão do 
parâmetro populacional. 
 
3 TIPOS DE ESTIMATIVAS 
 
3.1 Estimativa por ponto 
 
No instante em que os dados amostrais são utilizados para calcular uma medida de 
tendência central ou de dispersão, e este valor é tomado como uma aproximação estimada da 
medida da população, se está realizando uma estimativa por ponto. Assim, o valor de �̅�, por 
3 
exemplo, é uma estimativa por ponto da média populacional 𝜇. Uma situação exemplificativa 
configura-se quando de uma amostra aleatória de 200 alunos calcula-se �̅� como sendo 5, a nota 
média amostral, e atribui-se aos 10 mil alunos a mesma média; ou seja, ampliou-se uma 
característica típica da amostra (ponto da população) para toda a população, portanto, tal 
estimativa é pontual. 
 
3.2 Estimativa por intervalo de confiança 
 
Este tipo de estimativa baseia-se na presença do parâmetro populacional contido no 
interior de um intervalo numérico obtido a partir de elementos amostrais, dos quais, espera-se 
que o parâmetro mencionado esteja inserido com um dado nível de confiança ou probabilidade 
(1 – 𝛼)%; tal índice ou nível de confiança geralmente é superior a 90%. Além do mais, quanto 
menor a amplitude do intervalo de confiança mais precisa é a inferência realizada quanto ao 
parâmetro amostral. 
Um exemplo de intervalo de confiança é quando se afirma com 95% de nível de 
confiança que a altura média dos moradores de um município X está entre 1,60 e 1,64 metros, 
sempre é recomendado considerar a probabilidade de erro, pois indicará a chance da amostra 
não conter o parâmetro populacional indicado. 
 
4 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA POPULACIONAL QUANDO A 
VARIÂNCIA É CONHECIDA 
 
Como já foi mencionado o estimador de 𝜇 é �̅�, reconhecendo que a destruição de 
probabilidade é dada, para populações infinitas, por (Eq. 1): 
 
�̅�𝑑𝑁 (𝜇 ; 
𝜎2
𝑛
) (1) 
 
E para populações finitas por (Eq. 2): 
 
�̅�𝑑𝑁 (𝜇 ; 
𝜎2
𝑛
 (
𝑁−𝑛
𝑁−1
)) (2) 
 
4 
Nas equações acima, os termos ainda não mencionados, N é o número de elementos 
da população e 𝑑 denota a distribuição de probabilidade, neste caso, da média amostral. Deste 
modo, considerando populações infinitas, a variável normal padronizada de �̅� é Zi dado por (Eq. 
3): 
 
Zi = 
𝑥�̅�− 𝜇
𝜎
√𝑛
 (3) 
 
Ao ser fixado o nível de confiança (1 – 𝛼) obtém-se a seguinte distribuição normal de 
probabilidade (Fig. 1). 
 
Figura 1 – Distribuição da probabilidade correspondente a Zi 
 
 
 
Fonte: (MARTINS, 2010) 
 
A partir da análise do gráfico contido na Figura 1 é notório que a faixa em que a 
variável normal padronizada está inserida, ou seja, o intervalo de confiança onde provavelmente 
a média populacional (𝜇) está inserida limita-se, à região intermediária não hachurada, 
matematicamente tem-se (Eq. 4): 
 
𝑃 (−𝑍𝛼
2
≤ 𝑍𝑖 ≤ 𝑍𝛼
2
) = 1 − 𝛼 (4) 
 
Substituindo o valor de Zi dado pela Equação 3 na Equação 4 e simplificando a 
inequação assim obtida, pode-se encontrar um intervalo no qual a média populacional 𝜇 está 
inerida com (1 – 𝛼) nível de confiança como demonstrado na seguinte equação (Eq. 5): 
 
𝑃 (𝑥 ̅− 𝑍𝛼
2
𝜎
√𝑛
 ≤ 𝜇 ≤ �̅� + 𝑍𝛼
2
𝜎
√𝑛
) = 1 − 𝛼 (5) 
5 
A Equação 5 é válida para populações infinitas caso a população seja finita utiliza-se 
está outra fórmula (Eq. 6): 
 
𝑃 (𝑥 ̅− 𝑍𝛼
2
𝜎
√𝑛
√
𝑁−𝑛
𝑁−1
 ≤ 𝜇 ≤ �̅� + 𝑍𝛼
2
𝜎
√𝑛
√
𝑁−𝑛
𝑁−1
) = 1 − 𝛼 (6) 
 
5 INTERVALO DE CONFIANÇA (IC) PARA MÉDIA POPULACIONAL QUANDO A 
MÉDIA POPULACIONALÉ DESCONHECIDA 
 
Se houver amostras pequenas e o valor do desvio padrão populacional (𝜎) for 
desconhecido, pode-se construir um intervalo de confiança para média desde que a população 
de onde a amostra aleatória foi extraída tenha distribuição normal. Como o 𝜎 é desconhecido, 
é preciso substituí-lo pelo S (desvio padrão amostral) que, diferente do 𝜎, não é constante, mas 
uma variável aleatória. Portanto, obtém-se uma distribuição de probabilidade t de Student 
análoga à presente na Equação 3, porém, com uma substituição de Zi por t e de 𝜎 por S, adquire-
se assim uma equação com duas variáveis aleatórias (�̅� 𝑒 𝑆) (Eq. 7). 
 
ti = 
𝑥�̅�− 𝜇
𝑆
√𝑛
 (7) 
 
Feita a análise da referida equação e fixando um nível de confiança e (1 – 𝛼) tem-se 
como resultado a seguinte distribuição t de Student (Fig. 2): 
 
Figura 2 – Distribuição t de Student para 𝜇 
 
 
 
Fonte: (MARTINS, 2010) 
 
6 
De forma similar ao caso anterior, o valor de ti estará compreendido entre as duas áreas 
hachuradas com um percentual de confiança equivalente (1 – 𝛼). Matematicamente esta 
situação pode ser expressa da forma probabilística (Eq. 8): 
 
𝑃 (−𝑡𝛼
2
≤ 𝑡𝑖 ≤ 𝑡𝛼
2
) = 1 − 𝛼 (8) 
 
Quando se substitui o valor de ti dado pela Equação 7 na Equação 8 e simplifica-se 
inequação assim obtida recai numa inequação que indica o intervalo de confiança no qual a 
média populacional 𝜇 está inserida quando o valor da variância populacional é desconhecida e 
é sabido somente o valor da variância amostral. Tal intervalo apresenta um nível de confiança 
(1 – 𝛼) e uma distribuição de probabilidade t de Student dada por (Eq. 9): 
 
𝑃 (𝑥 ̅− 𝑡𝛼
2
𝑆
√𝑛
 ≤ 𝜇 ≤ �̅� + 𝑡𝛼
2
𝑆
√𝑛
) = 1 − 𝛼 (9) 
 
Nesta equação a variável t possui (n – 1) graus de liberdade; porém, é válida para 
populações infinitas, considerando populações finitas a fórmula aplicada será (Eq. 10): 
 
𝑃 (𝑥 ̅− 𝑡𝛼
2
𝑆
√𝑛
√
𝑁−𝑛
𝑁−1
 ≤ 𝜇 ≤ �̅� + 𝑡𝛼
2
𝑆
√𝑛
√
𝑁−𝑛
𝑁−1
) = 1 − 𝛼 (10) 
 
6 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA VARIÂNCIA 
 
O estimador da variância populacional 𝜎2 é a variância amostral S2, a qual tem 
distribuição Qui-Quadrado, exceto em casos constantes, apresentado (n – 1) graus de liberdade, 
quer dizer, sua distribuição é da seguinte maneira (Eq. 11): 
 
𝜒𝑛−1
2 𝑑
(𝑛−1)𝑆2
𝜎2
 (11) 
 
Considerando que a população tenha uma distribuição normal, esta pode ser 
representada do seguinte aspecto (Fig. 3): 
 
 
7 
Figura 3 – Distribuição de probabilidade Qui-Quadrado para 𝜎2 
 
 
 
Fonte: (MARTINS, 2010) 
 
De maneira similar ao raciocínio utilizado para a distribuição normal padronizada 
podemos inferir o seguinte intervalo de confiança (Eq. 12): 
 
𝑃(𝜒𝑖𝑛𝑓
2 ≤ 𝜒𝑛−1
2 ≤ 𝜒𝑠𝑢𝑝
2 ) = 1 − 𝛼 (12) 
 
Substituindo o valor de Qui-Quadrado dado pela Equação 11 na Equação 12 e isolando 
o 𝜎2 no termo intermediário da inequação tem-se como resultado (Eq. 13): 
 
𝑃 (
(𝑛−1)𝑆2
𝜒𝑠𝑢𝑝
2 ≤ 𝜎
2 ≤ 
(𝑛−1)𝑆2
𝜒𝑖𝑛𝑓
2 ) = 1 − 𝛼 (13) 
 
7 INTERVALO DE CONFINAÇA PARA O DESVIO PADRÃO (𝝈) 
 
Reconhecendo que a distribuição de probabilidade populacional da qual a amostra foi 
extraída seja normal, é possível obter um intervalo de confiança para o desvio padrão 
populacional (𝜎) o qual é dado pela raiz quadrada do intervalo de confiança da variância 
populacional como mostrado (Eq. 14): 
 
𝑃 (√
(𝑛−1)𝑆2
𝜒𝑠𝑢𝑝
2 ≤ 𝜎 ≤ √
(𝑛−1)𝑆2
𝜒𝑖𝑛𝑓
2 ) = 1 − 𝛼 (14) 
 
8 
8 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA PROPORÇÃO 
 
É sabido que em amostras suficientemente grandes (n > 30) a distribuição amostral da 
frequência (f) equivale ao estimador de proporção populacional (�̂�) o qual indica a verdadeira 
proporção de sucessos, sendo igual à razão entre o número de sucessos na amostra (x) e o 
tamanho da amostra (n) com distribuição aproximadamente norma, quer dizer, a média 
populacional das frequências tem o mesmo valor de p e o desvio padrão destas (𝜎(𝑓)) será dado 
pela seguinte expressão (Eq. 15): 
 
𝜎(𝑓) = √
𝑝 (1−𝑝)
𝑛
 (15) 
 
Desta expressão implica-se, para grandes amostras (Eq. 16) e (Eq. 17): 
 
𝑓𝑑𝑁 (𝑝 ; 
𝑝 (1−𝑝)
𝑛
) (16) 
 
𝑍𝑖 = 
𝑓𝑖−𝑝
√𝑝 
(1−𝑝)
𝑛
 (17) 
 
Estipulando o nível de confiança de (1 – 𝛼) obtém-se a seguinte distribuição de 
probabilidade (Fig. 4): 
 
Figura 4 – Distribuição de probabilidade normal para proporção 
 
 
 
Fonte: (MARTINS, 2010) 
 
9 
Com a análise desta distribuição é perceptível que o intervalo de confiança desta é 
dado pela Equação 4 mencionada; substituindo o valor de Zi dado pela Equação 17 e isolando 
o valor de p no termo intermediário da inequação, considerando nos demais termos este 
equivalendo a f o intervalo de confiança para a proporção populacional de determinado evento 
será obtido de acordo com a expressão (Eq. 18): 
 
𝑃 (𝑓 − 𝑍𝛼
2
√
𝑓(1−𝑓)
𝑛
 ≤ 𝑝 ≤ 𝑓 + 𝑍𝛼
2
√
𝑓(1−𝑓)
𝑛
) = 1 − 𝛼 (18) 
 
A equação acima é válida para populações infinitas caso as populações sejam finitas a 
fórmula anterior deverá ser expressa como segue (Eq. 19): 
 
𝑃 (𝑓 − 𝑍𝛼
2
√
𝑓(1−𝑓)
𝑛
(
𝑁−𝑛
𝑁−1
) ≤ 𝑝 ≤ 𝑓 + 𝑍𝛼
2
√
𝑓(1−𝑓)
𝑛
(
𝑁−𝑛
𝑁−1
)) = 1 − 𝛼 (19) 
 
Uma regra prática para se testar a hipótese de uma amostra grande, é verificar se o 
intervalo seguinte não contém o 0 ou 1 (Eq. 20): 
 
𝑓 = ±2√
𝑓(1−𝑓)
𝑛
 (20) 
 
9 CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
Com base no que foi mostrado, é perceptível que, a Estatística Descritiva e a 
Probabilidade, são alicerces teóricos de estudo para a Estatística Inferencial, a partir de uma 
variável populacional, estipula-se um parâmetro populacional que é estudado por meio de 
estimadores amostrais variáveis, quer dizer, as características descritivas da população são 
oriundas de médias e análises probabilísticas das características amostrais. 
O conhecimento acerca da Estatística Inferencial presente neste artigo, não esgota todo 
seu estudo, foi realizada uma abordagem gráfica e matemática das mesmas com a preocupação 
de compreender a essência do assunto mesmo desconhecendo a origem das fórmulas. Portanto, 
o conteúdo deste artigo serve como base fundamental para estudos mais aprofundados. 
 
 
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STATISTICAL INFERENCE: estimates for points and confidence intervals 
 
ABSTRACT 
 
The mathematical universe is quite broad, its applicability in the concrete reality also in a large 
number of elements that make up a population (units by billiards them) analysis capability is 
limited to a small part of them, called sample, which can- make a descriptive mathematical 
study of data from this sample that range from measures of central tendency to scatter. This 
field of study is the responsibility of descriptive statistics, which combined with the events of 
the likelihood of knowledge in a sample space, culminating in a continuous probability 
distribution or sample, enable understanding of the population from their samples, which allow 
inferences arising from estimated numerical data that can be fruits point sample or a sample 
interval. All this is a field of study of inferential statistics from the perspective of the estimates 
for points and confidence intervals. 
 
Keywords: Statistics. Estimated by Point. Inference. Confidence Interval. 
 
REFERÊNCIAS 
 
MAGALHÃES, Marcos Nascimento. Noções de Probabilidade e Estatística. São Paulo: 
Editora da Universidade de São Paulo,2010. 
 
 
MARTINS, Gilberto de Andrade. Estatística geral e aplicada. São Paulo: Atlas, 2010.