AP1 MÉTODOS DETERMINÍSTICOS 1 2016 a 2019

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2016-1
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • E´ expressamente proibido o uso de calculadoras;
Polo e Data; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1 (2.0 pt) Considere as proposic¸o˜es:
A: “Joa˜o e´ casado se, e somente se, Maria possui filhos.”
B: “Se Pedro e´ solteiro, enta˜o Maria possui filhos.”
Sabendo que a proposic¸a˜o P: “A ou B” e´ falsa, pode-se afirmar que:
(i) Joa˜o na˜o e´ casado, Maria possui filhos, Pedro e´ solteiro.
(ii) Joa˜o na˜o e´ casado, Maria na˜o possui filhos, Pedro e´ solteiro.
(iii) Joa˜o na˜o e´ casado, Maria na˜o possui filhos, Pedro na˜o e´ solteiro.
(iv) Joa˜o e´ casado, Maria na˜o possui filhos, Pedro e´ solteiro.
(v) Joa˜o e´ casado, Maria na˜o possui filhos, Pedro na˜o e´ solteiro.
Soluc¸a˜o: Para que uma disjunc¸a˜o, isto e´, uma proposic¸a˜o tipo “A ou B” seja falsa, e´ necessa´rio
que tanto A quanto B sejam falsas. Logo, como P e´ falsa segue que A e´ falsa e B tambe´m e´ falsa.
A proposic¸a˜o B e´ uma implicac¸a˜o do tipo a ⇒ b, onde a: “Pedro e´ solteiro”e b: “Maria possui
filhos”, logo, ela e´ falsa, apenas se vale a e ∼ b, isto e´, se “Pedro e´ solteiro”(a) e “Maria na˜o possui
filhos”(∼ b).
Por outro lado, a proposic¸a˜o A e´ uma equivaleˆncia do tipo c ⇔ b, onde c: “Joa˜o e´ casado”e b:
“Maria possui filhos”, logo, ela e´ falsa, apenas em duas situac¸o˜es: vale c e ∼ b, ou vale ∼ c e b. No
para´grafo anterior, descobrimos que vale ∼ b, i.e. “Maria na˜o possui filhos”, portanto, devemos ter
c, i.e. “Joa˜o e´ casado”.
Portanto, a resposta correta e´ a (iv).
Este texto e´ comum a`s Questo˜es 2 e 3 a seguir.
Considere o conjunto A =
{
1, −13
3
,
5
3
, −4
}
. Utilize o conjunto A para decidir se sa˜o verdadeiras
ou falsas as proposic¸o˜es enunciadas nas Questo˜es 2 e 3 a seguir, justificando bem sua resposta.
Me´todos Determin´ısticos I AP1 2
Questa˜o 2 (1.5 pt) ∀x ∈ A ;
(
3x+
2
3
< 4x
)
∨
(
x < −15
4
)
.
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de a a proposic¸a˜o simples “3x +
2
3
< 4x”e de b a proposic¸a˜o simples
“x < −15
4
”. Isto e´
a: “3x+
2
3
< 4x.”
b: “x < −15
4
.”
A proposic¸a˜o “a ∨ b”e´ uma disjunc¸a˜o. Portanto, para que ela seja verdadeira, basta que uma das
proposic¸o˜es simples seja verdadeira.
Observe que a proposic¸a˜o a e´ verdadeira se, e somente se, x >
2
3
. De fato,
3x+
2
3
< 4x⇔ 3x− 4x < −2
3
⇔ −x < −2
3
⇔ x > 2
3
.
Como e´ uma proposic¸a˜o do tipo “∀x ∈ A”, devemos analisar se a proposic¸a˜o “a ∨ b”e´ verdadeira
ou falsa para cada elemento do conjunto A. Para x = 1 e x =
5
3
, temos que, a proposic¸a˜o a e´
verdadeira, pois
1 >
2
3
(⇔ 3 > 2) e 5
3
>
2
3
(⇔ 5 > 3).
Logo, para x = 1 e x =
5
3
, temos que a disjunc¸a˜o
“
(
3x+
2
3
< 4x
)
∨
(
x < −15
4
)
”
e´ verdadeira, pois, para estes valores de x, “
(
3x+
2
3
< 4x
)
”e´ verdadeira.
Para x = −13
3
e x = −4, a proposic¸a˜o a e´ falsa, pois −13
3
<
2
3
e −4 < 2
3
. Pore´m, para estes dois
elementos de A, a proposic¸a˜o b verdadeira, pois
−13
3
< −15
4
(⇔ −52 < −45) e − 4 < −15
4
(⇔ −16 < −15).
Desta forma, para x = −13
3
e x = −4, a disjunc¸a˜o “
(
3x+
2
3
< 4x
)
∨
(
x < −15
4
)
tambe´m e´
verdadeira, pois, para estes valores de x, “
(
x < −15
4
)
”e´ verdadeira.
Conclu´ımos, portanto, que a disjunc¸a˜o “
(
3x+
2
3
< 4x
)
∨
(
x < −15
4
)
”e´ verdadeira, para todo
x ∈ A.
Logo, ∀x ∈ A ;
(
3x+
2
3
< 4x
)
∨
(
x < −15
4
)
e´ verdadeira.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP1 3
Questa˜o 3 (1.5 pt) ∃x ∈ A ; (2x ∈ Z) ∧ (x2 > x)
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de a a proposic¸a˜o simples “2x ∈ Z”e de b a proposic¸a˜o simples “x2 > x”.
Isto e´,
a: “2x ∈ Z.”
b: “x2 > x.”
A proposic¸a˜o “a ∧ b”e´ uma conjunc¸a˜o. Portanto, para que ela seja verdadeira, e´ preciso que as
duas proposic¸o˜es simples sejam verdadeiras.
Como e´ uma proposic¸a˜o do tipo “∃x ∈ A”, vamos verificar se ha´ um elemento de A, para o
qual a e b sejam verdadeiras.
Analisando os elementos do conjunto A, temos que, para os elementos de A, x = 1 e x = −4,
segue que 2x = 2 e 2x = −8. Como 2 e −8 sa˜o nu´meros inteiros, segue que a proposic¸a˜o a e´
verdadeira somente para os elementos x = 1 e x = −4.
Para x = −4, x2 = 16 e, enta˜o, x2 > x. Logo, para x = −4, a proposic¸a˜o b e´ verdadeira.
Como, para x = −4, a e´ verdadeira e b tambe´m e´ verdadeira, conclu´ımos que existe um ele-
mento do conjunto A, para o qual, a proposic¸a˜o “a ∧ b”e´ verdadeira.
Portanto, ∃x ∈ A ; (2x ∈ Z) ∧ (x2 > x) e´ verdeira.
Este texto e´ comum a`s Questo˜es 4 e 5 a seguir.
Em uma certa empresa, promovem-se dois tipos de atividades de lazer para seus funciona´rios: cami-
nhada e Tai Chi Chuan. Sabe-se que
- 20% dos funciona´rios participam apenas de caminhada;
- 35% funciona´rios na˜o participam de nenhuma das duas atividdaes;
- os funciona´rios que participam apenas de Tai Chi Chuan e´ igual a 200% dos funciona´rios que
participam de ambas as atividades.
Com base nestas informac¸o˜es, responda as Questo˜es 4 e 5 a seguir.
Questa˜o 4 (0.8 pts) : Qual a porcentagem de funciona´rios que participam de pelo menos uma das
atividades de lazer?
Soluc¸a˜o: Como ha´ 100% de funciona´rios e 35% dos funciona´rios na˜o participam de nenhuma das
atividades de lazer, temos que a porcentagem do nu´mero de funciona´rios que participam de pelo
menos uma das atividades de lazer e´ dado por
100%− 35% = 65%.
Conclusa˜o: 65% funciona´rios participam de pelo menos uma das atividades de lazer.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP1 4
Questa˜o 5 (1.2 pts) : Qual a porcentagem de funciona´rios que participam das duas atividades de
lazer?
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de T o nu´mero total de funciona´rios e de x a porcentagem do nu´mero de
dos funciona´rios que participam de ambas as atividades. Desta forma, temos que
- o nu´mero de funciona´rios que participam apenas de caminhada e´ igual a
20
100
.T ;
- o nu´mero de funciona´rios que na˜o participam de nenhuma das duas atividades e´ igual a
35
100
.T ;
- o nu´mero de funciona´rios que participam apenas de Tai Chi Chuan e´ igual a
200
100
.
x
100
.T .
Desta forma, pelo diagrama de Venn, temos que
20
100
.T +
x
100
.T +
200
100
.
x
100
.T +
35
100
.T = T
20
100
.T +
x
100
.T +
2x
100
.T +
35
100
.T = T
20T + xT + 2xT + 35T = 100T
3xT = 45T
3x = 45
x =
45
3
x = 15.
Temos portanto, que a porcentagem de funciona´rios que participam da ambas as atividades de lazer
e´ de 15%.
Conclusa˜o: 15% funciona´rios participam das duas atividades de lazer.
Questa˜o 6 (1.0 pts) : Racionalize, desenvolva e decida se a desigualdade A < B e´ verdadeira ou
falsa, considerando que
A =
3
−√3−√(−2)2 − 9√3 e B = −
√
18√
2
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 5
Soluc¸a˜o:
A =
3
−√3−√(−2)2 − 9√3
=
−3√
3 +
√
4
− 9√
3
.
√
3√
3
=
−3√
3 + 2
− 9
√
3
3
=
−3√
3 + 2
.
(
√
3− 2)
(
√
3− 2) − 3
√
3
=
−3√3 + 6
(
√
3)2 − 22 − 3
√
3
=
−3√3 + 6
3− 4 − 3
√
3
=
−3√3 + 6
−1 − 3
√
3
= 3
√
3− 6− 3
√
3
= −6
e
B =
−√18√
2= −
√
18
2
= −
√
9
= −3.
Como −6 < −3, temos que a desigualdade A < B e´ verdadeira.
Questa˜o 7 (1.0 pts) : Determine o valor de m+ n, dado que
m =
3
√
−1
27
− (32)−1/5 e n =
(
2
3
− 1
4
)2
÷ 5
4
.
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 6
Soluc¸a˜o:
m =
3
√
−1
27
− (32)−1/5
=
3
√
−1
33
− (25)−1/5
=
−1
3
− (2)−1
= −1
3
− 1
2
= −2
6
− 3
6
= −5
6
e
n =
(
2
3
− 1
4
)2
÷ 5
4
=
(
2
3
− 1
4
)2
.
4
5
=
(
8
12
− 3
12
)2
.
4
5
=
(
5
12
)2
.
4
5
=
25
144
.
4
5
=
5
36
.
Logo,
m+ n = −5
6
+
5
36
= −30
36
+
5
36
= −25
36
.
Conclusa˜o: 3
√−1
27
− (32)−1/5 +
(
2
3
− 1
4
)2
÷ 5
4
= −25
36
.
Questa˜o 8 (1.0 pts) : Determine, na forma de intervalo ou de uma unia˜o finita de intervalos, os
nu´meros reais que tornam verdadeira a desigualdade abaixo.
2
(
x+
1
2
)2
− 3x <
(
x− 1
2
)
(2x+ 3).
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 7
Soluc¸a˜o:
2
(
x+
1
2
)2
− 3x <
(
x− 1
2
)
(2x+ 3) ⇔
2
(
x2 + x+
1
4
)
− 3x < 2x2 − x+ 3x− 3
2
⇔
2x2 + 2x+
1
2
− 3x < 2x2 − x+ 3x− 3
2
⇔
2x2 − x+ 1
2
< 2x2 + 2x− 3
2
⇔
2x2 − x+ 1
2
− 2x2 − 2x+ 3
2
< 0 ⇔
−3x+ 2 < 0 ⇔
−3x < −2 ⇔
x >
2
3
.
Conclusa˜o: Os valores de x que satisfazem a desigualdade 2
(
x+
1
2
)2
− 3x <
(
x− 1
2
)
(2x+ 3),
sa˜o x ∈
(
2
3
,∞
)
.
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AP1 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2016-2
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • E´ expressamente proibido o uso de calculadoras;
Polo e Data; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 1 e 2 a` seguir.)
Em uma cidade, sa˜o vendidas duas marcas de sabonetes, A e B. Sabe-se que 12% da populac¸a˜o
compra ambas as marcas; que o percentual da populac¸a˜o que compra a marca A e´ o triplo do
percentual que compra a marca B; e que apenas 16% da populac¸a˜o na˜o compra A e nem B.
Questa˜o 1 (1.5 pt) Determine o percentual da populac¸a˜o que compra apenas a marca A.
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de U o conjunto de todos os habitantes da cidade, de A o conjunto dos
compradores da marca A e de B o conjunto dos compradores da marca B. Representando em uma
diagrama de Venn, temos o seguinte:
Vamos chamar de t o nu´mero de habitantes da cidade, isto e´, faremos n(U) = t. A informac¸a˜o de
que “12% da populac¸a˜o compra ambas as marcas”, nos da´ enta˜o que n(A ∩ B) = 12
100
· t. Ale´m
disso, como “apenas 16% da populac¸a˜o na˜o A e nem B”, temos n(U − (A ∪ B)) = 16
100
· t. Temos
enta˜o o seguinte diagrama:
Se chamarmos de x o percentual de pessoas que compram exclusivamente a marca B, como no
Me´todos Determin´ısticos I AP1 2
diagrama abaixo,
teremos n(B) = x+n(A∩B) = x+ 12
100
· t. Como o nu´mero de compradores da marca A e´ o triplo
de compradores de B, temos
n(A) = 3n(B) = 3
(
x+
12
100
· t
)
= 3x+
36
100
· t.
Ale´m disso, o nu´mero de compradores exclusivos da marca A sera´ dado por
n(A)− n(A ∩B) =
(
3x+
36
100
· t
)
− 12
100
· t = 3x+ 24
100
· t.
Reunindo todas as informac¸o˜es no diagrama, temos:
Com isso, podemos ver que (
3x+
24
100
· t
)
+
12
100
·t+ x+ 16
100
· t = t,
logo
4x = t− 52
100
· t ∴ 4x = 48
100
· t ∴ x = 12
100
· t.
O percentual de compradores exclusivos de A sera´ enta˜o
n(A)− n(A ∩B) = 3 · 12
100
· t+ 24
100
· t = 60
100
· t.
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 3
Com isso, 60% da populac¸a˜o compra apenas a marca A.
Observac¸a˜o: Uma forma mais simples (embora mais descuidada) de resolver seria supor que a
cidade possui 100 habitantes e resolver de forma similar a` feita acima, pore´m sem o t. Resolver desta
forma, pore´m, poderia levar (na˜o e´ o caso neste problema, mas poderia ocorrer) a` conjuntos com
cardinalidade na˜o inteira, que deveriam ser interpretados como percentuais da forma 12,41%, por
exemplo, que faz sentido para populac¸o˜es grandes.
Questa˜o 2 (1.0 pt) Se a marca B lanc¸ar uma ofensiva publicita´ria e conseguir fazer com que um
quinto das pessoas que compram apenas a marca A passem a comprar a marca B, qual Sera´ o
aumento percentual de clientela da marca B?
Soluc¸a˜o: No item anterior, encontramos os seguintes percentuais:
Com isso, a marca B tem, hoje, 12
100
· t+ 12
100
· t = 24
100
· t compradores. Se a campanha publicita´ria da
marca B conseguir captar um quinto dos 60
100
· t compradores exclusivos da marca A, ela representara´
um aumento de
1
5
· 60
100
· t = 12
100
· t
novos clientes.
O aumento percentual sera´ o nu´mero de novos clientes dividido pelo nu´mero de clientes antigos, isto
e´,
12
100
· t
24
100
· t =
1
2
=
50
100
= 50%.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 3, 4 e 5 a` seguir.)
Diga se cada propriedade abaixo e´ va´lida para todos os nu´meros reais a e b, justificando.
Questa˜o 3 (0.5 pt) Se a < b enta˜o a2 < b2.
Soluc¸a˜o: A afirmac¸a˜o e´ FALSA!
Ela na˜o vale, por exemplo, para a = −1 e b = 0. Temos, neste caso, a < b, pore´m a2 > b2, pois
a2 = (−1)2 = 1 e b2 = 0.
Questa˜o 4 (0.5 pt) Se a2 < b2 enta˜o a < b.
Soluc¸a˜o: A afirmac¸a˜o e´ FALSA!
Ela na˜o vale, por exemplo, para a = 0 e b = −1. Temos, neste caso, a2 < b2, mas a > b.
Questa˜o 5 (0.5 pt) a2 > a.
Soluc¸a˜o: A afirmac¸a˜o e´ FALSA!
Tome, por exemplo, a = 1
2
. Teremos a2 =
(
1
2
)2
= 1
2
22
= 1
4
< 1
2
= a.
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 4
Questa˜o 6 (2.0 pt) Racionalize a e b e ordene, do menor para o maior, os treˆs nu´meros reais
a =
4
1−√5 , b =
4
1 +
√
5
e c = 1.
Soluc¸a˜o: Racionalizando a, temos
a =
4
1−√5 =
4
1−√5 ·
1 +
√
5
1 +
√
5
=
4(1 +
√
5)
1− 5 =
4(1 +
√
5)
−4 = −(1 +
√
5) = −
√
5− 1.
Racionalizando b, temos
b =
4
1 +
√
5
=
4
1 +
√
5
· 1−
√
5
1−√5 =
4(1−√5)
1− 5 =
4(1−√5)
−4 = −(1−
√
5) =
√
5− 1.
Observe que a < 0, logo a < c. Por outro lado, como
√
5 >
√
4 = 2, temos
b =
√
5− 1 > 2− 1 = 1 ∴ b > c.
Com isso, temos
a < c < b.
Questa˜o 7 (1.5 pts) : Determine, na forma de intervalo ou de uma unia˜o finita de intervalos, os
nu´meros reais que tornam verdadeira a desigualdade abaixo.
2(x− 1)2 − (x− 2)
(
2x− 1
2
)
> (2x− 1)(2x+ 1)
Soluc¸a˜o:
2(x− 1)2−(x− 2)
(
2x− 1
2
)
> (2x− 1)(2x+ 1) ⇔ 2(x2 − 2x+ 1)−
(
2x2 − x
2
− 4x+ 1
)
> (2x)2 − 1
⇔ 2x2 − 4x+ 2−2x2+x
2
+4x−1 > 4x2 − 1
⇔ 2x2 − 4x+ 2−2x2+x
2
+4x−1− 4x2 + 1 > 0
⇔ −4x2 + x
2
+ 2 > 0
⇔ −8x2 + x+ 4 > 0
Por um erro de sinal no enunciado, a soluc¸a˜o da inequac¸a˜o na forma de intervalo ou unia˜o finita de
intervalos na˜o e´ poss´ıvel com os conteu´dos selecionados para a AP1. O crite´rio de correc¸a˜o a ser
adotado levara´ em conta este fato.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 8, 9 a` seguir.)
Considere o conjunto P de todas as palavras da l´ıngua portuguesa e o conjunto N dos nu´meros
naturais. Denote por C o conjunto definido por
C = {(n, p) ∈ N× P | n e´ menor ou igual ao nu´mero de letras’a’ na palavra p}.
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 5
Como exemplos, os pares (1, bala) e (2, bala) pertencem a C, mas (3, aurora) na˜o pertence a C.
Suponha ainda que a folclo´rica palavra inconstitucionalissimamente, com 27 letras, seja a maior da
l´ıngua portuguesa.
Questa˜o 8 (2.0 pts) Classifique em verdadeira ou falsa, cada uma das proposic¸o˜es abaixo:
p: “∀(n, p) ∈ C, n < 28”
q: “∀(n, p) ∈ C, n < 100”
r: “∃(n, p) ∈ C tal que n = 28”.
s: “∃(n, p) ∈ C tal que n = 3”.
Soluc¸a˜o:
p: “∀(n, p) ∈ C, n < 28”
A afirmativa e´ VERDADEIRA!
Seja (n, p) ∈ C. Como p pode ter, no ma´ximo, 27 letras, tera´ no ma´ximo 27 letras ’a’.
Assim, se a e´ o nu´mero de letras ’a’ de p, teremos a 6 27.
Mas, como (n, p) ∈ C, temos n 6 a 6 27 < 28.
q: “∀(n, p) ∈ C, n < 100”
A afirmativa e´ VERDADEIRA!
Seja (n, p) ∈ C. Pelo item anterior, n < 28, logo n < 100.
r: “∃(n, p) ∈ C tal que n = 28”.
A afirmativa e´ FALSA!
Como p e´ verdadeira, se (n, p) ∈ C, temos n < 28. Logo, na˜o existe (n, p) ∈ C com n = 28.
s: “∃(n, p) ∈ C tal que n = 3”.
A afirmativa e´ VERDADEIRA!
Veja que (3, arara) ∈ C, pois 3 e´ menor ou igual ao nu´mero de letras ’a’ de ’arara’.
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 6
Questa˜o 9 (0.5 pts) Se A = {(32, p) | p ∈ P}, determine A ∩ C.
Soluc¸a˜o: Seja A = {(32, p) | p ∈ P}.
Se (n, p) ∈ A, temos n = 32.
Se, por outro lado, (n, p) ∈ C, temos n < 28 (afirmac¸a˜o p acima).
Como estas duas condic¸o˜es na˜o podem acontecer simultaneamente (na˜o se pode ter n = 32∧n < 28),
nenhum par (n, p) pode pertencer a A e C simultaneamente. Assim, A ∩ C = ∅.
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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 26/03/2017
Nome: Matr´ıcula:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando nome e matr´ıcula. • Sua prova sera´ corrigida online. Siga as
• Resoluc¸o˜es feitas nesta folha ou no rascunho na˜o sera˜o corrigidas. instruc¸o˜es na capa deste caderno.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador.
Questa˜o 1 (2.0 pt) Este ano, o carnaval de Ladeiro´polis levou 100 mil folio˜es para suas sinuosas
e ı´ngremes ruas. Uma pesquisa realizada durante o desfile dos tradicionais blocos Queda Livre e
Ladeira Abaixo, apurou que:
• O Queda Livre atraiu o dobro de pu´blico que o Ladeira Abaixo
• Apenas um terc¸o dos folio˜es que participaram do Queda Livre tambe´m desfilaram no Ladeira
Abaixo.
• 30 mil folio˜es na˜o desfilaram em qualquer um destes dois blocos, preferindo se divertir em
blocos menores.
Construa o Diagrama de Venn relativo a este problema, escolhendo as varia´veis que achar conveni-
ente e, utilizando este diagrama, determine o nu´mero de folio˜es que desfilaram em ambos os blocos.
Importante!!! Tenha atenc¸a˜o no preenchimento do Diagrama. Lembre-se que uma resposta bem
justificada deve conter as equac¸o˜es que modelam o problema, montadas a partir do Diagrama de
Venn constru´ıdo, com as varia´veis escolhidas, e na˜o a simples verificac¸a˜o de valores intu´ıdos.
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de U o conjunto de todos os folio˜es de Ladeiro´polis, de L o conjunto dos
folio˜es que desfilaram no Ladeira Abaixo e de Q o conjunto dos folio˜es do Queda Livre.
Considerando que um folia˜o pode desfilar em nenhum dos dois blocos, apenas um deles ou ambos,
temos enta˜o o seguinte diagrama de Venn:
Me´todos Determin´ısticos I AP1 2
Utilizando as informac¸o˜es dadas, podemos preencher o diagrama com a quantidade conhecida:
Vamos agora utilizar as demais informac¸o˜es. Fac¸amos x = n(Q∩L), isto e´, x folio˜es desfilaram em
ambos os blocos. A segunda informac¸a˜o nos diz que x representa um terc¸o dos folio˜es que desfilaram
no Queda Livre, logo, o total de folio˜es do queda livre foi de n(Q) = 3 ·n(Q∩L) = 3x. Com isso, o
nu´mero de folio˜es que desfilou apenas no Queda Livre foi de n(Q− (Q∩L)) = n(Q)−n(Q∩L) =
3x− x = 2x. Completando o diagrama com essa informac¸a˜o, temos:
Sabe-se ainda que o Queda Livre atraiu o dobro de folio˜es que o Ladeira Abaixo, logo n(Q) = 2·n(L),
e, portanto,
n(L) = 12 n(Q) =
1
2 · 3x =
3
2x.
Com isso, n(L− (Q ∩ L)) = 32x− x = x2 . Temos agora todas as informac¸o˜es do diagrama:
Para determinar o valor de x, note que
x
2 + x+ 2x+ 30.000 = 100.000,
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 3
logo
x
2 +
2x
2 +
4x
2 = 100.000− 30.000
e, enta˜o,
7x
2 = 70.000.
Com isso,
7x = 140.000
e, portanto,
x = 20.000,
que e´ o nu´mero de folio˜es que desfilou nos dois bolcos.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 2 e 3 a seguir.)
A Secretaria de Patrimoˆnio de Ladeiro´polis e´ responsa´vel por administrar a frota de automo´veis de
servic¸o da cidade. Em func¸a˜o das ı´ngremes ladeiras da cidade, calcula que um ve´ıculo perde 20% de
seu valor patrimonial a cada ano completo de uso, relativo ao valor que tinha no ano anterior.
Ao final de cada ano completo de uso, a Secretaria recalcula o valor patrimonial de um automo´vel.
Se for constatado que ele e´ inferior a 61% do valor original, o ve´ıculo deve ser leiloado.
Questa˜o 2 (1.0 pt) Um automo´vel adquirido por R$100.000,00 pela Secretaria sera´ colocado a
leila˜o apo´s quantos anos completos? Que valor tera´ enta˜o?
Soluc¸a˜o: Primeiramente, note que o ve´ıculo sera´ leiloado quando seu valor for inferior a
61% · 100.000 = 61100 · 100.000 = 61 · 1.000 = 61.000.
A cada ano, o valor v do ve´ıculo reduz em 20% = 20100 =
1
5 , logo, seu novo valor sera´
v − 20% v = v − 15 v =
(
1− 15
)
v = 45v.
Com isso, para um ve´ıculo adquirido por R$100.000,00, temos o seguinte,
• Valor apo´s um ano: v1 = 45 · 100.000 = 4 · 20.000 = 80.000.
• Valor apo´s dois anos: v2 = 45 · v1 = 45 · 80.000 = 4 · 16.000 = 64.000.
• Valor apo´s treˆs anos: v3 = 45 · v2 = 45 · 64.000 = 4 · 12.800 = 51.200 < 61.000.
Logo, o ve´ıculo sera´ leiloado por R$ 51.900,00, apo´s o treˆs anos completos de uso.
Questa˜o 3 (1.0 pt) Chamando de V o valor patrimonial do carro (o valor pelo qual foi adquirido),
determine a expressa˜o do novo valor de patrimoˆnio apo´s decorridos n anos completos.
Soluc¸a˜o: Vimos, na questa˜o anterior, que o valor do ve´ıculo apo´s o fim de um ano completo e´ 45 do
valor do ano anterior. Assim, sendo V o valor inicial,
• Valor apo´s um ano: V1 = 45 · V .
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 4
• Valor apo´s dois anos: V2 = 45 · V1 = 45 · 45 · V =
(
4
5
)2
V .
• Valor apo´s treˆs anos: V3 = 45 · V2 = 45 ·
(
4
5
)2
V =
(
4
5
)3
V .
• Valor apo´s quatro anos: V4 = 45 · V3 = 45 ·
(
4
5
)3
V =
(
4
5
)4
V .
Prosseguindo assim, vemos que o valor apo´s n anos sera´ dado por
Vn =
(4
5
)n
V.
Questa˜o 4 (2.0 pt) Para imprimir folhetos de propaganda, uma gra´fica tem um custo C, composto
por um valor fixo de R$ 500,00, mais R$ 500,00 por milheiro de folhetos. A receita que a gra´fica
obte´m imprimindo folhetos para seus cliente e´ de R$ 1.000,00 por milheiro. O lucro L com um
trabalho de impressa˜o dos folhetos e´ dado pela diferenc¸a entre a receita R e o custo C, isto e´,
R − C. Como pol´ıtica comercial, a gra´fica na˜o aceita trabalhos que rendam lucro inferior a R$
1.000,00. Determine a quantidade m´ınima de folhetos que esta gra´fica aceita imprimir.
Soluc¸a˜o: Com as informac¸o˜es dadas, sendo n o nu´mero de milheiros de folheto,
C = 500 + 500n
R = 1000n
logo
L = R− C = 1000n− (500 + 500n) = 1000n− 500− 500n = 500n− 500.
Como queremos L > 1000, temos
500n− 500 > 1000⇔ 500n > 1500⇔ n > 3.
Assim, devem ser impressos, no m´ınimo, 3 milheiros de folhetos, isto e´, 3000 folhetos.
(Este texto e´ comuma`s questo˜es 5 e 6 a seguir.)
Considere os nu´meros A e B abaixo:
A = 7√
2−
√
(−3)2
, B = −
√
18√
3
.
Questa˜o 5 (1.0 pt) Racionalize os nu´meros A e B.
Soluc¸a˜o: Temos
A = 7√
2−
√
(−3)2
= 7√
2−√9 =
7√
2− 3 =
7√
2− 3 ·
√
2 + 3√
2 + 3
= 7(
√
2 + 3)
(
√
2)2 − 32 =
= 7(
√
2 + 3)
2− 9 =
7(
√
2 + 3)
−7 = −(
√
2 + 3) = −√2− 3.
e
B = −
√
18√
3
= −
√
3 · 6√
3
= −
√
3 · √6√
3
= −√6.
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 5
Questa˜o 6 (1.0 pt) Calcule o valor de
A
− 1√
3
+B −
√
33.
Soluc¸a˜o: Temos
A
− 1√
3
+B −
√
33 = A ·
(
−
√
3
1
)
+B −
√
32 · 3 = −√3 · A+B − 3√3 =
= −√3 ·
(
−√2− 3
)
+
√
6− 3√3 = √3√2 +√3 · 3−√6− 3√3 =
=
√
6 + 3
√
3−√6− 3√3 = 0.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 7, 8 e 9 a seguir.)
Considere os conjuntos A = {1, 2, 4, 5} e B = {1, 2, 4, 6, 8, 10}.
Questa˜o 7 (0.5 pt) Diga se e´ verdeira ou falsa a proposic¸a˜o p abaixo, justificando.
p : ∀b ∈ B, ∃a ∈ A | b = 2a.
Soluc¸a˜o: A proposic¸a˜o e´ falsa, pois, tomando b = 1 ∈ B, na˜o existe a ∈ A para o qual 1 = 2a.
Para 1 = 2a, precisar´ıamos ter a = 12 , que na˜o e´ elemento de A. O mesmo ocorre com b = 6, pois
a = 3 /∈ A.
Questa˜o 8 (1.0 pt) Diga se e´ verdeira ou falsa a proposic¸a˜o q abaixo, justificando.
q : ∀a ∈ A, ∃b ∈ B | b = 2a.
Soluc¸a˜o: Verdadeira! Vamos verificar que ∃b ∈ B | b = 2a e´ verdadeira para todo valor de a ∈ A.
• Sendo a = 1, existe b = 2 ∈ B tal que b = 2 = 2 · 1 = 2a.
• Sendo a = 2, existe b = 4 ∈ B tal que b = 4 = 2 · 2 = 2a.
• Sendo a = 4, existe b = 8 ∈ B tal que b = 8 = 2 · 4 = 2a.
• Sendo a = 5, existe b = 10 ∈ B tal que b = 10 = 2 · 5 = 2a.
Questa˜o 9 (0.5 pt) Quais sa˜o os elementos do conjunto R abaixo ?
R = {(a, b) ∈ A×B | a+ b = 12}
Soluc¸a˜o: Vamos procurar os pares (a, b), com a ∈ A e B ∈ B tais que a+ b = 12.
Para a = 1 ∈ A, na˜o existe b ∈ B tal que 1 + b = 12.
Para a = 2 ∈ A, tomando b = 10 ∈ B, temos a + b = 2 + 10 = 12. Com isso, (2, 10) ∈ R. Note
que na˜o existe outro valor de b ∈ B que satisfac¸a a igualdade 2 + b = 12.
Para a = 4 ∈ A, tomando b = 8 ∈ B, temos a + b = 4 + 8 = 12. Com isso, (4, 8) ∈ R. Note que
na˜o existe outro valor de b ∈ B que satisfac¸a a igualdade 4 + b = 12.
Para a = 5 ∈ A, na˜o existe b ∈ B que satisfac¸a a igualdade 5 + b = 12. Para tanto, precisar´ıamos
ter b = 7, mas 7 /∈ B.
Assim
R = {(2, 10), (4, 8)}.
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AP1 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 09/09/2017
Nome: Matr´ıcula:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando nome e matr´ıcula. • Sua prova sera´ corrigida online. Siga as
• Resoluc¸o˜es feitas nesta folha ou no rascunho na˜o sera˜o corrigidas. instruc¸o˜es na capa deste caderno.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador.
Questa˜o 1 (2.0 pt) Este ano, durante o Carnaval de Ladeiro´polis, seus 150 comerciantes tiveram
divergeˆncias quanto a trabalhar no sa´bado e na segunda de Carnaval. Foi constatado o seguinte:
• O nu´mero de comerciantes que trabalharam no sa´bado e na segunda foi metade do nu´mero de
comerciantes que trabalharam so´ segunda.
• Apenas um quarto dos comerciantes que trabalharam sa´bado tambe´m trabalharam segunda.
• 12 comerciantes resolveram na˜o trabalhar nem sa´bado nem segunda.
Construa o Diagrama de Venn relativo a este problema, escolhendo as varia´veis que achar conveni-
ente e, utilizando este diagrama, determine o nu´mero de comerciantes que trabalharam sa´bado e
segunda.
Importante!!! Tenha atenc¸a˜o no preenchimento do Diagrama. Lembre-se que uma resposta bem
justificada deve conter as equac¸o˜es que modelam o problema, montadas a partir do Diagrama de
Venn constru´ıdo, com as varia´veis escolhidas, e na˜o a simples verificac¸a˜o de valores intu´ıdos.
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de U o conjunto de todos os comerciantes de Ladeiro´polis, de E o conjunto
dos comerciantes que trabalharam na segunda-feira e de A o conjunto comerciantes que trabalharam
no sa´bado.
Considerando que um comerciante pode na˜o trabalhar nem segunda nem sa´bado, apenas em um dos
dois dias ou em ambos, temos enta˜o o seguinte diagrama de Venn:
Me´todos Determin´ısticos I AP1 2
Utilizando as informac¸o˜es dadas, podemos preencher o diagrama com a quantidade conhecida:
Vamos agora utilizar as demais informac¸o˜es. Fac¸amos x = n(E − E ∩ A), isto e´, x representa o
nu´mero de comerciantes que trabalharam apenas na segunda-feira. A segunda informac¸a˜o nos diz
que o nu´mero de comerciantes que trabalharam segunda e sa´bado e´ igual a` metade do nu´mero de
comerciantes que trabalharam apenas na segunda-feira; logo,
n(E ∩ A) = n(E − E ∩ A)2 =
x
2 .
Completando o diagrama com essa informac¸a˜o, temos:
Sabe-se ainda, que apenas um quarto dos comerciantes que trabalharam sa´bado tambe´m trabalharam
segunda. Em outras palavras, sabe-se que o nu´mero de comerciantes que trabalharam segunda e
sa´bado representa um quarto dos comerciantes que trabalharam sa´bado. Traduzindo esta informac¸a˜o,
temos que,
n(E ∩ A) = n(A)4 ,
logo
n(A) = 4 · n(E ∩ A) = 4 · x2 = 2x.
Com isso, temos que o nu´mero de comerciantes que trabalhou apenas no sa´bado foi de
n(A− (E ∩ A)) = n(A)− n(E ∩ A) = 2x− x2 =
4x− x
2 =
3x
2 .
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 3
Temos agora todas as informac¸o˜es do diagrama:
Para determinar o valor de x, note que
x+ x2 +
3x
2 + 12 = 150,
logo
2x
2 +
x
2 +
3x
2 = 150− 12
e, enta˜o,
6x
2 = 138.
Com isso,
3x = 138
e, portanto,
x = 46.
Como o nu´mero de comerciantes que trabalharam segunda e sa´bado e´
x
2 , temos que
46
2 = 23
comerciantes trabalharam nestes dois dias.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 2, 3 e 4 e a seguir.)
Um comerciante de Ladeiro´polis, cansado de suas ı´ngremes ladeiras, decidiu fechar suas portas.
Desta forma, resolveu liquidar seu estoque. Depois de muito pensar, decidiu que em marc¸o daria
um desconto de 10% em suas mercadoria e nos meses seguintes um desconto de 20% em relac¸a˜o ao
meˆs anterior. Pore´m, ele na˜o abaixaria o valor a um valor inferior a 55%, pois este corresponderia
ao valor que ele adquiriu a mercadoria e ele na˜o queria ter preju´ızo.
Questa˜o 2 (1.0 pt) Um mercadoria que custava R$1.000,00 em fevereiro, tera´ seu prec¸o estacio-
nado em que meˆs? Qual sera´ seu prec¸o enta˜o?
Soluc¸a˜o: Primeiramente, como
55% · 1.000 = 55100 · 1.000 = 55 · 100 = 550,
note que a mercadoria tera´ seu prec¸o estacionado no meˆs em que seu valor previsto for maior ou
igual a R$550,00, mas no meˆs seguinte, for menor do que R$550,00.
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 4
Vamos enta˜o analisar os novos prec¸os a comec¸ar de marc¸o.
Em marc¸o, o desconto previsto e´ de 10% no prec¸o p da mercadoria em fevereiro; logo, seu prec¸o em
marc¸o, que chamaremos de p1 seria de
p1 = p− 10% p = p− 10100 p =
(
1− 110
)
p = 910p.
Em abril, o desconto previsto e´ de 20% no prec¸o p1 da mercadoria em marc¸o; logo, seu prec¸o em
abril, que chamaremos de p2 seria de
p2 = p1 − 20% p1 = p1 − 20100 p1 =
(
1− 15
)
p1 =
4
5p1.
A cada meˆs seguinte, o prec¸o p da mercadoria teria uma reduc¸a˜o prevista em 20% = 20100 =
1
5 em
relac¸a˜o ao prec¸o anterior.
Com isso, para uma mercadoria que em fevereiro custava R$1.000,00, temos o seguinte,
• Prec¸o previsto para marc¸o: p1 = 910 · 1.000 = 9 · 100 = 900 > 550.
• Prec¸o previsto para abril: p2 = 45 · p1 =
4
5 · 900 = 4 · 180 = 720 > 550.
• Prec¸o previsto para maio: p3 = 45 · p2 =
4
5 · 720 = 4 · 144 = 576 > 550.
• Prec¸o previsto para junho:p4 = 45 · p3 =
4
5 · 576 = 460, 80 < 550.
Logo, o prec¸o da mercadoria estacionaria em R$576,00, prec¸o vigente em maio. Em junho na˜o seria
mais aplicada a pol´ıtica de descontos progressivos.
Questa˜o 3 (1.0 pt) Chamando de P o prec¸o de uma mercadoria em fevereiro, determine a ex-
pressa˜o de seu novo prec¸o, apo´s decorridos n meses, n ≥ 2, onde n = 1 corresponderia a marc¸o,
n = 2 a abril e assim sucessivamente, se o comerciante na˜o tivesse colocado um crite´rio para encerrar
os descontos.
Soluc¸a˜o: Vimos, na questa˜o anterior, que o prec¸o da mercadoria em marc¸o e´ 910 de seu prec¸o em
fevereiro e que nos meses seguintes e´ de 45 de seu prec¸o no meˆs anterior. Assim, sendo P o prec¸o da
mercadoria em fevereiro,
• Prec¸o em marc¸o: P1 = 910 · P .
• Prec¸o em abril: P2 = 45 · P1 =
4
5 ·
9
10 · P .
• Prec¸o em maio: P3 = 45 · P2 =
4
5 ·
4
5 ·
9
10 · P =
(4
5
)2
· 910 · P .
• Prec¸o em junho: P4 = 45 · P3 =
4
5 ·
(4
5
)2
· 910 · P =
(4
5
)3
· 910 · P .
• Prec¸o em agosto: P5 = 45 · P4 =
4
5 ·
(4
5
)3
· 910 · P =
(4
5
)4
· 910 · P .
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 5
Prosseguindo assim, vemos que o valor apo´s n meses, onde n = 1 e´ marc¸o, n = 2 e´ abril e assim
por diante, sera´ dado por
Vn =
(4
5
)(n−1)
· 910 · P.
Questa˜o 4 (1.0 pt) Se 55% do prec¸o P da mercadoria em fevereiro corresponde ao valor que ele
adquiriu esta mercadoria, quando ele coloca a mercadoria a venda na loja em fevereiro, por P , qual o
lucro percentual, em relac¸a˜o ao prec¸o adquirido, que ele pretende obter com a venda da mercadoria?
Como o comerciante comprou a mercadoria por 55% P , ele a comprou por
55% · P = 55100 · P =
11
20 · P.
Como ela a colocou a` venda em fevereiro por P , ele obte´m um lucro de
P − 1120 · P =
20− 11
20 · P =
9
20 · P.
Em termos percetuais, o valor do lucro em relac¸a˜o ao valor da compra e´ dado por
9
20 · P
11
20 · P
= 920 ·
20
11 =
9
11 =
9
11 · 100
100 =
900
11
100 =
900
11 % ≈ 81.8%,
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 5 e 6 a seguir.)
Para imprimir folhetos de propaganda, a gra´fica Papel Amassado tem um custo C, composto por
um valor fixo de R$ 700,00, mais R$ 930,00 por milheiro de folhetos. A receita que a gra´fica obte´m
imprimindo folhetos para seus cliente e´ de R$ 2.000,00 por milheiro. O lucro L com um trabalho de
impressa˜o dos folhetos e´ dado pela diferenc¸a entre a receita R e o custo C, isto e´, R− C.
Questa˜o 5 (1.0 pt) Determine a expressa˜o do lucro L da gra´fica Papel Amassado em func¸a˜o de
n, onde n e´ o nu´mero de milheiros impressos.
Soluc¸a˜o: Com as informac¸o˜es dadas, sendo n o nu´mero de milheiros de folheto, o custo e a receita
da gra´fica Papel Amassado sa˜o dados por
C1 = 700 + 930n
R1 = 2.000n
logo, seu lucro, e´ dado por
L1 = R1 − C1 = 2.000n− (700 + 930n) = 2.000n− 700− 930n) = 1.070n− 700.
Questa˜o 6 (1.0 pt) Ao lado da gra´fica Papel Amassado, foi aberta uma concorrente, a Papel
Rasgado. A Papel Rasgado vangloria-se por ter um custo C, composto por um valor fixo de R$
300,00, mais R$ 950,00 por milheiro de folhetos. Sua receita tambe´m e´ de R$ 2.000,00 por milheiro.
Ate´ quantos milheiros o lucro da gra´fica Papel Rasgado e´ maior do que o lucro da gra´fica Papel
Amassado?
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 6
Soluc¸a˜o: Com as informac¸o˜es dadas, sendo n o nu´mero de milheiros de folheto, o custo e a receita
da gra´fica Papel Rasgado sa˜o dados por
C2 = 300 + 950n
R2 = 2.000n
logo
L2 = R2 − C2 = 2.000n− (300 + 950n) = 2.000n− 300− 950n) = 1.050n− 300.
Para determinarmos ate´ quantos milheiros o lucro da gra´fica Papel Rasgado e´ maior do que o lucro
da gra´fica Papel Amassado, precisamos resolver a inequac¸a˜o
L2 > L1 ⇔ 1.050n− 300 > 1.070n− 700.
Resolvendo a inequac¸a˜o anterior, temos que
1.050n− 300 > 1.070n− 700 ⇔ 1.050n− 1.070n > 300− 700
⇔ −20n > 400⇔ n < 40020
⇔ n < 20.
Assim, ate´ 19 milheiros de folhetos, o lucro da gra´fica Papel Rasgado e´ maior do que o lucro da
gra´fica Papel Amassado. Observe que para 20 milheiros de folhetos, os lucros sa˜o iguais e para 21
milheiros de folhetos, o lucro da gra´fica Papel Rasgado passa a ser menor do que o lucro da gra´fica
Papel Amassado.
Questa˜o 7 (1.0 pt) Racionalize e simplifique o nu´mero A =
√
18√
(−2)2 −√7
.
Soluc¸a˜o: Temos que
A =
√
18√
(−2)2 −√7
=
√
18√
4−√7 =
√
18
2−√7 =
√
18
2−√7 ·
2 +
√
7
2 +
√
7
=
√
18(2 +
√
7)
4− 7
=
√
18(2 +
√
7)
−3 =
√
32 · 2 (2 +√7)
−3 =
3
√
2 (2 +
√
7)
−3 = −
√
2(2 +
√
7).
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 8 e 9 a seguir.)
Considere os conjuntos A = {7, 8} e B = {9, 10}.
Questa˜o 8 (1.0 pt) Escreva por extenso a proposic¸a˜o abaixo e decida se ela e´ verdadeira ou falsa,
justificando cuidadosamente sua resposta.
p : ∀a ∈ A, ∃b ∈ B | b = a+ 2.
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 7
Soluc¸a˜o: Vamos, primeiramente, escrever a proposic¸a˜o p por extenso.
p : Para todo a pertencente a A, existe b pertencente a B tal que b e´ igual a a mais dois.
A proposic¸a˜o p e´ verdadeira.
Para a = 7, tomamos b = 9 e temos que b = a+ 2.
Para a = 8, tomamos b = 10 e temos que b = a+ 2.
Questa˜o 9 (1.0 pt) Escreva por extenso a proposic¸a˜o abaixo e decida se ela e´ verdadeira ou falsa,
justificando cuidadosamente sua resposta.
q : ∃b ∈ B | ∀a ∈ A, b = a+ 2.
Soluc¸a˜o: Vamos, primeiramente, escrever a proposic¸a˜o p por extenso.
q : Existe b pertencente a B tal que, para todo a pertencente a A, b e´ igual a a mais dois.
A proposic¸a˜o q e´ falsa.
Para b = 9, tomamos a = 8, de modo que b 6= a+ 2.
Para b = 10, tomamos a = 7, de modo que b 6= a+ 2.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
AP1 - Me´todos Determin´ısticos I - 2018-1
ORIENTAC¸O˜ES PARA PROVA COM CORREC¸A˜O ONLINE
Orientac¸o˜es gerais
I
1. Voceˆ esta´ recebendo do aplicador um Caderno com os enunciados das Questo˜es e, inicial-
mente, uma Folha de Resposta para o registro das suas respostas, com sua identificac¸a˜o
em uma etiqueta.
2. Confira se o Caderno de Questo˜es corresponde a` disciplina em que devera´ realizar a prova
e se na Folha de Respostas constam corretamente o seu nome e nu´mero de matr´ıcula.
Caso contra´rio, verifique com o aplicador a soluc¸a˜o cab´ıvel.
3. Apo´s a confereˆncia e se estiver tudo certo, assine a Folha de Resposta no local indicado
para este fim.
4. Confira e assine cada nova Folha de Resposta solicitada.
5. E´ expressamente proibido o uso de aparelho e qualquer outro aparelho que per-
mita a conexa˜o a` Internet durante a aplicac¸a˜o da prova. Qualquer irregularidade
detectada sera´ reportada a` Direc¸a˜o do Polo e a` Coordenac¸a˜o para aplicac¸a˜o das sanc¸o˜es
devidas.
6. Ao te´rmino da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas utilizadas,
devidamente assinadas, o Caderno de Questo˜es e rascunhos.
Orientac¸o˜es para o preenchimento das Folhas de Respostas
I
1. Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta, para registro das
resoluc¸o˜es das questo˜es nas Folhas de Respostas.
2. Apresente as resoluc¸o˜es de forma clara, leg´ıvel e organizada. Na˜o se esquec¸a de numera´-
las de acordo com as questo˜es!
3. As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o.
Portanto, quaisquer anotac¸o˜es feitas fora delas, mesmo que em folha de rascunho, sera˜o
ignoradas.
4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas.
5. NA˜O AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar
a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
Orientac¸o˜es espec´ıficas para esta disciplina:
I1. E´ expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para ca´lculo assimcomo de qualquermaterial que sirva de consulta.
ATENC¸A˜O: O descumprimento de quaisquer das orientac¸o˜es podera´ implicar em preju´ızo na sua
avaliac¸a˜o, o que sera´ de sua inteira responsabilidade.
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Me´todos Determin´ısticos I – 18/03/2018
Nome: Matr´ıcula:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando nome e matr´ıcula. • Sua prova sera´ corrigida online. Siga as
• Resoluc¸o˜es feitas nesta folha ou no rascunho na˜o sera˜o corrigidas. instruc¸o˜es na capa deste caderno.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 1 a 4 a seguir.)
Em uma cidade, o nu´mero de pessoas que na˜o compram nas Lojas Pedro e´ o dobro do nu´mero de
pessoas que compram. Das pessoas que compram nas Lojas Pedro, metade compra tambe´m nas
Lojas Mateus. Sabe-se ainda que as duas lojas possuem o mesmo nu´mero de clientes.
Questa˜o 1 (1.0 pt) Represente, por meio de um diagrama, a situac¸a˜o descrita, representando por
P o conjunto de quem compra nas Lojas Pedro e por M o conjunto de quem compra nas Lojas
Mateus. Represente por x a quantidade de pessoas que compram nas Lojas Pedro e, a partir da´ı,
complete todas as partes do diagrama com a frac¸a˜o de x correspondente.
Soluc¸a˜o: Comec¸aremos a preencher o diagrama abaixo:
Chamando de x a quantidade de pessoas que compram nas Lojas Pedro, como metade destas pessoas
tambe´m compram nas Lojas Mateus, a intersec¸a˜o entre P e M sera´ x2 . Com isso, a quantidade de
pessoas que compram exclusivamente nas Lojas Pedro e´ x− x2 = x2 , conforme representado abaixo.
Me´todos Determin´ısticos I AP1 3
O nu´mero de pessoas que compram nas Lojas Mateus e´ igual a` quantidade que compra nas Lojas
Pedro, logo, igual a x. Como x2 ja´ esta˜o na intersec¸a˜o, temos
x
2 pessoas comprando exclusivamente
em M .
Se chamarmos de y o nu´mero de pessoas que na˜o compra em qualquer uma das lojas, o nu´mero de
pessoas que na˜o compram nas Lojas Pedro sera´ dado por u + x2 . O enunciado diz que este nu´mero
e´ o dobro dos que compram nas Lojas Pedro, isto e´,
u+ x2 = 2x.
Com isso, temos
u = 2x− x2 =
4x− x
2 =
3x
2 .
Assim, temos o diagrama abaixo:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP1 4
Questa˜o 2 (1.0 pt) Que frac¸a˜o da populac¸a˜o da cidade na˜o compra nem nas Lojas Pedro e nem
nas Lojas Mateus?
Soluc¸a˜o: A populac¸a˜o total da cidade e´ dada pela soma de cada quantidade do diagrama da questa˜o
anterior. Temos, no total,
x
2 +
x
2 +
x
2 +
3x
2 =
6x
2 = 3x.
Desses, 3x2 na˜o compra em nenhuma das lojas, ou seja, a metade da populac¸a˜o total 3x.
Questa˜o 3 (1.0 pt) Que frac¸a˜o da populac¸a˜o da cidade compra nas duas lojas?
Soluc¸a˜o: Dos 3x habitantes, apenas x2 compram nas duas lojas, logo
x
2
3x =
x
2 ·
1
3x =
1
6 .
Assim, 16 da populac¸a˜o compra nas duas lojas.
Questa˜o 4 (1.0 pt) Que frac¸a˜o da populac¸a˜o da cidade compra apenas nas Lojas Pedro? E apenas
nas Lojas Mateus?
Soluc¸a˜o: Apenas x2 pessoas compra apenas nas Lojas Pedro, e, como ja´ vimos na questa˜o anterior,
isto corresponde a 16 do total.
Da mesma forma 16 da populac¸a˜o compra apenas nas Lojas Mateus.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 5 a 8 e a seguir.)
Um comerciante adquire, do fabricante, um produto ao prec¸o de R$120,00. Este comerciante sabe
que, ao vender o produto para o consumidor, ha´ a incideˆncia de um imposto total de 40%, calculado
sobre o prec¸o de venda, isto e´, aquele que o consumidor paga pelo produto. Apenas o restante, apo´s
descontar o imposto, fica para o comerciante.
Nas questo˜es de 5 a 7, despreze qualquer outra despesa que na˜o seja o prec¸o de aquisic¸a˜o
do produto pelo comerciante no fabricante e o recolhimento de impostos. Observe que, na
questa˜o 8, aparecera´ uma nova despesa que devera´ ser levada em conta.
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 5
Questa˜o 5 (1.0 pt) Qual o prec¸o de venda m´ınimo Vm pelo o produto deve ser vendido para que
o comerciante na˜o tenha preju´ızo com a venda deste produto? (apresente os ca´lculos, na˜o apenas o
valor final de Vm)
Soluc¸a˜o: Em uma venda pelo prec¸o Vm, apo´s o desconto dos impostos, para o vendedor sobrara˜o
Vm − 40% · Vm = Vm − 40100Vm =
100Vm − 40Vm
100 =
60Vm
100 .
Para que a venda na˜o resulte preju´ızo, e´ necessa´rio que
60Vm
100 ≥ 120,
logo
Vm ≥ 120 · 10060 = 200.
Questa˜o 6 (1.0 pt) Deˆ a expressa˜o do lucro L obtido com a venda do produto. Utilize na ex-
pressa˜o apenas o prec¸o de venda V e as despesas anteriormente mencionadas.
Soluc¸a˜o: Com a venda por um prec¸o V , descontando os impostos de 40%V = 40V100 e o custo do
produto, termos um lucro de
L = V − 40V100 − 120 =
60V
100 − 120.
Questa˜o 7 (1.0 pt) Se o comerciante desejar obter um lucro de 30% sobre o valor de aquisic¸a˜o do
produto, qual devera´ ser o prec¸o de venda V ?
Soluc¸a˜o: O prec¸o de aquisic¸a˜o do produto e´ de 120 reais, logo, 30% deste valor e´ 30% · 120 =
30
100 · 120 =
3600
100 = 36 reais.
Para que o lucro L seja maior que 36 reais, precisamos de um prec¸o de venda V tal que
60V
100 − 120 = 36,
logo
60V
100 = 156.
Com isso,
V = 156 · 10060 = 260.
Questa˜o 8 (1.0 pt) Ale´m do valor recolhido na forma de impostos e o custo de aquisic¸a˜o, o comer-
ciante ainda estima que a venda deste produto demanda uma despesa fixa de R$8.000,00 (log´ıstica,
vendedor, espac¸o na loja, etc.), independentemente da quantidade de produtos vendidos. Na me´dia,
sa˜o vendidos 200 produtos como este por meˆs. Por quanto cada unidade do produto deve ser vendida
para que o vendedor apure um lucro m´ınimo de R$4.000,00.
Soluc¸a˜o: Na questa˜o 6, vimos que, considerando apenas o custo do fornecedor e os impostos, em
cada produto vendido a um prec¸o V , ha´ o lucro de
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 6
L = 60V100 − 120.
A venda de 200 produtos resulta enta˜o em um lucro de 200 ·
(
60V
100 − 120
)
= 120V − 24000.
Descontando agora o custo fixo de 8000, o vendedor tem um lucro total de
Lt = 120V − 24000− 8000 = 120V − 32000.
Para que o lucro m´ınimo seja de 4000, teremos
120V − 32000 > 4000,
logo
120V > 36000,
portanto
V > 36000120 = 300.
Assim, o produto deve ser vendido por, no m´ınimo, R$300,00.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 1 e 2 a seguir.)
Um empresa aceita pagamentos em cheque, boletos banca´rios de diversos bancos e carta˜o de cre´dito.
Avaliando os pagamento feitos pelos clientes e recebidos pela empresa, o diretor percebeu, hoje, que:
(i) Se um pagamento foi feito com cheque, enta˜o o pagamento foi recebido.
(ii) Se um pagamento foi feito com boleto e o boleto era do Banco iTatu, enta˜o o pagamento na˜o
foi recebido.
(iii) Se um pagamento foi com carta˜o de cre´dito e o pagamento foi feito semana passada, enta˜o ele
na˜o foi recebido.
Questa˜o 9 (1.0 pt) Diga se e´ poss´ıvel concluir ou se na˜o e´ poss´ıvel concluir cada uma das
afirmac¸o˜es abaixo, baseando-se apenas nas afirmac¸o˜es acima. Na˜o e´ necessa´rio justificar, mas
cada resposta incorreta invalidara´ uma correta (portanto, na˜o chute!).
(a) Todo pagamento feito com cheque foi recebido.
(b) Se um pagamento foi recebido e foi feito com boleto, enta˜o este pagamento na˜o e´ do Banco
iTatu.
(c) Se um pagamento foi feito com boleto e o boleto na˜o era do Banco iTatu, enta˜o ele foi recebido.
(d) Se um pagamento foi recebido, enta˜o ele foi feito com cheque.
(e) Se um pagamento foi feito com carta˜o e este pagamento foi recebido, enta˜o ele na˜o foi feito
semana passada.
(f) Se um pagamento foi feito com carta˜o e este pagamento na˜o foi recebido, enta˜o ele foi feito
semana passada.Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP1 7
Soluc¸a˜o:
(a) E´ poss´ıvel concluir que todo pagamento feito com cheque foi recebido, pois um pagamento
feito com cheque e na˜o recebido seria um contraexemplo para (i).
(b) Se o pagamento foi recebido, e´ poss´ıvel concluir que o pagamento na˜o e´ do Banco iTatu. Se
o pagamento com boleto fosse do Banco iTatu, enta˜o, por (ii), ele na˜o teria sido recebido.
(c) Na˜o se pode concluir. A afirmac¸a˜o diz apenas que se o boleto e´ do iTatu, enta˜o ele na˜o
foi recebido. A afirmac¸a˜o na˜o diz nada sobre os boletos dos outros bancos. Por exemplo,
um pagamento feito com um boleto do Banco Santo Andre´, e na˜o recebido, na˜o seria um
contraexemplo para a afirmac¸a˜o, pois na˜o satisfaria a hipo´tese.
(d) Na˜o se pode concluir, ele pode ter sido feito com boleto de algum banco que na˜o o iTatu, ou
pode ter sido feito com carta˜o de cre´dito antes da semana passada.
(e) E´ poss´ıvel concluir! Se um pagamento foi feito com carta˜o e este pagamento foi recebido, ele
na˜o pode ter sido feito na semana passada pois neste caso, por (ii), ele na˜o teria sido recebido.
(f) Na˜o e´ poss´ıvel concluir. A afirmac¸a˜o (iii) diz apenas que todo pagamento feito com carta˜o
na semana passada na˜o foi recebido, mas nada impede que um pagamento feito antes disso, por
exemplo, tambe´m na˜o tenha sido recebido.
Questa˜o 10 (1.0 pt) Se foram recebidos 25 pagamentos, quantos pagamentos, no ma´ximo, foram
feitos com cheque? Se foram feitos 10 pagamentos com boleto, mas apenas 5 foram recebidos,
pode-se dizer que 5 boletos eram do Banco iTatu? Em caso negativo, o que se pode garantir?
Justifique como chegou a` conclusa˜o.
Soluc¸a˜o: Foram feitos, no ma´ximo, 25 pagamentos com cheques. Por (i), todo pagamento com
cheque foi recebido, logo, se tivessem sido feitos mais de 25 pagamentos com cheque, haveria mais
de 25 pagamentos recebidos.
Na˜o se pode garantir que 5 boletos eram do iTatu, apenas que 5 pagamentos feitos com boleto na˜o
foram recebidos. A afirmac¸a˜o (ii) garante que pagamentos de boletos do iTatu na˜o foram recebido,
mas na˜o que apenas pagamentos deste banco na˜o foram recebidos, como vimos no item (c) da
questa˜o anterior. O que pode ser garantido e´ que, no ma´ximo, 5 boletos eram do iTatu pois, se
houvesse 6 ou mais boletos deste banco, haveria 6 ou mais pagamentos por boleto na˜o recebidos.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
RASCUNHO
Nome: Matr´ıcula:
Atenc¸a˜o!
• Resoluc¸o˜es feitas nesta folha na˜o sera˜o corrigidas. • Devolver esta folha ao aplicador.
AP1 - Me´todos Determin´ısticos I - 2018-2
ORIENTAC¸O˜ES PARA PROVA COM CORREC¸A˜O ONLINE
Orientac¸o˜es gerais
I
1. Voceˆ esta´ recebendo do aplicador o Caderno com os enunciados das Questo˜es e uma Folha de
Respostas, para desenvolver suas resoluc¸o˜es.
2. Confira se o Caderno de Questo˜es corresponde a` disciplina em que devera´ realizar a prova.
Caso contra´rio verifique com o aplicador a soluc¸a˜o cab´ıvel.
3. Apo´s a confereˆncia e se estiver tudo certo, escreva seu nome no Caderno de Questo˜es no local
indicado para este fim.
4. Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as questo˜es, pre-
encha (pintando os respectivos espac¸os na parte superior da folha) o nu´mero do CPF, o
co´digo da disciplina (indicado no cabec¸alho da pro´xima folha) e o nu´mero da folha.
5. Confira os nu´meros preenchidos e escreva seu nome em cada Folha de Respostas solicitada.
6. Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova!
7. E´ expressamente proibido o uso de celular, bem como de qualquer outro aparelho que
permita a conexa˜o a` Internet durante a aplicac¸a˜o da prova. Qualquer irregularidade
detectada sera´ reportada a` Direc¸a˜o do Polo e a` Coordenac¸a˜o para aplicac¸a˜o das sanc¸o˜es
devidas.
8. Ao te´rmino da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas utilizadas, devida-
mente identificadas, o Caderno de Questo˜es e rascunhos.
Orientac¸o˜es para o preenchimento das Folhas de Respostas
I
1. Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta, para registro das resoluc¸o˜es
das questo˜es nas Folhas de Respostas.
2. Apresente as resoluc¸o˜es de forma clara, leg´ıvel e organizada. Na˜o se esquec¸a de numera´-las
de acordo com as questo˜es!
3. As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o. Portanto,
quaisquer anotac¸o˜es feitas fora delas, mesmo que em folha de rascunho, sera˜o ignoradas.
4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas.
5. NA˜O AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar a
digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
Orientac¸o˜es espec´ıficas para esta disciplina:
I1. E´ expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para ca´lculo assim como dequalquer material que sirva de consulta.
ATENC¸A˜O: O descumprimento de quaisquer das orientac¸o˜es podera´ implicar em preju´ızo na sua
avaliac¸a˜o, o que sera´ de sua inteira responsabilidade.
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Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Me´todos Determin´ısticos I – 15/09/2018
Co´digo da disciplina EAD 06075
Nome: Matr´ıcula:
Polo:
Atenc¸a˜o!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as questo˜es, preencha
(pintando os respectivos espac¸os na parte superior da folha) o nu´mero do CPF, o co´digo da
disciplina (indicado acima em negrito) e o nu´mero da folha.
• Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova!
• Identifique a Prova, colocando nome, matr´ıcula e Polo.
• Resoluc¸o˜es feitas nesta(s) folha(s) de questo˜es ou no rascunho na˜o sera˜o corrigidas.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador.
• Sua prova sera´ corrigida online. Siga as instruc¸o˜es na capa deste caderno
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 1 a 3 a seguir.)
Uma empresa de planos de assisteˆncia oferece treˆs produtos: plano de sau´de, plano de assisteˆncia
odontolo´gica e seguro de acidentes pessoais. Sabe-se que
• O plano de assisteˆncia odontolo´gica so´ pode ser contratado quando se contrata o plano
de sau´de, embora seja poss´ıvel contratar plano de sau´de sem o plano de assisteˆncia
odontolo´gica.
• E´ poss´ıvel contratar um seguro de acidentes pessoais independentemente de se contratar
um plano de assisteˆncia odontolo´gica ou um plano de sau´de.
Ao analisar os dados de seus 840 clientes, que contrataram pelo menos um dos produtos, observou-se
que:
• Os clientes que contrataram todos os treˆs produtos representam a metade dos clientes que
contrataram plano de assisteˆncia odontolo´gica, um quinto dos clientes que contrataram
plano de sau´de e um terc¸o dos que contrataram seguro de acidentes pessoais.
• Todos os clientes que contrataram ambos o seguro de acidentes pessoais e o plano de
sau´de, tambe´m contrataram plano de assisteˆncia odontolo´gica.
Questa˜o 1 (1.0 pt) Represente, por meio de um diagrama de Venn, a situac¸a˜o descrita, represen-
tando por S o conjunto dos clientes que contrataram plano de sau´de, por O o conjunto dos que
contrataram plano de assisteˆncia odontolo´gica e por A os que contrataram seguro de acidentes
pessoais. Represente por x a quantidade de clientes que contrataram todos os treˆs produtos e, a
partir da´ı, complete todas as partes do diagrama em func¸a˜o de x.
Me´todos Determin´ısticos I AP1 3
Soluc¸a˜o: Como o todos os clientes que contrataram plano de assiteˆncia odontolo´gica tambe´m
contrataram plano de sau´de, o conjunto O esta´ contido no conjunto S, logo podemos desenhar o
diagrama de Venn como abaixo:
Na˜o nos preocupamos em desenhar um conjunto Universo, ja´ que a situac¸a˜o se refere apenas a
clientes que, como explicado, contrataram pelomenos um dos produtos. Se quise´ssemos representar
este conjunto U , haveria 0 clientes fora na parte mais externa do diagrama, isto e´, fora dos conjuntos
S, O e A, como abaixo:
Assim, na˜o vamos mais nos preocupar com o conjunto U . A ana´lise dos clientes mostrou que “todos
os clientes que contrataram ambos o seguro de acidentes pessoais e o plano de sau´de, tambe´m
contrataram plano de assisteˆncia”, logo, na˜o existem clientes no conjunto (A ∩ S) − O, logo
podemos colocar um 0 (zero) na parte correspondente no diagrama.
Os x clientes que contrataram todos os treˆs produtos representam a metade dos clientes que contrata-
ram plano de assisteˆncia odontolo´gica, logo, como, o nu´mero de clientes que contrataram plano
de assiteˆncia odontolo´gica e´ 2x. Como x deles ja´ esta˜o representados na intersec¸a˜o O ∩ S ∩ A,
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP1 4
o restante do conjunto O possui 2x− x = x elementos, como representado abaixo:
Os x clientes que contrataram todos os treˆs produtos representam um quinto dos clientes que
contrataram plano de sau´de, logo, como, o nu´mero de clientes que contrataram plano de sau´de e´
5x. Assim, a parte do conjunto S que ainda na˜o possui valor, no diagrama, representa 5x−x−x−0 =
3x clientes. Temos enta˜o o diagrama:
Os x clientes que contrataram todos os treˆs produtos representam um terc¸o dos clientes que contra-
taram seguro de acidentes pessoais, logo, como, o nu´mero de clientes que contrataram seguro
de acidentes pessoais e´ 3x. Assim, a parte do conjunto A que ainda na˜o possui valor, no diagrama,
representa 3x− x = 2x clientes. Atualizando o diagrama, temos
Questa˜o 2 (1.0 pt) Cada cliente pode contratar, no ma´ximo, um produto de cada tipo. Isto e´,
na˜o e´ poss´ıvel um cliente contratar mais de um plano de sau´de, mais de um plano de assisteˆncia
odontolo´gica ou mais de um seguro de acidentes pessoais.
Desta forma, diga quantos produtos de cada tipo foram contratados. Observe que a soma destas
quantidades deve ser maior que 840, pois este e´ o nu´mero de clientes, na˜o de produtos contratados,
e alguns clientes contrataram mais de um produto.
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 5
Soluc¸a˜o: Vamos determinar, no diagrama da questa˜o anterior, o valor de x. Observando o diagrama
e sabendo que ha´ um total de 840 clientes, temos
x+ x+ 3x+ 2x = 840 ∴ 7x = 840 ∴ x = 120.
Assim, temos as seguintes quantidades de produtos contratados:
• planos de sau´de: 5x = 5 · 120 = 600 contratac¸o˜es
• planos de assistaˆncia odontolo´gicas: 2x = 2 · 120 = 240 contratac¸o˜es
• seguros de acidentes pessoais: 3x = 3 · 120 = 360 contratac¸o˜es
Questa˜o 3 (1.0 pt) O nu´mero de contratac¸o˜es de planos de sau´de corresponde a que percentual
do total de produtos contratados? (Observe que a pergunta e´ relativa ao total de produtos
contratados, na˜o ao nu´mero de clientes.) Soluc¸a˜o: O total T de produtos contratados e´ dado por
600 + 240 + 360 = 1200.
Assim, as 600 contratac¸o˜es de planos de sau´de corresponde, em relac¸a˜o ao total de produtos, a
600
1200 =
50
100 = 50%.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 4 a 6 e a seguir.)
Um comerciante adquire um produto, junto ao fornecedor, por 300 euros. Ao vender o produto,
o comerciante devera´ recolher, como impostos, o equivalente a 20% do valor agragado, isto e´, da
diferenc¸a V − C entre o prec¸o de venda V e o de compra C.
Questa˜o 4 (1.0 pt) Deˆ o valor do imposto que deve ser recolhido, caso o prec¸o de venda seja de
500 euros.
Soluc¸a˜o: Com o prec¸o de venda V = 500, o valor agregado sera´
V − C = 500− 300 = 200 euros,
logo o imposto sera´ de 20-% deste valor, ou seja
20% · 200 = 20100 · 200 = 40 euros.
Questa˜o 5 (1.0 pt) Deˆ a expressa˜o do imposto que deve ser recolhido, caso o prec¸o de venda seja
dado, em euros, por V .
Soluc¸a˜o: Com o prec¸o de venda V , o valor agregado sera´
V − C = V − 300 euros,
logo o imposto sera´ de 20% deste valor, ou seja, em euros,
20% · (V − 300) = 20100 · (V − 300) =
1
5 · (V − 300) =
V
5 − 60.
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 6
Questa˜o 6 (1.0 pt) Se o comerciante desejar obter um lucro de 60 euros na venda (considerando
apenas o prec¸o de venda, o de custo e o recolhimento dos impostos), por quanto devera´ vender o
produto?
Soluc¸a˜o: O lucro L e´ dado pelo prec¸o de venda V , descontado o prec¸o de compra C = 300 e o
imposto calculado na questa˜o anterior. Assim,
L = V − 300−
(
V
5 − 60
)
= V − V5 − 300 + 60 =
4V
5 − 240.
Para que este lucro seja de 60 euros, teremos
L = 60⇔ 4V5 − 240 = 60⇔
4V
5 = 300⇔ V =
1500
4 = 375.
Questa˜o 7 (1.0 pt) Encontre o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o a seguir e o escreva na forma de
intervalo(s).
(x− 1)2 − (x+ 1)2 ≥ −x3 + 5.
Soluc¸a˜o: Resolvendo a inequac¸a˜o, temos
(x− 1)2 − (x+ 1)2 ≥ −x3 + 5 ⇔ x
2 − 2x+ 1− (x2 + 2x+ 1) ≥ −x3 + 5
⇔ x2 − 2x+ 1− x2 − 2x− 1 ≥ −x3 + 5
⇔ −4x ≥ −x3 + 5
⇔ −4x+ x3 ≥ 5
⇔ −12x+ x3 ≥ 5
⇔ −11x3 ≥ 5
⇔ −11x ≥ 15
⇔ x ≤ −1511 .
Note que, na u´ltima passagem acima, como dividimos por −11, que e´ negativo, o sinal da inequac¸a˜o
de inverte.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 8, 9 e 10 a seguir.)
Considere verdadeiras as premissas abaixo, sobre uma determinada questa˜o de Matema´tica:
(1) Se eu me dediquei a resolver a questa˜o quando eu a vi anteriormente, enta˜o aprendi
a resolver a questa˜o ou decorei a soluc¸a˜o da questa˜o.
(2) Por outro lado, se eu decorei a soluc¸a˜o da questa˜o, enta˜o certamente eu me dediquei a
resolver a questa˜o quando eu a vi anteriormente
(3) Se eu aprendi a resolver a questa˜o, enta˜o acertei integralmente a questa˜o quando ela
caiu novamente em uma prova.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP1 7
(4) Se eu decorei a soluc¸a˜o da questa˜o, enta˜o acertei pelo menos metade da questa˜o
quando ela caiu novamente em uma prova.
(5) Se acertei integralmente a questa˜o quando ela caiu novamente em uma prova, enta˜o,
obviamente, acertei pelo menos metade da questa˜o quando ela caiu novamente em
uma prova.
Denote as proposic¸o˜es das sentenc¸as anteriores da seguinte forma:
m: eu me dediquei a resolver a questa˜o quando eu a vi anteriormente
a: aprendi a resolver a questa˜o
d: decorei a soluc¸a˜o da questa˜o
i: acertei integralmente a questa˜o quando ela caiu novamente em uma prova
p: acertei pelo menos metade da questa˜o quando ela caiu novamente em uma prova
Questa˜o 8 (1.0 pt) Escreva as cinco premissas dadas ((1) a (5)) utilizando as letras atribu´ıdas
acima a cada sentenc¸a (m, a, d, i e p) e os s´ımbolos da lo´gica (⇒, ⇔, ∧ ou “e”, ∨ ou “ou”).
Soluc¸a˜o: Escrevendo as premissas com a notac¸a˜o dada, temos
(1) m⇒ a ∨ d
(2) d⇒ m
(3) a⇒ i
(4) d⇒ p
(5) i⇒ p.
Questa˜o 9 (1.0 pt) Se na˜o acertei pelo menos metade da questa˜o quando ela caiu nova-
mente em uma prova, baseado nas premissas dadas, e´ verdadeiro ou falso que eu me dediquei
a resolver a questa˜o quando eu a vi anteriormente?
Justifique a resposta com base nas premissas dadas. Voceˆ pode utilizar a notac¸a˜o definida para cada
questa˜o, para encurtar sua soluc¸a˜o.
Soluc¸a˜o: Partindo da premissa de que na˜o acertei pelo menos metade da questa˜o quando
ela caiu novamente em uma prova, temos que p e´ falsa. Logo, pela premissa (4), temos que d
e´ falsa. Pela premissa (5), temos tambe´m que i e´ falsa, logo por (3), a e´ falsa.
Ate´ aqui, conclu´ımos que a e d sa˜o falsas, logo a ∨ d e´ falsa. Assim, pela premissa (1), conclui-se
que m e´ falsa.
Assim, e´ falso que eu me dediquei a resolver a questa˜o quando eu a vi anteriormente.
Questa˜o 10 (1.0 pt) Se acertei integralmente a questa˜o quando ela caiu novamente em
uma prova, baseado nas premissas dadas, pode-se afirmar que eu aprendi a resolver a
questa˜o ?
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 8
Justifique a resposta com base nas premissas dadas. Voceˆ pode utilizar a notac¸a˜o definida para cada
questa˜o, para encurtar sua soluc¸a˜o
Soluc¸a˜o: Na˜o se pode concluir.
Por exemplo, pode ser verdadeira apenas as proposic¸o˜es i e p, e todas as demais falsas. Isto na˜o
tornara´ falsas as premissas dadas, pois teremos
(1) F ⇒ F ∨ F
(2) F ⇒ F
(3) F ⇒ V
(4) F ⇒ V
(5) V ⇒ V ,
que sa˜o implicac¸o˜es va´lidas (o que na˜o seria va´lido seria V ⇒ F ).
Por outro lado, podem todas as proposic¸o˜es serem verdadeiras, que as premissas ainda estariam
sendo respeitadas, pois
(1) V ⇒ V ∨ V
(2) V ⇒ V
(3) V ⇒ V
(4) V ⇒ V
(5) V ⇒ V .
Assim, e´ poss´ıvel i ser verdadeiro tanto em casos em que a e´ verdadeira como em casos em que a e´
falsa.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
RASCUNHO
Nome: Matr´ıcula:
Polo:
Atenc¸a˜o!
• Resoluc¸o˜es feitas nesta folha na˜o sera˜o corrigidas. • Devolver esta folha ao aplicador.
AP1 – Me´todos Determin´ısticos I – 2019.1
ORIENTAC¸O˜ES PARA PROVA COM CORREC¸A˜O ONLINE
Orientac¸o˜es gerais:
I
1. Voceˆ esta´ recebendo do aplicador o Caderno com os enunciados das Questo˜es e uma Folha
de Resposta, para desenvolver suas resoluc¸o˜es.
2. Confira se o Caderno de Questo˜es corresponde a` disciplina em que devera´ realizar a prova.
Caso contra´rio verifique com o aplicador a soluc¸a˜o cab´ıvel.
3. Apo´s a confereˆncia e se estiver tudo certo, assine o Caderno de Questo˜es no local indicado
para este fim.
4. Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as questo˜es,
preencha (pintando os respectivos espac¸os na parte superior da folha) o nu´mero do CPF,
o co´digo da disciplina (indicado no cabec¸alho da pro´xima folha) e o nu´mero da folha.
PADRA˜O DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
5. Confira e assine cada Folha de Respostas solicitada.
6. Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova!
7. E´ expressamente proibido o uso de aparelho celular e qualquer outro aparelho com
conexa˜o a` Internet durante a aplicac¸a˜o da prova. Qualquer irregularidade sera´ reportada
pelo aplicador a` Direc¸a˜o do Polo e a` Coordenac¸a˜o para aplicac¸a˜o das sanc¸o˜es devidas.
8. Ao te´rmino da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas utilizadas,
devidamente assinadas, o Caderno de Questo˜es e rascunhos.
Orientac¸o˜es para o preenchimento da(s) Folha(s) de Respostas:
I
1. Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta, para registro das resoluc¸o˜es
das questo˜es nas Folhas de Respostas.
2. Apresente as resoluc¸o˜es de forma clara, leg´ıvel e organizada. Na˜o se esquec¸a de numera´-las
de acordo com as questo˜es.
3. As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o. Por-
tanto, quaisquer anotac¸o˜es feitas fora deste espac¸o, mesmo que em folha de rascunho, sera˜o
ignoradas.
4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas.
5. NA˜O AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar
a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
Orientac¸a˜o espec´ıfica:
I1. E´ expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para ca´lculo comotambe´m qualquer material que sirva de consulta.
ATENC¸A˜O: O descumprimento de quaisquer das orientac¸o˜es podera´ implicar em preju´ızo na sua
avaliac¸a˜o, o que sera´ de sua inteira responsabilidade.
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Me´todos Determin´ısticos I – 24/03/2019
Co´digo da disciplina EAD 06075
Nome: Matr´ıcula:
Polo:
Atenc¸a˜o!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as questo˜es, preencha (pintando os
respectivos espac¸os na parte superior da folha) o nu´mero do CPF, o co´digo da disciplina (indicado acima em
negrito) e o nu´mero da folha.
PADRA˜O DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
• Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula e
Polo.
• E´ expressamente proibido o uso de qualquer instru-
mento que sirva para ca´lculo como tambe´m qualquer
material que sirva de consulta.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao apli-
cador.
• Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta
para registro das resoluc¸o˜es nas Folhas de Respostas.
• As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado
para correc¸a˜o. Quaisquer anotac¸o˜es feitas fora deste espac¸o,
mesmo que em folha de rascunho, sera˜o ignoradas.
• Na˜o amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas, pois
isto pode inviabilizar a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 1 a 3 a seguir.)
Na u´nica bolsa de valores do pa´ıs Pequen´ıssimo Setentrional, sa˜o negociadas ac¸o˜es de diversas
empresas, sabendo-se que:
i. Cada empresa podem ter ac¸o˜es na ma˜o de investidores privados, do governo, ou de ambos.
Obviamente, e´ necessa´rio que cada empresa possua ac¸o˜es nas ma˜os de investidores privados ou
do governo.
ii. 3/4 das empresas que possuem ac¸o˜es na ma˜o de investidores privados, na˜o possuem ac¸o˜es na
ma˜o do governo.
iii. 1/4 do total das empresas da bolsa de valores na˜o possuem ac¸o˜es na ma˜o do governo.
iv. 33 empresas desta bolsa possuem ac¸o˜es so´ na ma˜o do governo ou so´ na ma˜o da iniciativa privada,
na˜o possuindo os dois tipos de investidores.
Questa˜o 1 (1.0 pt) Chame de p o nu´mero de empresas que possuem ac¸o˜es apenas na ma˜o de
investidores privados. Escreva, em func¸a˜o de p, o nu´mero de empresas que possuem ac¸o˜es apenas
na ma˜o do governo.
Resposta: Vamos representar a situac¸a˜o por meio de dois conjuntos, P e G, das empresas que
possuem ac¸o˜es na ma˜o de investidores privados e com o governo, respectivamente. Na˜o e´ necessa´rio
Me´todos Determin´ısticos I AP1 3
representar um conjunto U que os contenha, visto que na˜o ha´ elementos fora da unia˜o de P e G,
pois cada empresa possui ac¸o˜es na ma˜o de investidores privados ou do governo.
O conjunto das empresas que possuem ac¸o˜es apenas na ma˜o da iniciativa privada e´ o destacado
abaixo e, como pedido, chamaremos de p seu nu´mero de elementos.
O conjunto das empresas que possuem ac¸o˜es so´ na ma˜o do governo ou so´ na ma˜o da iniciativa
privada, na˜o possuindo os dois tipos de investidores, e´ o destacado abaixo (a unia˜o dos conjuntos
menos a intersec¸a˜o).
Pela informac¸a˜o iv acima, o total das empresas destacadas acima e´ 33. Como ja´ temos p apenas na
ma˜o de iniciativa provada, teremos 33− p apenas na ma˜o do governo.
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 4
Questa˜o 2 (1.0 pt) Lembrando que 3/4 que possuem ac¸o˜es na ma˜o de investidores privados na˜o
possuem ac¸o˜es na ma˜o do governo, escreva, em func¸a˜o de p, o nu´mero de empresas que possuem
ac¸o˜es tanto com o governo, quanto com investidores privados.
Resposta: Vamos chamar de x o nu´mero de empresas que possuem ac¸o˜es tanto na ma˜o do governo
quanto da iniciativa privada.
Assim, o nu´mero total de empresas com ac¸o˜es na iniciativa privada e´ dado por p + x. Destas, 3/4
possuem ac¸o˜es apenas na iniciativa privada, logo
p = 34(p+ x).
Com isso,
p = 34p+
3
4x ∴ p−
3p
4 =
3
4x ∴
4p− 3p
4 =
3x
4 ∴ p = 3x ∴ x =
p
3 .
Assim,
p
3 empresas possuem ac¸o˜es tanto com o governo quanto com investidores privados.
Questa˜o 3 (1.0 pt) Lembrando agora que 1/4 das empresas da bolsa na˜o possuem ac¸o˜es na ma˜o
do governo, utilizando os itens anteriores, determine quantas empresas sa˜o negociadas nesta bolsa
de valores.
Resposta: Observando a quantidade em cadapedac¸o do diagrama de Venn,
vemos que sa˜o p empresas na˜o possuem ac¸o˜es na ma˜o do governo, de um total de
(33− p) + p3 + p = 33 +
p
3 empresas. Assim,
p = 14
(
33 + p3
)
,
logo
p = 334 +
p
12 ∴ p−
p
12 =
33
4 ∴
12p− p
12 =
3 · 33
12 ∴
11p
12 =
99
12 ∴ 11p = 99 ∴ p = 9.
Assim, sa˜o negociadas 33 + p3 = 33 +
9
3 = 33 + 3 = 36 empresas nesta bolsa.
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 5
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 4 e 5 e a seguir.)
O prec¸o de venda V de um determinado produto e´ composto pela soma do custo C com o lucro L
do vendedor e com os impostos I. Para este produto, o vendedor deseja obter uma margem de lucro
de 10% sobre o custo C.
Questa˜o 4 (1.5 pt) Determine, em func¸a˜o de C, o prec¸o de venda V caso o imposto I seja 20%
do lucro L.
Resposta: Primeiramente, observe que o lucro L deve ser 10% de C, logo
L = 10% · C = 10100 C =
C
10 .
Como o imposto e´ de 20% do lucro L, temos
I = 20% · L = 20100 ·
C
10 =
1
5 ·
C
10 =
C
50 .
Com isso,
V = C + L+ I = C + C10 +
C
50 =
50C + 5C + C
50 =
56C
50 .
Questa˜o 5 (1.5 pt) Determine, em func¸a˜o de C, o prec¸o de venda V caso o imposto I seja 20%
da diferenc¸a entre o prec¸o de venda e o de compra (isto e´, 20% de V − C).
Resposta: Como na questa˜o anterior, L = C10 .
Se o imposto for de 20% da diferenc¸a V − C, teremos
I = 20100(V − C),
logo, como V = C + L+ I = C + C10 + I, temos
I = 20100
(
C + C10 + I − C
)
∴ I = 15
(
C
10 + I
)
∴ I = C50 +
I
5 ∴ I −
I
5 =
C
50 ∴
4I
5 =
C
50 .
Com isso,
I = 54 ·
C
50 =
C
40 ,
logo
V = C + L+ I = C + C10 +
C
40 =
40C + 4C + C
40 =
45C
40 =
9C
8 .
Questa˜o 6 (2.0 pt) Determine, na forma de intervalo ou de uma unia˜o finita de intervalos, os
nu´meros reais que tornam verdadeira a desigualdade abaixo.
2
(
x+ 12
)2
− 3x <
(
x− 12
)
(2x+ 3) .
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 6
Resposta:
2
(
x+ 12
)2
− 3x <
(
x− 12
)
(2x+ 3) ⇔ 2
(
x2 + 2 · 12 · x+
1
4
)
− 3x < 2x2 − x+ 3x− 32
⇔ 2
(
x2 + x+ 14
)
− 3x < 2x2 − x+ 3x− 32
⇔ 2x2 + 2x+ 12 − 3x < 2x
2 − x+ 3x− 32
⇔ 2x2 − x+ 12 < 2x
2 + 2x− 32
⇔ 2x2 − x+ 12 − 2x
2 − 2x+ 32 < 0
⇔ −3x+ 2 < 0
⇔ −3x < −2
⇔ x > 23 .
Conclusa˜o: Os valores de x que satisfazem a desigualdade 2
(
x+ 12
)2
− 3x <
(
x− 12
)
(2x + 3),
sa˜o x ∈
(2
3 ,∞
)
.
Questa˜o 7 (1.0 pt) Diz a lei que todos os pontos de venda de uma loja devem emitir nota fiscal
em todas as vendas.
Deˆ uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que a lei na˜o esteja sendo cumprida.
Resposta: A lei na˜o estara´ sendo cumprida se, e somente se, algum ponto de venda da loja deixar
de emitir nota fiscal em alguma venda. Isto e´, se existir algum ponto de venda no qual exista alguma
venda que na˜o teve nota fiscal emitida.
Ou seja, basta uma venda, em um ponto de venda, sem nota fiscal e a loja estara´ descumprindo a
lei! E´ bom tomar cuidado!!!
Isto pode ser verificado reescrevendo a frase da lei com a simbologia da lo´gica de proposic¸o˜es:
q : ∀p ∈ P, ∀v ∈ V, vteve nota emitida,
onde P e´ o conjunto dos pontos de venda e V o conjunto das vendas realizadas. Assim,
∼ q :∼ (∀p ∈ P, ∀v ∈ V, v teve nota emitida) ,
logo
∼ q : ∃p ∈ P | ∼ (∀v ∈ V, v teve nota emitida) ,
ou ainda
∼ q : ∃p ∈ P | ∃v ∈ V | ∼ (v teve nota emitida) ,
logo
∼ q : ∃p ∈ P | ∃v ∈ V | v na˜o teve nota emitida.
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 7
Questa˜o 8 (1.0 pt) Escreva a negac¸a˜o da sentenc¸a
∀x ∈ A,∀y ∈ B, x > y.
Resposta: Chamando
p : ∀x ∈ A,∀y ∈ B, x > y,
como na questa˜o acima teremos
∼ p :∼ (∀x ∈ A,∀y ∈ B, x > y) ,
logo
∼ p : ∃x ∈ A | ∼ (∀y ∈ B, x > y) ,
ou ainda,
∼ p : ∃x ∈ A | ∃y ∈ B | ∼ (x > y) .
Portanto,
∼ p : ∃x ∈ A | ∃y ∈ B |x 6 y.
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RASCUNHO
Nome: Matr´ıcula:
Polo:
Atenc¸a˜o!
• Resoluc¸o˜es feitas nesta folha na˜o sera˜o corrigidas. • Devolver esta folha ao aplicador.