AP1 2018 2 Gabarito Métodos Determinísticos I

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AP1 - Me´todos Determin´ısticos I - 2018-2
ORIENTAC¸O˜ES PARA PROVA COM CORREC¸A˜O ONLINE
Orientac¸o˜es gerais
I
1. Voceˆ esta´ recebendo do aplicador o Caderno com os enunciados das Questo˜es e uma Folha de
Respostas, para desenvolver suas resoluc¸o˜es.
2. Confira se o Caderno de Questo˜es corresponde a` disciplina em que devera´ realizar a prova.
Caso contra´rio verifique com o aplicador a soluc¸a˜o cab´ıvel.
3. Apo´s a confereˆncia e se estiver tudo certo, escreva seu nome no Caderno de Questo˜es no local
indicado para este fim.
4. Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as questo˜es, pre-
encha (pintando os respectivos espac¸os na parte superior da folha) o nu´mero do CPF, o
co´digo da disciplina (indicado no cabec¸alho da pro´xima folha) e o nu´mero da folha.
5. Confira os nu´meros preenchidos e escreva seu nome em cada Folha de Respostas solicitada.
6. Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova!
7. E´ expressamente proibido o uso de celular, bem como de qualquer outro aparelho que
permita a conexa˜o a` Internet durante a aplicac¸a˜o da prova. Qualquer irregularidade
detectada sera´ reportada a` Direc¸a˜o do Polo e a` Coordenac¸a˜o para aplicac¸a˜o das sanc¸o˜es
devidas.
8. Ao te´rmino da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas utilizadas, devida-
mente identificadas, o Caderno de Questo˜es e rascunhos.
Orientac¸o˜es para o preenchimento das Folhas de Respostas
I
1. Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta, para registro das resoluc¸o˜es
das questo˜es nas Folhas de Respostas.
2. Apresente as resoluc¸o˜es de forma clara, leg´ıvel e organizada. Na˜o se esquec¸a de numera´-las
de acordo com as questo˜es!
3. As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o. Portanto,
quaisquer anotac¸o˜es feitas fora delas, mesmo que em folha de rascunho, sera˜o ignoradas.
4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas.
5. NA˜O AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar a
digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
Orientac¸o˜es espec´ıficas para esta disciplina:
I1. E´ expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para ca´lculo assim como dequalquer material que sirva de consulta.
ATENC¸A˜O: O descumprimento de quaisquer das orientac¸o˜es podera´ implicar em preju´ızo na sua
avaliac¸a˜o, o que sera´ de sua inteira responsabilidade.
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Me´todos Determin´ısticos I – 15/09/2018
Co´digo da disciplina EAD 06075
Nome: Matr´ıcula:
Polo:
Atenc¸a˜o!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as questo˜es, preencha
(pintando os respectivos espac¸os na parte superior da folha) o nu´mero do CPF, o co´digo da
disciplina (indicado acima em negrito) e o nu´mero da folha.
• Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova!
• Identifique a Prova, colocando nome, matr´ıcula e Polo.
• Resoluc¸o˜es feitas nesta(s) folha(s) de questo˜es ou no rascunho na˜o sera˜o corrigidas.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador.
• Sua prova sera´ corrigida online. Siga as instruc¸o˜es na capa deste caderno
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 1 a 3 a seguir.)
Uma empresa de planos de assisteˆncia oferece treˆs produtos: plano de sau´de, plano de assisteˆncia
odontolo´gica e seguro de acidentes pessoais. Sabe-se que
• O plano de assisteˆncia odontolo´gica so´ pode ser contratado quando se contrata o plano
de sau´de, embora seja poss´ıvel contratar plano de sau´de sem o plano de assisteˆncia
odontolo´gica.
• E´ poss´ıvel contratar um seguro de acidentes pessoais independentemente de se contratar
um plano de assisteˆncia odontolo´gica ou um plano de sau´de.
Ao analisar os dados de seus 840 clientes, que contrataram pelo menos um dos produtos, observou-se
que:
• Os clientes que contrataram todos os treˆs produtos representam a metade dos clientes que
contrataram plano de assisteˆncia odontolo´gica, um quinto dos clientes que contrataram
plano de sau´de e um terc¸o dos que contrataram seguro de acidentes pessoais.
• Todos os clientes que contrataram ambos o seguro de acidentes pessoais e o plano de
sau´de, tambe´m contrataram plano de assisteˆncia odontolo´gica.
Questa˜o 1 (1.0 pt) Represente, por meio de um diagrama de Venn, a situac¸a˜o descrita, represen-
tando por S o conjunto dos clientes que contrataram plano de sau´de, por O o conjunto dos que
contrataram plano de assisteˆncia odontolo´gica e por A os que contrataram seguro de acidentes
pessoais. Represente por x a quantidade de clientes que contrataram todos os treˆs produtos e, a
partir da´ı, complete todas as partes do diagrama em func¸a˜o de x.
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Soluc¸a˜o: Como o todos os clientes que contrataram plano de assiteˆncia odontolo´gica tambe´m
contrataram plano de sau´de, o conjunto O esta´ contido no conjunto S, logo podemos desenhar o
diagrama de Venn como abaixo:
Na˜o nos preocupamos em desenhar um conjunto Universo, ja´ que a situac¸a˜o se refere apenas a
clientes que, como explicado, contrataram pelo menos um dos produtos. Se quise´ssemos representar
este conjunto U , haveria 0 clientes fora na parte mais externa do diagrama, isto e´, fora dos conjuntos
S, O e A, como abaixo:
Assim, na˜o vamos mais nos preocupar com o conjunto U . A ana´lise dos clientes mostrou que “todos
os clientes que contrataram ambos o seguro de acidentes pessoais e o plano de sau´de, tambe´m
contrataram plano de assisteˆncia”, logo, na˜o existem clientes no conjunto (A ∩ S) − O, logo
podemos colocar um 0 (zero) na parte correspondente no diagrama.
Os x clientes que contrataram todos os treˆs produtos representam a metade dos clientes que contrata-
ram plano de assisteˆncia odontolo´gica, logo, como, o nu´mero de clientes que contrataram plano
de assiteˆncia odontolo´gica e´ 2x. Como x deles ja´ esta˜o representados na intersec¸a˜o O ∩ S ∩ A,
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 4
o restante do conjunto O possui 2x− x = x elementos, como representado abaixo:
Os x clientes que contrataram todos os treˆs produtos representam um quinto dos clientes que
contrataram plano de sau´de, logo, como, o nu´mero de clientes que contrataram plano de sau´de e´
5x. Assim, a parte do conjunto S que ainda na˜o possui valor, no diagrama, representa 5x−x−x−0 =
3x clientes. Temos enta˜o o diagrama:
Os x clientes que contrataram todos os treˆs produtos representam um terc¸o dos clientes que contra-
taram seguro de acidentes pessoais, logo, como, o nu´mero de clientes que contrataram seguro
de acidentes pessoais e´ 3x. Assim, a parte do conjunto A que ainda na˜o possui valor, no diagrama,
representa 3x− x = 2x clientes. Atualizando o diagrama, temos
Questa˜o 2 (1.0 pt) Cada cliente pode contratar, no ma´ximo, um produto de cada tipo. Isto e´,
na˜o e´ poss´ıvel um cliente contratar mais de um plano de sau´de, mais de um plano de assisteˆncia
odontolo´gica ou mais de um seguro de acidentes pessoais.
Desta forma, diga quantos produtos de cada tipo foram contratados. Observe que a soma destas
quantidades deve ser maior que 840, pois este e´ o nu´mero de clientes, na˜o de produtos contratados,
e alguns clientes contrataram mais de um produto.
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Soluc¸a˜o: Vamos determinar, no diagrama da questa˜o anterior, o valor de x. Observando o diagrama
e sabendo que ha´ um total de 840 clientes, temos
x+ x+ 3x+ 2x = 840 ∴ 7x = 840 ∴ x = 120.
Assim, temos as seguintes quantidades de produtos contratados:
• planos de sau´de: 5x = 5 · 120 = 600 contratac¸o˜es
• planos de assistaˆncia odontolo´gicas:2x = 2 · 120 = 240 contratac¸o˜es
• seguros de acidentes pessoais: 3x = 3 · 120 = 360 contratac¸o˜es
Questa˜o 3 (1.0 pt) O nu´mero de contratac¸o˜es de planos de sau´de corresponde a que percentual
do total de produtos contratados? (Observe que a pergunta e´ relativa ao total de produtos
contratados, na˜o ao nu´mero de clientes.) Soluc¸a˜o: O total T de produtos contratados e´ dado por
600 + 240 + 360 = 1200.
Assim, as 600 contratac¸o˜es de planos de sau´de corresponde, em relac¸a˜o ao total de produtos, a
600
1200 =
50
100 = 50%.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 4 a 6 e a seguir.)
Um comerciante adquire um produto, junto ao fornecedor, por 300 euros. Ao vender o produto,
o comerciante devera´ recolher, como impostos, o equivalente a 20% do valor agragado, isto e´, da
diferenc¸a V − C entre o prec¸o de venda V e o de compra C.
Questa˜o 4 (1.0 pt) Deˆ o valor do imposto que deve ser recolhido, caso o prec¸o de venda seja de
500 euros.
Soluc¸a˜o: Com o prec¸o de venda V = 500, o valor agregado sera´
V − C = 500− 300 = 200 euros,
logo o imposto sera´ de 20-% deste valor, ou seja
20% · 200 = 20100 · 200 = 40 euros.
Questa˜o 5 (1.0 pt) Deˆ a expressa˜o do imposto que deve ser recolhido, caso o prec¸o de venda seja
dado, em euros, por V .
Soluc¸a˜o: Com o prec¸o de venda V , o valor agregado sera´
V − C = V − 300 euros,
logo o imposto sera´ de 20% deste valor, ou seja, em euros,
20% · (V − 300) = 20100 · (V − 300) =
1
5 · (V − 300) =
V
5 − 60.
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Questa˜o 6 (1.0 pt) Se o comerciante desejar obter um lucro de 60 euros na venda (considerando
apenas o prec¸o de venda, o de custo e o recolhimento dos impostos), por quanto devera´ vender o
produto?
Soluc¸a˜o: O lucro L e´ dado pelo prec¸o de venda V , descontado o prec¸o de compra C = 300 e o
imposto calculado na questa˜o anterior. Assim,
L = V − 300−
(
V
5 − 60
)
= V − V5 − 300 + 60 =
4V
5 − 240.
Para que este lucro seja de 60 euros, teremos
L = 60⇔ 4V5 − 240 = 60⇔
4V
5 = 300⇔ V =
1500
4 = 375.
Questa˜o 7 (1.0 pt) Encontre o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o a seguir e o escreva na forma de
intervalo(s).
(x− 1)2 − (x+ 1)2 ≥ −x3 + 5.
Soluc¸a˜o: Resolvendo a inequac¸a˜o, temos
(x− 1)2 − (x+ 1)2 ≥ −x3 + 5 ⇔ x
2 − 2x+ 1− (x2 + 2x+ 1) ≥ −x3 + 5
⇔ x2 − 2x+ 1− x2 − 2x− 1 ≥ −x3 + 5
⇔ −4x ≥ −x3 + 5
⇔ −4x+ x3 ≥ 5
⇔ −12x+ x3 ≥ 5
⇔ −11x3 ≥ 5
⇔ −11x ≥ 15
⇔ x ≤ −1511 .
Note que, na u´ltima passagem acima, como dividimos por −11, que e´ negativo, o sinal da inequac¸a˜o
de inverte.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 8, 9 e 10 a seguir.)
Considere verdadeiras as premissas abaixo, sobre uma determinada questa˜o de Matema´tica:
(1) Se eu me dediquei a resolver a questa˜o quando eu a vi anteriormente, enta˜o aprendi
a resolver a questa˜o ou decorei a soluc¸a˜o da questa˜o.
(2) Por outro lado, se eu decorei a soluc¸a˜o da questa˜o, enta˜o certamente eu me dediquei a
resolver a questa˜o quando eu a vi anteriormente
(3) Se eu aprendi a resolver a questa˜o, enta˜o acertei integralmente a questa˜o quando ela
caiu novamente em uma prova.
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(4) Se eu decorei a soluc¸a˜o da questa˜o, enta˜o acertei pelo menos metade da questa˜o
quando ela caiu novamente em uma prova.
(5) Se acertei integralmente a questa˜o quando ela caiu novamente em uma prova, enta˜o,
obviamente, acertei pelo menos metade da questa˜o quando ela caiu novamente em
uma prova.
Denote as proposic¸o˜es das sentenc¸as anteriores da seguinte forma:
m: eu me dediquei a resolver a questa˜o quando eu a vi anteriormente
a: aprendi a resolver a questa˜o
d: decorei a soluc¸a˜o da questa˜o
i: acertei integralmente a questa˜o quando ela caiu novamente em uma prova
p: acertei pelo menos metade da questa˜o quando ela caiu novamente em uma prova
Questa˜o 8 (1.0 pt) Escreva as cinco premissas dadas ((1) a (5)) utilizando as letras atribu´ıdas
acima a cada sentenc¸a (m, a, d, i e p) e os s´ımbolos da lo´gica (⇒, ⇔, ∧ ou “e”, ∨ ou “ou”).
Soluc¸a˜o: Escrevendo as premissas com a notac¸a˜o dada, temos
(1) m⇒ a ∨ d
(2) d⇒ m
(3) a⇒ i
(4) d⇒ p
(5) i⇒ p.
Questa˜o 9 (1.0 pt) Se na˜o acertei pelo menos metade da questa˜o quando ela caiu nova-
mente em uma prova, baseado nas premissas dadas, e´ verdadeiro ou falso que eu me dediquei
a resolver a questa˜o quando eu a vi anteriormente?
Justifique a resposta com base nas premissas dadas. Voceˆ pode utilizar a notac¸a˜o definida para cada
questa˜o, para encurtar sua soluc¸a˜o.
Soluc¸a˜o: Partindo da premissa de que na˜o acertei pelo menos metade da questa˜o quando
ela caiu novamente em uma prova, temos que p e´ falsa. Logo, pela premissa (4), temos que d
e´ falsa. Pela premissa (5), temos tambe´m que i e´ falsa, logo por (3), a e´ falsa.
Ate´ aqui, conclu´ımos que a e d sa˜o falsas, logo a ∨ d e´ falsa. Assim, pela premissa (1), conclui-se
que m e´ falsa.
Assim, e´ falso que eu me dediquei a resolver a questa˜o quando eu a vi anteriormente.
Questa˜o 10 (1.0 pt) Se acertei integralmente a questa˜o quando ela caiu novamente em
uma prova, baseado nas premissas dadas, pode-se afirmar que eu aprendi a resolver a
questa˜o ?
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Justifique a resposta com base nas premissas dadas. Voceˆ pode utilizar a notac¸a˜o definida para cada
questa˜o, para encurtar sua soluc¸a˜o
Soluc¸a˜o: Na˜o se pode concluir.
Por exemplo, pode ser verdadeira apenas as proposic¸o˜es i e p, e todas as demais falsas. Isto na˜o
tornara´ falsas as premissas dadas, pois teremos
(1) F ⇒ F ∨ F
(2) F ⇒ F
(3) F ⇒ V
(4) F ⇒ V
(5) V ⇒ V ,
que sa˜o implicac¸o˜es va´lidas (o que na˜o seria va´lido seria V ⇒ F ).
Por outro lado, podem todas as proposic¸o˜es serem verdadeiras, que as premissas ainda estariam
sendo respeitadas, pois
(1) V ⇒ V ∨ V
(2) V ⇒ V
(3) V ⇒ V
(4) V ⇒ V
(5) V ⇒ V .
Assim, e´ poss´ıvel i ser verdadeiro tanto em casos em que a e´ verdadeira como em casos em que a e´
falsa.
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RASCUNHO
Nome: Matr´ıcula:
Polo:
Atenc¸a˜o!
• Resoluc¸o˜es feitas nesta folha na˜o sera˜o corrigidas. • Devolver esta folha ao aplicador.