Matrizes: Tópicos de Ajuda

Prévia do material em texto

FAÇA A DIFERENÇA - MATRIZES
TÓPICOS DE AJUDA –(T.A.)
Neste T.D. você terá tópicos de ajuda na resolução de algumas questões. Cada tópico possui o seu código apresentado logo aqui abaixo e, após o enunciado de cada problema.
A.1: Def: Dada uma matriz A do tipo m x n é qualquer conjunto de m.n números reais dispostos ordenadamente em m linhas e n colunas e, para cada condição abaixo, podemos afirmar que: 
 Se m = n a matriz é de quadrada (Em A mxm diz-se que é de ordem “m”).
 Se m ( n a matriz é retangular.
 Se m = 1 a matriz é denominada de linha.
 Se n = 1 a matriz é denominada de coluna.
 O número de elementos de A mxn é m.n.
A.2: Matriz Genérica( Matriz em que seus elementos são representados de maneira genérica por a i j , onde (i) indica a linha e o (j) indicará a coluna onde o elemento do par (i,j) deverá ser escrito.
A.3: Igualdade de matrizes ( A = (aij) e B = (bij), matrizes do mesmo tipo m x n são iguais, quando tiverem todos os elementos correspondentes (elemento de mesmos índices) iguais.
A.4: Matriz Transposta (Uma matriz B é a matriz transposta da matriz A, se as linhas de B forem ordenadamente as colunas de A.Indica-se B por B t.
PROPRIEDADES: a) ( At ) t = A b) ( A + B ) t = A t + B t c) ( A . B ) t = B t . A t d) ( n.A ) t = n . A t
A.5: Matriz Oposta ( A matriz oposta da matriz A mxn , que representa-se por –A mxn , enumeram-se seus elementos opostos (ou simétricos) aos da matriz A mxn . NOTA: A + (-A) = 0 (matriz nula)
A.6: Adição com matrizes ( Sendo C mxn = A mxn + B mxn, A matriz C é obtida na adição dos elementos correspondentes das matrizes A e B. PROPRIED.: P1ª-ASSOCIAT. (A+B)+C=A+(B+C); P2ªCOM. A+B = B +A;
 P3ª-EL.NEUTRO:M: M+A=A P4ª- Existência do elemento oposto; A – B = A + (-B)
A.7: Multiplicação de matrizes (Sejam as matrizes A =(a i k) mxn e B =(b i k) nxp. Define-se como produto de A por B a matriz C = (c i j ) mxp tal que o elemento (c i j ) é a soma dos produtos da i-ésima linha de A pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna de B. Existe a matriz produto quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda. 
 PROPRIED.: P1ª- Assoc:A(B.C) = AB + AC; P2ª Dist.Dir.- A(B+C) = A.B+A.C; P.3ª-Dist.Esq. (B+C)A = B.A+ C.A OBS:a) Se A.B = B.A é dito que as matrizes comutam. Em Geral: A.B  B.A. b) Na multiplicação com matrizes não vale a lei do anulamento do produto, isto é, podemos ter a.b = 0, mesmo A ( 0 e B( 0. c) Não vale a lei do cancelamento, isto é, podemos ter AB = AC mesmo com A ( 0 e B ( C.
A.8: Matriz Inversa ( A.B = B.A = In. A matriz B é a inversa de A é indicada por A-1 : (A.A-1 = A-1.A = In). 
 OBS: a) Sendo A e I n de ordem n, a inversa A-1 será também de ordem n. b) Se não existir a inversa, dizemos que a matriz A não é inversível ou uma matriz singular ( det A = 0). c) Regra prática para inversa A(2x2) (não singular) . Sendo Sendo det.A = a.d – b.c ( 0 ( A ( não singular).
 PROPRIEDADES: P1ª- ( A -1)-1 = A; P2ª –(A-1)t = ( A t )-1; P3ª – (AB)-1 = B-1.A-1(cuidado na ordem)
 P4ª- A inversa de uma matriz, se existir , é única.
A.9: Multiplicação de um número real por uma matriz. Obtém-se multiplicando o Nº. com todos os elementos da matriz.
PROP: P1ª- k(A + B) = k.A + k.B ; P2ª- ( k + w )A = k.A + w.A; P3ª- k.(w.A) = (k .w).A 
A.10: Equação matricial ( Isola-se a variável na equação e substituem-se os símbolos pelas respectivas matrizes.
 Ex: X.A = B ( X.A.A-1 = B.A-1 ( X.I = B.A-1 ( X = B.A-1
 
 A.11: Não deixe de fazer um aprendizado com as MATRIZES ESPECIAIS no final deste T.D.
Exercícios de revisão. Com certeza você já ouviu falar nisso. Pois é. Habitue-se a rever, periodicamente os estudos feitos. Reler e refazer cuidadosamente lições já estudadas é um exercício de revisão. Agindo assim, você está colhendo frutos que não estavam ainda maduros na primeira leitura.
01- (Ccvest) Ache a matriz A do tipo 2x3 definida por 
	1
	2
	3
	2 
	4
	6
 aij = i.j onde i indica a linha e j, a coluna. (T.A ( A.2) Resp: A = 
	3i + j, se i < j
	7, se i = j
	i² + j, se i > j
02- (Ccvest) Dada a matriz A = (a ij) 2x3 definida por a ij = 
 Determine o valor de a22 . a13 – a12 . a21.
 (T.A ( A.2) Resp: 17
 
	x + y
	1
	-5
	x - y
	3
	1
	-5
	-1
 03- (Ccvest) Dadas as matrizes: A= e B= 
 
 Calcule x e y de modo que A = B.
 (T.A ( A.3) Resp: x = 1 e y = 2
04-(Ccvest) Calcule x, y, z e t sabendo que:
 
 (T.A ( A.3) Resp: x= y = z = t = 1
O5-(Ccvest) Dada a matriz 
06- (Ccvest) Dadas as matrizes: 
 
07-(Ccvest) Sendo:
 
08-(Ccvest) Dadas as matrizes
 
 
“O esforço nunca é em vão”
 
“ O que você usa muito, deve faze-lo 
“ O que você usa muito, deve fazê-lo com alta competência”
ANOTAÇÕES(___________________________________________________
 
� EMBED Word.Picture.8 ���
� EMBED Word.Picture.8 ���
� EMBED Word.Picture.8 ���
� EMBED Word.Picture.8 ���
� EMBED Word.Picture.8 ���
� EMBED Word.Picture.8 ���
� EMBED Word.Picture.8 ���
�PAGE �
�PAGE �1�
_1232425841.doc