Bases Matemáticas Para Engenharia (6)

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Limites
Fabio Licht
Antes de mais nada, vamos relembrar os símbolos usados na matemática
Definição Formal de Limite
Seja uma função y = f(x) definida sobre algum intervalo aberto que contenha o número a, mas não obrigatoriamente essa função necessita estar definida nesse ponto a. Podemos dizer então que, o limite de f(x)vale L quando x se aproxima, ou quando x tende ao número a e representamos essa afirmação por limx→a f(x)=L se, e somente se, para todo número ε>0, existir um número correspondente δ>0 tal que |x−a| < δ ⇒ |f(x)−L| < ε.  
Entendendo a Definição Formal de Limite.
A definição formal de Limites diz que se conseguirmos fazer |x−a| tão pequeno quanto possível e  |f(x)−L| também tão pequeno quanto possível, mas maiores que zero e pudermos associar essas diferenças por meio de uma relação, então existirá o limite L da função f(x) quando x tende ao número a. 
Em outras palavras se pudermos atribuir um valor “ε” maior que zero de modo que exista um valor correspondente “δ” também maior que zero então: limx→a f(x)=L
Graficamente Ficaria Assim...
Noção Intuitiva
Sucessões numéricas
Dizemos que:
1, 2, 3, 4, 5, ....
Os termostornam-se cada vezmaioressem atingir um limite
x +
xtende a + infinito
Os números aproximam-se cada vez mais de 1, sem nunca atingir esse valor
x1
xtende a 1
1, 0, -1, -2, -3, ...
Os termostornam-se cada vezmenoressem atingir um limite
x -
xtende a - infinito
Os termos oscilam sem tender a um limite
Noção Intuitiva
Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y:
x
y = 2x + 1
 
x
y = 2x + 1
1,5
4
0,5
2
1,3
3,6
0,7
2,4
1,1
3,2
0,9
2,8
1,05
3,1
0,95
2,9
1,02
3,04
0,98
2,96
1,01
3,02
0,99
2,98
Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1 (x  1), y tende para 3 (y  3), ou seja:
Noção Intuitiva
Vizinhança de um ponto 
Para um valor arbitrariamente pequeno >0, a vizinhança de a é o conjunto dos x compreendido pelo intervalo 
a
a-
a+
x


0
12
Limite de uma variável
a
a-
a+
x
x2
x1
x3
Se x-a< valer para todo >0, arbitrariamente pequeno, dizemos que a variável x tem um limite e tal limite vale a. Simbolicamente, 
Os valores x1, x2 e x3 da variável x, estão na vizinha  de x=a. Isto é, os valores xi estão no intervalo a-e < xi <a+e (i=1,2,3)
13
Limites Laterais
O limite de f(x) para x  a existe se, e somente se, os limites laterais à direita a esquerda são iguais, ou sejas:
Se 
Se 
Exemplos
x é a variável de valores 
Essa variável tem um limite que é 1.
 uma vizinhança de centro em 1, com raio ; devemos calcular , para provar que a inequação |x-1| < e. O ponto de partida será portanto a expressão |x-1|, i.e. calcular quanto ela vale;
15
(n=2) x é o conjunto dos termos: x1=1, x2=1,5, 
e>1/2=0,5. e=0,51 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51
(n=3) x é o conjunto dos 3 termos: x1=1, x2=1,5, x3=1,33, 
ε>1/3=0,33333. ε=0,51 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51
(n=6) x é o conjunto dos 6 termos: x1=1, x2=1,5, x3=1,33, x4=1,25, x5=1,2, x6=1,16
e>1/6=0,166667. e=0,51 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51
n
xn
termos
1
1
1o.termo
2
1,5
2o.termo
n
xn
termos
1
1
1o.termo
2
1,5
2o.termo
3
1,333333
3o.termo
n
xn
termos
1
1
1o.termo
2
1,5
2o.termo
3
1,333333
3o.termo
4
1,25
4o.termo
5
1,2
5o.termo
6
1,166667
6o.termo
16
x é a variável de valores 
Essa variável tem um limite que é 1.
 uma vizinhança de centro em 1, com raio ; devemos calcular . 
17
18
(n=6) x é o conjunto dos 6 termos: x1=1, x2=1,25, x3=0,875, x4=1,0625, x5=96875, x6=1,015625
e>1/26=0,015625. e=0,26 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,26
(n=2) x é o conjunto dos 2 termos: x1=1, x2=1,25,
 e>1/22=0,25. e=0,26 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,26
(n=3) x é o conjunto dos 3 termos: x1=1, x2=1,25, x3=0,875, 
e>1/23=0,015625. e=0,26 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,26
n
xn
termos
1
1
1o.termo
2
1,25
2o.termo
n
xn
termos
1
1
1o.termo
2
1,25
2o.termo
3
0,875
3o.termo
n
xn
termos
1
1
1o.termo
2
1,25
2o.termo
3
0,875
3o.termo
4
1,0625
4o.termo
5
0,96875
5o.termo
6
1,015625
6o.termo
18
19
X é uma variável de valor constante c 
Essa variável tem um limite que é c, ainda que pareça estranho.
 uma vizinhança de centro em c, com raio ; devemos calcular . 
19
20
a
x
b
(b-a)/2




Observações 
Uma variável x não pode ter dois limites diferentes, a e b. 
20
VARIÁVEL INFINITAMENTE GRANDE
21
a variável x tende ao infinito, se, p/ cada número positivo M, pode-se 
Indicar um valor de x, a partir do qual, todos os valores subsequentes 
da variável verificam :
Seja a variável x o { x1, x2, x3, x4, x5....xn}, mostrado na figura abaixo.
Xn-1
x1
x6
x
x4
x3
x2
x5
A partir de x4, todo valor subsequente da variável é maior que o antecedente;
para M=x4, |xi|>M, p/ i=5,6,7....n
21
22
Seja Y=f (x) uma função definida nas vizinhanças do ponto a, ou, em certos pontos desta vizinhança. A função tende a b, quando x tende a a, ou
Limite de uma função
se, para cada número positivo ε > 0, tão pequeno quanto se queira, pode-se indicar um δ > 0 tal que, para todo x diferente de a, verificando | x -a | < δ , a desigualdade | f(x) - b | < ε, fica satisfeita. Diz-se então que b é o limite de f(x).
a
b




22
23
Exemplos
Os “resultados” dos limites das funções 3 e 5 demonstram que o cálculo do limite não se faz por uma simples substituição direta do valor para o qual a variável tende. Veremos que existem resultados para tais limites
23
24
Cálculo pela definição
Se 14 é o lim f(X), quando x  3, temos que ter:
24
25
Se 7 é o lim f(X), quando x  2, temos que ter:
25
26
26
27
27
28
28
Propriedades dos limites
Obs.: Em IV, se n for par, c deve ser positivo.
Sejam b e c dois números reais, e seja n um inteiro positivo. 
	
Um intervalo aberto de raio 3 em torno de x0 = 5 estará dentro do intervalo aberto (2, 8).
	
	
se para todo  > 0, existe um número correspondente  > 0 , tal que 
			
			|x-a|<   |f(x)-L|< ,
para todos os valores de x.
Relação entre  e  na definição de limite.
Operação com limites
Sejam b e c dois números reais, n um inteiro positivo e f e g funções para as quais e 
Obs.: Em VI, se n for par, L deve ser positivo.
Propriedades
 P1 - O limite da função identidade f(x) = x, quando x tende
 a “a”, é igual a “a”.
Exemplos:
Operação com limites
 P2 - O limite de uma função constante f(x) = K, quando x
 tende a “a”, é igual a própria constante:
Exemplos:
Operação com limites
 P3 - O limite da soma é igual a soma dos limites
 (caso esses limites existam):
Exemplo:
Operação com limites
 P4 - O limite da diferença é igual a diferença dos limites
 (caso esses limites existam):
Exemplo:
Operação com limites
 P5 - O limite do produto é igual ao produto dos limites
 (caso esses limites existam):
Exemplo:
Operação com limites
 P6 - O limite do quociente é igual ao quociente dos limites
 (caso esses limites existam):
Exemplo:
Operação com limites
 P7 - O limite da potência de uma função (f(x))n, onde n é um
 número inteiro positivo, é igual a potência do limite da
 função (caso exista):
Exemplo:
Operaçãocom limites
 P8 - O limite da raiz de uma função , é a raiz do
 limite da função, se o limite existe e é maior ou igual
 a zero:
Exemplo:
Operação com limites
Propriedades dos Limites
Se L, M, a e c são números reais e n inteiro
 e
Resumindo...
Regra da soma(subtração):
Regra do Produto:
Regra da multiplicação por escalar:
Regra do quociente:
Regra da potência:
Regra da raiz
 se é impar. 
Regra do logaritmo:
Regra do seno (o mesmo para o cosseno)
Regra da exponencial: 
Se P(x) é uma função polinomial e c é um número real, então 
Limite de uma função polinomial
Teorema 2 – Os Limites de Funções Polinomiais podem ser
 obtidos por Substituição:
Se 
então
Limites
Exemplo – Limite de Uma Função Polinomial
Limites de Funções Racionais
Teorema 3 – Os Limites de Funções Racionais podem ser
 obtidos por Substituição, caso o limite do
 denominador não seja zero:
Se e são polinômios e , 
então
Limites
Exemplo – Limite de Uma Função Racional
Limites
Exemplo 3 – Cancelando um Fator Comum
Solução: Não podemos substituir x = 1 porque isso resulta em um denominador zero. Testamos o numerador para ver se este também é zero em x = 1. Também é, portanto apresenta o fator (x – 1) em comum com o denominador. Cancelar o (x – 1) resulta em uma fração mais simples, com os mesmos valores da original para x  1:
Se x  1
Limites
Usando a fração simplificada, obtemos o limite desses valores quando x  1 por substituição:
Limites
Calcule
Limites
 Vamos agora calcular alguns limites imediatos, de forma a facilitar o entendimento dos exercícios mais complexos que virão em seguida:
a) lim (2x + 3) = 2.5 + 3 = 13
 x 5
b) lim (x2 + x) = (+ ∞ )2 + (+ ∞ ) = + ∞ + ∞ = + ∞
 x + ∞ 
c) lim (4 + x3) = 4 + 23 = 4 + 8 = 12
 x 2
d) lim [(3x + 3) / (2x - 5)] = [(3.4 + 3) / (2.4 - 5)] = 5
 x 4 
e) lim [(x + 3) (x - 3)] = (4 + 3) (4 -3) = 7.1 = 7
 x 4
Limites
 R: -3
 R: 0
 R: 
i) 
 j) 
 R: 2/3 
g) 
h) 
 R: 4/3
f) 
Limites
 Teorema do Confronto (ou Sanduíche)
 Se 
 e f(x)  g(x)  h(x)
 então, 
 Exemplo:
Limites
Sabemos que: 
Se |f(x)|  x3, então –x3  f(x)  x3
 Dividindo por x2 toda a inequação temos:
 Pelo teorema do confronto:
Limites
	Se f, g e h são funções que estão definidas em algum intervalo aberto I que contém x0, exceto, possivelmente, no próprio x0, f(x)  g(x)  h(x), para todo x em I, tal que x  x0 e 
então
Teorema do confronto
Limites
Ilustração do uso do teorema do confronto
Limites
Sejam a e b pertencentes aos reais, sendo a e b diferentes de zero. Suponhamos que a=b.
Então, se a=b, multiplicando os dois lados da igualdade por a temos:
a2=ab
 
Subtraindo b2 dos dois lados da igualdade temos:
a2-b2=ab-b2
 
Sabemos (fatoração), que a2-b2=(a+b)(a-b). Logo:
(a+b)(a-b)=ab-b2
 
Colocando b em evidência do lado direito temos:
(a+b)(a-b)=b(a-b)
 
Dividindo ambos os lados por (a-b) temos:
a+b=b
 
Como no início dissemos que a=b, então no lugar de a eu posso colocar b:
b+b=b
 
Portanto 2b=b. Dividindo ambos os lados por b finalmente chegamos a conclusão:
2=1
“Nós saímos da universidade com uma matemática totalmente técnica, a gente tem aquele conhecimento de uma alto nível, que faz a matemática ser uma coisa banal na vida da gente, enquanto para as crianças é um bicho de sete cabeças. Chega a um ponto dos alunos acharem que não saber matemática é genético: ‘minha mãe não entendia, meu pai não entendia e o senhor quer que eu entenda.’”
Gráf2
	0	0
1o.termo
2o.termo
Plan1
	n	xn		termos
	1	1	0	1o.termo
	2	1.5	0	2o.termo
	3	1.3333333333	0	3o.termo
	4	1.25	0	4o.termo
	5	1.2	0	5o.termo
	6	1.1666666667	0	6o.termo
	7	1.1428571429	0	7o.termo
	8	1.125	0	8o.termo
	9	1.1111111111	0	9o.termo
	10	1.1	0	10o.termo
	
	
	
	
	
	
	
		0.1666666667
Plan1
	
1o.termo
2o.termo
3o.termo
4o.termo
5o.termo
6o.termo
Plan2
	
A variável x é o conjunto dos 6 termos:
x1=1, x2=1,5, x3=1,33, x4=1,25, x5=1,2, x6=1,16
e>1/6=0,166667. e=0,51, satifaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51
 t
satifaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1<0,51
satifaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51
1o.termo
2o.termo
Plan3
	
Gráf3
	0	0	0
1o.termo
2o.termo
3o.termo
Plan1
	n	xn		termos
	1	1	0	1o.termo
	2	1.5	0	2o.termo
	3	1.3333333333	0	3o.termo
	4	1.25	0	4o.termo
	5	1.2	0	5o.termo
	6	1.1666666667	0	6o.termo
	7	1.1428571429	0	7o.termo
	8	1.125	0	8o.termo
	9	1.1111111111	0	9o.termo
	10	1.1	0	10o.termo
	
	
	
	
	
	
	
		0.1666666667
Plan1
	
1o.termo
2o.termo
3o.termo
4o.termo
5o.termo
6o.termo
Plan2
	
A variável x é o conjunto dos 6 termos:
x1=1, x2=1,5, x3=1,33, x4=1,25, x5=1,2, x6=1,16
e>1/6=0,166667. e=0,51, satifaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51
 t
satifaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1<0,51
satifaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51
1o.termo
2o.termo
1o.termo
2o.termo
3o.termo
Plan3
	
	
Gráf4
	0	0	0	0	0	0
1o.termo
2o.termo
3o.termo
4o.termo
5o.termo
6o.termo
Plan1
	n	xn		termos
	1	1	0	1o.termo
	2	1.5	0	2o.termo
	3	1.3333333333	0	3o.termo
	4	1.25	0	4o.termo
	5	1.2	0	5o.termo
	6	1.1666666667	0	6o.termo
	7	1.1428571429	0	7o.termo
	8	1.125	0	8o.termo
	9	1.1111111111	0	9o.termo
	10	1.1	0	10o.termo
	
	
	
	
	
	
	
		0.1666666667
		0.3333333333
Plan1
	
1o.termo
2o.termo
3o.termo
4o.termo
5o.termo
6o.termo
Plan2
	
A variável x é o conjunto dos 6 termos:
x1=1, x2=1,5, x3=1,33, x4=1,25, x5=1,2, x6=1,16
e>1/6=0,166667. e=0,51, satifaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51
 t
satifaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1<0,51
satifaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51
1o.termo
2o.termo
1o.termo
2o.termo
3o.termo
Plan3
	n	xn		termos
	1	1	0	1o.termo
	2	1.25	0	2o.termo
	3	0.875	0	3o.termo
	4	1.0625	0	4o.termo
	5	0.96875	0	5o.termo
	6	1.015625	0	6o.termo
	7	0.9921875	0	7o.termo
	8	1.00390625	0	8o.termo
	9	0.998046875	0	9o.termo
	10	1.0009765625	0	10o.termo
	
	
	
	
	
	
	
		0.015625
		0.3333333333
Plan3
	
1o.termo
2o.termo
3o.termo
4o.termo
5o.termo
6o.termo
	0	0	0
A variável x é o conjunto dos 6 termos:
x1=1, x2=1,25, x3=0,875, x4=1,0625, x5=96875, x6=1,015625
e>1/26=0,015625. e=0,51, satifaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51
 t
satifaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1<0,51
satifaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51
1o.termo
2o.termo
1
1.5
0
0
1o.termo
2o.termo
3o.termo
	
Gráf5
	0	0
1o.termo
2o.termo
Plan1
	n	xn		termos
	1	1	0	1o.termo
	2	1.5	0	2o.termo
	3	1.3333333333	0	3o.termo
	4	1.25	0	4o.termo
	5	1.2	0	5o.termo
	6	1.1666666667	0	6o.termo
	7	1.1428571429	0	7o.termo
	8	1.125	0	8o.termo
	9	1.1111111111	0	9o.termo
	10	1.1	0	10o.termo
	
	
	
	
	
	
	
		0.1666666667
		0.3333333333
Plan1
	
1o.termo
2o.termo
3o.termo
4o.termo
5o.termo
6o.termo
Plan2
	
A variável x é o conjunto dos 6 termos:
x1=1, x2=1,5, x3=1,33, x4=1,25, x5=1,2, x6=1,16e>1/6=0,166667. e=0,51, satifaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51
 t
satifaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1<0,51
satifaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51
1o.termo
2o.termo
1o.termo
2o.termo
3o.termo
Plan3
	n	xn		termos
	1	1	0	1o.termo
	2	1.25	0	2o.termo
	3	0.875	0	3o.termo
	4	1.0625	0	4o.termo
	5	0.96875	0	5o.termo
	6	1.015625	0	6o.termo
	7	0.9921875	0	7o.termo
	8	1.00390625	0	8o.termo
	9	0.998046875	0	9o.termo
	10	1.0009765625	0	10o.termo
	
	
	
	
	
	
	
		0.015625
		0.3333333333
Plan3
	
1o.termo
2o.termo
3o.termo
4o.termo
5o.termo
6o.termo
	0	0	0
A variável x é o conjunto dos 6 termos:
x1=1, x2=1,25, x3=0,875, x4=1,0625, x5=96875, x6=1,015625
e>1/26=0,015625. e=0,51, satifaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51
 t
satifaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1<0,51
satifaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51
1o.termo
2o.termo
1o.termo
2o.termo
3o.termo
	
Gráf6
	0	0	0
1o.termo
2o.termo
3o.termo
Plan1
	n	xn		termos
	1	1	0	1o.termo
	2	1.5	0	2o.termo
	3	1.3333333333	0	3o.termo
	4	1.25	0	4o.termo
	5	1.2	0	5o.termo
	6	1.1666666667	0	6o.termo
	7	1.1428571429	0	7o.termo
	8	1.125	0	8o.termo
	9	1.1111111111	0	9o.termo
	10	1.1	0	10o.termo
	
	
	
	
	
	
	
		0.1666666667
		0.3333333333
Plan1
	
1o.termo
2o.termo
3o.termo
4o.termo
5o.termo
6o.termo
Plan2
	
A variável x é o conjunto dos 6 termos:
x1=1, x2=1,5, x3=1,33, x4=1,25, x5=1,2, x6=1,16
e>1/6=0,166667. e=0,51, satifaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51
 t
satifaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1<0,51
satifaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51
1o.termo
2o.termo
1o.termo
2o.termo
3o.termo
Plan3
	n	xn		termos
	1	1	0	1o.termo
	2	1.25	0	2o.termo
	3	0.875	0	3o.termo
	4	1.0625	0	4o.termo
	5	0.96875	0	5o.termo
	6	1.015625	0	6o.termo
	7	0.9921875	0	7o.termo
	8	1.00390625	0	8o.termo
	9	0.998046875	0	9o.termo
	10	1.0009765625	0	10o.termo
	
	
	
	
	
	
	
		0.015625
		0.3333333333
Plan3
	
1o.termo
2o.termo
3o.termo
4o.termo
5o.termo
6o.termo
	
A variável x é o conjunto dos 6 termos:
x1=1, x2=1,25, x3=0,875, x4=1,0625, x5=96875, x6=1,015625
e>1/26=0,015625. e=0,51, satifaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51
 t
satifaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1<0,51
satifaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51
1o.termo
2o.termo
1o.termo
2o.termo
3o.termo