Mecânica Clássica - Slides de Aula - Unidade III

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Prof. Danilo Cardenuto
UNIDADE III
Mecânica Clássica
5. Trabalho e Energia
5.1 Trabalho
 Na Física, a palavra “trabalho” é usada num sentido restrito. Um trabalho é 
realizado quando o ponto de aplicação da força é deslocado.
Mecânica Clássica
Fonte: Livro-texto
F
P1 P2s
θ )cos(..
)( 12


SF
PPF




5. Trabalho e Energia
5.1 Trabalho
 Suponhamos que na posição P1 a força que atua sobre o corpo seja (f1) e, na 
posição P2, admite-se que a força (f2) varie em valor e direção de forma contínua 
com a posição do corpo. Para ser aplicável à definição anterior, considera-se um 
deslocamento P2 – P1 = ΔP durante o qual a força f 
→ possa ser considerada 
constante. Para esse deslocamento, calculamos o somatório de deslocamentos:
Mecânica Clássica
5.1.1 Energia cinética
 A noção de trabalho está intimamente associada à de energia. Quando uma força 
aplicada num corpo realiza trabalho, está ocorrendo variação da energia cinética.
Energia cinética:
Mecânica Clássica
5.1.2 Energia potencial
 Energia potencial pode ser considerada como o trabalho realizado pela força peso.
 Essa é uma força constante em valor, direção e sentido, independentemente, 
portanto, de posição, desde que o corpo esteja nas proximidades da Terra.
Mecânica Clássica
Fonte: Livro-texto
z
x
y
dz
dx
dy
)(. 1221 zzgm 
6. Trabalho realizado por uma força elástica
 A força elástica é uma força aplicada em objetos que se deformam (r) e voltam à 
sua condição original (caso suas características físicas não sejam alteradas). 
Essa força pode ser representada como:
Mecânica Clássica
rkf .
6. Trabalho realizado por uma força elástica
Supõe-se que uma das extremidades de um corpo elástico esteja fixa no ponto O. O 
seu comprimento é r0. Na posição inicial, P1, o seu comprimento do corpo é r1 e 
encontra-se sob a ação da força (f1). Na posição final, P2, o comprimento do corpo é 
r2 e encontra-se sob a ação da força (f2). Portanto, podemos definir:
Mecânica Clássica
2
2
1
21
.
2
)(.
r
k
U
drrk

 
6.1 Energia potencial gravitacional
Seja P uma posição genérica do corpo, situado à distância r de C, a força de atração 
exercida pela Terra sobre o corpo em P será:
Mecânica Clássica
Fonte: Livro-texto
P1
P
R1
R2 P2
c
r
d’θ eθ
dP
er
m
2
.
r
mM
GF 

6.1 Energia potencial gravitacional
 Para definir o potencial num ponto, devemos escolher um ponto de referência onde 
este seja nulo. Em geral, considera-se nulo o potencial de um ponto infinitamente 
afastado, e o potencial de um ponto qualquer será numericamente igual ao 
trabalho para levar um corpo de massa unitária desse ponto ao infinito.
O trabalho total realizado no deslocamento de P1 a P2 será:
Mecânica Clássica
g
R
M
GU
dr
r
Mm
G
T
R
R

 
2
2
2
1
.
2
1

6.1.1 Teorema da energia mecânica
“O trabalho das forças não conservativas é igual à variação da energia mecânica.” 
Ou seja, a energia mecânica é a soma total das energias envolvidas no problema:
Mecânica Clássica
12..
1122..
12
)()(
])()[(])()[(
)()(
EMEM
EPECEPEC
ECEC
cn
cn
forças





Exemplo: Um automóvel de massa de 1.000 kg com velocidade de 90 km/h tem 
energia cinética igual a:
Mecânica Clássica
Uma bola de massa de 100 g é rebatida por um tenista com a velocidade de 36 
km/h; a energia cinética, em Joules, é igual a:
a) 5 J
b) 2 J
c) 10 J
d) 36 J
e) 12 J
Interatividade
Fonte: http://www.garopabamidia.com.br
5. Trabalho e Energia – Exercícios
Movimento de um objeto pode ser produzido por:
 * Força gravitacional (força peso)
 * Força elástica
 * Força de atrito (não conservativa)
Mecânica Clássica
 Exemplo: Um carro se solta em uma ladeira com inclinação de 53 graus. Se a 
massa do carro é de 1.000 kg e o coeficiente de atrito na rua é μ=1, determine qual 
a velocidade do carro após ele percorrer 100 m. Dados: cos (53) = 0,6; sen (53) = 
0,8; g =10 m/s2.
Mecânica Clássica
Fonte: Livro-texto
θ=53
100m
 Diagrama de forças envolvidas no movimento:
Mecânica Clássica
Fonte: Livro-texto
θ=53
100m
 Diagrama de forças envolvidas no movimento:
Mecânica Clássica
Fonte: Livro-texto
 Encontrando a aceleração do carro:
Mecânica Clássica
 Altura vertical do deslocamento do carro:
Mecânica Clássica
Fonte: Livro-texto
θ=53
100m maltura
altura
senhipotenusaopostocat
hipotenusa
opostocat
sen
80
80100
.
.






 Encontrando a velocidade do carro pelo teorema da energia cinética:
Mecânica Clássica
Fonte: Livro-texto
θ=53
100m
s
mv
v
v
hgmvmgmhgmvm
EpEcEEpEc
B
B
B
BA
BBFatAA
BA
20
1000
200000.2
01000
2
1
601010001801010000
...
2
1
)53cos(......
2
1
2
2
22






Exemplo: Em um piso horizontal e liso apoia-se um bloco B; neste, apoia-se um 
bloco A. Cada bloco tem massa m = 1,0 kg. Entre A e B o coeficiente de atrito é μ = 
0,20 (considere o atrito estático igual ao dinâmico). Adotar g = 10 m/s2. Inicialmente, 
todas as partes do sistema estão em repouso. Aplica-se ao bloco A uma força 
horizontal constante de intensidade F = 10 N. O bloco A desliza sobre o bloco B 
arrastando-o, que desliza sobre o piso, enquanto B faz o percurso SB = 1,0 m sobre o 
piso. Pede-se:
a) Percurso do bloco A.
b) Percurso de deslizamento de A sobre B.
c) Trabalho de atrito sobre A e sobre B.
d) Trabalho de atrito no sistema dos blocos A e B.
Mecânica Clássica
 m = 1,0 kg 
 μ = 0,20 
 g = 10 m/s2
 F = 10 N
 SB = 1,0 m
Mecânica Clássica
Fonte: Livro-texto
 Forças de atrito: Aceleração do bloco A:
Aceleração do bloco B:
Mecânica Clássica
 Duração do percurso de B: Percurso do bloco A:
a) O deslizamento entre as distâncias:
d = SA - SB
d = 4 - 1 
d = 3 m
Mecânica Clássica
SB = 1,0 m 
b) O trabalho de atrito sobre o bloco A:
c) O trabalho de atrito sobre o bloco B:
d) O trabalho de atrito total:
Mecânica Clássica
Suspende-se um tijolo, a prumo, lentamente. O peso do tijolo é P = 20 N, o 
alçamento é h = 2,0 m. Qual é o trabalho resultante da força?
a) τ = 10 j
b) τ = 20 j
c) τ = 40 j
d) τ = 60 j
e) τ = 0 j
Interatividade
6.1.2 Potência
 A velocidade em que o trabalho é realizado é chamada de potência. O trabalho é 
uma grandeza escalar executada em um intervalo de tempo (Δt). 
 Pelo princípio fundamental da dinâmica, a potência pode ser descrita como a 
velocidade da força.
Mecânica Clássica
Exemplo: Uma locomotiva de massa ml = 180 t traciona uma composição de vagões 
mv = 600 t em via reta horizontal. A força de tração nas rodas motrizes equivale a 1/6 
do peso da máquina. O coeficiente de atrito ao movimento é μ = 0,005. Pede-se:
a) Aceleração da composição.
b) Potência dissipada à velocidade de 72 km/h.
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Fonte: www.ferroeste.pr.gov.br
A força necessária para mover a locomotiva nos trilhos é:
Força de resistência:
a) Aceleração da composição:
Mecânica Clássica
Fresistência
Fresistência
Fresistência
b) Potência dissipada à velocidade de 72 km/s:
 Convertendo a velocidade para m/s:
 Potência dissipada:
Mecânica Clássica
 Um avião com massa m = 5.000 kg alça voo em inclinação de 30°, com velocidade 
constante v = 600 km/h. Adotar g = 10 m/s2. A resistência do ar tem intensidade 
R = k ∙ v2, com k = 2,0 [SI]. Determinar a potênciade tração.
 Inicialmente, vamos converter a velocidade em metros por segundo:
Mecânica Clássica
Fonte: https://pixabay.com/
sm
s
m
/6,166
3600
600000

Colocando as forças que atuam no avião:
Mecânica Clássica
Eixo y – Perpendicular ao movimento
Eixo x – Direção do movimento
Fonte: Livro-texto
A força de empuxo (F1) deve contrabalancear a resistência do ar (F3) e a força peso 
(F4), mas o avião sobe com velocidade constante, logo, a aceleração é zero:
 No eixo x:
 Potência de propulsão:
Mecânica Clássica
Exemplo: Uma partícula com massa m = 1,0 kg, inicialmente estacionária, é 
submetida a uma força resultante invariável. Após t = 2 s, a velocidade é v = 2 m/s. 
Determinar:
a) O trabalho realizado desde o início até a data t’ = 6 s.
b) A potência média durante esse tempo.
c) As potências instantâneas iniciais e finais.
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F
P1 P2s
θ
Fonte: Livro-texto
a) O trabalho realizado desde o início até a data t’ = 6 s:
Aceleração da partícula: 
 Velocidade da partícula após 6s:
 Trabalho realizado:
Mecânica Clássica
b) A potência média durante o tempo t’ = 6 s:
Variação do trabalho pelo tempo: 
c) Potência instantânea:
Mecânica Clássica
Em um fuzil, a bala percorre o cano em 0,00125s e adquire energia cinética igual a 
4.000 J. Qual a potência que desenvolve o fuzil durante o disparo?
a) 1 W
b) 60 W
c) 500 W
d) 100.000 W
e) 3.200.000 W
Interatividade
Fonte: http://www.supercoloring.com
6.1.3 Quantidade de movimento
 A quantidade de movimento linear, também conhecido como momento, é definida 
pelo produto da massa do corpo (m) pela velocidade (v):
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vmp

.
6.1.3 Quantidade de movimento:
 O princípio fundamental da dinâmica:
Mecânica Clássica
6.1.3 Quantidade de movimento
Consideremos um corpo que, no instante inicial t1, ocupe a posição P1 e esteja 
dotado de movimento v1. No instante t2, ocupe a posição P2 e movimento v2. A 
variação da quantidade de movimento entre essas duas posições será:
Impulso:
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Exemplo: Um bloco de massa de 0,5 kg desliza com velocidade 1 m/s sobre uma 
superfície sem atrito. No instante t0 = 0 passa a atuar sobre ele uma força horizontal 
de intensidade 1,0 N na mesma direção e sentido da velocidade. Considere a 
aceleração da gravidade g = 10 m/s2.
a) Qual o impulso no intervalo de 0 a 4 s?
b) Qual a quantidade de movimento inicial e no instante 4 s?
c) Qual a velocidade no instante 4 s?
Mecânica Clássica
Fonte: Autoria própria.
a) Impulso no intervalo de tempo 0 a 4 s:
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V = 1m/s F = 1
T0=0 T=4
sNI
tfdtfI
simpulso
.4)04.(1
..
)40(




Fonte: Autoria própria.
b) Quantidade de movimento inicial e após 4s:
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V = 1m/s F = 1
T0=0 T=4
Fonte: Autoria própria.
c) Velocidade no instante 4s:
Mecânica Clássica
V = 1m/s F = 1
T0=0 T=4
smv
v
vmp
/9
.5,05,4
.
4
4
44





Fonte: Autoria própria.
Exemplo: Um carro pequeno, com massa de 1.200 kg e velocidade 50 km/h, colide 
com um caminhão com massa de 3 Ton. e velocidade 40 km/h, em um ângulo de 90 
graus. O carro e o caminhão constituem um só destroço após a colisão. Pede-se:
a) Qual a velocidade dos dois veículos após a colisão?
b) Qual o ângulo que se deslocam?
Mecânica Clássica
 Momento antes da colisão:
Mecânica Clássica
x
y
Fonte: Autoria própria.
a) Qual a velocidade dos dois veículos após a colisão?
Aplicando a conservação do momento:
Mecânica Clássica
smji
ji
v
mm
pp
v
vmmpp
vmp
/)93,876,4(
)30001200(
3750020000
)(
).(
.
21
21
2121












b) Ângulo de deslocamento dos dois veículos:
Aplicando Pitágoras:
 Encontrando o ângulo entre o carro:
Mecânica Clássica
Fonte: Autoria própria.
Uma bola de massa (m)kg com velocidade inicial de 30 m/s colide com uma parede 
quando está se movendo horizontalmente, e retorna exatamente na direção contrária 
com velocidade 20 m/s. Qual a variação da quantidade de movimento da bola?
a) 10 m (m/s)
b) 20 m (m/s)
c) 30 m (m/s)
d) 40 m (m/s)
e) 50 m (m/s)
Interatividade
Fonte: Autoria própria.
ATÉ A PRÓXIMA!