Lei dos senos

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Lei dos senos
MATEMÁTICA
A lei dos senos permite relacionar lados e ângulos de qualquer triâng
ulo.
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A lei dos senos é usada para relacionar medidas de lados e ângulos em triângulos quaisquer
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Os estudos trigonométricos no triângulo retângulo têm por finalidade relacionar os ângulos do triângulo com as medidas dos lados por meio das seguintes relações: seno, cosseno e tangente. Essas relações utilizam o cateto oposto, o cateto adjacente e a hipotenusa. Observe:
Seno: cateto oposto / hipotenusa
Cosseno: cateto adjacente / hipotenusa
Tangente: cateto oposto / cateto adjacente
Essas relações somente são válidas se aplicadas no triângulo retângulo, aquele que possui um ângulo reto (90º) e outros dois ângulos agudos. Para triângulos quaisquer, utilizamos a lei dos senos ou a lei dos cossenos com o objetivo de calcular medidas e ângulos desconhecidos. Enfatizaremos neste texto a lei dos senos e mostraremos sua fórmula e alguns exemplos de cálculos.
Fórmula que representa a lei dos senos:
   a    =    b    =    c     
senA    senB    senC 
Na lei dos senos, utilizamos relações que envolvem o seno do ângulo e a medida oposta ao ângulo.
Exemplos:
1º) Determine o valor de x no triângulo a seguir.
sen120º = sen(180º – 120º) = sen60º = √3 ou 0,865
                                             2
sen45º = √2 ou 0,705
2
    x     =    100    
sen60°    sen45°
   x   =  100  
0,866  0,707 
0,707x = 86,6
x = 122,5
2º) No triângulo a seguir, temos dois ângulos (45º e 105º, respectivamente), e um dos lados mede 90 metros. Com base nesses valores, determine a medida de x.
Para determinar a medida de x, devemos utilizar a lei dos senos, mas, para isso, precisamos descobrir o valor do terceiro ângulo do triângulo. Para tal cálculo, utilizaremos a seguinte definição: a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.
α + 105º + 45º = 180º
α + 150º = 180º
α = 180º – 150º
α = 30º
Agora vamos aplicar a lei dos senos:
   x    =   90   
sen45°  sen30°
   x    =   90   
0,707      0,5  
0,5x = 63,63
x = 127,26
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
MATEMÁTICA
Lei dos Senos
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A Lei dos Senos é uma das leis da Trigonometria, área da matemática que estuda as relações entre as medidas dos lados de um triângulo, formado por dois catetos (oposto e adjacente) e uma hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto).
Para tanto, segundo o Teorema de Pitágoras, no triângulo, a soma dos quadrados de seus catetos corresponde ao quadrado de sua hipotenusa, representado pelo fórmula:
a² = b² + c².
A partir disso, vale lembrar que na trigonometria, o seno corresponde à proporção entre o comprimento do cateto oposto a este ângulo e o comprimento da hipotenusa, representado pela expressão:
Sen= Cateto oposto/ Hipotenusa
Já o cosseno, corresponde à proporção entre o comprimento do cateto adjacente e o comprimento da hipotenusa, representado pela expressão:
Cos= Cateto adjacente/ Hipotenusa
Lei dos Senos
A Lei ou o Teorema dos Senos, determina que num triângulo, a relação do seno de um ângulo é sempre proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo.
Em outras palavras, esse teorema demostra que num mesmo triângulo a razão entre o valor de um lado e o seno de seu ângulo oposto será sempre constante.
Assim, para um triângulo ABC de lados a, b, c, a Lei dos Senos é representada pela seguinte fórmula:
Importante ressaltar que nos triângulos que não sejam retângulos (com ângulo interno de 90º), sejam os acutângulos (ângulos menor que 90º) ou obtusângulos (ângulos maiores que 90º), utilizamos as Leis dos Senos e a Lei dos Cossenos.
Seno, Cosseno e Tangente
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Seno, Cosseno e Tangente são funções trigonométricas dos triângulos retângulos, os quais possuem um ângulo interno de 90º.
Representação de um triângulo retângulo com os catetos e a hipotenusa
Seno (Sen)
É a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa de um triângulo retângulo, conforme a Lei dos Senos.
Esse seguimento do triângulo retângulo é calculado através da fórmula:
Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa.
Cosseno (Cos)
É a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa de um triângulo retângulo, conforme a Lei dos Cossenos.
Esse seguimento do triângulo retângulo é calculado através da fórmula:
Lê-se cateto adjacente sobre a hipotenusa.
Tangente (Tan ou Tg)
É a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente de um triângulo retângulo.
Esse seguimento do triângulo retângulo é calculado através da fórmula:
Lê-se cateto oposto sobre cateto adjacente.
Tabela Trigonométrica
Na tabela trigonométrica consta o valor de cada função trigonométrica para os ângulos de 1º a 90º.
Os ângulos de 30º, 45º e 60º são os mais usados nos cálculos. Por isso, eles são chamados de ângulos notáveis.
	Relações Trigonométricas
	30°
	45°
	60°
	Seno
	1/2
	√2/2
	√3/2
	Cosseno
	√3/2
	√2/2
	1/2
	Tangente
	√3/3
	1
	√3
Como Calcular as Funções Trigonométricas?
Para compreender melhor a aplicação das fórmulas, confira abaixo dois exemplos:
1) Encontre as medidas do seno, cosseno e tangente do ângulo A do triângulo abaixo.
sen = 2/7
sen = 0,29
cos = 6/7
cos = 0,86
tan = 2/6
tang = 0,33
2) Qual a razão trigonométrica do triângulo retângulo abaixo que possui um ângulo de 45º? Note que x é o valor do cateto oposto desse ângulo e sua hipotenusa mede 10 cm.
Observe que temos a medida da hipotenusa e x é o cateto oposto do ângulo de 45º. Logo, a função trigonométrica que envolve essas duas razões é o seno.
De acordo com a tabela trigonométrica, o valor do seno de um ângulo de 45.º é 0,7071. Assim:
sen 45º = x/ 10
0,7071 = x/ 10
0,7071 . 10 = x
x = 7,071
Lei do cosseno
MATEMÁTICA
A lei do cosseno é um conjunto de expressões matemáticas que relaciona lados e ângulos de triângulos que não possuem um ângulo reto.
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A lei dos cossenos é utilizada em triângulos não retângulos
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Utilizamos a lei dos cossenos nas situações que envolvem triângulos não retângulos. Esses triângulos não possuem ângulo reto, portanto, as relações trigonométricas de seno, cosseno e tangente não são válidas. Para determinar valores de medidas de ângulos e de lados, utilizamos a lei doscossenos, que é expressa pela seguinte lei de formação:
a2 = b2 + c2 – 2·b·c·cosθ
b2 = a2 + c2 – 2·a·c·cosβ
c2 = a2 + b2 – 2·a·b·cosα
Triângulo não retângulo para o qual valem as expressões acima
Exemplos
1º) Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do segmento x no triângulo a seguir:
72 = x2 + 32 – 2·3·x·cos60
49 = x2 + 9 – 6·x·0,5
49 = x2 + 9 – 3·x
x2 – 3x – 40 = 0
Aplicando o método resolutivo da equação do 2º grau, temos: x’ = 8 e x” = – 5. Por se tratar de medidas, descartamos x” = –5 e utilizamos x’ = 8. O valor de x no triângulo é 8 cm.
2º) Em um triângulo ABC, temos as seguintes medidas: AB = 6 cm, AC = 5 cm e BC = 7 cm. Determine a medida do ângulo A.
Vamos construir o triângulo com as medidas fornecidas no exercício:
Aplicando a lei dos cossenos, temos:
a = 7, b = 6 e c = 5
7² = 6² + 5² – 2 * 6 * 5 * cos A
49 = 36 + 25 – 60 * cos A
49 – 36 – 25 = –60 * cos A
–12 = –60 * cos A
12 = 60 * cos A
12/60 = cos A
cos A = 0,2
O ângulo que possui cosseno com valor aproximado de 0,2 mede 78º.
3º) Calcule a medida da maior diagonal do paralelogramo da figura a seguir utilizando a lei doscossenos.
cos 120º = –cos(180º – 120º) = – cos 60º = – 0,5
x² = 5² + 10² – 2 * 5 * 10 * ( – cos 60º)
x² = 25 + 100 – 100 * (–0,5)
x² = 125 + 50
x² = 175
√x² = √175
x = √5² * 7
x = 5√7
Portanto, a diagonal do paralelogramo mede 5√7 cm.
 
MATEMÁTICA
Lei dos Cossenos
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A Lei dos Cossenos estabelece que:
"em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles."
Fórmula
Sua fórmula é representada da seguinte maneira:
O Teorema de Pitágoras propõe que"a soma dos quadrados de seus catetos corresponde ao quadrado de sua hipotenusa", representado pelo fórmula: a² = b² + c².
Com a Lei dos Cossenos podemos calcular em qualquer tipo de triângulo, não necessariamente o triângulo retângulo (com ângulo interno de 90 graus), o comprimento dos lados de um triângulo.
Isso, desde que você conheça a medida dos outros lados, bem como do ângulo oposto a ele.
Além disso, se souber o comprimento dos lados, a aplicação da Lei dos Cossenos também permite calcular todos os ângulos de um triângulo.
Dessa forma, quando se trata de um triângulo diferente do triângulo retângulo (com ângulo interno de 90º), sejam os acutângulos (ângulos menor que 90º) ou obtusângulos (ângulos maiores que 90º), utilizamos as: "Lei do Seno" e a "Lei do Cosseno".
Exercício Resolvido
Calcule a medida do ângulo A, utilizando a Lei dos Cossenos de um triângulo ABC, de medidas AB=6cm, AC=5cm, BC=7cm.
a2= b2 + c2-2b.c.cos Â
7² = 6² + 5² – 2 . 6 . 5 . cos Â
49 = 36 + 25 – 60 . cos Â
49 – 36 – 25 = – 60 . cos Â
–12 = –60 . cos Â
12 = 60 . cos Â
12/60 = cos Â
cos  = 0,2
Portanto, o ângulo  que possui cosseno de 0,2 e mede 78º.