SEMANA 2 - enunciados

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Novo Mo´dulo de MD 2016 Unidade 1
Matema´tica Discreta
To´picos da Linguagem e da Lo´gica Matema´ticas
Texto da Semana 2, Parte 1
Enunciados
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o 1
2 Enunciados 2
2.1 Observac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Formac¸a˜o de enunciados por meio de conectivos 4
3.1 Observac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1 Introduc¸a˜o
Em Matema´tica, lidamos com objetos abstratos — nu´meros, figuras, etc. — e
fazemos determinadas afirmac¸o˜es sobre eles. Estas afirmac¸o˜es podem estar corretas,
ou na˜o.
As afirmac¸o˜es sobre os objetos matema´ticos sa˜o expressas por meio de enuncia-
dos.
Um enunciado pode ser classificado de acordo com a sua estruturas lo´gica ou de
acordo com o seu valor lo´gico.
Por exemplo, alguns enunciados teˆm uma estrutura lo´gica simples, como:
o dobro de 2 e´ par
enquanto outros teˆm uma estrutura lo´gica mais complexa, como:
2 e´ par ou o dobro de 2 na˜o e´ par
ou
o dobro de todo nu´mero par e´ par
Quanto aos seus valores lo´gicos, todos os enunciados acima sa˜o verdadeiros.
Ale´m de serem usados para expressar afirmac¸o˜es, em Matema´tica, os enunciados
tambe´m sa˜o empregados para justificar se outros enunciados sa˜o verdadeiros, ou
na˜o.
Por exemplo, o enunciado:
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todo triaˆngulo cujos lados a, b e c satisfazem
a` equac¸a˜o a2 + b2 = c2 e´ retaˆngulo
pode ser usado para justificar que o enunciado
o triaˆngulo de lados 3, 4 e 5 e´ retaˆngulo
e´ verdadeiro. Ja´ o enunciado
todo triaˆngulo retaˆngulo tem lados a, b e c que
satisfazem a` equac¸a˜o a2 + b2 = c2
pode ser usado para justificar que o enunciado
o triaˆngulo de lados 3, 4 e 6 e´ retaˆngulo
na˜o e´ verdadeiro.
Expressar afirmac¸o˜es por meio de enunciados e justificar enunciados verdadeiros
por meio de outros enunciados e´ a esseˆncia da atividade matema´tica. Por esta raza˜o,
o estudo dos enunciados contribui para a formac¸a˜o de todos aqueles que se interessam
por esta mate´ria. Nas aulas de Linguagem e Lo´gica Matema´tica, vamos estudar
os enunciados, suas propriedades e inter-relac¸o˜es. Em particular, vamos abordar
certas peculiaridades sobre a afirmac¸a˜o de enunciados e do seu uso na justificativa
da veracidade de outros enunciados.
Especificamente, neste texto, vamos abordar os conceitos de enunciado (Sec¸a˜o 2)
e de conectivo lo´gico (Sec¸a˜o 3). Ale´m disso, vamos estudar a formac¸a˜o de enunci-
ados por meio dos conectivos lo´gicos (Sec¸a˜o 3). Depois de estudarmos este texto,
vamos ser capazes de classificar certas frases como enunciados (Exerc´ıcios 1 e 2);
e reescrever os enunciados de uma maneira mais adequada, usando os conectivos
lo´gicos (Exerc´ıcios 3, 4, 5 e 6).
2 Enunciados
Em um n´ıvel introduto´rio, a Lo´gica estuda a avaliac¸a˜o e a formac¸a˜o dos enun-
ciados:
Um enunciado e´ uma frase que pode ser avaliada como verdadeira ou falsa,
de maneira exclusiva, em um dado contexto.
Exemplo 1 (a) As frases
1 e´ um nu´mero par
o c´ırculo de raio 1 tem a´rea 2pi
se x e´ par, enta˜o x2 e´ par
o eixo 0x e´ paralelo ao eixo 0y
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sa˜o enunciados (pertencentes a va´rios contextos matema´ticos distintos).
(b) As frases
1
o c´ırculo de raio 1
x
2pi
x2
o eixo 0x
o eixo 0y
na˜o sa˜o enunciados.
2.1 Observac¸a˜o
Observac¸a˜o 1 Enunciados tambe´m sa˜o chamados de sentenc¸as ou proposic¸o˜es.
Observac¸a˜o 2 Ale´m de enunciados envolvendo conteu´dos matema´ticos, considera-
mos tambe´m enunciados sobre va´rios outros conteu´dos.
Por exemplo, as frases:
H2O e´ a´gua
herb´ıvoros e carn´ıvoros vivem juntos
se ela e´ carioca, enta˜o ela e´ brasileira
todo homem e´ mortal.
sa˜o enunciados.
Fazendo isto, somos capazes de aplicar os conceitos, te´cnicas e resultados da
Lo´gica na˜o so´ na Matema´tica mas, tambe´m, nos outros ramos do conhecimento e
no dia-a-dia.
2.2 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1 Classifique cada frase abaixo como enunciado ou na˜o.
(i) 2 e´ primo (ii) meu primo
(iii) x e y (iv) Joa˜o e Maria sa˜o casados
(v) 2× 3 e´ 7 (vi) 2× n e´ par
(vii) o sucessor de 2012 (viii) o sucessor dele e´ uma mulher
(ix) (x, y) esta´ no primeiro quadrante (x) reconhecer enunciados e´ dif´ıcil
Exerc´ıcio 2 Classifique como enunciado ou na˜o:
(i) o menor nu´mero inteiro que e´ par e esta´ entre 1 e 10
(ii) o menor nu´mero inteiro que e´ par esta´ entre 1 e 10
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Antes de ler as resoluc¸o˜es, tente resolver os exerc´ıcios usando os
conceitos estudados.
Resoluc¸a˜o do Exerc´ıcio 1: (i) Enunciado. A frase pode ser classificada como verdadeira. (ii)
Na˜o e´ enunciado. A frase pode ser usada para denotar uma pessoa. (iii) Na˜o e´ enunciado. A frase
pode ser usada para denotar um par de objetos. (iv) Enunciado. A frase pode ser classificada
como verdadeira ou falsa. (v) Enunciado. A frase pode ser classificada como falsa. (vi) Enunciado.
A frase pode ser classificada como verdadeira ou falsa. (vii) Na˜o e´ enunciado. A frase pode
ser usada para denotar o nu´mero 2013. (viii) Enunciado. A frase pode ser classificada como
verdadeira ou falsa. (ix) Enunciado. Dependendo dos valores de x e y, a frase pode ser classificada
como verdadeira ou falsa. (x) Enunciado. A frase pode ser classificada como verdadeira ou falsa.
Resoluc¸a˜o do Exerc´ıcio 2: (i) Apesar das apareˆncias, na˜o e´ um enunciado. A frase pode ser
usada para se referir ao nu´mero 2. (ii) Enunciado. A frase pode ser classificada como verdadeira.
3 Formac¸a˜o de enunciados por meio de conectivos
Ale´m de poderem ser classificados com verdadeiros ou falsos, de maneira ex-
clusiva em um dado contexto, os enunciados podem ser combinados entre si
para formar enunciados estruturalmente mais complexos.
Na Linguagem Matema´tica, a formac¸a˜o de enunciados estruturalmente mais com-
plexos a partir de outros enunciados se da´ pela aplicac¸a˜o de certas part´ıculas especifi-
camente reservadas para este fim. Inicialmente, consideraremos apenas as part´ıculas
na˜o e´ o caso que
e
ou
se . . . , enta˜o
se, e somente se,
e algumas de suas variantes. Posteriormente, vamos considerar tambe´m as part´ıculas
para todos
existe ao menos um
e algumas de suas variantes.
As part´ıculas
na˜o e´ o caso que , e , ou , se . . . , enta˜o e se, e somente se,
sa˜o chamadas de conectivos lo´gicos, quando sa˜o usadas na formac¸a˜o de
enunciados da maneira que vamos especificar a seguir.
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Negac¸o˜es
Uma negac¸a˜o e´ um enunciado obtido pela aplicac¸a˜o da part´ıcula
na˜o e´ o caso que
a um u´nico enunciado.
Exemplo 2 A negac¸a˜o do enunciado
eles comec¸aram a fazer perguntas interessantes
e´ o enunciado
na˜o e´ o caso que eles comec¸aram a fazer perguntas interessantes
�
Como e´ usual, sempre que poss´ıvel, negamos um enunciado escrevendo a part´ıcula
na˜o
junto ao verbo.
Exemplo 3 (a) A negac¸a˜o do enunciado
x e´ igual a 0
e´ o enunciado
x na˜o e´ igual a 0.
(b) A negac¸a˜o do enunciado
x e´ igual a 1
e´ o enunciado
x na˜o e´ igual a 1.
(c) A negac¸a˜o do enunciado
x tem divisores pro´prios diferentes de 1
e´ o enunciado
x na˜o tem divisores pro´prios diferentes de 1.
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Conjunc¸o˜es
Uma conjunc¸a˜o e´ um enunciado obtido pela aplicac¸a˜o da part´ıcula
e
a dois enunciados (na˜o necessariamente distintos).
Exemplo 4 A conjunc¸a˜o de
Plata˜o e´ grego
com
Aristo´teles e´ grego
e´ o enunciado
Plata˜o e´ grego e Aristo´teles e´ grego.
�
Como e´ usual, fazemos a conjunc¸a˜ode va´rios enunciados escrevendo repetidas
vezes a part´ıcula
e
entre eles.
Exemplo 5 A conjunc¸a˜o dos enunciados
x na˜o e´ igual a 0
x na˜o e´ igual a 1
x na˜o tem divisores pro´prios diferentes de 1
e´ o enunciado
x na˜o e´ igual a 0 e x na˜o e´ igual a 1 e x na˜o
tem divisores pro´prios diferentes de 1
Disjunc¸o˜es
Uma disjunc¸a˜o e´ um enunciado obtido pela aplicac¸a˜o da part´ıcula
ou
a dois enunciados (na˜o necessariamente distintos).
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Exemplo 6 (a) A disjunc¸a˜o do enunciado
a reta toca o c´ırculo em um u´nico ponto
com o enunciado
a reta toca o c´ırculo em um nu´mero infinitos de pontos
e´ o enunciado
a reta toca c´ırculo em um u´nico ponto ou a reta toca
o c´ırculo em um nu´mero infinitos de pontos.
(b) A disjunc¸a˜o do enunciado
o triaˆngulo e´ retaˆngulo
com o enunciado
o triaˆngulo tem dois lados iguais
e´ o enunciado
o triaˆngulo e´ retaˆngulo ou o triaˆngulo tem dois lados iguais.
�
Como e´ usual, fazemos a disjunc¸a˜o de va´rios enunciados escrevendo repetidas
vezes a part´ıcula
ou
entre eles.
Exemplo 7 A disjunc¸a˜o dos enunciados
o nu´mero e´ mu´ltiplo de 2
o nu´mero e´ mu´ltiplo de 3
o nu´mero e´ mu´ltiplo de 5
e´ o enunciado
o nu´mero e´ mu´ltiplo de 2 ou o nu´mero e´ mu´ltiplo
de 3 ou o nu´mero e´ mu´ltiplo de 5
Implicac¸o˜es
Uma implicac¸a˜o e´ um enunciado obtido pela aplicac¸a˜o da part´ıcula
se . . . , enta˜o
a dois enunciados (na˜o necessariamente distintos).
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Exemplo 8 (a) A implicac¸a˜o do enunciado
a reta toca c´ırculo em um u´nico ponto ou a reta
toca o c´ırculo em um nu´mero infinitos de pontos
pelo enunciado
a reta toca o c´ırculo
— observe a ordem em que os enunciados sa˜o mencionados — e´ o enunciado
se a reta toca o c´ırculo, enta˜o: a reta toca o c´ırculo
em um u´nico ponto ou a reta toca o c´ırculo em um
nu´mero infinitos de pontos
(b) A implicac¸a˜o do enunciado
o triaˆngulo e´ retaˆngulo ou o triaˆngulo tem dois lados iguais
pelo enunciado
o triaˆngulo e´ a metade de um quadrado
— observe a ordem em que os enunciados sa˜o mencionados — e´ o enunciado
se o triaˆngulo e´ a metade de um quadrado, enta˜o: o triaˆngulo
e´ retaˆngulo ou o triaˆngulo tem dois lados iguais
Bi-implicac¸o˜es
Uma bi-implicac¸a˜o e´ um enunciado obtido pela aplicac¸a˜o da part´ıcula
se, e somente se
a dois enunciados (na˜o necessariamente distintos).
Exemplo 9 A bi-implicac¸a˜o do enunciado
x e´ primo
com o enunciado
x na˜o e´ igual a 0 e x na˜o e´ igual a 1, e
x na˜o tem divisores pro´prios diferentes de 1
e´ o enunciado
x e´ primo
se, e somente se:
x na˜o e´ igual a 0 e x na˜o e´ igual a 1, e
x na˜o tem divisores pro´prios diferentes de 1
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3.1 Observac¸o˜es
Observac¸a˜o 3 A ordem em que os enunciados ocorrem escritos na formac¸a˜o de
um outro enunciado pode ser relevante. Isto e´, em geral, quando trocamos a ordem
das ocorreˆncias dos enunciados usados na formac¸a˜o de um enunciado, nem sempre
obtemos um enunciado com o mesmo significado que o enunciado original.
Por exemplo, se estamos nos referindo a nu´meros reais, a implicac¸a˜o
se x e´ positivo, enta˜o x2 e´ positivo
na˜o tem o mesmo significado que a implicac¸a˜o
se x2 e´ positivo, enta˜o x e´ positivo.
De fato, a primeira implicac¸a˜o e´ verdadeira, qualquer que seja o nu´mero real que
x assume como valor, enquanto que a segunda e´ falsa, quando x assume como valor
um nu´mero negativo.
Observac¸a˜o 4 O nu´mero de vezes em que um enunciado ocorre na formac¸a˜o de um
outro enunciado pode ser relevante. Isto e´, em geral, quando “simplificamos” um
enunciado, eliminando ocorreˆncias repetidas de enunciados usados na sua formac¸a˜o,
nem sempre obtemos um enunciado com o mesmo significado que o enunciado ori-
ginal.
Por exemplo, a implicac¸a˜o
se Mariana esta´ acessando a Internet, enta˜o Mariana esta´ acessando a Internet
na˜o tem o mesmo significado que o enunciado
Mariana esta´ acessando a Internet.
De fato, a implicac¸a˜o e´ verdadeira em qualquer contexto, enquanto que o enun-
ciado pode ser verdadeiro em alguns contextos e falso em outros.
3.2 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 3 Reescreva cada enunciado abaixo como uma negac¸a˜o:
(i) na˜o se da´ que 3 seja um quadrado perfeito
(ii) e´ mentira que ele estudou a mate´ria
(iii) 1 6= 0
(iv) eu gostar de novela, na˜o acontece
(v) 2 e´ par
Exerc´ıcio 4 Reescreva cada enunciado abaixo como uma conjunc¸a˜o:
(i) 6 e 28 sa˜o ı´mpares
(ii) Ce´lia, Joa˜o e Ricardo sa˜o estudiosos
(iii) (−2)2 e´ inteiro, positivo, e par
(iv) eu fui a` praia mas na˜o fiquei no sol
(v) ela na˜o fez boa prova, tambe´m, na˜o estudou a mate´ria
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Exerc´ıcio 5 Reescreva cada enunciado abaixo como uma implicac¸a˜o:
(i) x e´ ı´mpar se na˜o e´ par
(ii) caso chova, no´s ficaremos molhados
(iii) det(M) 6= 0 implica que M e´ invert´ıvel
(iv) quando faz sol eu vou a` praia
(v) se o gol acontece, a comemorac¸a˜o tambe´m
Exerc´ıcio 6 Reescreva cada enunciado abaixo usando os conectivos lo´gicos:
(i) Carlos ou Vera passara´ no concurso
(ii) T e´ um triaˆngulo, a menos que seja um quadrado
(iii) no caso de haver a´gua, eu tomarei banho
(iv) x2 ser par e´ suficiente para x ser ı´mpar
(v) e´ dado que x e´ natural e da´ı temos que x e´ positivo
Antes de ler as resoluc¸o˜es, tente resolver os exerc´ıcios usando os
conceitos estudados.
Resoluc¸a˜o do Exerc´ıcio 3: (i) 3 na˜o e´ um quadrado perfeito. (ii) ele na˜o estudou a materia. (iii)
1 na˜o e´ igual a 0. (iv) eu na˜o gosto de novela. (v) 2 na˜o e´ ı´mpar. Resoluc¸a˜o do Exerc´ıcio 4: (i)
6 e´ ı´mpar e 28 e´ ı´mpar. (ii) Ce´lia e´ estudiosa e Joa˜o e´ estudioso e Ricardo e´ estudioso. (iii) (−2)2 e´
inteiro e (−2)2 e´ positivo e (−2)2 e´ par. (iv) eu fui a` praia e eu na˜o fiquei no sol. (v) ela na˜o fez boa
prova e ela na˜o estudou a mate´ria. Resoluc¸a˜o do Exerc´ıcio 5: (i) se x na˜o e´ par, enta˜o x e´ ı´mpar.
(ii) se chove, enta˜o no´s ficamos molhados. (iii) se det(M) na˜o e´ igual a 0, enta˜o M e´ invert´ıvel. (iv)
se faz sol, enta˜o eu vou a` praia. (v) se o gol acontece, enta˜o a comemorac¸a˜o acontece. Resoluc¸a˜o
do Exerc´ıcio 6: (i) Carlos passa no concurso ou Vera passa no concurso. (ii) se T e´ um quadrado,
enta˜o T na˜o e´ um triaˆngulo. (iii) se ha´ a´gua, enta˜o eu tomo banho. (iv) se x2 e´ par, enta˜o x e´ ı´mpar.
(v) x e´ natural e: se x e´ natural, enta˜o x e´ positivo.
c© 2016 Ma´rcia Cerioli e Petrucio Viana
Coordenac¸a˜o da Disciplina MD/CEDERJ-UAB
Atualizado em 31 de janeiro de 2016.
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