Espaço Vetorial Linear

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Espaço Vetorial
Daniel Arruda
2 de Maio de 2019
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A noção de espaço vetorial (também conhecido como espaço linear) constitui o objeto
de estudo da álgebra linear. Começo trazendo uma definição formal do assunto, apresen-
tando seus axiomas, deduzindo suas consequências mais imediatas e exibindo os exemplos
mais fundamentais dessa noção.
1 Definição
Em alguns livros textos de álgebra linear, um espaço vetorial é definido normalmente
como: "Um conjunto de elementos (vetores) fechado em relação às operações de adição
e de multiplicação, e para o qual certas propriedades definidas para essas operações se
aplicam".
Esta definição se encontra errada devido a que primeiramente espaço vetorial não é
um conjunto e segundo que não existe nenhum conjunto cujos elementos são chamados
de vetores.
A verdadeira natureza de um espaço vetorial é a de uma estrutura. Tanto que é
formalmente conhecida como uma estrutura algébrica . E para construirmos algo sob
tais estruturas, iremos necessitar de algumas ferramentas; mais precisamente de quatro
ferramentas:
• Um conjunto V de elementos(vetores);
• Um corpo K (Pertencentes aos Q, R, C, Z2 ou Zp);
• Uma operação fechada sobre os elementos de V, a qual chamaremos de adição e
denotaremos por +; assim: (˜V × V → V ) : (u+ v) ∈ V, ∀u,v ∈ V
• Uma operação fechada entre um número de K e um elemento de V, a qual cha-
maremos de multiplicação por escalar e denotaremos por ·.; assim: (K× V → V ) :
(λ · u) ∈ V, ∀u ∈ V e λ ∈ K
Por tanto, espaço vetorial é uma estrutura (V,+, ·) formada por um conjunto V de
elementos fechado em relação às operação de adição de elementos de V e fechado a ope-
rações de multiplicação de elementos de V por escalares de um corpo K, satisfazendo os
seguintes axiomas (exigências):
Axiomas para a adição. Para quaisquer u, v e w, elementos de V , devemos ter:
A1) u+ v = v + u (Comutativa)
A2) (u+ v) + w = u+ (v + w) (Associativa)
A3) Existe em V um elemento, denotado por 0∗, detentor da seguinte propriedade:
u+ 0 = u; ∀u ∈ V (Elemento neutro)
A4) Para todo elemento u de V existe um outro elemento de V , denotado por −u,
detentor da seguinte propriedade:
u+ (−u) = 0 (Elemento oposto)
∗
Importante: Escolhemos o �zero em negrito� para representar o vetor nulo (que está em
V ), com o objetivo de distingui-lo do número 0 que está em K.
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OBS.: Ao se definir um espaço vetorial, não é necessário especificar a natureza dos
elementos
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nem dizer como se realizam entre elas as operações acabadas de referir. Em
vez disso, exige-se que as operações gozem de certas propriedades que se tomam como
axiomas do espaço vetorial.
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Em qualquer conjunto temos meros elementos, agora ao construirmos uma estrutura
de espaço vetorial sobre um tal conjunto então seus elementos adquirem o status de ve-
tores.
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1.0.1 Axiomas do espaço vetorial
Os dez axiomas do espaço vetorial foram divididos em três grupos: axiomas de fecho,
axiomas para adição e axiomas para multiplicação por números.
Axiomas de fecho
• Axioma 1 Fecho a respeito das operações de adição: A soma de um par de elementos
x, y ∈ V, corresponde a um elemento que também ∈ V.
• Axioma 2 Fecho a respeito da multiplicação por número real: A multiplicação de
um escalar(real) λ por um elemento de V, corresponde a um elemento que também
∈ V.
Axiomas para adição
• Axioma 3 Para todo o x e y de V, tem-se x+ y = y+ x. (propriedade comutativa)
• Axioma 4 Para todo o x, y e z de V, tem-se x+ (y+ z) = (x+ y) + z (propriedade
associativa)
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2 Notações utilizadas
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Referências
1. Álgebra linear aplicada a finanças, economia e econometria. Autor: Manuel Alcino
R. Da Fonseca. 1
o
Edição. Ano 2003.
2. Álgebra linear. Autores: Sueli I. Rodrigues Costa, Vera Lúcia Figueiredo, Henry G.
Wetzler e José Luiz Boldrini. 3
o
Edição. Ano 1986.
3. Álgebra linear. Autor: Elon Lages Lima. 9
o
Edição. Ano 2018.
4. Álgebra linear. Autores: Kenneth Hoffman e Ray Kunze. Ano 1971.
5. Finite-dimensional vector spaces. Paul Halmos
6. A. I. KOSTRIKIN AND Yu. I. MANIN
7. Linear Algebra and Its Applications by Peter Lax
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