EES024_Aula12_MetodoDosDeslocamentos

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EES024 - Análise Estrutural II
Aula 12: Método dos deslocamentos
Profs. Gabriel O. Ribeiro, Lapo Gori e Ramon P. Silva
Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)
Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs)
1o semestre 2019
(notas do Prof. Rodrigo Peixoto)
Introdução
Como já dito anteriormente, o método dos deslocamentos baseia-se na su-
perposição de efeitos de sistemas estruturais cinematicamente determina-
dos, ou seja, com configurações deformadas conhecidas, que satisfazem as
condições de compatibilidade, mas não satisfazem individualmente as condições
de equilíbrio da estrutura original. Estas últimas são recuperadas após a su-
perposição.
Consideremos o pórtico hiperestático (GIE = 2) da figura abaixo.
Os deslocamentos e rotações dos nós superiores, assim como a rotação do
nó inferior à direita, são desconhecidos. Portanto, para se obter os ditos sis-
temas cinematicamente determinados, faz-se uso de uma estrutura auxiliar
definida pela introdução de novos vínculos. A tal estrutura auxiliar, dá-se o
nome de Sistema Hipergeométrico (SH).
Introdução
Os casos básicos que compõem o processo de superposição correspondem à
aplicação individual das cargas externas e das deslocabilidades no sistema
global da estrutura, definidas formalmente por:
Di → deslocabilidade global: componente de deslocamento ou rotação
em um nó da estrutura, na direção de um dos eixos globais.
Metodologia de análise
Vamos considerar o seguinte pórtico plano, com três deslocabilidades globais:
Todas as barras com:
A = 1, 2 x 10−2 m2
I = 1, 2 x 10−3 m4
E = 1, 2 x 107 kN/m2
Como há um (e apenas um) nó total-
mente livre, o SH é definido a partir
do travamento deste nó em seus três
graus de liberdade.
Ou seja, são incluídos três vínculos.
Observe que neste caso, o número de vínculos acrescentados corresponde ao GIE.
Entretanto, isso não é uma regra geral.
Diferentemente do método das forças, onde há mais de uma escolha possível quanto
aos vínculos a serem eliminados, no método dos deslocamentos não se tem tal liber-
dade. Isso, no entanto, torna o método mais acessível às implementações computa-
cionais.
Metodologia de análise
Sistema Hipergeométrico (SH):
Observe que serão estabelecidos, agora, 4 casos básicos:
• Caso (0): aplicação das cargas externas ao SH;
• Casos (j): aplicação individual de uma deslocabilidade global Dj ao
SH.
Assim, em cada um desses casos surgirão reações de apoio no nó recém blo-
queado que não deveriam existir na estrutura original, violando suas condições
de equilíbrio.
A ideia é encontrar os valores deDj que, na superposição dos 4 casos, resta-
beleçam as condições de equilíbrio.
Metodologia de análise
Caso (0): efeito das cargas externas
Caso (0): quais são as reações de apoio que surgem nas restrições intro-
duzidas (fictícias), em função das cargas externas?
βi0 → termos de carga: reação de apoio associada à deslocabilidade
global Di em função das cargas externas.
Tais termos, podem ser obtidos pelas soluções fundamentais estudadas
anteriormente, mais especificamente, pelas reações de apoio de barras
engastadas.
Metodologia de análise
Caso (0): efeito das cargas externas
Relembrando:
Assim:
β10 = 0 β20 =
(5 kN/m)(6 m)
2
= 15 kN β30 =
(5 kN/m)(6 m)2
12
= 15 kN m
Metodologia de análise
Casos (j): efeito da deslocabilidade Dj
Kij → coeficientes de rigidez globais: força ou momento que deve atuar
na direção de Di, provocado por Dj = 1.
Tais coeficientes são obtidos dos coeficientes de rigidez locais (o outro tipo
de solução fundamental apresentado anteriormente), a partir de um processo
de transformação de coordenadas, conforme será detalhado nas próximas
aulas.
Caso (1): quais são as reações, associadas aos vínculos acrescentados,
provocados por D1 unitário?
K11 = +35252, 7 kN/m
K21 = +13160, 4 kN/m
K31 = +2764, 8 kN ·m/m
Deve-se notar que os coeficientes de rigidez globais têm unidade de força ou
momento pela unidade do deslocamento generalizado que os provoca.
Metodologia de análise
Casos (j): efeito da deslocabilidade Dj
Caso (2): quais são as reações, associadas aos vínculos acrescentados,
provocados por D2 unitário?
K12 = +13160, 4 kN/m
K22 = +19729, 7 kN/m
K32 = +326, 4 kN ·m/m
Caso (3): quais são as reações, associadas aos vínculos acrescentados,
provocados por D3 unitário?
K13 = +2764, 8 kN
K23 = +326, 4 kN
K33 = +21120, 0 kN ·m
Metodologia de análise
Restabelecimento das condições de compatibilidade
Metodologia de análise
Restabelecimento das condições de compatibilidade
Como não existem os vínculos no nó interior, deve-se ter:
Somatório das forças horizontais:
β10 +K11D1 +K12D2 +K13D3 = 0
Somatório das forças verticais:
β20 +K21D1 +K22D2 +K23D3 = 0
Somatório dos momentos:
β30 +K31D1 +K32D2 +K33D3 = 0
Reescrevendo este sistema algébrico em notação matricial:
β10
β20
β30
+
K11 K12 K13K21 K22 K23
K31 K32 K33

︸ ︷︷ ︸
Matriz de rigidez global

D1
D2
D3
 =

0
0
0
 ⇒ {β0}+ [K]{D} = {0}
Metodologia de análise
Restabelecimento das condições de compatibilidade
Substituindo os valores e resolvendo:

35252, 7 kN/m 13160, 4 kN/m 2764, 8 kN
13160, 4 kN/m 19729, 7 kN/m 326, 4 kN
2764, 8 kN ·m/m 326, 4 kN ·m/m 21120 kN ·m


D1
D2
D3
 =

0
−15 kN
−15kN ·m

∴ D1 = 0, 4504 x 10−3 m D2 = −1, 0480 x 10−3 m D3 = −0, 7530 x 10−3
Notar os sinais obtidos.
Metodologia de análise
Esforços internos
Complementa-se a análise, determinando as reações de apoio e os esforços
internos resultantes:
R = R0 +R1D1 +R2D2 +R3D3
M =M0 +M1D1 +M2D2 +M3D3
Q = Q0 +Q1D1 +Q2D2 +Q3D3
N = N0 +N1D1 +N2D2 +N3D3
Metodologia de análise
Generalização
Admitindo uma estrutura com n deslocabilidades globais:
βi0 +
n∑
j=1
KijDj = 0, (i = 1, · · · , n)
K11 · · · K1n... . . . ...
Kn1 · · · Knn


D1
...
Dn
 = −

β10
...
βn0
 ⇒ [K]{D} = −{β0}
onde a matriz de rigidez global é simétrica, i.e.,
Kij = Kji
Após o cálculo do vetor de deslocabilidades, {D}, os esforços internos po-
dem ser obtidos por:
N = N0 +
n∑
k=1
NkDk, Q = Q0 +
n∑
k=1
QkDk, M =M0 +
n∑
k=1
MkDk
No caso das grelhas, não há esforço axial, mas seriam incluídos diagramas
de torção.
Leitura recomendada
• Livro Análise de Estruturas: conceitos e métodos básicos, Luiz
Fernando Martha, 2a. ed., Elsevier Editora Ltda., Rio de Janeiro, 2017:
Capítulo 10 (seções 10.1 a 10.4)
	Introdução
	Metodologia de análise
	Caso (0): efeito das cargas externas
	Casos (j): efeito da deslocabilidade Dj
	Restabelecimento das condições de equilíbrio
	Esforços internos
	Generalização
	Leitura recomendada