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80 FI S - Re vi sã o: V íto r - D ia gr am aç ão : F ab io - 0 1/ 12 /2 01 6 Unidade II Unidade II 5 ÓRBITA PLANETÁRIA 5.1 Leis de Kepler O próximo passo de Newton foi usar a sua teoria da gravitação para explicar e deduzir as órbitas dos planetas ao redor do Sol. As leis que regem esses movimentos haviam sido obtidas anos antes por meio de um longo trabalho de observação astronômica e análise de dados, realizado pelo astrônomo alemão Johannes Kepler. Além dos informes coletados por ele mesmo, Kepler dispunha de uma extensiva coleção de resultados de observações feitas por um astrônomo da época, Tycho Brahe, que havia morrido precocemente anos antes. 5.1.1 Primeira lei de Kepler Como resultado da análise dos dados de posicionamento dos planetas, Kepler buscou ajustar uma série de possíveis trajetórias para descrever o movimento dos planetas ao redor do Sol. Após muitos insucessos, verificou que uma elipse se ajustava perfeitamente à órbita de Marte quando o Sol era colocado sob um dos focos. Assim, Kepler supôs que todos os outros planetas realizavam o mesmo tipo de órbita, enunciando: “As órbitas dos planetas são elipses com o Sol localizado em um dos focos”. Essa lei também é conhecida como lei das órbitas. Uma elipse é uma linha curva fechada que corresponde a um corte transversal de uma superfície cônica, realizado por um plano inclinado em relação à base desse cone. Se o plano do corte for paralelo à base, então a curva resultante é uma circunferência, que pode ser considerada um caso particular de uma elipse. Cone duplo Circunferência Elipse Parábola Hipérbole Figura 28 – Secções cônicas 81 FI S - Re vi sã o: V íto r - D ia gr am aç ão : F ab io - 0 1/ 12 /2 01 6 GRAVITAÇÃO Outra definição equivalente de uma elipse é que ela é a curva fechada para a qual a soma das distâncias de cada um de seus pontos (até dois pontos) em seu interior é constante. Esses dois pontos no interior da elipse são os focos. Em outras palavras, na figura a seguir, se as posições X e Y são duas possíveis posições de um planeta em sua órbita ao redor do Sol, sendo essa órbita uma elipse, devemos ter a+b=c+d. Y X C d a b F1F2 Figura 29 – Órbita elíptica destacando os focos da elipse Para desenhar uma elipse, podemos realizar o seguinte procedimento: fixam-se dois pregos em uma placa de madeira, em seguida, pegamos um barbante e amarramos suas pontas. Colocamos, então o barbante já amarrado em volta dos dois pregos e a seguir uma caneta dentro da curva fechada pelo barbante. Esticamos o barbante puxando a caneta o mais distante possível dos pregos, sem rabiscar a placa. Por fim, riscamos a placa mantendo o barbante esticado até obter o desenho de uma curva fechada. Essa curva será uma elipse e os dois pregos serão os focos dessa elipse. Quanto mais distantes os pregos estiverem um do outro, maior será a excentricidade da elipse, ou seja, mais achatada está será. Se os pregos estiverem próximos, então a elipse terá uma excentricidade menor e será mais parecida com uma circunferência. No caso limite em que um prego foi pregado em cima do outro (o que é equivalente a ter um único prego), então a curva desenhada será uma circunferência. Portanto, uma circunferência é uma elipse de excentricidade zero e também é uma possível órbita planetária de acordo com a primeira lei de Kepler. 5.1.2 Segunda lei de Kepler Esta lei afirma que o movimento dos planetas ao longo de suas órbitas elípticas se dá de tal forma que uma linha imaginária que conecte o planeta ao Sol varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais. Isso significa que a razão entre a área varrida pela linha conectando um planeta ao Sol e o tempo que essa área leva para ser varrida é uma constante. Essa razão se chama velocidade areolar e a expressão matemática da lei enunciada pode ser escrita como: ∆ ∆ ∆ ∆ A t A t constante1 1 2 2 = = 82 FI S - Re vi sã o: V íto r - D ia gr am aç ão : F ab io - 0 1/ 12 /2 01 6 Unidade II A1 A2 t1 t2 A1 = A2 se t1 = t2 Figura 30 – Áreas varridas em diferentes intervalos de tempo Para que áreas iguais sejam varridas em intervalos de tempos iguais, a segunda lei estipula que as velocidades dos planetas são maiores quando estes se localizam em posições mais próximas do Sol. Isto é explicado devido à maior força de atração gravitacional nesses casos. 5.1.3 Terceira lei de Kepler A terceira lei de Kepler, cuja conclusão custou a ele quase uma década de trabalho, diz que a razão entre os quadrados dos períodos de revolução de diferentes planetas ao redor do Sol é igual à razão entre os cubos das distâncias médias até o Sol desses mesmos planetas. A expressão matemática dessa lei pode ser escrita da seguinte maneira: T R T R constante1 2 1 3 2 2 2 3= = Assim, isso vale para qualquer par de planetas orbitando o Sol. T2 T1 R2 R1 Figura 31 – Dois planetas com períodos de revolução e raios médios das órbitas diferentes Embora as leis de Kepler tenham sido elaboradas considerando o movimento orbital dos planetas, devemos notar que elas valem para o movimento orbital de corpos quaisquer. Por exemplo, a órbita 83 FI S - Re vi sã o: V íto r - D ia gr am aç ão : F ab io - 0 1/ 12 /2 01 6 GRAVITAÇÃO da Lua ao redor da Terra deve seguir as duas primeiras leis de Kepler. Então, essa órbita deve ser uma elipse com a Terra em um dos focos e ela deve ter uma velocidade areolar constante. Se houver outros satélites, mesmo que sejam artificiais e em órbita ao redor da Terra, da mesma maneira, a terceira lei deve ser respeitada de modo a estabelecer uma relação entre os períodos de revolução e os raios médios das órbitas desses diferentes objetos. O mesmo vale, por exemplo, para as luas de Júpiter ou de Saturno, bem como para os planetas em órbita ao redor de outras estrelas no Universo. Exemplo de aplicação Dados os semieixos das órbitas dos planetas, calcule o tempo de revolução de Saturno (equivalente ao ano neste planeta). O UA representa o que chamamos de unidades astronômicas, assim 1 UA é igual à distância média da Terra ao Sol. Planeta Semieixo * (UA) Terra 1 Marte 1,524 Vênus 0,723 Saturno 9,539 Fonte: Stern (2005). Calcularemos aqui o período de revolução referente a Saturno. Os resultados para os demais planetas são apresentados ao fim, mas deixados como exercícios para você. Sabe-se que o período de revolução da Terra é de 1 ano = 365,25 dias (365 dias mais 6 horas). A partir da terceira lei de Kepler, também é notório que a razão dada a seguir é constante. T R const 2 3 = Desse modo, substituindo as informações conhecidas para a Terra, T = 1 ano e R = 1 UA, calculamos o valor da constante. 1 1 1 2 3 = = const const Conhecendo o valor da constante, podemos utilizá-la para outros planetas. A substituição na terceira lei de Kepler nos fornece a seguinte equação: 84 FI S - Re vi sã o: V íto r - D ia gr am aç ão : F ab io - 0 1/ 12 /2 01 6 Unidade II T R const T R T R 2 3 2 3 2 3 1 = = = No caso de Marte, substituindo o valor do semieixo, teremos: T T T 2 3 2 9 539 867 98 29 46 = = = , , , anos = 29,46 x 365,25 dias = 107660,8 dias Isso significa que um ano em Saturno levará 10.760,8 dias. Planeta Tempo de revolução (anos) Terra 1 Marte 1,8813 Vênus 0,6148 Saturno 29,46 Fonte: Stern (2005). Observação Neste exemplo aplicaram-se a distância e o período da Terra como unidadede medida astronômica, mas poderiam ter sido utilizados valores absolutos sem qualquer problema. 5.2 A concordância entre a teoria da gravitação de Newton e as leis de Kepler No início de seus estudos, Newton considerou de modo simplificado que o movimento da Lua ao redor da Terra tinha uma configuração aproximadamente circular. Essa concepção permitiu a ele derivar a forma elementar da lei da gravitação, conforme apresentamos neste livro-texto. Após esse primeiro passo, porém, ele teve que provar que sua lei da gravitação estava de acordo com as leis de Kepler, de modo que as órbitas planetárias fossem elipses com o Sol em um dos focos. As noções de cálculo destacadas aqui não são suficientes para descrever todos os detalhes da demonstração matemática de Newton para as duas primeiras leis de Kepler. No entanto, podemos explicar qualitativamente a ideia envolvida nessa demonstração. 85 FI S - Re vi sã o: V íto r - D ia gr am aç ão : F ab io - 0 1/ 12 /2 01 6 GRAVITAÇÃO Na figura a seguir, indica-se a trajetória de um planeta ao redor do Sol cuja forma, a princípio, é desconhecida, mas que deveria ser obtida em concordância com a lei da gravitação de Newton. Para movimentos orbitais em um plano, é conveniente descrever a posição do planeta por um sistema de coordenadas (r,q), contendo sua distância r medida a partir do Sol e o ângulo q entre a linha que une esse planeta ao Sol e a horizontal. A taxa de variação da posição do corpo com o tempo está relacionada com a derivada dessas coordenadas com respeito ao tempo, ou seja, �r medindo a taxa de variação da distância r e �θ medindo a taxa de variação da posição angular q do planeta. q r Fn Ft F Figura 32 – Decomposição da força gravitacional e sistema de coordenadas na órbita elíptica Além disso, de acordo com a segunda lei de Newton, a aceleração é proporcional à força que atua sobre o planeta e está relacionada com as derivadas segundas de r e q, ou seja, com ��r e ��θ. A força gravitacional, segundo Newton, está associada com a distância r do planeta até o Sol pela fórmula: F GMm r = 2 Essa força pode ser decomposta em uma componente Ft tangencial à trajetória e outra componente Fn perpendicular a ela. Cada um deles possui também sua respectiva relação com as coordenadas r e q. F=ma, expressão que representa a força da lei da gravitação universal exposta, já decomposta apropriadamente, pode ser usada para escrever equações que relacionam as coordenadas r e q com suas derivadas primeiras e segundas. Nessas equações, as incógnitas são as formas matemáticas de r e q em função do tempo. Em cálculo, esse tipo de equação é chamado de equação diferencial. Após resolver essas equações, é preciso combinar as funções r(t) e q(t) encontradas de modo a eliminar a variável t. Fazendo isso, a expressão matemática encontrada é a equação de uma elipse escrita em termos de r e q. Além disso, analisando a taxa de variação no tempo dessas coordenadas, é possível concluir também 86 FI S - Re vi sã o: V íto r - D ia gr am aç ão : F ab io - 0 1/ 12 /2 01 6 Unidade II que a velocidade areolar é constante. Logo, pode-se afirmar que a lei da gravitação universal de Newton é uma teoria matematicamente compatível com as duas primeiras leis de Kepler. A compatibilidade com a terceira lei de Kepler é mais simples de se demonstrar, pelo menos se considerarmos as órbitas planetárias aproximadamente circulares. Essa consideração não é tão absurda assim, uma vez que a excentricidade das elipses dessas órbitas é bem pequena para a maioria dos planetas. Vimos anteriormente que a aceleração centrípeta em um movimento circular é igual a v2/R, onde v é a velocidade do corpo tangencial à trajetória circular e R é o raio da órbita. De acordo com a segunda lei de Newton, o produto dessa aceleração pela massa do corpo deve ser igual à força de atração gravitacional. Então, podemos escrever: F m a GMm R m v R = = . . 2 2 Além disso, o comprimento da circunferência descrita é igual a 2pR, que corresponde ao espaço percorrido em um tempo igual ao período T de uma revolução completa. A velocidade v pode ser escrita como: v R T = 2pi Substituindo na expressão obtida previamente, temos: GMm R m R T R2 2 2 2 4 = . pi Que pode ser simplificada cortando uma série de termos dos dois lados da equação. Após isso, a equação se reduz a: T R GM 2 3 24 = pi Essa é exatamente a expressão matemática da terceira lei de Kepler – a constante que lá aparece, aqui é especificada em termos do produto GM. Uma versão mais elaborada da demonstração anterior permite provar a validade dessa mesma lei também para o caso de órbitas elípticas. 87 FI S - Re vi sã o: V íto r - D ia gr am aç ão : F ab io - 0 1/ 12 /2 01 6 GRAVITAÇÃO 5.3 O movimento de precessão Tendo resolvido o problema de como as forças da gravitação atuam na órbita dos planetas e da Lua, Newton passou a estudar a influência que a Lua e o Sol exerciam no movimento da Terra ao redor de seu próprio eixo. Ele percebeu que, por causa da forma do globo terrestre, denominado geoide, a Terra deveria apresentar outro movimento, o de precessão. A configuração da Terra, decorrente de sua formação junto com o Sistema Solar, é de uma elipsoide relativamente tombada. De fato, a Terra não é uma esfera perfeita, sendo um pouco achatada em seus polos. O ângulo constituído entre seu eixo de giro e a vertical é de aproximadamente 23º. N 23º S Figura 33 – Ilustração da forma do globo terrestre. Note a elipsoide achatada nos polos Norte e Sul O raio da Terra é cerca de 20 km maior no Equador do que nos polos. Como consequência, a aceleração de queda dos corpos nas regiões polares é aproximadamente 0,3% maior do que na região equatorial. Podemos imaginar que a Terra é composta de duas partes. A primeira é uma esfera perfeita, e a segunda é como se fosse uma capa envolvendo a esfera perfeita, que é ligeiramente mais grossa na região do Equador. Enquanto as forças gravitacionais do Sol e da Lua atuam sobre a parte perfeitamente esférica como se toda a massa estivesse concentrada em seu centro, essas mesmas forças agindo sobre a capa externa não se equilibram exatamente. N S 23º Figura 34 – Ilustração das forças gravitacionais envolvidas que promovem o movimento de precessão da Terra 88 FI S - Re vi sã o: V íto r - D ia gr am aç ão : F ab io - 0 1/ 12 /2 01 6 Unidade II Por conta disso, um torque é verificado, promovendo a tendência de girar o eixo de rotação da Terra. Então, vem à luz a seguinte questão: por que o eixo de rotação da Terra não vira completamente sob a ação dessas forças? Para responder a essa pergunta, devemos perceber que o nosso planeta é como um todo, similar a um gigantesco pião girando. Quando lançamos um pião dando a ele um movimento de rotação suficientemente rápido, o pião não cai e, mesmo que pareça que ele poderia cair por estar inclinado, é capaz de manter sua inclinação em relação ao chão. O seu eixo de rotação, no entanto, descreve um movimento em forma de cone ao redor da direção vertical. O pião só cai quando o atrito entre a ponta dele e o chão faz com que a velocidade do movimento de rotação diminua. É claro que, no caso da Terra, não existe uma ponta e muito menos um chão em que ela esteja apoiada. A Terra move-se livremente no espaço e, por isso, o movimento de rotação dela não é retardado, logo seu eixo de rotação não se inverte completamente. Figura 35 – Movimentos de precessão e rotação de um pião Ainda assim, devemos notar que o eixo derotação da Terra é ligeiramente inclinado em relação ao plano da órbita dela ao redor do Sol. Essa inclinação é de cerca de 23º e é responsável pela ocorrência de dias mais curtos ou mais longos dependendo da época do ano e do hemisfério. Isso é justamente o que faz surgir as estações do ano. As diferentes estações do ano ocorreriam sempre nos mesmos dias e meses se a inclinação do eixo de rotação da Terra se mantivesse constante. Entretanto, assim como no caso do pião, o eixo de rotação da Terra também realiza um movimento de giro que varre uma superfície em forma de cone. O período desse giro, porém, é por volta de 26 mil anos, que é um tempo consideravelmente longo, se comparado com a vida humana. Todavia, sabendo disso, podemos afirmar que na metade desse tempo, portanto daqui a aproximadamente 13 mil anos, o verão no hemisfério sul da Terra irá começar no mês de junho, e não mais em dezembro. O nome dado a esse movimento de giro do eixo de rotação da Terra é precessão dos equinócios ou simplesmente precessão. Esse fenômeno não é exclusividade da Terra, mas algo comum a corpos que giram. No caso da Terra, a precessão é causada pelo efeito combinado da influência gravitacional 89 FI S - Re vi sã o: V íto r - D ia gr am aç ão : F ab io - 0 1/ 12 /2 01 6 GRAVITAÇÃO do Sol e da Lua. Embora o movimento de precessão da Terra já tivesse sido descoberto por Hiparco no século II a.C., foi somente com a formulação da teoria da gravitação universal por Newton que ele pôde ser explicado. Saiba mais Para melhor visualização do movimento de precessão da Terra, acesse: SIMMON, R. Orbital precession. Nasa, 2016. Disponível em: <http:// earthobservatory.nasa.gov/IOTD/view.php?id=541>. Acesso em: 28 nov. 2016. 6 O FENÔMENO DAS MARÉS Outra importante influência do Sol e da Lua sobre a Terra é a alteração diária em sua forma causada pelo fenômeno das marés. Newton percebeu que o movimento de subida e descida do nível dos oceanos resultava das forças gravitacionais produzidas pelo Sol e pela Lua, sendo a da Lua consideravelmente maior, pois, apesar de ser muito menor, fica muito mais próxima da Terra. A intensidade da força gravitacional depende da distância. Desse modo, a atração exercida pelo Sol e pela Lua é maior no lado da Terra exposto a esses corpos. De fato, no lado da Terra que está exposto à Lua, o nível da água é mais alto. Ao contrário do que se pode imaginar, no lado oposto da Terra, ou seja, aquele que não fica exposto ao Sol ou à Lua, uma maré alta também ocorre. Isso pode parecer contraintuitivo à primeira vista, pois daria a impressão de que as águas estão se movendo em sentido oposto ao da atração gravitacional, mas trata-se de um fenômeno previsto. Para explicar isso, devemos discutir alguns detalhes da dinâmica do movimento do sistema Sol-Terra-Lua. Se a Lua ficasse fixa em uma mesma posição, digamos no topo de uma grande torre erguida em algum lugar da Terra, ou então se a própria Terra ficasse parada em algum ponto da sua órbita ao redor do Sol, as águas dos oceanos acabariam se concentrando em um único lado do planeta e acabaria ocorrendo um aumento no nível dos oceanos de um lado e uma diminuição do outro lado. Contudo, como a Lua gira ao redor da Terra e a Terra gira ao redor do Sol, a situação geral é bem diferente. Vamos considerar primeiro o efeito sobre as marés devido ao Sol. Sendo a Terra um corpo rígido, a velocidade linear do lado da Terra que está voltado para o Sol é menor do que a velocidade linear do centro da Terra, que, por sua vez, é menor que a velocidade do lado oposto. Por outro lado, de acordo com a terceira lei de Kepler, sabemos que o período da órbita de um objeto deve aumentar à medida que a distância até o Sol aumenta. Um período maior, por sua vez, resulta em uma velocidade linear menor. Então, esperaríamos que, quanto maior à distância até o Sol, menor a velocidade. 90 FI S - Re vi sã o: V íto r - D ia gr am aç ão : F ab io - 0 1/ 12 /2 01 6 Unidade II De fato, o ponto da Terra que está mais próximo do Sol tem uma velocidade menor do que aquela que seria necessária para mantê-lo em órbita, então ele acaba apresentando uma tendência a cair na direção do Sol. Já o lado oposto da Terra tem uma velocidade maior do que a permitida para conseguir fazer a curva e fechar uma órbita. Por isso, ele possui a tendência de ser jogado para fora, para longe do Sol. Sol F1 v1 vC v2 F2 r v ↑ se r ↑ Terra Figura 36 – Influência gravitacional do Sol nas marés Esse efeito promove forças em sentidos opostos sobre a crosta terrestre e tenderia a dividir a Terra toda em pedaços. Caso isso ocorresse, ela formaria um disco no plano da órbita ao redor do Sol. Isso não acontece, porque a força gravitacional que atrai as partes da Terra umas em direção às outras é mais intensa do que a tendência resultante do movimento da Terra ao redor do Sol. Embora o planeta não se parta em pedaços, ele acaba expressando um alongamento na direção radial que passa pelo Sol e pelo centro da Terra. Considerando o efeito das marés devido à Lua, o argumento é exatamente o mesmo. Para perceber isso, devemos observar que tanto a Terra quanto a Lua na verdade giram ao redor do centro de massa de ambos os corpos. É claro que, como a massa da Terra é muito maior do que a massa da Lua, esse centro de massa fica mais próximo do centro da própria Terra do que da Lua. A massa da Terra é cerca de 80 vezes maior do que a da Lua, logo a posição do centro de massa do sistema Terra-Lua fica a 1/80 da distância entre o centro da Terra e o centro da Lua. Sendo a distância entre o centro da Terra e o centro da Lua igual a 384.400 km, o centro de massa entre a Terra e a Lua fica a cerca de 4.700 km de distância do centro da Terra. Assim, se pensarmos no movimento de giro da Terra ao redor desse centro de massa, o mesmo efeito que ocorre devido ao movimento da Terra ao redor do Sol deve ocorrer, levando a Terra a ficar mais alongada na direção que une o centro dela ao centro da Lua. 91 FI S - Re vi sã o: V íto r - D ia gr am aç ão : F ab io - 0 1/ 12 /2 01 6 GRAVITAÇÃO Terra Lua Centro de massa (CM) do sistema Terra-Lua Órbita da Tera ao redor do CM Órbita da Lua ao redor do CM Figura 37 – Influência gravitacional da Lua nas marés Por causa disso, quando a Terra, o Sol e a Lua estão localizados ao longo de uma mesma linha, o que corresponde aos períodos de Lua Cheia ou Lua Nova, os efeitos das marés devido ao Sol e à Lua se combinam, tornando as marés as mais altas possíveis. Por outro lado, durante os períodos de Quarto Crescente e Quarto Minguante, as regiões de maré alta devido à Lua coincidem com as regiões de maré baixa por causa do Sol, resultando em um efeito compensatório, que causa marés baixas. Como a Terra não é um corpo perfeitamente rígido, as forças de maré deformam o planeta de modo contínuo. Entretanto, as alterações que ocorrem nas partes sólidas da Terra são consideravelmente menores do que aquelas que atuam sobre a camada de água líquida que a envolve. De fato, a cada período de 12 horas, a superfície sólida da Terra é modificada a tal ponto que sua largura varia cerca de meio metro, enquanto a altura da superfície líquida varia de 2 a 3 metros nesse mesmo período. Como nós vivemos sobre as partes do planeta cuja superfície não está coberta por água, é difícil perceber uma oscilação de altura tão pequena em relação ao tamanho do planeta, mas mesmo assim notamos a diferença da altura da superfície da água. Esta, por sua vez, corresponde apenas à disparidade entre o movimento da parte coberta de água e da parte não coberta. O movimento de rotação da Terra e as correntes de ventoexistentes em nosso planeta também produzem movimento nas marés oceânicas, compondo as correntes oceânicas. Esse movimento, entretanto, experimenta a ação de forças de atrito com o fundo do mar. Isso ocorre especialmente em regiões de águas mais rasas, como no Estreito de Bering. Além disso, a colisão dos mares com as linhas costeiras transfere parte da energia cinética dos mares. Como resultado da dissipação de energia dos mares, a velocidade de rotação da Terra é ligeiramente reduzida, de modo similar ao que ocorre com as rodas de um automóvel quando os freios são acionados. Se compararmos essa perda de energia diária com a energia total associada à rotação da Terra, é possível concluir que o movimento de rotação está sendo atrasado cerca de 2 centésimos de milionésimos de segundo a cada dia. Isso significa que cada dia é 0,00000002 s mais longo que o dia anterior. É claro que essa é uma diferença absurdamente pequena e não faria sentido nos preocuparmos em medi-la de um dia para o outro. Todavia, se analisarmos seu efeito cumulativo, podemos concluir que a Terra se atrasa cerca de 14 segundos por século. 92 FI S - Re vi sã o: V íto r - D ia gr am aç ão : F ab io - 0 1/ 12 /2 01 6 Unidade II Esse pequeno atraso não é nenhum grande problema no cotidiano da maioria das pessoas. Contudo, quando comparamos observações astronômicas feitas em séculos anteriores, que marcam as posições dos corpos celestes, podemos observar essa discrepância. De fato, ao comparar as posições de todos os corpos celestes no céu, os astrônomos notaram que essas posições pareciam indicar que eles chegavam cada vez mais cedo onde eles deveriam chegar, ou seja, eles pareciam estar chegando adiantados. No entanto, não era o resto do Universo que estava chegando cada vez mais cedo no lugar onde deveria chegar, e sim a Terra que estava se atrasando. Antes que se percebesse esse fato, a Terra era considerada um relógio astronômico perfeito e seus movimentos eram usados para marcar o tempo: uma rotação = um dia, uma translação = um ano etc. Hoje, com um conhecimento geral mais evoluído, os astrônomos aprenderam a levar em conta novos efeitos como formas de correção a essas contagens. Entre esses efeitos, está a influência das marés no período de rotação. No início do século XX, o astrônomo britânico George Darwin, filho do famoso biólogo Charles Darwin, publicou um estudo falando sobre como a perda de energia devido ao atrito das marés afetava o sistema Terra-Lua no longo prazo. Para entender o argumento de Darwin, devemos antes introduzir o importante conceito de momento angular. Considere uma massa m girando com velocidade v ao redor de um eixo fixo a uma distância r. Isso pode corresponder à Terra girando em volta do Sol, à Lua ao redor da Terra, ou simplesmente a uma pedra amarrada na ponta de um barbante que uma criança segura e faz girar ao redor dela mesma. O momento angular L é definido como o produto da massa m, da velocidade v e da distância r, ou seja: L = mvr A fórmula em questão vale apenas para corpos pontuais, ou seja, para a análise de centros de massa. A situação é ligeiramente mais complicada quando consideramos corpos não pontuais, como um disco de frisbee ou talvez a própria Terra girando ao redor do eixo. No caso de uma partícula pontual, a velocidade de giro é apenas a velocidade da própria partícula. No caso do disco ou da Terra, eles são formados por uma infinidade de partículas pontuais a diferentes distâncias do eixo. Como esses corpos são rígidos, todas as partículas constituintes giram com a mesma velocidade angular w, mas com distâncias do eixo e velocidades lineares diferentes. Para definir corretamente o momento angular de um corpo cujas dimensões não podem ser desprezadas, devemos somar as contribuições das infinitas pequenas partes que formam o corpo. Esse procedimento corresponde a uma integral. Imagine que a massa total do corpo é formada por uma infinidade de pequenas massas de valor dm e calcule o momento angular para cada uma delas usando a fórmula anterior. Depois basta somar todas as contribuições. Ao fazer isso, descobrimos que o momento angular total deve ser dado pela seguinte integral: L dmvr= ∫ 93 FI S - Re vi sã o: V íto r - D ia gr am aç ão : F ab io - 0 1/ 12 /2 01 6 GRAVITAÇÃO A integração deve ser feita considerando todas as partes que constituem o corpo. Para um corpo na forma de uma esfera de raio R e massa total M, o resultado do cálculo nos dá: L Mv Re= 2 5 Onde ve é a velocidade das partículas no equador. Uma das leis fundamentais da mecânica descoberta por Newton diz que o momento angular é uma grandeza conservada, ou seja, se tivermos um sistema composto de corpos girando ao redor de certo eixo, o giro irá continuar de modo que o valor de L não mude. Assim, o momento angular total do sistema se mantém constante. Isso não quer dizer que o giro se dá sempre com a mesma velocidade. Porém, se a massa permanecer constante e a velocidade de giro aumentar ou diminuir, o valor de r deve diminuir ou aumentar para compensar as coisas e manter L constante. Exemplo de aplicação Um experimento clássico utilizado em aulas de física para demonstrar a conservação de momento angular consiste em sentar uma pessoa em uma cadeira giratória segurando um peso em cada mão. Então, pede-se para a pessoa abrir os braços e, com ela nessa posição, rodamos a cadeira. Observação Para isso dar certo, é preciso ter uma cadeira que gira com atrito bem pequeno. Após rodar a cadeira, observamos a pessoa girar com os braços abertos em determinada velocidade. Enquanto isso, pedimos que ela feche os braços, trazendo os pesos para perto do próprio corpo e, consequentemente, para perto do eixo de rotação da cadeira. É preciso que ela seja razoavelmente forte para obter êxito, pois o movimento de giro tende a arremessar os pesos para fora da trajetória circular. Ao tentar puxá-los para dentro, o indivíduo terá que contrariar essa tendência. O que acontece quando os pesos são puxados para perto do eixo de rotação da cadeira? Faça o teste! Comentemos o exercício. A pessoa parece subitamente começar a girar mais rápido, mesmo sem ninguém mais ter vindo empurrá-la de novo. Então, fazemos a seguinte pergunta: por que isso ocorre? Vamos responder de modo claro. Enquanto a pessoa girava com os braços abertos, a massa do sistema pessoa-cadeira-pesos estava distribuída a distâncias maiores do eixo de rotação. Os pesos e os 94 FI S - Re vi sã o: V íto r - D ia gr am aç ão : F ab io - 0 1/ 12 /2 01 6 Unidade II braços do indivíduo estavam mais longe desse eixo. Nessa situação, os valores de r que aparecem na fórmula do momento angular e que medem as distâncias das massas até o eixo são maiores. Quando fecha os braços, os valores de r dos elementos que constituem os pesos e os braços diminuem. Como o momento angular é proporcional a r e a v, se r diminui, v precisa aumentar para compensar para que o momento angular se mantenha constante. Esse mesmo experimento pode ser feito com a pessoa segurando os pesos junto do corpo no início. Nesse caso, ao abrir os braços, ela passará a girar mais rápido. Independentemente de como o experimento começou, se o indivíduo abrir e fechar os braços seguidamente, vai girar mais rápido ou mais devagar, de acordo com a intensidade de seu movimento. O mesmo princípio do experimento descrito é explorado em manobras radicais ou saltos de atletas olímpicos, como ginastas e mergulhadores ornamentais. Em várias das manobras executadas por esses atletas, eles saltam com os braços inicialmente abertos e, durante o salto, fecham os braços e ganham velocidades de giro ainda maiores. Em saltos nos quaiso giro executado não é ao redor do eixo da altura do próprio corpo, sendo, assim, mais parecido com uma cambalhota, isso pode ser feito agrupando as pernas junto ao corpo. Efeitos surpreendentes podem ser obtidos combinando giros ao redor de diferentes eixos e fazendo coisas como fechar os braços e esticar as pernas ou vice-versa. Voltando a avaliar o movimento do sistema Terra-Lua, considere agora a diminuição da velocidade de giro produzida pelo atrito das marés com a superfície terrestre. Pela conservação do momento angular, concluímos que a diminuição do ritmo de rotação causa uma contração do momento angular da Terra. Como o momento angular total deve se conservar, essa diminuição deve resultar em um aumento compensatório no momento angular da Lua. Contudo, como o aumento do momento angular da Lua afetaria seu movimento? Se pensarmos no movimento da Lua ao longo de sua órbita ao redor da Terra, o momento angular dela será como o da pedra que é rodada na ponta de um barbante. Logo, temos: L = mvr onde m é a massa da Lua, v é a velocidade dela ao longo da trajetória da órbita e r é a distância entre a Terra e a Lua. Por outro lado, lembrando que a força gravitacional é a própria força que mantém a órbita da Terra, aproximadamente circular, podemos combinar a lei da gravitação universal e a fórmula da força centrípeta: F F GMm r mv r Gravitacional Centr peda= = í 2 2 95 FI S - Re vi sã o: V íto r - D ia gr am aç ão : F ab io - 0 1/ 12 /2 01 6 GRAVITAÇÃO onde M é a massa da Terra. Simplificando a expressão, temos: GM r v= 2 Então, como L=mvr, podemos substituir v por L/(mr) e simplificar novamente o termo: GM r r L GMm L m r = = 2 2 2 2 2 Da mesma forma, usando L=mvr para substituir r por L/(mv) na expressão, simplificando dos dois lados e isolando v, podemos escrever: GMmv L v v GMm L = = 2 De acordo com as fórmulas expostas, podemos concluir que a elevação do momento angular da Lua faz com que a distância até a Terra aumente e a sua velocidade diminua. Vemos isso, porque r é diretamente proporcional ao quadrado de L, então, se L aumenta, r também aumentará. Além disso, v é inversamente proporcional a L, então, se L aumenta, v diminui. Fazendo todos os cálculos envolvidos, é possível descobrir que cada vez que a Lua completa uma volta ao redor da Terra, ela fica quase 1 centímetro mais distante do nosso planeta. Isso é muito pouco para o nosso tempo de vida, é claro. Entretanto, se calcularmos a distância na qual a Lua estava há 4 e 5 bilhões de anos, quando a Terra ainda era jovem, veremos que os dois corpos deveriam estar realmente muito próximos. Isso é o que George Darwin descobriu. Com base nisso, ele sugeriu que, no passado, a Terra e a Lua poderiam, inclusive, terem sido um único corpo. A quebra desse único corpo celeste pode ter ocorrido por causa do impacto de um meteoro gigantesco ou talvez por causa das forças de maré devido à interação gravitacional com o Sol. Assim como a pessoa na cadeira gira muito mais rápido quando a massa está concentrada próxima ao eixo, se a Terra e a Lua estavam juntas no passado, esse corpo deveria girar bem mais rápido naquela época também. Se a velocidade de giro era maior, então os efeitos de deformação causados pelas forças de maré deveriam ser bem mais acentuados. Essa constante deformação pode ter sido a causa da ruptura que separou a Lua da Terra. 96 FI S - Re vi sã o: V íto r - D ia gr am aç ão : F ab io - 0 1/ 12 /2 01 6 Unidade II 7 FUGINDO DA GRAVIDADE 7.1 Potencial gravitacional Vamos tentar descobrir o quão rápido um foguete deve ser para escapar da gravidade da Terra. Quando carregamos uma mala escada acima, do térreo até o terceiro andar, em um prédio que não tem elevador, devemos realizar um trabalho três vezes maior do que para levar a mala apenas até o primeiro andar. Além disso, para levar uma mala de 10 kg, a força será duas vezes maior do que para subir uma de apenas 5 kg. Por outro lado, se a atração gravitacional da Terra fosse menor, o encargo seria menor também. Então, podemos assumir que o trabalho necessário é diretamente proporcional ao deslocamento e ainda diretamente proporcional ao peso da mala. Quando pensamos sobre levar uma mala escada acima, geralmente nos imaginamos próximos da superfície da Terra. Nesse caso, considerar a atração gravitacional, ou seja, o peso da mala, praticamente constante é uma boa aproximação. Por outro lado, se pretendemos lançar um foguete até uma altitude indefinidamente grande, devemos ponderar que, à medida que o foguete se afasta da superfície, a força gravitacional exercida pela Terra sobre ele vai diminuindo. Então, quanto mais alto o foguete vai, mais fácil se torna levá-lo ainda mais alto. F F F/4 F/9 F/16 F/25 rR 2R 3R 4R 5R Figura 38 – Força gravitacional exercida pela Terra em função da distância r medida a partir do centro Podemos ver, na figura anterior, um esquema que representa a força gravitacional exercida pela Terra em função da distância até seu centro, medida em unidades do raio da Terra. Uma das conclusões da teoria da gravitação de Newton é que a força gravitacional decresce linearmente da superfície para o centro da Terra. A outra conclusão, que temos discutido até agora, é que essa força decresce com o quadrado da distância à medida que nos afastamos da superfície para fora do planeta. De acordo com essa última conclusão, esperamos que a uma distância r=2R do centro (ou seja, a uma distância equivalente a dois raios da Terra), a força gravitacional tenha 1/4 do valor que ela tem na superfície. Em r=3R, esse valor cai para 1/9. Em r=4R, será apenas 1/16, e assim por diante. Se a força gravitacional que age sobre um corpo que se desloca para cima de uma altura Dr fosse constante, o trabalho realizado para vencer a ação dessa força seria: DW = Dr.F 97 FI S - Re vi sã o: V íto r - D ia gr am aç ão : F ab io - 0 1/ 12 /2 01 6 GRAVITAÇÃO Onde W é o trabalho realizado e F a força aplicada. A força gravitacional não é constante e vai diminuindo conforme a altitude aumenta. Contudo, se tomarmos o limite em que a variação de altitude Dr é muito pequena nesse pequeno intervalo, podemos considerar a força praticamente constante. Se calcularmos o trabalho para cada um dos pequenos Dr que compõem a distância total desde r=R até algum r>R e depois somarmos os trabalhos em todos os pequenos trechos de deslocamento, encontraremos a expressão correta para o trabalho total necessário para atingir uma altura r contada a partir do centro da Terra. Esse procedimento corresponde a calcular a área embaixo do gráfico da figura anterior entre R e algum r>R. Em outras palavras, devemos calcular a integral de r=R até r>R em r de F(r): W dW drF r R r = ∫ = ( )∫ Substituindo a expressão matemática da lei da gravitação universal: W dr GMm r W GMmdrr R r R r = = ∫ ∫ − 2 2 Utilizando o teorema fundamental do cálculo, temos: W GMm r R= − − −( )− −( ) ( )1 1 A expressão anterior pode ser reescrita conforme: W GMm R r = − 1 1 Esse é o trabalho para chegar ao ponto r > R a partir do ponto r = R. Se pretendermos que o objeto de massa m chegue além de qualquer ponto de onde ele possa retornar e cair na Terra novamente, devemos assumir que ele irá para longe do alcance de interação, ou seja, devemos fazer r = ∞ na fórmula anterior e calcular o trabalho que é preciso realizar para que isso aconteça. Se r = ∞, o fator 1/r será igual a 1 dividido por um número muito grande. Isso deve dar um número muito pequeno. No limite em que esse número muito grande tendeao infinito, o fator 1/r vai tender a zero e vai desaparecer da fórmula do trabalho. Então, o trabalho necessário para escapar da gravidade é dado por: W GMm R = 98 FI S - Re vi sã o: V íto r - D ia gr am aç ão : F ab io - 0 1/ 12 /2 01 6 Unidade II Uma abordagem matematicamente conveniente desse problema consiste em representá-lo por meio de uma função que chamamos de potencial gravitacional. O trabalho por unidade de massa para levar algum corpo de r=R até r>R pode ser representado pela diferença: ∆V GM R GM r GM r GM R = − = − − − O primeiro objeto entre parênteses do lado direito da última equação é definido como o potencial gravitacional V(r) no ponto r: V r GM r ( ) = − 7.2 Velocidade de escape “Tudo o que sobe tem que descer” é um famoso ditado que, no entanto, já não é mais verdadeiro. Muitos foguetes lançados no último século a partir da superfície da Terra se tornaram satélites artificiais com tempos de vida indefinidamente longos. Outros se perderam para sempre na imensidão do espaço interplanetário. Já enviamos missões tripuladas para orbitar e pousar na superfície da Lua, também conseguimos pousar naves não tripuladas e controlar robôs que andam na superfície de Marte. Naves lançadas a partir da Terra já foram colocadas em órbita ao redor de outros planetas do Sistema Solar. As missões Voyager chegaram aos limites do Sistema Solar. A gravidade da Terra já não é um limite para o alcance humano. Apesar disso, ainda mal começamos a explorar o Sistema Solar como um todo. Mesmo viajando na nave mais veloz que nossa tecnologia permitiu fabricar, levaríamos milhares de anos para chegar da Terra até Alfa Centauri, que é a estrela mais próxima de nós sem ser o Sol. O Sol e Alfa Centauri são apenas duas entre as bilhões de estrelas que formam a nossa galáxia. A Via Láctea, por sua vez, é apenas uma entre centenas de bilhões de galáxias que formam o Universo conhecido. Talvez já possamos evadir da gravidade, mas certamente ainda não podemos fugir das grandes distâncias e do tempo que precisaríamos para percorrê-las. O primeiro passo, porém, é entender como escapar da gravidade da Terra. Usando a noção de potencial gravitacional que apresentamos anteriormente, podemos facilmente calcular a velocidade que um objeto precisa ter a partir do solo para conseguir ser lançado de modo que jamais volte a cair na Terra. Conforme vimos, o trabalho W necessário para erguer uma massa m da superfície da Terra até uma altura r maior que o raio do planeta, contada a partir do seu centro, é dado por: W GMm R r = − 1 1 Onde G é a constante da gravitação, M é a massa da Terra, m a massa do objeto e R é o raio da Terra. 99 FI S - Re vi sã o: V íto r - D ia gr am aç ão : F ab io - 0 1/ 12 /2 01 6 GRAVITAÇÃO Como foi discutido neste livro-texto, se desejamos que o objeto de massa m escape da interação da gravidade terrestre, devemos considerar r = ∞ na fórmula anterior. Assim, o segundo termo vai a zero, levando a: W GMm R = O trabalho que efetuamos se traduz em movimento. Desse modo, a variação da energia cinética é igual ao trabalho realizado. Por outro lado, a energia cinética de um objeto de massa m se movendo com velocidade v é dada por: E mv c = 2 2 Para fornecer ao corpo a energia suficiente para que ele consiga escapar da atração das forças gravitacionais terrestres, devemos satisfazer à condição de que a energia cinética inicial seja maior ou igual ao trabalho que ele terá que realizar para escapar, ou seja: mv GMm R 2 2 ≥ Se essa energia for exatamente igual, o corpo chegará a uma grande distância da Terra e, ao atingi-la, vai parar, pois toda a energia cinética terá sido consumida e convertida em trabalho. Se ela for maior, o corpo chegará a uma grande distância da Terra e, assim, ainda terá alguma velocidade. Como podemos cancelar m dos dois lados da equação anterior, conclui-se que a velocidade necessária para fazer qualquer corpo escapar é a mesma, independentemente da massa do corpo. É claro que pode ser muito mais difícil fazer um corpo muito pesado atingir uma alta velocidade. Nesse sentido, é muito mais fácil lançar um corpo mais leve, como é de se esperar. Entretanto, a velocidade a se atingir é a mesma. Isolando v na última equação, temos: v GM R ≥ 2 Ao colocar os valores conhecidos na expressão, temos: R = 6371 km = 6,37 x 106 m M = 5,97 x 1024 kg G = 6,67 x 10-11 m3 kg-1 s-2 100 FI S - Re vi sã o: V íto r - D ia gr am aç ão : F ab io - 0 1/ 12 /2 01 6 Unidade II Então, obtemos: v km s, /≥112 Assim, para lançar um objeto de modo que ele consiga escapar da atração gravitacional da Terra, devemos dar a esse objeto uma velocidade de, no mínimo, 11,2 km/s. Essa velocidade é chamada de velocidade de escape. A situação analisada é, obviamente, uma versão simplificada do problema real. Um fator que complica o cálculo em questão, por exemplo, é a resistência do ar imposta pela atmosfera terrestre. Essa resistência do ar atua de forma mais intensa quanto maior a velocidade do objeto, mas também depende da forma dele. É mais fácil lançar um objeto cuja forma o torna mais aerodinâmico. No livro de ficção científica do século XIX, Jornada ao Redor da Lua, o autor Jules Verne descreve uma nave que é lançada a partir da Terra de um canhão, como se fosse uma enorme bala. Todavia, jamais seria possível para essa nave escapar da atmosfera terrestre sem que o atrito com o ar a fizesse derreter completamente. Isso porque, se ela era como uma bala de canhão, ela não tinha um motor próprio e, portanto, teria que ser lançada já com a velocidade de escape. Essa velocidade é muito alta e, como a resistência do ar é maior para altas velocidades, essa resistência seria muito alta. A maneira de driblar esse problema é não dar ao corpo que se quer lançar a velocidade necessária desde o início, mas, ao invés disso, ir aumentando sua velocidade aos poucos, fazendo com que ela atinja um valor muito grande quando a altitude for suficiente para que o ar seja rarefeito e a resistência do ar desprezível ou quando o corpo em questão já estiver acima da atmosfera terrestre. Um corpo que não tem um motor próprio não poderia ir aumentando gradativamente sua velocidade, mas teria que já ser lançado com a velocidade de escape. Essa é a razão para se utilizar foguetes no lançamento de objetos ao espaço em vez de simplesmente dispará-los usando um canhão. Outro ponto importante é que um foguete lançado para outros planetas do Sistema Solar não terá que lidar somente com a gravidade da Terra, mas também com a atração exercida pelo Sol. Quando um foguete deixa a Terra com uma velocidade relativamente pequena, apenas ligeiramente maior do que a velocidade de escape, ele estará restrito a se mover perto do caminho da órbita da Terra e não conseguirá nem se aproximar do Sol nem se afastar dele. Sol Mercúrio Vênus Terra Marte Figura 39 – Poços de potencial gravitacional gerados pelo Sol e pelos primeiros planetas 101 FI S - Re vi sã o: V íto r - D ia gr am aç ão : F ab io - 0 1/ 12 /2 01 6 GRAVITAÇÃO Para conseguir se afastar da órbita da Terra, o foguete terá que ter uma velocidade suficiente para também conseguir se afastar do Sol. Podemos pensar nesse problema em termos do potencial gravitacional. Olhando a Terra de perto, o potencial gravitacional a ser vencido para escapar tem a forma de um buraco com perfil na forma de uma curva -GM/r, que forma uma espécie de poço. Escapar da gravidade da Terra significa escalar as paredes desse poço e sairdele. A própria Terra também está dentro de um poço de potencial formado pela gravidade do Sol. Esse poço é do tipo –GM’/r, onde M’ é a massa do Sol, que é muito maior do que a massa M da Terra. Por exemplo: a altura a ser escalada depois de sair do poço de potencial da Terra para continuar subindo até chegar à órbita de Marte é aproximadamente 6,5 vezes maior que a altura do poço da Terra isoladamente. Como a energia cinética é proporcional ao quadrado da velocidade, a velocidade mínima necessária para um foguete chegar da Terra até a órbita de Marte será igual à velocidade de escape multiplicada por um fator de 6 5, , ou seja: v GM RMarte . , . ≥ 2 6 5 Lembrete Note que o potencial da Terra é dado por GM/R e aparece dentro da raiz da fórmula da velocidade de escape. Podemos reescrever a equação do seguinte modo: v GM R v v Marte Marte Terra , . . , . ≥ ≥ 6 5 2 6 5 Onde vTerra é a velocidade de escape da Terra. A equação nos leva a: v km s, , /≥ × =112 6 5 28 Será que ir para Vênus seria mais fácil que ir até Marte? Podemos imaginar que sim, já que Vênus está mais próximo do Sol. A gravidade do Sol poderia ser aproveitada para atrair o foguete na direção da órbita de Vênus. Ironicamente, descer o poço de potencial é tão difícil quanto subir. Isso ocorre pelo seguinte fator: uma vez que o foguete atinge a velocidade necessária para escapar da Terra, ele fica em uma órbita ao redor do Sol próxima da órbita da própria Terra. Para aproveitar a gravidade do Sol e ser atraído poço abaixo na direção da órbita de Vênus, ele teria que reduzir sua velocidade. Entretanto, ao contrário de um carro em uma rodovia, o foguete está no vazio do espaço e não pode simplesmente acionar um freio ou se escorar em alguma coisa. Para reduzir sua velocidade, o foguete precisa acionar seus motores e direcionar seus jatos no sentido reverso. Isso também irá consumir energia e o combustível do foguete. 102 FI S - Re vi sã o: V íto r - D ia gr am aç ão : F ab io - 0 1/ 12 /2 01 6 Unidade II Por outro lado, a órbita de Vênus fica mais próxima da Terra do que a órbita de Marte. Então, por causa dessa proximidade, acaba sendo realmente mais fácil enviar um foguete a Vênus do que a Marte. Lembrete É importante destacar que isso não tem nada a ver com o fato de um ou outro planeta estar mais próximo ou mais distante do Sol. Um modelo comum de foguete consiste em uma sequência de estágios. Cada um desses estágios é, na prática, um novo foguete – de modo que o foguete inteiro é formado por uma série de foguetes menores empilhados. O lançamento do foguete se inicia com o acionamento dos motores do estágio inferior. Quando o foguete atingir a maior velocidade vertical possível e todo o combustível contido no estágio inferior tiver sido consumido, essa parte do foguete será apenas um grande tanque vazio. O peso extra será então abandonado e esse estágio se desconectará do restante do foguete. Nesse ponto, o segundo estágio será acionado e um novo processo de impulsão começará. Esse processo é repetido algumas vezes até restar apenas o último estágio, que é uma pequena parte no topo do foguete. Esse último estágio é aquele que deverá ser acelerado até atingir a velocidade de escape necessária, dependendo dos objetivos da missão. É aí que são colocados instrumentos científicos, ogivas nucleares, antenas de satélites, ratos, macacos, cães, homens ou qualquer outra coisa que se queira lançar no espaço. Os primeiros foguetes lançados no espaço utilizavam combustíveis líquidos. Outra possibilidade consiste no uso de energia nuclear. Sempre que se pensa na propulsão no espaço, é preciso lembrar que se trata de um problema completamente diferente do que se encontra quando se pretende impulsionar automóveis, navios ou aviões. Para impulsionar todos esses veículos no nosso planeta, tudo o que precisamos é de energia. Se dispusermos da energia necessária para movimentar os motores, cada um desses veículos irá movimentar um determinado mecanismo que lhe permita “remar” dentro do meio em que ele se encontra. As rodas de um automóvel giram e empurram o chão da estrada para trás e, com isso, o automóvel vai para frente. As hélices de um navio giram e puxam a água do mar para trás e, consequentemente, o navio avança. As turbinas de um avião fazem o mesmo com o ar. Acontece que no espaço não há chão, água, ar ou qualquer outro meio material em que o foguete possa se apoiar. Por isso, a única maneira de esse foguete ir para frente é lançando para trás alguma coisa que ele mesmo esteja carregando. Nos típicos foguetes movidos com combustível químico, a energia é produzida por uma reação química entre o combustível e um comburente carregado em um compartimento separado. Os produtos dessa reação são gases a altas pressões e temperaturas que são ejetados para trás. Esses gases são usados como o material que deve ser jogado para trás para que o foguete avance. Note que isso é bem diferente do que acontece com um automóvel. Em um carro, o combustível é queimado e o comburente é o próprio oxigênio contido na atmosfera. Não é preciso carregar o próprio comburente, pois ele pode ser coletado do ambiente. A energia produzida na reação de queima do combustível do carro é aplicada para movimentar as rodas. Essas rodas empurram o chão para trás, o que faz com que o carro se mova. Os produtos dessa reação são ejetados pela parte de trás pelos 103 FI S - Re vi sã o: V íto r - D ia gr am aç ão : F ab io - 0 1/ 12 /2 01 6 GRAVITAÇÃO escapamentos também, mas não a ponto de ter energia suficiente para contribuir com o movimento do carro. No caso de um foguete, o que é jogado para fora pelo “escapamento” é tudo e justamente aquilo que faz o foguete se movimentar. Um problema que se encontra para impulsionar os foguetes é que os materiais utilizados como combustível em geral precisam fornecer grandes quantidades de energia para impulsioná-lo e, aqueles capazes de fazê-lo, são mais pesados. A teoria que rege o movimento dos foguetes mostra que a velocidade diminui se a massa dos gases expelidos for maior. Por isso, é mais vantajoso produzir jatos formados com elementos químicos o mais leves possível. No caso, o elemento mais leve é o hidrogênio. No entanto, o hidrogênio não é produzido como resultado de nenhuma reação de queima. O que pode ser feito, porém, é usar um tanque de hidrogênio líquido e então aquecê-lo, com algum tipo de reator nuclear, até obter uma temperatura muito alta. Outra proposta para uso de energia nuclear na propulsão de foguetes consiste em preencher o corpo do foguete com um grande número de pequenas bombas atômicas, que seriam ejetadas uma a uma pela parte de trás do foguete e então acionadas quando estivessem a certa distância dele. Os gases em altas velocidades resultantes dessas explosões alcançariam o foguete e o impulsionariam. Basicamente, quando lançamos uma nave para o espaço, encontramos dois diferentes tipos de problema. O primeiro é saber como vencer a atração gravitacional da Terra. O segundo é descobrir como atingir a velocidade necessária para ir onde queremos, considerando que já tenhamos escapado. Não necessariamente o método utilizado para propulsão precisa ser o mesmo nos diferentes estágios envolvidos nessas tarefas. É preciso deixar a superfície da Terra com uma metodologia mais potente e violenta, caso contrário o foguete não se ergueria o suficiente em relação ao seu ponto de lançamento. Métodos químicos ou nucleares poderosos são exigidos. Uma vez que a nave é erguida e colocada em órbita ao redor da Terra, a situação já é bem diferente. Nesse ponto temos bastante tempo à nossa disposição para acelerar a nave e também já não temos a resistência do ar jogandocontra. Assim, podemos utilizar métodos mais lentos, graduais e econômicos para acelerar, como algum processo químico ou nuclear. Até mesmo a energia solar pode, a princípio, ser aplicada para iniciar as reações envolvidas. O essencial é que nesse momento já não estamos mais com tanta pressa, pois se a nave foi colocada em órbita, ela já não corre o risco de cair de volta na Terra. Daí em diante, portanto, a nave pode ser acelerada vagarosamente para ser levada a órbitas cada vez mais abertas em um grande movimento espiral até finalmente atingir a velocidade final necessária para cumprir a missão. 8 TEORIA DA GRAVIDADE DE EINSTEIN: PROBLEMAS NÃO SOLUCIONADOS DA GRAVITAÇÃO O enorme sucesso da teoria da gravitação newtoniana em descrever os movimentos dos corpos celestes em seus mínimos detalhes caracterizou uma era memorável na história da Física e da Astronomia. Entretanto, a natureza da interação gravitacional e, em particular, a razão para a proporcionalidade entre a massa inercial e a massa gravitacional, que leva todos os corpos à mesma aceleração, permaneceu um mistério até que Albert Einstein publicasse seu trabalho no início do século XX. Uma década antes, ele 104 FI S - Re vi sã o: V íto r - D ia gr am aç ão : F ab io - 0 1/ 12 /2 01 6 Unidade II já havia formulado sua famosa teoria da relatividade especial, na qual ele postulava que nenhuma observação feita dentro de uma câmara fechada permitiria concluir se a câmara em questão estava parada ou em movimento retilíneo uniforme. Por causa disso, Einstein rejeitou a ideia de que pudesse haver um movimento uniforme absoluto, que era uma ideia muito antiga e muito bem estabelecida. De fato, nenhum experimento – mecânico, óptico ou de qualquer outro tipo – realizado dentro de uma cabine fechada deve ser afetado pelo movimento de um navio sobre águas calmas com velocidade constante e ao longo de uma linha reta. Se o navio estiver no meio do oceano e se nenhum ponto de referência estiver por perto, não seria possível dizer que o navio se movimenta mesmo olhando pela janela. Nesse contexto, Einstein imaginou a si mesmo na posição de um astronauta e considerou quais seriam os resultados de uma série de experimentos físicos realizados em uma estação espacial, distante de qualquer grande objeto massivo que pudesse influir gravitacionalmente nesses experimentos. Nessa estação espacial, estivesse ela em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme em relação às estrelas distantes, os observadores, dentro do laboratório, ou os instrumentos, que não estivessem presos às paredes, flutuariam livremente dentro dela. Não haveria “em cima” ou “embaixo”. Todavia, se os motores dos foguetes da estação fossem ligados de modo a acelerá-la em alguma direção, fenômenos muito similares à gravitação na Terra poderiam ser observados. Todas as pessoas e objetos seriam pressionados contra a parede localizada na posição oposta ao sentido do movimento. Essa parede, então, se tornaria o “chão” e a parede oposta a ela seria o “teto”. Além disso, se a aceleração da nave fosse igual à aceleração da gravidade próxima à superfície da Terra, as pessoas dentro da estação poderiam facilmente acreditar que estivessem em algum lugar da Terra, e não em algum ponto distante do espaço. Suponhamos que, para testar as propriedades dessa “pseudogravidade”, um observador dentro da estação abandone simultaneamente duas pequenas esferas. Enquanto ele segura as esferas nas mãos, elas estão se movendo junto com a nave em movimento acelerado. Contudo, assim que ele solta as esferas, já não há nada prendendo-as à nave, e, como a nave está acelerando, as esferas são deixadas para trás até que atinjam o “chão”, isto é, a parede da nave está fazendo o papel de chão. No movimento das esferas que é observado de dentro da nave, elas “descem” lado a lado, ganhando velocidade juntas. Do ponto de vista de um observador no interior da nave, é como se as duas esferas estivessem caindo sob a ação de um campo gravitacional, inclusive atingindo o chão ao mesmo tempo, conforme se esperaria de acordo com o experimento de Galileu na Torre de Pisa. Esse observador ficará satisfeito e convencido do fato de que realmente há um campo gravitacional no interior da nave. De acordo com Einstein, as duas descrições do que está acontecendo são igualmente válidas. A segunda teoria relativística proposta por ele, a teoria da relatividade geral, é construída a partir desse princípio básico, que é conhecido como princípio da equivalência. Esse princípio pode parecer bastante simples quando aplicado a fenômenos mecânicos como o descrito aqui. Entretanto, segundo a ideia de Einstein, o princípio deveria ser igualmente válido também para fenômenos ópticos e eletromagnéticos. Vamos considerar o que acontece dentro da câmara da nossa nave ou estação espacial em aceleração quando um raio de luz a cruza de lado a lado. Pode ser uma daquelas canetas laser usadas em apresentações. Para ver o caminho percorrido pela luz, podemos soprar um pouco de fumaça de cigarro na região por onde a luz está passando. O que se observa nessa situação é que o raio de luz se 105 FI S - Re vi sã o: V íto r - D ia gr am aç ão : F ab io - 0 1/ 12 /2 01 6 GRAVITAÇÃO propaga, formando uma curva. Se a caneta estiver apontando na horizontal, o raio vai chegar do outro lado da nave em um ponto um pouco mais baixo do que aquele de onde ele foi emitido. Além disso, ao soprar a fumaça, veremos de fato uma linha curva. É claro que estamos exagerando um pouco, pois esse efeito é muito pequeno para ser notado a olho nu e requer um experimento de altíssima precisão. Mesmo assim, supondo que esse efeito tenha sido constatado, o que pensaria a pessoa no interior da nave, que não sabe que está se movendo e acredita estar na Terra sob a ação do campo gravitacional? Essa pessoa irá pensar que a luz está sendo curvada pelo campo gravitacional da Terra! Assim, Einstein assumiu que, se o princípio da equivalência fosse mesmo um princípio fundamental da física, então raios de luz vindos de estrelas distantes deveriam ser curvados ao passar perto da superfície do Sol durante seu caminho até atingir a Terra. Todavia, por que usar o Sol como causa da curvatura do raio de luz? Bem, o Sol é muito mais massivo que a Terra, então talvez a curva produzida pelo Sol pudesse ser percebida. A conclusão de Einstein foi confirmada experimentalmente em 1919, em uma expedição organizada pelo astrônomo britânico Arthur Eddington. Essa expedição mandou dois grupos simultaneamente para a Ilha do Príncipe, na costa da África, e para a cidade de Sobral, no Brasil. Esses eram os locais na Terra onde o escurecimento causado por um eclipse solar seria o maior possível. Se as condições meteorológicas estivessem boas em pelo menos um dos locais, poderia se observar algumas estrelas em posições no céu próximas do Sol. Em geral não conseguimos ver estrelas durante o dia, pois a luz do Sol ofusca a nossa visão. É exatamente aí que entra o eclipse. Algumas estrelas que provavelmente estariam próximas do Sol no dia e hora do eclipse foram escolhidas. Os cientistas sabiam qual deveria ser a posição aparente daquelas estrelas no céu, pois essas posições já haviam sido medidas durante a noite em épocas do ano em que a Terra e o Sol estavam em posições similares. Se a teoria de Einstein estivesse correta, a posição em que aquelas estrelas seriam vistas quando a luz delas passasse perto do Sol seria ligeiramente diferente. Além disso, o tamanho do desvio deveria ser compatível com os cálculos feitos por Einstein usando a sua teoria. Terra Lua Caminho da luz Sol Posição aparente da estrela Posição verdadeira da estrela Figura 40 106 FI S - Re vi sã o: Víto r - D ia gr am aç ão : F ab io - 0 1/ 12 /2 01 6 Unidade II Essa figura indica como se deu o experimento para provar a teoria da relatividade geral durante um eclipse solar. Segundo a posição verdadeira da estrela, nesse esquema, seria impossível enxergá-la. Porém, devido à atração gravitacional exercida sobre seus raios de luz, sua imagem chegou à Terra. A partir de nosso ponto de vista, entretanto, não identificamos a curva, e acreditamos que ela emitiu a luz através de um percurso reto. No caso do experimento, sabia-se a posição real de onde a estrela estava e sabia-se a posição teórica, segundo a relatividade geral, na qual a estrela aparentaria estar. O resultado do experimento se mostrou compatível com a teoria da relatividade geral de Einstein. Antes da publicação desse efeito, a comunidade científica daquela época olhava suas teorias com certa desconfiança e ceticismo. O público geral nem imaginava quem ele poderia ser. No entanto, após essa confirmação em 1919, Einstein ganhou um status de celebridade mundial e ícone pop. Ficou conhecido como “o homem que desbancou Newton”, que até então era tido como o maior gênio que já vivera. Mesmo que a grande maioria das pessoas ignorasse tais fatos e ainda hoje não conheça os detalhes técnicos envolvidos nas teorias de Einstein, é muito fácil encontrar por aí uma caneca de porcelana com a face dele e a fórmula E=mc2 estampadas. Voltemos nossa atenção para outro tipo de movimento acelerado e sua relação com o campo gravitacional. Até aqui falamos de situações nas quais a velocidade muda seu valor, mas não sua orientação no espaço. Há também o caso em que a orientação da velocidade varia. Essa conjuntura corresponde aos movimentos rotacionais. Imagine uma plataforma parecida com a base de um carrossel girando e, depois, que ao redor da plataforma exista uma parede circular sem janelas – de modo que alguém que está em cima da plataforma não possa enxergar o mundo fora dela. Como sabemos, uma pessoa sobre uma plataforma que gira estará sujeita à ação de forças centrífugas, que tendem a jogá-la para as bordas da plataforma. Uma bola colocada sobre a plataforma irá rolar para longe do centro. A força centrífuga, atuando em qualquer objeto colocado na plataforma, será proporcional à massa desse objeto. Assim, observamos nesse caso uma espécie de equivalência entre essa situação e um campo gravitacional. Entretanto, esse seria um campo gravitacional bastante peculiar e bem diferente daquele que encontramos nas vizinhanças da Terra ou do Sol. Primeiramente, não encontraríamos uma atração que cai com o quadrado da distância a partir do centro, esse campo corresponderia corresponder a uma repulsão a partir do centro, que aumenta de forma proporcional à distância a partir desse centro. Em vez de possuir simetria esférica, ele possui simetria cilíndrica. Surpreendentemente, porém, o princípio da equivalência de Einstein também funciona nessa nova situação e as forças dentro do carrossel girando podem ser consideradas equivalentes a forças gravitacionais, sendo causadas por massas distribuídas a grandes distâncias e orbitando ao redor do eixo no centro do carrossel. Eventos físicos ocorrendo nessa plataforma que gira podem ser compreendidos com base na teoria da relatividade especial de Einstein. Por esta teoria, os comprimentos e o próprio tempo são afetados pelo movimento relativo dos corpos. Se observarmos um objeto em movimento passar por nós com uma certa velocidade v, esse objeto parecerá contraído na direção do movimento dele por um fator: 107 FI S - Re vi sã o: V íto r - D ia gr am aç ão : F ab io - 0 1/ 12 /2 01 6 GRAVITAÇÃO 1 2 2− v c onde c é a velocidade da luz. Para velocidades típicas do dia a dia, que são muito pequenas comparadas com a velocidade da luz, esse fator é praticamente igual a 1, portanto, não há nenhuma contração observável. Contudo, quando v está próxima de c, o efeito de contração se torna cada vez mais importante. Se analisarmos um relógio em movimento passando por nós com uma certa velocidade v, ele parecerá estar andando mais lentamente do que deveria, como se estivesse em câmera lenta. A taxa de passagem do tempo nesse relógio parecerá deformada por um fator multiplicativo: 1 1 2 2− v c Assim como no caso da contração espacial, esse efeito só pode ser apreciado em situações nas quais a velocidade v for muito alta, de modo a estar próxima da velocidade da luz. Tendo em mente esses dois efeitos, vamos considerar os resultados de várias observações que podem ser feitas na plataforma girante descrita anteriormente. Suponha que desejamos descobrir quais são as leis físicas que regem a propagação da luz entre dois pontos dessa plataforma. Então, selecionamos dois pontos, A e B, próximos da periferia do disco. Um dos pontos será a fonte do raio de luz e outro será o receptor. De acordo com as leis básicas da óptica, a luz sempre viaja pelo menor caminho possível entre dois pontos. Em geral, tendemos a acreditar que esse menor caminho possível é uma linha reta. Todavia, vamos abrir mão dessa perspectiva por enquanto e vamos tentar descobrir como é o caminho seguido pelo raio de luz nessa situação particular. A B Caminho da luz Figura 41 – Ilustração indicando o percurso realizado pela luz no caso de um sistema girante relativístico 108 FI S - Re vi sã o: V íto r - D ia gr am aç ão : F ab io - 0 1/ 12 /2 01 6 Unidade II Para medir o comprimento de qualquer linha conectando A e B, usaremos um antigo, porém seguro método. Vamos contar o número de réguas de 1 metro que cabem enfileiradas entre o ponto A e o ponto B. Se o disco não estivesse rodando, a resposta seria bem conhecida e corresponderia à linha reta conectando os dois pontos. Contudo, devido ao movimento de rotação, as réguas de 1 metro fixadas ao longo da linha unindo A e B estarão se movendo junto com a plataforma, com certa velocidade e, por causa disso, sofrerão o efeito de contração em seu comprimento descrito aqui. Então, precisaremos de um número maior de réguas para medir a distância entre os pontos. Um efeito interessante acontece. Se movermos uma das réguas na direção do centro do disco, sua velocidade linear será menor do que antes, pois ela irá cobrir um arco de círculo menor no mesmo tempo. Nessa situação, essa régua já não irá se contrair tanto como no momento em que ela estava mais distante do centro. Assim, se curvarmos a linha de réguas colocadas em sequência na direção do centro do disco, precisaremos de um número menor de réguas. Essa deve ser, portanto, a menor distância possível entre os pontos A e B e deverá ser o caminho seguido pela luz. Antes de deixar a plataforma girante, vamos considerar mais um efeito interessante. Imagine que coloquemos dois relógios sobre a plataforma. Um no centro dela e o outro perto da borda. Como o primeiro relógio está em repouso enquanto o segundo está se movendo (pois é carregado pela borda), o outro vai se atrasar em relação ao primeiro devido ao efeito relativístico da dilatação do tempo descrito. Se usarmos o princípio da equivalência para estabelecer um paralelo entre a plataforma girando e um campo gravitacional, seremos levados a concluir que em locais onde o campo gravitacional é mais intenso o tempo passa mais devagar. Essa passagem mais lenta do tempo se aplica igualmente a todas as coisas, sejam eventos físicos, reações químicas ou fenômenos biológicos, como o tempo da vida dos organismos naquele local. Nesse sentido, isso é como conceber que uma pessoa trabalhando no primeiro andar de um prédio muito alto irá envelhecer mais devagar que sua irmã gêmea que opera no último andar do mesmo prédio. Essa diferença, é claro, será muito pequena.De fato, para um prédio do tamanho do Empire State em Nova Iorque, podemos dizer que em dez anos a diferença no tempo será de apenas alguns milionésimos de segundo. Embora essa disparidade seja muito pequena para vários andares de um edifício, se considerarmos a diferença na passagem do tempo que aparece entre um ponto no solo e um satélite artificial em órbita ao redor da Terra, ela se torna considerável e essa discrepância de tempo deve ser levada em consideração para medir a posição ao longo do tempo do satélite em questão. Se isso não fosse feito, seria impossível que os sistemas de localização baseados em GPS funcionassem com precisão suficiente para localizar um automóvel dentro da largura de uma rua ou na vaga certa do estacionamento de um shopping center. A precisão seria não de uns poucos centímetros, mas de algumas centenas de metros. No caso da diferença da passagem do tempo em um satélite, duas coisas divergentes podem acontecer. Se a altitude da órbita for relativamente baixa, o efeito que predominará será o de atraso no relógio do satélite, devido ao fato de ele precisar voar a uma velocidade maior para se manter sobre o mesmo ponto da superfície da Terra (no caso de um satélite geoestacionário). Por outro lado, para órbitas mais distantes, o efeito relativístico dominante será o de adiantamento do relógio do satélite pela razão de ele se encontrar numa região onde o campo gravitacional da Terra é mais fraco. Nesse sentido podemos afirmar que, na Lua, que fica a cerca de 384.000 km de distância da Terra, o tempo passa mais rápido em relação ao tempo da Terra. 109 FI S - Re vi sã o: V íto r - D ia gr am aç ão : F ab io - 0 1/ 12 /2 01 6 GRAVITAÇÃO Além disso, se considerarmos a diferença na gravidade perto da superfície da Terra e perto da superfície do Sol, por exemplo, esse tipo de efeito é ainda maior. Um relógio colocado na superfície do Sol correria mais devagar do que um na superfície da Terra. É claro que ninguém pode realmente colocar um relógio na superfície do Sol, porém a redução do ritmo de passagem do tempo perto da superfície solar já foi realmente medida por meio da observação de variações nas posições das linhas espectrais da radiação emitida pelos elementos químicos contidos na estrela. Figura 42 – Ilustração esquemática mostrando o avanço do periélio de Mercúrio a cada século Os efeitos não previstos pela teoria newtoniana da gravitação são, de modo geral, muito mais notáveis em regiões de forte atração gravitacional. Mercúrio, por exemplo, é o planeta mais próximo do Sol. No fim do século XIX, uma das poucas coisas sobre o movimento dos corpos celestes que a lei da gravitação universal não era capaz de explicar era o movimento de precessão do periélio de Mercúrio. De fato, todos os planetas do Sistema Solar apresentam esse tipo de movimento e uma ampla coleção de dados já existia. Os resultados, no entanto, indicavam que Mercúrio estava sempre adiantado em relação ao previsto para o seu movimento. Astrônomos realizavam cálculos utilizando várias abordagens, mas sempre chegavam a uma mesma conclusão, de que não seria possível executar tal órbita somente com as massas conhecidas dos planetas. Era como se faltasse massa nas regiões próximas a Mercúrio. Assim, os astrônomos começaram a imaginar e buscar algum planeta ou satélite natural próximo dele, como foi feito no caso de Netuno. Após inúmeras tentativas sem sucesso, Albert Einstein mostrou teoricamente que o movimento “adiantado” de Mercúrio era previsto, sendo decorrente da modificação das órbitas elípticas dos planetas devido à deformação do espaço-tempo. Como a atração gravitacional é mais intensa em Mercúrio, o desvio relativo à órbita é mais pronunciado. Nossa discussão até agora nos levou a concluir que a luz se propagando perto de um campo gravitacional não segue uma linha reta, mas uma curva que pode ser mais ou menos acentuada, dependendo da intensidade do campo gravitacional. Isso é equivalente a dizer que a menor distância entre dois pontos em um campo gravitacional não é uma linha reta, mas uma curva. A ideia de Einstein ao descrever os campos gravitacionais era que, em vez de abandonar a ideia de que uma linha reta deixa de ser reta, devemos imaginar que o próprio espaço e tempo se curvam na presença de campos gravitacionais. Em uma analogia com uma superfície esférica, como a superfície da Terra, por exemplo, podemos dizer que a menor distância que uma pessoa pode percorrer a pé para chegar de um lugar a outro não é realmente uma linha reta, mas um arco de circunferência com raio igual ao da Terra. 110 FI S - Re vi sã o: V íto r - D ia gr am aç ão : F ab io - 0 1/ 12 /2 01 6 Unidade II Na visão de Einstein, o caminho seguido pelos corpos sob a ação da gravitação, seja a própria luz, seja qualquer outro corpo, sempre deve corresponder à menor distância possível que se pode seguir, dada a restrição imposta pela curvatura do espaço-tempo. Esses caminhos são as órbitas elípticas (ou aproximadamente elípticas, conforme discutimos para o caso de Mercúrio) dos planetas ao redor do Sol ou as trajetórias dos corpos em queda livre, como arcos de parábola. Essa é uma visão completamente oposta à tradicional. Ela abandona o conceito de força em si, que é a base da teoria newtoniana, e adota uma visão geométrica do espaço-tempo, que enxerga a gravitação como um efeito de curvatura, causada na realidade pela presença de massa. Em outras palavras, corpos massivos produziriam uma deformação na curvatura do espaço-tempo que acabaria atraindo outros corpos massivos ou a luz. Figura 43 – Esquema para ilustração de uma deformação produzida no tecido espaço-tempo A atração gravitacional da luz, de fato, quando causada por objetos muito massivos, também dá origem a outro tipo de fenômeno impossível de ser previsto pela teoria newtoniana, a existência de buracos negros. Estes seriam regiões do espaço-tempo cuja massa é tão alta e concentrada que nada poderia escapar de sua atração, nem mesmo a luz. Se enviarmos um sinal elétrico qualquer a essa região, não obteremos qualquer retorno e a enxergaremos como um grande vazio negro. Com efeito, nada escapa de seu alcance, sendo suas regiões limítrofes, ou seja, aquelas nas quais a luz ainda pode escapar, denominadas horizonte de eventos. A formação de um buraco negro, no entanto, não ocorre somente devido a corpos extremamente massivos. Einstein, em sua famosa equação E=m.c2, mostrou que massa e energia são grandezas equivalentes, e assim ambas produziriam deformações no tecido espaço-tempo. A realização de experimentos com altíssimas energias, em grandes aceleradores de partículas, por exemplo, poderiam, a princípio, formar pequenos buracos negros. A existência ou formação deles é um tópico de muita discussão na atualidade e a resposta ainda não é consensual. Como última análise, imagine que uma grande colisão de buracos negros ocorresse em uma região distante do espaço. É óbvio que se estivéssemos muito distantes, jamais saberíamos de sua existência, mas digamos que, neste exemplo, mesmo de longe, conseguíssemos sentir seus efeitos. Será que exatamente no momento da colisão sentiríamos algo? A resposta é não, pois nenhum tipo de informação se propaga com velocidade acima da luz. De fato, este é um problema similar ao de uma pedra caindo sobre um lago. Ao derrubar a pedra, ondas se propagariam até as regiões mais distantes, sendo a perturbação criada pela sua queda transmitida para outros objetos. Somente no 111 FI S - Re vi sã o: V íto r - D ia gr am aç ão : F ab io - 0 1/ 12 /2 01 6 GRAVITAÇÃO instante em que sua onda alcança os corpos, como uma folha, por exemplo, é que estes sentem os efeitos devido à sua
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