010V1_conceitos_basicos

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Matema´tica
Financeira
2013/1
O valor do
dinheiro no
tempo
Conceito de
Matema´tica
Financeira
Principais
varia´veis e
simbologia
Regra do
Banqueiro
Precisa˜o nos
ca´lculos
Bibliografia
Matema´tica Financeira
Semana 1: Conceitos ba´sicos
2013/1
Manuela Longoni de Castro
Wili Dal Zot
Departamento de Matema´tica Pura e Aplicada
UFRGS
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O valor do
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Conceito de
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Principais
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Regra do
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Precisa˜o nos
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Bibliografia
O valor do dinheiro no tempo
Hoje ou amanha˜?
R$ 1,00 hoje vale mais do que R$ 1,00 amanha˜
O que vale mais: R$ 100,00 hoje ou R$ 100,00 daqui uma ano?
Se fizermos essa pergunta para 100 pessoas e´ prova´vel que
mais de 90 ira˜o preferir os R$ 100,00 hoje.
Pode-se ter va´rias razo˜es para essa prefereˆncia:
inflac¸a˜o: a perda do poder aquisitivo da moeda
risco de na˜o receber o dinheiro no futuro
impacieˆncia em consumir bens ou servic¸os imediatamente
outras opc¸o˜es de investimento com expectativa de lucro
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Regra do
Banqueiro
Precisa˜o nos
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Bibliografia
O valor do dinheiro no tempo
Hoje ou amanha˜?
R$ 1,00 hoje vale mais do que R$ 1,00 amanha˜
O que vale mais: R$ 100,00 hoje ou R$ 100,00 daqui uma ano?
Se fizermos essa pergunta para 100 pessoas e´ prova´vel que
mais de 90 ira˜o preferir os R$ 100,00 hoje.
Pode-se ter va´rias razo˜es para essa prefereˆncia:
inflac¸a˜o: a perda do poder aquisitivo da moeda
risco de na˜o receber o dinheiro no futuro
impacieˆncia em consumir bens ou servic¸os imediatamente
outras opc¸o˜es de investimento com expectativa de lucro
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O valor do dinheiro no tempo
Hoje ou amanha˜?
R$ 1,00 hoje vale mais do que R$ 1,00 amanha˜
O que vale mais: R$ 100,00 hoje ou R$ 100,00 daqui uma ano?
Se fizermos essa pergunta para 100 pessoas e´ prova´vel que
mais de 90 ira˜o preferir os R$ 100,00 hoje.
Pode-se ter va´rias razo˜es para essa prefereˆncia:
inflac¸a˜o: a perda do poder aquisitivo da moeda
risco de na˜o receber o dinheiro no futuro
impacieˆncia em consumir bens ou servic¸os imediatamente
outras opc¸o˜es de investimento com expectativa de lucro
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O valor do dinheiro no tempo
Hoje ou amanha˜?
R$ 1,00 hoje vale mais do que R$ 1,00 amanha˜
O que vale mais: R$ 100,00 hoje ou R$ 100,00 daqui uma ano?
Se fizermos essa pergunta para 100 pessoas e´ prova´vel que
mais de 90 ira˜o preferir os R$ 100,00 hoje.
Pode-se ter va´rias razo˜es para essa prefereˆncia:
inflac¸a˜o: a perda do poder aquisitivo da moeda
risco de na˜o receber o dinheiro no futuro
impacieˆncia em consumir bens ou servic¸os imediatamente
outras opc¸o˜es de investimento com expectativa de lucro
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O valor do dinheiro no tempo
O empre´stimo e´ uma troca intertemporal.
Desde que uma quantia hoje representa mais valor do que a
mesma quantia no futuro surge a figura do empre´stimo, ou
seja, a do aluguel do dinheiro por um prec¸o.
A oportunidade de uso, portanto, representa valor para quem
dispo˜e de dinheiro hoje.
Logo existem pessoas dispostas a pagar um prec¸o para dispor
de recursos hoje. Essas pessoas sa˜o a ponta devedora dos
empre´stimos: viver agora, pagar depois.
De outra parte existem pessoas dispostas a se privar de
recursos hoje em troca de um preˆmio por sua espera: pagar
agora, viver depois.
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O valor do dinheiro no tempo
Os juros sa˜o o prec¸o do aluguel do dinheiro
Assim, pode-se dizer que os Juros sa˜o o prec¸o da impacieˆncia
dos devedores e o preˆmio da espera dos credores.
O empre´stimo e´ uma troca intertemporal de uma quantia no
presente pela mesma quantia acrescida de juros no futuro.
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O valor do dinheiro no tempo
A troca intertemporal e´ representada por uma equac¸a˜o de valor
Se consideramos que a quantia referida e´ uma varia´vel
econoˆmica e pode ser representada pela letra P e se, ainda,
tomamos como J a representac¸a˜o dos Juros, a varia´vel
econoˆmica que expressa o prec¸o pago pelo aluguel do dinheiro
emprestado temos a seguinte fo´rmulac¸a˜o matema´tica:
S = P + J
A fo´rmula expressa uma relac¸a˜o de valor: o que hoje vale P
amanha˜ valera´ S, equivalente a P+J.
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Bibliografia
Conceito de Matema´tica Financeira
A Matema´tica Financeira tem por objetivo
o estudo da evoluc¸a˜o do valor dinheiro ao longo do tempo;
esse estudo e´ composto de equac¸o˜es matema´ticas que
expressam a relac¸a˜o entre o valor atual de uma quantia
em dinheiro e o seu valor equivalente no futuro;
de uma forma pra´tica refere-se ao ca´lculo dos rendimentos
dos empre´stimos e de sua rentabilidade
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Principais
varia´veis e
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Principais varia´veis e simbologia
O estudo da evoluc¸a˜o do dinheiro e´ feito pela Matema´tica
Financeira atrave´s de equac¸o˜es onde encontram-se relacionadas
as principais varia´veis econoˆmicas, geralmente simbolizadas por
letras.
Principal(P)
E´ o capital inicial (C) de um empre´stimo ou aplicac¸a˜o
financeira. Tambe´m e´ conhecido por valor presente (VP), valor
atual (VA), valor descontado ou present value (PV), sigla
encontrada na maioria das calculadoras financeiras.
Maior capital inicial implica em mais juros.
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Principais
varia´veis e
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Principais varia´veis e simbologia
Juros(J)
Juros e´ a remunerac¸a˜o do capital emprestado. Da parte de
quem paga e´ uma despesa ou custo financeiro; da parte de
quem recebe e´ um rendimento ou renda financeira.
Sinoˆnimos: encargos, acesso´rios (do principal), rendimento,
servic¸o da d´ıvida.
Montante(S)
Montante e´ o saldo ou valor futuro (VF) de um empre´stimo ou
aplicac¸a˜o financeira. E´ expressa pela equac¸a˜o:
S = P + J
Sinoˆnimos: valor futuro (VF), valor de resgate (VR), future
value (FV).
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Principais varia´veis e simbologia
Prazo(n)
O prazo refere-se ao per´ıodo de tempo que dura o empre´stimoou a aplicac¸a˜o financeira.
Maior tempo implica em maior quantia de juros.
O tempo pode ser medido em diferentes unidades, tais como
dias, meses, trimestres, anos, etc.
O s´ımbolo n tambe´m e´ utilizado para representar nu´mero de
prestac¸o˜es.
Prestac¸a˜o(R)
Prestac¸a˜o refere-se ao valor de pagamentos quando esses sa˜o
feitos em um nu´mero maior que a unidade.
Sinoˆnimos: pagamentos (PGTO), payments (PMT)
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Principais
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Bibliografia
Principais varia´veis e simbologia
Taxa(i)
O juro e´ o elemento fundamental da Matema´tica Financeira.
Conhecer apenas o valor do juro na˜o da´ uma ide´ia completa do
problema!
R$ 200,00 de juros a partir de um recurso financeiro de R$
1.000,00 e´ diferente do que se obtido a partir de R$ 10.000,00.
Por outro lado, os mesmos R$ 200,00 obtidos a partir de um
recurso financeiro apo´s 1 meˆs tambe´m e´ diferente se o forem
do mesmo recurso apo´s 12 meses.
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Principais varia´veis e simbologia
Os juros crescem na medida em que o principal for aumentando
mas tambe´m crescem com o transcorrer do tempo. Essa dupla
dependeˆncia dos juros cria uma dificuldade no seu ca´lculo.
Logo, para calcular os juros usa-se a taxa de juros que
corresponde a relac¸a˜o entre os juros e o principal emprestado
na unidade de tempo. Pode ser apresentado em dois formatos:
taxa unita´ria ou taxa percentual. Exemplo: um empre´stimo de
R$ 1.000,00 rendeu juros de R$ 200,00 em 1 meˆs:
i = jurosem um mesprincipal =
200
1.000 = 0, 20a.m. = 20%a.m.
0,20 ao meˆs e´ uma taxa unita´ria que significa um juro de R$
0,20 a cada R$ 1,00 de principal por meˆs de empre´stimo. 20%
ao meˆs e´ uma taxa percentual que significa juro de R$ 20,00
a cada R$ 100,00 de principal por meˆs de empre´stimo.
Taxas percentuais sa˜o utilizadas no meio financeiro e nas
calculadoras financeiras enquanto que taxas unita´rias sa˜o
utilizadas em fo´rmulas.
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Regra do
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Regra do Banqueiro
As fo´rmulas da Matema´tica Financeira exigem compatibilidade
entre as varia´veis de tempo e taxa, isto e´, se o tempo for
medido em meses a taxa utilizada devera´ ser ao meˆs.
Embora de intuitiva racionalidade essa exigeˆncia nos obriga a
seguir determinadas convenc¸o˜es. A que mais e´ frequentemente
utilizada e´ a Regra do Banqueiro.
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Regra do Banqueiro
Contagem de tempo
Os dias de um empre´stimo ou aplicac¸a˜o financeira de
01/02/2013 a 01/03/2013 podem ser contados de duas
maneiras:
contagem exata: 28 dias
contagem aproximada: 30 dias
Em ambos os casos na˜o conta-se o primeiro dia e conta-se o
u´ltimo. Na contagem exata considera-se os dias efetivamente
existentes. Na contagem aproximada considera-se que todo
meˆs tem 30 dias, independentemente de qual seja o meˆs.
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Regra do Banqueiro
Quantos dias tem ...
Um ano tem:
365 dias, se for ano civil
360 dias, se for ano comercial ou banca´rio
Um meˆs tem: 30 dias
Pela regra do banqueiro todo ano e´ banca´rio logo uma taxa de
juros de 20% ao ano significa que, a cada 360 dias corridos
(contagem exata) uma aplicac¸a˜o financeira de R$ 100,00 rende
R$ 20,00 de juros.
Pela mesma regra do banqueiro todo meˆs tem 30 dias o que
significa uma taxa de juros de 10% ao mes faz com que, a cada
30 dias corridos (contagem exata), uma aplicac¸a˜o financeira de
R$ 100,00 renda R$ 10,00 de juros.
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Regra do
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Regra do Banqueiro
Regra do Banqueiro: exemplo 1
Seja uma aplicac¸a˜o financeira realizada no per´ıodo que vai de
01/02/2013 a 01/03/2013 a uma taxa anual de 45% ao ano.
Nesse caso, para tornar compat´ıvel as unidade de tempo e taxa
deseja-se encontrar a frac¸a˜o de ano que corresponde a
aplicac¸a˜o:
Pela Regra do Banqueiro utiliza-se a combinac¸a˜o: contagem
exata e ano comercial ou banca´rio:
Regra do banqueiro
n = contagem exata de diasdias do ano comercial =
28
360anos
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Regra do Banqueiro: exemplo 2
Considere o per´ıodo que vai de 01/03/2011 a 01/03/2012.
Pela contagem exata esse per´ıodo tem 365 dias. Na contagem
exata todos os dias do per´ıodo, exceto o primeiro, sa˜o
considerados.
Se a taxa de juros for mensal devemos transformar o per´ıodo
em meses:
Regra do banqueiro
n = contagem exata de diasdias do mes =
365
30 m = 12, 1666666667m
No caso de uma taxa de juros anual devemos transformar o
per´ıodo em anos:
Regra do banqueiro
n = contagem exata de diasdias do anocomercial =
365
360a = 1, 0138888889a
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ca´lculos
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Precisa˜o nos ca´lculos
Arredondamento
Boa parte de resultados dos ca´lculos financeiros sa˜o
provenientes de frac¸o˜es.
Algumas delas tem uma representac¸a˜o decimal finita como e´ o
caso de 70010 = 70. Outra, entretanto, tem uma correspondeˆncia
decimal infinita como 14003 = 466, 66666.... Se o que estivermos
procurando for um valor em reais, no primeiro caso a resposta
seria: R$ 70,00, precisamente. Ja´ no segundo caso, temos um
problema de precisa˜o quanto a representac¸a˜o em reais uma vez
que, nessa moeda somente e´ permitido ate´ duas casas
decimais. Assim somos forc¸ados a ”arredondar”a resposta para
R$ 466,67 que e´ o nu´mero mais pro´ximo da resposta correta.
Para arredondar se o primeiro algarismo que sere´liminado for 5
ou maior acrescenta-se 1 no u´ltimo algarismo remanescente.
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Precisa˜o nos ca´lculos
Precisa˜o
Para se obter o ma´ximo de precisa˜o nos resultados e´ necessa´rio
que se evite arredondamentos desnecessa´rios, isto e´,
arredondamentos em ca´lculos intermedia´rios. O
arredondamento somente deve ser feito na resposta final. Uma
das melhores maneiras de se evitar arredondamentos
intermedia´rios e´ valer-se dos recursos da calculadora fazendo os
ca´lculos de forma sequencial. Por exemplo: 23 .100 pode ser
feito de dois modos:
a) 23 = 0, 67 e apo´s 0, 67x100 = 67, 00, ou
b) 23x100 =
2x100
3 = 66, 67
Com toda certeza a segunda opc¸a˜o e´ bem mais precisa do que
primeira.
Para se obter ma´xima precisa˜o na˜o se deve arredondar em
ca´lculos intermedia´rios, apenas a resposta.
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Regra do
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Bibliografia
Bibliografia
Ale´m da refereˆncia ba´sica [2] os temas tratados neste cap´ıtulo
podem ser encontrados tambe´m em [1, 3]
An´ısio Costa Castelo Branco.
Matema´tica financeira aplicada.
Pioneira Thomson Learning, Sa˜o Paulo, 2002.
Wili Dal Zot.
Matema´tica Financeira.
Editora da UFRGS, Porto Alegre, 5a. ed. edition, 2008.
Eduardo Gianetti.
O valor do amanha˜.
Companhia das Letras, Sa˜o Paulo, 2006.
	O valor do dinheiro no tempo
	Conceito de Matemática Financeira
	Principais variáveis e simbologia
	Regra do Banqueiro
	Precisão nos cálculos
	Bibliografia