Aula 13 Modelos de Distribuição Continua

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ESTATÍSTICA E
PROBABILIDADE
Modelos de distribuição contínua
Exercícios
TABELA - Distribuição normal padrão (Z)
0 0 ZZ
Exercícios
1. O peso das pessoas de certa população distribuem-se normalmente
com média 70kg e desvio padrão de 8kg. Determine a proporção de
pessoas da população com peso:
a. Superior a 80kg.
b. Inferior a 54 kg.
c. Entre 54 e 86kg.
d. Entre 78 e 86kg.
e. Qual é o peso, tal que 90% das pessoas da população tenham peso
inferior a esse valor?
R: 0,1056
R: 0,0228
R: 0,9544
R: 0,1359
R: aprox. 80,24 kg
Exercícios
2. Uma fábrica de carros sabe que os motores de sua fabricação têm
duração normal com média 150 000 km e variância de 100 000 000
km2. Sorteado ao acaso um veículo dessa fábrica, qual a probabilidade
que ele tenha um motor que dure ao menos 130 000km?
3. Sabe-se que a probabilidade de um investimento render mais do que
2% é de 80%. Sabe-se, também que a probabilidade de que tenha
rendimento negativo é de 10%. Admitindo que o rendimento desse
investimento segue uma distribuição normal, determine a média e o
desvio-padrão deste investimento.
R: 0,9772
R: 𝜇 = 5,82% ; 𝜎 = 4,55%
Exercícios
4. Uma empresa automotiva diz que um determinado caminhão por ela
produzido apresenta algum tipo de problema no motor após, em média,
rodar 100 mil quilômetros, com um desvio padrão de 35 mil quilômetros.
Além disso, acredita-se que a distribuição da distância percorrida antes
de apresentar algum tipo de problema no motor (X) é bem aproximada
por uma normal.
Se a garantia de um caminhão é dada apenas até ele completar 90 mil
km, qual a probabilidade de algum tipo de problema no motor acontecer
após a perda da garantia de fábrica? R: 0,6141
Exercícios
5. A temperatura ambiente nessa época do ano tem distribuição normal
com uma média de 18°C e um desvio padrão de 3,4°C.
a. Em 75% do tempo, a temperatura é superior a qual valor nessa
época do ano?
b. Encontre o intervalo, simétrico em relação à média, que
corresponda às temperaturas de 90% do tempo nessa época do
ano.
6. Uma empresa consome certa matéria prima segundo uma distribuição
normal com consumo diário médio de 12 toneladas e desvio padrão de
900 kg. Calcule:
a. A probabilidade de faltar essa matéria prima em um determinado dia
em que o estoque inicial é de 13 toneladas.
b. O estoque diário mínimo necessário para se ter uma segurança de
99% de que não haja falta dessa matéria prima.
R: [12,424º ; 23,576º]
R: 0,1335
R: 14097 kg
R: 15,722o
Exercícios
7. Suponha que a absorção de água (%) em certo tipo de piso cerâmico
tenha distribuição normal com média 2,5% e desvio padrão 0,6%.
Selecionando aleatoriamente uma unidade desse piso, qual é a
probabilidade dele acusar absorção de água entre 2% e 3,5%?
8. Suponha que o tempo de resposta na execução de um algoritmo é uma
v.a. com distribuição normal de média 23 segundos e desvio padrão de
4 segundos. Calcule:
a. A probabilidade de o tempo de resposta ser menor do que 25
segundos;
b. A probabilidade de o tempo de resposta ficar entre 20 e 30
segundos.
R: 0,7492
R: 0,6915
R: 0,7333
Exercícios
9. No processo de produção de válvulas, o projeto das hastes que se
ajustam ao orifício, exige uma haste com diâmetro de 22,000 mm.
Porém, hastes com diâmetros entre 21,990 mm e 22,010 mm são
aceitáveis. Se o processo de fabricação desse tipo de haste produz
peças normalmente distribuídas, com média de 22,002 mm e um desvio
padrão de 0,005 mm, calcule:
a. A proporção de hastes com um diâmetro entre 21,99 mm e 22,00
mm.
b. A probabilidade de que uma haste seja aceitável.
c. O diâmetro que será excedido em somente 2% das hastes.
R: 0,3364
R: 0,9370
R: 22,01225 mm
Exercícios
10. O tempo de duração de um tipo de lâmpada incandescente segue uma
distribuição exponencial, com média de 800 horas. Calcule a proporção
de lâmpadas que duram:
a. mais do que 2000 horas;
b. menos do que 400 horas;
c. entre 800 e 1600 horas.
11. O intervalo de tempo (em minutos) entre emissões consecutivas de uma
fonte radioativa é uma v.a. com distribuição exponencial de parâmetro
0,2. Qual é a probabilidade de haver emissão em um intervalo inferior a
dois minutos?
R: 0,0821
R: 0,3935
R: 0,2325
R: 0,3297
Exercícios
12. Admita que o tempo até que uma venda seja realizada em uma loja siga
um modelo exponencial com média de 0,2 horas. Qual é a
probabilidade de uma venda demorar mais de meia hora para ser feita?
13. O tempo de vida (em horas) de um transistor pode ser considerada uma
v.a. com distribuição exponencial com vida média de 500 horas. Qual a
probabilidade de que ele dure mais do que a média?
14. O tempo até a falha do ventilador de motores a diesel tem uma
distribuição exponencial com parâmetro 𝜆 =
1
28700
horas. Qual a
probabilidade de um destes ventiladores falhar nas primeiras 24000
horas de funcionamento?
R: 0,0821
R: 0,3679
O tempo até a falha do ventilador de motores a diesel tem uma distribuição Exponencial com parâmetro horas. Qual a probabilidade de um destes ventiladores falhar
R: 0,567
Exercícios
15. Suponha que o tempo de resposta T em um terminal de computador on-
line específico (o tempo entre o final de uma consulta e o começo da
resposta do sistema para essa consulta) tenha distribuição exponencial
com tempo de resposta esperado de 5 segundos.
a. Calcule a probabilidade do tempo de resposta a uma consulta ser no
máximo de 10 segundos.
b. Calcule a probabilidade do tempo de resposta a uma consulta estar
compreendida entre 5 e 10 segundos.
R: 0,8647
R: 0,2325
Exercícios
16. A função densidade de probabilidade do tempo requerido para
completar uma operação de montagem é 𝑓 𝑥 = 0,1, para 30 < 𝑥 < 40
segundos.
a. Determine a proporção de montagem que requerem mais de 30
segundos para serem completadas;
b. Que tempo é excedido por 90% das montagens?
c. Determine a média e a variância do tempo de montagem.
17. A ocorrência de panes em qualquer ponto de uma rede telefônica de 7
km foi modelada por uma distribuição uniforme no intervalo 0,7 . Qual a
probabilidade de que uma pane venha a ocorrer nos primeiros 800
metros? E qual a probabilidade de que ocorra nos 3 km centrais da rede?
R: 1 segundo
R: 31 segundos
R: 35 segundos; 8,33 segundos
R: 0,1142; 0,4286
Exercícios
18. A espessura de um flange em um componente de uma espaçonave é
uniformemente distribuída entre 0,95 e 1,05 milímetro.
a. Determine a proporção de flanges que excedem 1,02 milímetros.
b. Qual o valor da espessura que é excedida por 90% dos flanges?
c. Determine a média e a variância da espessura do flange.
19. Seja a variável X a corrente medida em um fio delgado de cobre (em
mA). Admitindo-se que a fdp de X seja f(x) = 0,05, 0 ≤ x ≤ 20, calcule:
a. Qual é a probabilidade da corrente elétrica apresentar valores entre
5 e 10 miliampéres?
b. Obtenha a corrente média e o coeficiente de variação da variável.
R: 0,25
R: 10 mA e 57,7%
R: 0,3 mm
R: 0,96 mm
R: E(X) = 1; Var(x) = 0,000833
Exercícios
20. A distribuição uniforme no intervalo (7,5 ; 20) é usada como modelo
para a profundidade (cm) da camada de bioturbação em sedimentos de
uma determinada região.
a. Qual é a média e a variância da profundidade?
b. Qual é a probabilidade de a profundidade observada ser no máximo
10 cm? E entre 10 cm e 15 cm?
c. Qual é a probabilidade de a profundidade observada estar dentro de
1 desvio padrão em relação ao valor da média? E dentro de 2
desvios padrão?
R: 13,75 e 13,0208
R: 0,20 e 0,40
R: 0,5776 e 1