TEORIA DA PLASTICIDADE

Prévia do material em texto

R. M. Natal Jorge 
L. M. J. S. Dinis 
 
 
 
Teoria da Plasticidade 
 
 
 
 
 
 
Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial 
Faculdade de Engenharia 
Universidade do Porto 
 
(2004/2005) 
 
Teoria da Plasticidade 1
 
 
 
 
 
 
Teoria da Plasticidade 
 
 
 
 
1. Introdução 
 
Na generalidade dos projectos de componentes estruturais, admite-se que as 
solicitações impostas conduzem a um comportamento elástico dos materiais que os 
constituem. No entanto, em determinadas situações, como por exemplo, motivos de 
segurança, é necessário prever o comportamento dos componentes perante o aparecimento 
de deformações com características plásticas. Por outro lado, a simulação dos processos 
tecnológicos de fabrico, como por exemplo a estampagem ou o forjamento por injecção, 
envolvem inevitavelmente deformações plásticas nas peças a enformar. 
Para os materiais utilizados normalmente na construção mecânica, e à temperatura 
ambiente, é possível analisar o seu comportamento recorrendo à teoria matemática da 
plasticidade [6][18][19][22][28][36], pois, de uma forma geral, as deformações plásticas 
envolvidas podem-se considerar independentes do tempo. 
No presente texto apresenta-se, de um ponto de vista genérico, os conceitos 
fundamentais do modelo elasto-plástico: critério de cedência, regras de encruamento e de 
escoamento plástico e, leis constitutivas. 
 
Teoria da Plasticidade 2
 
 
 
2. Problemas Uniaxiais 
 
 
Tomando a tensão aplicada σ e a deformação ε, para um comportamento que se 
possa identificar com o comportamento plástico, podem-se fazer as seguintes distinções: 
i) Comportamento linear elástico: 
 σ
σ σ
ε 
Fig. 1-Modelo linear elástico. 
ii) Comportamento rígido-perfeitamente plástico: 
 
 σ
 atrito
σ σ
ε 
Fig. 2-Modelo rígido-perfeitamente plástico. 
 
Teoria da Plasticidade 3
iii) Comportamento rígido-plástico com encruamento linear: 
 
 σ
σ
atrito
ε
 
Fig. 3-Modelo rígido-plástico com encruamento linear. 
iv) Comportamento elástico-perfeitamente plástico: 
 
 σ
atrito
σ σ
ε
 
Fig. 4-Modelo elástico-perfeitamente plástico. 
v) Comportamento elásto-plástico com encruamento linear: 
 
 σ
atrito
σ
ε 
Fig. 5-Modelo elásto-plástico com endurecimento linear. 
 
Teoria da Plasticidade 4
Como exemplo de aplicação, considere-se uma estrutura articulada hiperestática 
representada na figura seguinte. 
y
45 45
L 1 2 3
x, Δ1
P, Δ2 
Fig. 6-Estrutura articulada. 
Considere-se que as três barras são constituídas do mesmo material, cujo módulo de 
elasticidade vale E, apresentam igual secção, A, e a carga de rotura, isto é, a força uniaxial 
(compressão ou tracção) a que corresponde um estado de tensão coincidente com a tensão 
de cedência obtida no ensaio de tracção, é Pc. Admita-se ainda que, uma vez atingida a 
tensão de cedência o material pode deformar-se infinitamente mantendo-se contudo o 
estado de tensão constante. Pretende-se determinar qual o valor da carga de rotura da 
estrutura, Pr, em função de Pc. 
EiAi/Li×cosθi
EiAi/Li×cosθi×senθi
 cosθi
EiAi/Li
×(cosθi)2
Li
y
 θi
x 
Fig. 7-Esforços normais numa barra. 
Teoria da Plasticidade 5
Numa primeira fase estabelece-se um cálculo linear elástico, o que permitirá 
determinar quais os esforços normais suportados por cada barra. Para o efeito, pode-se 
recorrer ao método dos deslocamentos [15], em que numa dada barra i, a uma variação de 
comprimento cosθi, corresponde um esforço normal EiAi/Li×cosθi (ver Fig. 7). 
Considerando os graus de liberdade assinalados na figura, Δ1 e Δ2, tem-se os 
seguintes coeficientes de rigidez para a estrutura: 
3
2
11
1
cosi i i
i i
E A
K
L
θ
=
= ×∑ 
3
21 12
1
cos seni i i i
i i
E A
K K
L
θ θ
=
= × × =∑ 
3
2
22
1
seni i i
i i
E A
K
L
θ
=
= ×∑ 
(1)
 
ou explicitando: 
2 2 2
11
1 2 3
cos 45 cos 90 cos 135 2
2
o o o EAK EA
L L L L
⎛ ⎞= + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
 
21 12
1 2 3
sen45 cos 45 sen90 cos90 sen135 cos135 0
o o o o o o
K K EA
L L L
⎛ ⎞× × ×= = + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
 
2 2 2
22
1 2 3
sen 45 sen 90 sen 135 21
2
o o o EAK EA
L L L L
⎛ ⎞⎛ ⎞= + + = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
(2)
 
O estabelecimento das equações de equilíbrio segundo os respectivos graus de liberdade 
permite determinar as componentes do vector deslocamento do nó de aplicação da força 
exterior, P: 
21
2
2 0
2 0 01
20 1
2
u uEA L
v P v PL EA ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ = ⇒ = ×⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭+⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
 (3)
 
O esforço normal em cada uma das barras pode ser calculado por: 
cos seni i i ii i i
i i
A E A E
F u v
L L
θ θ= × + × (4)
 
Para o conjunto das três barras tem-se: 
Teoria da Plasticidade 6
1 1
1 1
1
2 2
2
2 2
3
3 3
3 3
cos sen
cos sen
cos sen
L L
F
u
F AE
vL L
F
L L
θ θ
θ θ
θ θ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎪ ⎪ = ×⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎢ ⎥⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 (5)
 
ou, atendendo à relação entre comprimentos, L2=L e L1=L3= 2 / 2L , 
2 2
1 2 2
2 21
22 2
3 2 2
2 2
cos 45 sen45 2
01cos90 sen90 2 2
cos135 sen135 2 2
2
F
AE LF P
PL EA
F
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎧ ⎫−⎪ ⎪⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= × × = − ×⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ −⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
 (6)
 
Os esforços calculados, que apenas são válidos enquanto todas as barras 
"funcionarem" no domínio linear elástico, permitem concluir que a barra 2 é a que suporta 
um maior esforço normal, pelo que, num processo de carregamento incremental será a 
primeira a atingir a carga correspondente à tensão de cedência. Com base neste raciocínio 
é possível determinar o valor da força P (P′) que leva a que a primeira barra da estrutura 
(barra 2) atinja a carga de cedência: 
( )2 2 2 2 2cc PF P P P′= = − → = − (7)
 
a que corresponde um deslocamento vertical no nó de aplicação da força, v′: 
2 21 1
2 2
1
2 2
c
c
PL L LPv P
EA EA EA⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
′′= × = × × =− (8)
 
Devido à simetria do problema, as duas restantes barras atingirão em simultâneo a 
carga de cedência, o que ocorrerá quando a força P atingir um valor P″. Para o cálculo 
deste valor pode-se recorrer ao equilíbrio vertical do nó de aplicação da força. 
Teoria da Plasticidade 7
 
A carga de rotura é atingida quando os esforços normais F1 e F3
igualarem a carga de cedência, Pc. A equação de equilíbrio 
vertical permite escrever: 
Pc
F1 F3
P (≡Pr)
 
1 30 cos 45 cos 45 0
v
i cF P F F P= → + + − =∑ (9)
 
Fazendo coincidir F1=F3≡Pc e P≡Pr, resulta: 
( ) ( )1 2 cos 45 1 2r c cP P P= + × = + (10)
 
Para forças exteriores em que se verifique P ∈ [P′,Pr[, o cálculo dos deslocamentos 
nodais faz-se de modo semelhante, mas considerando apenas as duas barras que se 
encontram em regime elástico. 
y
45 45
L 1 3
Pc
x, Δ1
P∈[P′,Pr[, Δ2 
Fig. 8-Estrutura articulada para P>P′. 
 
As componentes do vector deslocamento do nó de aplicação da força tomam os seguintes 
valores: 
2 0 0 022
220
2
c c
u uEA L
P P P Pv vL EA
⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ = ⇒ = ×⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬− −⎢ ⎥ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎢ ⎥⎣ ⎦
 (11)
 
Teoria da Plasticidade 8
Pelo que, para uma força exterior de, (1 2)r cP P P≡ = + , o deslocamento vertical 
segundo o grau de liberdade Δ2 toma o valor: 2 /r cv P L EA= . Pode-se agora traçar o 
gráfico carga-deslocamento, que se encontra representado na Fig. 9. 
P
×Pc
21+
21
1
+
 1 2 ×LPc/EA v 
Fig. 9-Gráfico carga-deslocamento vertical. 
 
 
3. Observações Experimentais: O Ensaio de Tracção 
 
3.1. Limite de Proporcionalidade. Limite Elástico e Tensão de Cedência 
 
A facilidade de execução e a reprodutividadedos resultados tornam o ensaio de 
tracção, um dos ensaios mecânicos mais importantes. 
A aplicação de uma força num corpo sólido promove uma deformação do material na 
direcção dessa força, consistindo o ensaio de tracção em submeter ao corpo sólido uma 
força que tende a alongá-lo. Para a realização do ensaio o corpo sólido tem dimensões 
normalizadas, designando-se provete. O provete é então submetido a um carregamento 
uniaxial o que provoca a sua deformação. Para uma liga metálica, o gráfico tensão-
deformação pode tomar o aspecto representado na Fig. 10. 
Teoria da Plasticidade 9
σ
 P
 B
 A
 O ε
tensão limite elástico
tensão limite proporcionalidade
pε eε
 
Fig. 10-Gráfico tensão-deformação de uma liga metálica. 
 
No ponto A atinge-se o limite do comportamento linear, sendo a tensão 
correspondente designada por tensão limite de proporcionalidade, a partir do qual não é, 
regra geral, aplicável a lei de Hooke como lei constitutiva. Entendendo-se como 
comportamento elástico, o fenómeno associado à ausência de deformações pós 
carregamento, o limite elástico de comportamento do material ocorre no ponto B, 
correspondendo-lhe a tensão, conhecida como tensão limite elástico. 
σ
 O ε
limite superior da
tensão de cedência
patamar de cedência
 
Fig. 11-Gráfico tensão-deformação de um aço de baixo teor em carbono [13]. 
 
Outros metais apresentam no entanto uma curva ligeiramente distinta da anterior 
(Fig. 11). De facto, alguns metais, apresentam um valor de tensão, tensão limite superior 
da tensão de cedência, seguido de uma ligeira quebra. Seguidamente, verifica-se um 
aumento da deformação, mas que não é acompanhado por variação na tensão. Esta região 
Teoria da Plasticidade 10
do gráfico é conhecida como patamar de cedência. Posteriormente, o valor da tensão 
retoma uma variação crescente, designando-se o fenómeno, como encruamento 
(endurecimento por deformação) do material. 
Nos metais mais correntes, a parcela da curva AB no gráfico da Fig. 10 é, em geral, 
muito reduzida, sendo por isso frequente não distinguir entre tensão limite elástico e tensão 
limite de proporcionalidade. Por outro lado, também a diferença entre o valor da tensão 
limite superior da tensão de cedência e o patamar de cedência, ou tensão de escoamento, é 
normalmente muito reduzida, pelo que se refere apenas tensão de cedência, Y0σ . Devido à 
dificuldade existente em distinguir no ensaio todos estes parâmetros, normalmente apenas 
se refere a tensão de cedência como a tensão necessária para provocar uma deformação 
plástica de 0,2%. 
 
 
3.2. Histerese e Encruamento 
 
Na região plástica, isto é, quando o nível de carregamento corresponde a um valor 
para a tensão superior à tensão de cedência, o incremento de deformação plástica é 
acompanhado de um incremento de tensão, e diz-se que houve um encruamento do 
material. 
Regra geral, a curva tensão-deformação de descarregamento pós deformação plástica 
(AA′ do gráfico da Fig. 12) não é exactamente linear e paralela à porção elástica inicial da 
curva. No carregamento seguinte (curva A′A″) observa-se que a curva não coincide com a 
curva de descarga, retomando a curva inicial em A″. Este fenómeno é conhecido por 
histerese [6] não sendo considerado no modelo descrito no presente texto. 
σ
 O A′ ε
A
A″
 
Fig. 12-Gráfico tensão-deformação com descarregamento e carregamento. 
Teoria da Plasticidade 11
 
 
3.3. Efeito de Bauschinger 
 
Considere-se o seguinte ciclo de carregamento: o provete é submetido a um esforço 
de tracção de modo a que, na respectiva curva tensão-deformação se atinja o ponto D (ver 
Fig. 13), portanto para além do ponto representativo da tensão de cedência ( Y0
Tσ ); neste 
ponto (D) o carregamento é totalmente retirado, permanecendo uma deformação plástica 
(ponto G); seguidamente aplica-se um esforço, agora de compressão, atingindo-se o ponto 
D′. Como se esquematiza na figura, os valores em módulo, para a tensão de cedência à 
tracção ( Y0
Tσ ) e compressão ( Y0Cσ ) não coincidem, verificando-se Y0 Y0T Cσ σ> . Esta 
dependência da tensão de cedência com o sentido de carregamento é conhecida como 
efeito de Bauschinger [9]. 
σ
 O G ε
D
D′
Y0
Cσ
Y0
Tσ
 
Fig. 13-Efeito de Bauschinger. 
 
 
3.4. Efeito do Tempo 
 
Geralmente, a deformação permanente é dependente do tempo, verificando-se a 
necessidade de um certo intervalo de tempo para que a deformação plástica atinja o seu 
valor final (real). 
Teoria da Plasticidade 12
σ
 O C ε
PA
A′
P′
B
 
Fig. 14-Curvas tensão-deformação em equilíbrio dinâmico e quase-estático. 
 
Na Fig. 14 representa-se um gráfico tensão-deformação com duas curvas obtidas em 
dois ensaios de tracção realizados a velocidades diferentes. A curva OP é obtida num 
ensaio realizado com uma taxa de deformação superior à taxa aplicada no ensaio referente 
à curva OP′. Conclui-se assim, que a taxa de deformação com que se realiza o ensaio de 
tracção conduz a diferentes curvas tensão-deformação. Outra observação importante que se 
verifica nestes testes, é que, realizando-se o ensaio a uma taxa de deformação finita, e 
portanto numa situação dinâmica, se se parar no ponto A, verifica-se que o estado de 
deformação tende, com o tempo, para o ponto A′, mantendo-se contudo o mesmo nível de 
tensão. Quando o ponto A′ é atingido a taxa de deformação é aproximadamente nula, isto 
é, entre o ponto A e o ponto A′ a taxa de deformação sofreu uma variação, cuja lei pode 
seguir a curva do gráfico da Fig. 15. 
 O t
ε&
p
 
Fig. 15-Variação da taxa de deformação com o tempo. 
 
Realizando-se vários testes para níveis de tensão diferente obtém-se a curva OP′, 
denominada curva quase-estática de tensão-deformação, enquanto a curva OP é designada 
por curva de tensão-deformação dinâmica. O descarregamento realizado a partir do ponto 
A na curva de equilíbrio dinâmico, sendo feito com uma velocidade finita, segue o 
percurso ABC, e em que apenas, do ponto B para C se verifica uma variação linear, 
observando-se uma deformação plástica entre A e B. 
Teoria da Plasticidade 13
Em certos metais, a dependência da deformação plástica com a taxa de deformação 
pode ser razoavelmente quantificada por [24] rε& , em que o expoente r depende da 
deformação plástica e da temperatura. No quadro seguinte apresentam-se vários valores de 
r para um ensaio de compressão realizado à temperatura ambiente [21]. 
 
Quadro I 
Valores de r para as seguintes reduções em altura 
Metal 
10% 30% 50% 
Alumínio 0,013 0,018 0,020 
Cobre 0,001 0,002 0,010 
 
 
3.5. Efeito da Pressão, Humidade e Temperatura 
 
O expoente r, definido anteriormente, de modo a quantificar a dependência da 
deformação plástica com a taxa de deformação é ainda função da temperatura, como se 
mostra no quadro seguinte [21]. 
Quadro II 
Valores de r para as seguintes reduções em altura 
Metal Temperatura (ºC) 
10% 30% 50% 
18 0,013 0,018 0,020 
350 0,055 0,073 0,088 Alumínio 
550 0,130 0,141 0,155 
18 0,001 0,002 0,010 
450 0,001 0,008 0,031 Cobre 
900 0,134 0,154 0,190 
930 0,088 0,094 0,105 Aço 
1200 0,116 0,141 0,196 
Os ensaios experimentais realizados com materiais dúcteis e submetidos a diferentes 
pressões hidrostáticas mostraram que o valor obtido para a tensão de cedência destes 
materiais não é afectado com a variação da pressão hidrostática, verificando-se contudo 
que a deformação na fractura aumenta com a pressão hidrostática [6]. 
Teoria da Plasticidade 14
Considere-se a curva tensão-extensão representada no gráfico da Fig. 16 em que, 
quando se atinge o ponto A da curva localizado na região plástica, a carga é mantida 
constante. Observa-se que a deformação aumenta de A para B e o seu valor depende do 
tempo de permanênciada tensão constante. Quanto maior for o tempo de permanência da 
tensão constante, maior será o alongamento verificado. O fenómeno acabado de descrever 
é conhecido por fluência (creep) [22] e para certos materiais pode até ser verificado à 
temperatura ambiente. 
σ
 O ε
A
B′
B
 
Fig. 16-Definição de Fluência. 
Considerando a extensão de fluência ( cε ) como a extensão total menos a inicial (em 
que se aplicou a tensão), obtém-se tipicamente para os metais uma das curvas 
representadas na Fig. 17 [24]. Na curva de fluência típica (a traço interrompido) é possível 
distinguir três estágios correspondentes a: fluência primária, secundária e terciária. Para 
baixas temperaturas e tensões apenas é visível o estagio de fluência primário, verificando-
se um valor limite. 
 O t
curva de fluência para
elevada temperatura e
tensão
fluência
primária
curva de fluência a baixa
temperatura e tensão
fluência
secundária
fluência
terciária
cε
 
Fig. 17-Curvas de fluência típicas para os metais. 
Para elevadas temperaturas e tensões a fluência primária mostra uma dependência 
logarítmica ou potencial de acordo com uma das seguintes leis [24]: 
Teoria da Plasticidade 15
ln( )c tε ∝ (12.1)
 
c tαε ∝ (12.2)
 
em que α toma valores entre 0 e 1, designando-se por lei de fluência de Andrade para 
α=1/3. 
Segundo Nadai [29], a fluência descrita pela lei da potência pode ser obtida a partir 
duma fórmula que relaciona a tensão, a deformação de fluência ( cε ) e a taxa de 
deformação de fluência ( cε& ): 
( ) ( )n rc cCσ ε ε= & (13)
 
em que C, n e r dependem da temperatura. A fluência terciária é normalmente considerada 
como resultante de modificações ao nível estrutural acompanhada de perda de resistência 
e, eventualmente, de rotura. Segundo Lubliner [24], para um metal submetido a elevadas 
temperaturas e tensões pode-se considerar como característica desse metal a taxa de 
fluência mínima. Para um determinado estado de tensão, a relação da temperatura com essa 
taxa de fluência segue uma lei análoga à expressão de Arrhenius para a taxa de 
deformação, que se analisará adiante. Por outro lado, a dependência dessa taxa de fluência 
mínima, para uma dada temperatura, pode ser aproximada por uma lei exponencial para 
um elevado estado de tensão, ou, para um estado de tensão reduzido, por uma função 
potencial do tipo: 
min
c qε σ∝& (14)
 
Esta relação é normalmente conhecida pela lei de Bailey-Norton [24], verificando-se que a 
expressão de Nadai (13) descreve esta mesma lei tomando n=0 e r=1/q. Uma aproximação 
utilizada para o cálculo da deformação de fluência como função do tempo e para uma dada 
temperatura é a seguinte: 
( ) 0 minc c ct tε ε ε= + & (15)
 
em que mincε& é a taxa de fluência mínima, e 0cε é um valor fictício definido pela intercepção 
da recta tangente à curva de fluência num ponto pertencente à zona em que a taxa de 
fluência é estacionária. 
Todavia, para muitos materiais e a diferentes temperaturas, a deformação inelástica é 
insignificante quando o nível de tensão é inferior à tensão de cedência. Um modelo simples 
que descreve este efeito é o modelo de Bingham: 
Y0
Y0
Y0
0,
1 ,
σ σ
ε σ σ σ σσ η
<⎧⎪= ⎨⎛ ⎞− <⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎩
& (16)
 
Teoria da Plasticidade 16
em que η representa a viscosidade do metal e σ representa o estado de tensão instalado. 
Deve-se ainda observar que o modelo de Bingham acabado de descrever representa de 
facto o modelo mais simples apresentado pela teoria da viscoplasticidade. 
Os trabalhos experimentais demonstraram que nos ensaios de tracção realizados a 
temperaturas superiores à temperatura ambiente se obtêm valores diferentes, quer para as 
constantes elásticas, quer para as propriedades de resistência, dos obtidos à temperatura 
ambiente. Por exemplo, os aços ao carbono revelam um aumento da resistência à tracção 
para temperaturas até 300ºC a partir da qual a resistência à tracção desce cerca de 50% até 
temperaturas da ordem de 500 a 600ºC. De um modo geral, para os metais, verifica-se um 
decréscimo da tensão de cedência com o aumento da temperatura [6] (Fig. 18). 
σ
T
ε 
Fig. 18-Dependência da tensão de cedência com a temperatura [24]. 
 
 
 
3.6. Combinação de Efeitos 
 
Para os metais, a tensão de escoamento é simplesmente a tensão de cedência para o 
estado uniaxial de tensão, expresso como uma função da temperatura, do estado de 
deformação, da velocidade de deformação e da microestrutura. Genericamente, também é 
referida como a tensão efectiva ou tensão equivalente representando um estado triaxial de 
tensões. Assim, pode-se escrever: 
( , , , )f Tσ ε ε ϖ= & (17)
 
em que σ , é a tensão efectiva, ε é a deformação efectiva, ε& é a taxa de deformação 
efectiva, T é a temperatura e, ϖ reflecte a estrutura metalúrgica do material. 
Existem de facto algumas expressões cujo objectivo é determinar a influência que 
cada um dos termos atrás referidos provoca no valor da tensão de cedência. Uma das 
Teoria da Plasticidade 17
funções, baseada na equação de Arrhenius [24], foi proposta por Sellars-Tegart [23][37], 
permitindo analisar a influência da temperatura e da taxa de deformação em simultâneo: 
( )( )273exp QTZ ε += ×& R (18)
 
em que Z é o parâmetro de Zener-Hollomon, Q representa uma energia de activação do 
escoamento plástico, normalmente independente da temperatura e em muitos casos 
independente do estado de deformação, R é a constante de Boltzmann (8,314 J/molºK) e T 
é a temperatura em ºC. 
Outra função para a tensão de cedência e que, contrariamente à de Sellars-Tegart, 
tem em consideração o estado de deformação, através da deformação efectiva ε , é a 
seguinte [37][38]: 
f0 TK K K Kε εσ = & (19)
 
em que f0K é um coeficiente que depende do metal, tomando por exemplo para o aço 
inoxidável valores compreendidos entre 153 e 303, enquanto os restantes parâmetros são 
funções com a seguinte forma: 
( )expT 1 1K A m T= − (20.1)
 
2m
2K Aε ε= (20.2)
 
3m
3K Aε ε=& & (20.3)
 
Os parâmetros Ai e mi diferem de acordo com o tipo de metal. Por exemplo, para o aço 
inoxidável tomam os seguintes valores [17]: 
17,07 0,00284
1,647 0,217
0,789 0,104
1 1
2 2
3 3
A m
A m
A m
= =
= =
= =
 (21)
 
Existem ainda outras expressões que tentam combinar os vários efeitos que os 
diferentes parâmetros possam provocar nas características de resistência, e que foram 
estabelecidas para um determinado tipo de metais, como por exemplo a expressão de 
ALSPEN, que é adequada para as ligas de alumínio [12]: 
( )0 0.001 n mcσ α ε= + & (22)
 
em que α0 é uma função dependente da deformação efectiva, e os coeficientes c, m e n são 
funções não lineares dependentes da temperatura. 
Teoria da Plasticidade 18
4. Lei da Decomposição 
O comportamento elasto-plástico é caracterizado por uma resposta do material, 
inicialmente elástica e, a partir de um determinado nível de tensão, por um comportamento 
essencialmente plástico. O comportamento plástico do material é geralmente acompanhado 
por uma invariância do seu volume. 
 
 σ
ε
a)
Y0σ
Yσ Y ( )fσ ε=
pε
 
 σ
ε
b)
Y0σ
pε
Y0σ σ=
 
 σ
ε
c)
Y0σ
Yσ Y ( )
pfσ ε=
pε
 
 
 
a) carregamento/descarregamento, 
b) modelo elasto-perfeitamente plástico, 
c) modelo elasto-plástico com 
endurecimento. 
 
Fig. 19-Comportamento elasto-plástico obtido num ensaio de tracção. 
Na Fig. 19(a) apresenta-se o comportamento típico, obtido com um provete de 
material plástico e submetido a um teste uniaxial de tracção, com carregamento e 
Teoria da Plasticidade 19
descarregamento. Os modelos normalmente utilizados simulam o comportamento elasto-
perfeitamente plástico (Fig. 19(b)) e elasto-plástico com endurecimento (Fig. 19(c)). 
Na Fig. 20 mostra-se omodelo reológico unidimensional. Aplica-se uma força 
(tensão σ), que provoca um alongamento do modelo (Δl), cujo resultado pode ser aferido 
pela extensão causada: 
0
l
l
ε Δ= (23)
 
que comporta uma componente elástica e, uma componente plástica: 
e pε ε ε= + (24)
E
atrito
σ σY0
σ
1(1 )
e Lε+ 2(1 )p Lε+ 
Fig. 20-Modelo reológico elasto-plástico. 
 
O comportamento do material, isto é, a extensão causada pelo carregamento é 
elástica até um determinado ponto, denominado limite elástico (e a tensão que o provoca: 
tensão limite elástico ou tensão de cedência - Y0σ ), após o qual, o material apresenta 
deformação plástica. No modelo da figura, o comportamento linear elástico é caracterizado 
pela constante elástica da mola E traduzindo-se matematicamente pela expressão: 
( )e pE Eσ ε ε ε= × = − (25)
 
A deformação plástica inicia-se quando a tensão aplicada atinge o valor da tensão de 
cedência ( Y0σ ). O modo como se estabelece esse valor da tensão aplicada, de modo a 
compará-lo com a tensão de cedência, denomina-se critério de cedência. Na figura, a 
tensão de cedência corresponde ao atrito entre as placas. 
Atingida a tensão de cedência, este valor pode, ou não, manter-se constante com o 
aumento de deformação. Se esse valor não depender do aumento da extensão plástica, diz-
se que o material tem um comportamento perfeitamente plástico. Se, pelo contrário, o 
valor da tensão de cedência, aumentar com o crescimento da extensão plástica, diz-se que 
o material está a sofrer um encruamento. 
Teoria da Plasticidade 20
Nas formulações elasto-plásticas contidas neste texto, considera-se apenas as 
pequenas deformações. De acordo com a teoria da elasticidade para as pequenas 
deformações, tem-se o tensor das deformações definido do seguinte modo: 
( )( )T12s= ∇ = ∇ + ∇ε u u u (26.1)
 ( )1 , ,2ij i j j iu uε = + (26.2)
 
em que u∇ é o gradiente dos deslocamentos, e us∇ a sua parte simétrica. 
Considere-se a barra representada na Fig. 21, cujo eixo axial coincide com o eixo 
X=(1,0,0), e sobre a qual se tem como ponto de referência, a partícula com a abcissa 1 X , 
enquanto a extremidade esquerda coincide com a origem do referencial. Mantendo-se a 
extremidade esquerda fixa, aplica-se sobre a outra extremidade um esforço normal de 
tracção. Por facilidade de exposição considera-se apenas as variáveis (e suas derivadas) 
relativas ao eixo coincidente com eixo axial da barra. Numa primeira fase o esforço normal 
de tracção provoca uma extensão longitudinal da barra passando a referida partícula a 
possuir a abcissa 2 1 1X X u= + , pelo que sofreu um deslocamento na direcção axial de 1u . 
Na segunda fase aplica-se um segundo esforço normal de tracção passando a partícula a 
ocupar a posição 3 2 1 2X X u X u= + Δ = + , pelo que o ponto material sofreu um 
deslocamento Δu. 
X
Δu
1 X
1u
2 X
2u
3 X
 
Fig. 21-Lei da decomposição. 
 
Para o processo referente à primeira fase da deformação, o gradiente de deformação, 
e considerando apenas a sua componente não nula, vem: 
2 1 1 1
1,1
1 1 1
1X X u uF
X X X
+′ = = = + (27)
 
Teoria da Plasticidade 21
Quanto à mesma componente referente à segunda fase, e considerando como configuração 
inicial, a configuração final da fase anterior, tem-se: 
3 2
1,1
2 2 2
1X X u uF
X X X
+ Δ Δ′′ = = = + (28)
 
Se o estado final, isto é, a posição do ponto em 3 X , fosse atingida com um único 
incremento, o gradiente de deformação viria: 
3
1,1
1
XF
X
= (29)
 
O mesmo resultado se obtém multiplicando (27) por (28): 
3 32
1,1 1,1 1,1
1 2 1
X XXF F F
X X X
′ ′′= × = × = (30)
 
a que corresponde a extensão total: 
3 1 2
1 1
X X u
X X
ε −= = (31)
 
Considerando as normas dos deslocamentos 1u e 2u muito reduzidas, quando comparadas 
com a dimensão 1 X , a extensão em cada uma das fases é a seguinte: 
2 1 1
1 1
X X u
X X
ε −′= = (32)
 
3 2
1 1
X X u
X X
ε − Δ′′= = (33)
 
Adicionando as extensões de cada fase resulta: 
3 2 3 12 1 2
1 1 1 1
X X X XX X u
X X X X
ε ε ε − −−′ ′′= + = + = = (34)
 
ou seja, obteve-se o valor da extensão total calculado como se de uma só fase se tratasse. 
A multiplicação efectuada em (30) designa-se por lei da decomposição 
multiplicativa, enquanto que a adição efectuada em (34) é denominada de lei da 
decomposição aditiva. Deve-se notar que o cálculo da extensão, ε″, só é válido para 
pequenas deformações, pelo que em pequenas deformações pode-se aplicar a lei da 
decomposição aditiva, enquanto que para grandes deformações pode ser vantajoso utilizar 
a lei multiplicativa [31][32]. 
Teoria da Plasticidade 22
Fazendo coincidir a primeira fase com o domínio elástico, vindo a segunda fase a 
ocorrer no domínio plástico, ter-se-á formalmente para o Tensor das Deformações ε , e 
para o gradiente de deformação, F: 
e p=F F F (35.a)
 
, , ,
e p
i j i j j iF F F= (35.b)
 
e p= +ε ε ε (36.a)
 
e p
ij ij ijε ε ε= + (36.b)
 
Assim, numa formulação elasto-plástica envolvendo pequenas deformações, é habitual 
decompor-se o tensor das extensões numa componente elástica e, numa componente 
plástica, pelo que se torna conveniente estabelecer modelos matemáticos, que traduzam os 
fenómenos físicos da elasticidade e da plasticidade, separadamente. 
O comportamento elástico é descrito pela teoria da elasticidade, importando agora 
definir o modelo matemático para a componente plástica das deformações. Com esse 
objectivo, três aspectos devem ser considerados: 
i) Um critério de cedência indicando o nível de tensão, em termos do tensor das 
tensões, de modo a analisar-se o início da plastificação; 
ii) Uma lei de encruamento, descrevendo, se e como, o critério de cedência depende 
do grau de deformação plástica, depois de se iniciar a plastificação; 
iii) Uma regra de escoamento, definindo a relação entre tensão e deformação pós-
plastificação, comportando a deformação total, as componentes elástica e plástica. 
 
 
5. Funções de Cedência 
 
O aparecimento do comportamento plástico é condicionado por um critério de 
cedência, que na sua forma mais geral, pode ser formulado do seguinte modo: 
( ), 0F ′ =σ α (37)
 
em que ′α indica um conjunto de variáveis de endurecimento e σ é o tensor das tensões. 
Para um material isotrópico, em que a cedência plástica dependa unicamente da grandeza 
das tensões principais, e nunca das suas orientações no espaço das tensões, a função 
escalar F torna-se apenas dependente de um valor escalar, conhecido por parâmetro de 
encruamento -α: 
Teoria da Plasticidade 23
( ) ( ) ( )Y, 0F fα σ α= − =σ σ (38)
 
em que ( )f σ é a função de cedência. Esta função pode tomar várias formas analíticas com 
representação geométrica no espaço distintas. Tratando-se de uma função de tensão pode 
assumir-se como espaço para a respectiva representação geométrica, o espaço de tensões 
de Westergaard [3], em que três eixos mutuamente ortogonais são coincidentes com as 
direcções principais de tensão (ver Fig. 22). 
P O′
P″
P′
O
3σ
2σ
1σ
1 2 3σ σ σ= =
( )f σ
 
Fig. 22-Espaço de Westergaard. 
 
Considere-se um ponto material com um estado de tensão representado pelo ponto P 
e resultante de um incremento traduzido pelo vector 
uuur
OP . Este vector é decomposto num 
vector com a direcção OO′ ( ′uuuurOP ), que coincide com o eixo em que as três tensões 
principais tomam o mesmo valor, e num outro cuja linha de acção se encontra sobre o 
plano normal a OO′ ( ′′uuuurOP ). No caso de se admitir que a pressão hidrostática não tem 
qualquer efeito na cedência do material, esta dependerá somente da intensidade, direcção e 
sentido do vector ′′uuuurOP , ou seja, das tensões de desvio. 
Admitindo que a função de cedência é independente do referencialescolhido dimn� , é 
então possível expressá-la em função dos três invariantes das tensões: 
( )1 tr iiI σ= =σ (39.1)
 
Teoria da Plasticidade 24
( )21 12 2 2tr ij jiI σ σ= =σ (39.2)
 ( )31 13 3 3tr ij jk kiI σ σ σ= =σ (39.3)
 
Com base em observações experimentais, é possível concluir que a deformação 
plástica, ou seja, a função de cedência dos metais, não depende da pressão hidrostática, p 
[5][22]. Consequentemente, a partir da definição das tensões de desvio, 
( ) ( )1 23dev tr= = −s σ σ σ I (40.a)
 
1
3ij ij kk ijs σ σ δ= − (40.b)
 
a função de cedência apenas depende do segundo e terceiro invariantes das tensões de 
desvio: 
( )21 12 2 2tr ij jiJ s s= =s (41.1)
 ( )31 13 3 3tr ij jk kiJ s s s= =s (41.2)
 
Com base nestes dois invariantes é possível estabelecer um outro, cuja interpretação 
geométrica se verá adiante: 
3
1 3
3
2
31 π πsen ; ,
3 6 62
J
J
θ θ− ⎛ ⎞× ⎡ ⎤= − ∈ − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠
 (42)
 
Outra forma de representação geométrica da superfície de cedência é através das 
projecções ortogonais dos eixos das tensões no plano normal a OO′. Na Fig. 23 
encontram-se representadas duas superfícies de cedência: uma corresponde, no espaço das 
tensões principais, a um cilindro; outra, no mesmo espaço, corresponde a um prisma. O 
plano de corte dos objectos geométricos, e que coincide com o plano do papel designa-se 
plano do desviador. 
 3σ
1σ 2σ 
Teoria da Plasticidade 25
Fig. 23-Projecção de duas superfícies de cedência no plano do desviador. 
 
Atendendo a (38) pode-se concluir que, se num determinado ponto de um corpo 
material deformável, se verificar a inequação Y( ) ( )f σ α<σ , o corpo nesse ponto 
apresentará um comportamento elástico. Se, por outro lado, se verificar a igualdade 
Y( ) ( )f σ α=σ , o comportamento será plástico. Atingido este estado, o comportamento 
subsequente desse ponto material, será condicionado pela variação de f relativamente a σ , 
T
d dff ∂⎛ ⎞= +⎜ ⎟∂⎝ ⎠ Lσσ 
(43)
 
em que f∂ ∂σ é um vector normal à superfície de cedência (ver Fig. 24) encontrando-se 
as componentes do tensor das tensões agrupadas sob a forma de um vector (σ ), bem como 
as respectivas variações ( dσ ). 
f∂
∂σ
1
f
σ
∂
∂
2
f
σ
∂
∂
2σ
1σ
 
Fig. 24-Condição de ortogonalidade no espaço das tensões σ1-σ2. 
 
De um modo sucinto, pode-se concluir o seguinte: 
¾ Se df < 0, indica que se está perante uma situação de descarregamento 
elástico. O estado de tensão situa-se no interior da superfície de cedência, 
retomando o material, um comportamento elástico; 
¾ Se df = 0, indica que o estado de tensão atingiu a superfície de cedência, o que 
corresponde a um regime plástico, se o material apresentar comportamento 
perfeitamente plástico (α constante); 
Teoria da Plasticidade 26
¾ Se df > 0, indica que o estado de tensão se mantém sobre a superfície de 
cedência, não se mantendo esta constante. É o que acontece no 
comportamento dum material com encruamento. 
Dado que os mecanismos de rotura são diferentes entre gamas de materiais 
diferentes, não existe um critério de cedência universal para todos os materiais. Por 
exemplo nos materiais correntemente utilizados, é usual distinguir-se os materiais frágeis 
dos materiais dúcteis, pelo que os critérios de cedência a aplicar, nuns e noutros, não 
coincidem. 
 
5.1. Critério da Tensão Normal Máxima 
 
Um dos primeiros critérios a ser estabelecido, até pela natureza do estado de tensão 
existente no ponto central da secção média do provete utilizado no ensaio de tracção, foi o 
critério da tensão normal máxima. Segundo este critério a cedência ocorre quando o estado 
de tensão num ponto material conduz a uma tensão normal máxima que iguala o valor da 
tensão normal máxima verificada para o ponto de cedência no ensaio de tracção. Em 
termos de função de cedência, este critério equivale à seguinte função: 
( ) ( )1 Y,F α σ σ α= −σ (44)
 
O
1 2 3σ σ σ= =3σ
2σ
1σ
 
Fig. 25-Superfície de cedência para a tensão normal máxima. 
Em função dos invariantes anteriormente definidos pode-se ainda escrever: 
Teoria da Plasticidade 27
( ) ( ) ( )1 22 Y32, sen π3 3
IF Jα θ σ α= + × + −σ (45)
 
 
 
5.2. Critério de Tresca 
 
Este critério, postulado por Tresca em 1864 [44], baseado em resultados 
experimentais, admite por hipótese, que a deformação plástica num ponto material, ocorre 
sempre que a tensão tangencial máxima atinge um determinado valor limite. Esta condição 
pode ser representada, em função das tensões principais, pelas expressões: 
( ) ( )1 2 Y Yσ σ σ α α− ≤ = (46.1)
 ( ) ( )1 3 Y Yσ σ σ α α− ≤ = (46.2)
 ( ) ( )2 3 Y Yσ σ σ α α− ≤ = (46.3)
 
em que Y(α) é uma função característica do material obtida com base no ensaio de tracção 
uniaxial, e que depende da deformação plástica. Esta variação pode ser quantificada em 
função do parâmetro de endurecimento, α. Num ponto material, que se encontre no estado 
elástico de deformação, deve-se verificar todas as condições (46) com o sinal de 
desigualdade, enquanto que em regime plástico se deve verificar a igualdade para uma ou 
duas das proposições. Graficamente, as expressões (46) definem, no espaço das tensões 
principais, um prisma hexagonal regular e infinitamente longo, cujo eixo 1 2 3σ σ σ= = é 
perpendicular ao plano do desviador, Π, representado pela equação (ver Fig. 26) [35]: 
1 2 3 0σ σ σ+ + = (47)
 
Teoria da Plasticidade 28
 von Mises Tresca
Plano do
Desviador
1 2 3σ σ σ= =
3σ
2σ
1σ
 
Fig. 26-Representação gráfica das superfícies de cedência de Tresca e von Mises. 
Como se pode observar da figura, a projecção do prisma, representativo da superfície 
de cedência do critério de Tresca, no plano do desviador é um hexágono regular. O critério 
de Tresca apresenta a dificuldade no cálculo de f∂ ∂σ , nas regiões de singularidade (faces 
no modelo 3D e pontos no modelo 2D) existentes na respectiva superfície [51]. 
Este critério tem a seguinte representação matemática: 
( ) ( ) ( )1 3 Y 1 2 3, paraF α σ σ σ α σ σ σ= − − > >σ (48.1)
 ( ) ( )2 Y, 2cosF Jα θ σ α= × −σ (48.2)
 
 
 
5.3. Critério de Mohr-Coulomb 
 
Nos materiais frágeis a rotura verifica-se mediante a ausência de qualquer 
deformação plástica prévia, pelo que no gráfico resultante do ensaio de tracção não é 
visível um ponto que se identifique como um ponto de cedência. Por outro lado, parte dos 
Teoria da Plasticidade 29
materiais frágeis apresentam a particularidade de apresentarem diferentes valores 
característicos de resistência quando sujeitos a esforços de tracção ( Tσ ) e de compressão 
( Cσ ). Este facto pode explicar-se pela existência de inclusões e vazios eventualmente 
existentes no corpo material que provocam uma diminuição da resistência à tracção, pois 
na vizinhança desses "defeitos" verifica-se a existência de elevados gradientes de tensão. 
Ao contrário, quando submetidos a esforços de compressão, verifica-se alguma tendência 
para um aumento da resistência à compressão, já que os vazios eventualmente existentes 
tendem a ser colmatados. 
Admita-se os círculos de Mohr (ver Fig. 27) representativos dos estados de tensão 
limites para o caso de solicitações simples de tracção ( Tσ ) e de compressão ( Cσ ). 
TσCσ σ
τ
 
Fig. 27-Domínio de segurança segundo o critério de Mohr-Coulomb. 
Resultados experimentais permitem concluir que, em aplicações cujas solicitações 
conduzam a estados de tensão triaxiais, existe uma curva envolvente, em parte constituída 
pelo lugar geométrico dos círculos intermédios (curva a traço-ponto na figura). Considere-
se um estado de tensão, cujo par de coordenadas no círculo de Mohr é ( 0σ , 0τ ) provocando 
a cedência do material (Fig. 28). 
 τ τ0
A
B
σσ 1σ0σ3σ
τ
( )τ φ σ= ( )0 0τ φ σ=
 
Fig. 28-Círculode Mohr-Coulomb. 
A curva envolvente pode ser expressa matematicamente como uma função do tipo: 
Teoria da Plasticidade 30
( )0 0τ φ σ= (49)
 
A variações sucessivas no estado de tensão e que provocam a deslocação do ponto A sobre 
a envolvente, correspondem outros pontos relativos à tensão tangencial máxima (B) 
constituindo outra curva cujas equações paramétricas são: 
( ) ( )0 20 1 φστ φ σ ∂∂= + (50.1)
 
( )0 0
0
φσ σ φ σ σ
∂= + ∂ (50.2)
 
as quais por eliminação de 0σ conduzem a uma equação ( )fτ σ= . 
A primeira condição de cedência baseada no círculo de Mohr foi proposta por 
Coulomb em 1773 e baseia-se na hipótese de que as deformações plásticas ocorrem por 
escorregamento existindo uma relação linear entre 0σ e 0τ : 
0 0 tangcτ σ ψ= − × (51)
 
em que c representa a coesão e ψ representa o ângulo de atrito interno. Substituindo (51) 
em (50) e eliminando 0σ obtém-se: 
( )cos tangcτ ψ σ ψ= × − × (52)
 
Esta condição de cedência é representada no espaço de Westergaard por uma 
superfície de cedência, cuja representação geométrica corresponde a uma pirâmide 
hexagonal, e designa-se superfície de cedência de Mohr-Coulomb: 
( ) ( ) ( )1 3 1 31 1, cos sen2 2F cα σ σ ψ σ σ ψ
⎛ ⎞= − − × − + ×⎜ ⎟⎝ ⎠σ (53)
 
No caso particular do material apresentar um ângulo de atrito interno igual a zero 
(ψ=0) resulta a seguinte superfície de cedência: 
( ) ( )1 31, 2F cα σ σ= − −σ (54)
 
A comparação de (48) com (54) permite concluir que o critério de Tresca é um caso 
particular do critério de Mohr-Coulomb com Y ( ) 2 cσ α = × . De facto, no espaço de 
Westergaard a superfície de cedência de Tresca corresponde a um prisma, enquanto a de 
Mohr-Coulomb corresponde a uma pirâmide. No entanto, qualquer uma destas superfícies 
apresenta arestas vivas que no caso de estados de tensão complexos tornam o seu 
tratamento analítico ou numérico de complicada resolução. 
Teoria da Plasticidade 31
Do ponto de vista analítico, a curva envolvente representada no semi-eixo positivo 
das ordenadas é substituída por uma recta tangente aos círculos limites. Na Fig. 29 
encontra-se representado o limite de segurança estabelecido com base no critério de Mohr-
Coulomb, mas com a envolvente substituída pelo segmento de recta FH . O estado de 
tensão em análise está representado pelo círculo de Mohr a traço fino sendo a tensão 
normal máxima 1σ e a tensão normal mínima 3σ . Do ponto de vista prático interessa 
estabelecer uma relação entre o estado de tensão actual, isto é, 1σ e 3σ , com os valores 
limites Cσ e Tσ . 
 A B C
0 
 D
 H
F
1σ3σ
TσCσ σ
τ
E
G
 
Fig. 29-Domínio de segurança simplificado do critério de Mohr-Coulomb. 
Com base características geométricas observadas na figura é possível estabelecer as 
seguintes relações: 
1 3BE BG EG
2 2
Tσ σ σ−= − = − (55.1)
 
AD AF DF
2 2
C Tσ σ= − = − (55.2)
 
1 3CB C0 0B
2 2
T σ σσ += + = − (55.3)
 
CA C0 0A
2 2
T Cσ σ= + = + (55.4)
 
Pela semelhança dos triângulos CBE e CAD obtém-se a seguinte relação: 
CA
CB
AD
BE = (56)
 
ou, em função dos valores de tensão 
Teoria da Plasticidade 32
1 3 1 3 31 1
T T
C T T C T C
σ σ σ σ σ σ σσ
σ σ σ σ σ σ
− − − −= ⇒ − =− + (57)
 
De notar que nesta expressão os valores limites Cσ e Tσ entram em valor absoluto 
enquanto as tensões principais relativas ao estado de tensão tomam o seu valor algébrico. 
O critério de Mohr-Coulomb é utilizado para representar o comportamento dos 
materiais granulosos dotados de atrito interno, tendo-se no entanto verificado que estes 
materiais atingem em geral um estado de cedência plástica à tracção antes de se ter 
atingido a superfície de Mohr-Coulomb. Com o objectivo de ter em conta estes resultados, 
Prandtl propôs em 1921 uma superfície de cedência obtida a partir da de Mohr por 
substituição do vértice da pirâmide por uma superfície parabólica, conhecida por superfície 
de cedência de Mohr-Prandtl e que se pode representar matematicamente pela seguinte 
função: 
( ) ( ) ( ) ( )
1
2
2
1 2 1 3
1 1, 1 tang tang
2
F c
c
α σ σ ψ σ σ ψ⎛ ⎞= − − − − + ×⎜ ⎟⎝ ⎠σ 
(58)
 
 
 
 
5.4. Critério de Beltrami 
 
Para determinado tipo de materiais verifica-se que o início do comportamento 
plástico está relacionado com a quantidade de energia de deformação elástica por unidade 
de volume (U0) que um corpo pode armazenar. A energia de deformação elástica por 
unidade de volume pode ser calculada a partir dos tensores de extensão e tensão: 
0
1
2 ij ij
U σ ε= (59)
 
Atendendo aos conceitos de dilatação média ( mε ) e extensão de desvio ( dε ), 
m
1
3 ii
ε ε= (60)
 
d
mij ij ijε ε ε δ= − (61)
 
bem como aos conceitos de tensão de desvio (s) e tensão média ( mσ ), obtém-se por 
intermédio da lei de Hooke as seguintes relações: 
Teoria da Plasticidade 33
m
m 3k
σε = (62)
 
d
2
ij
ij
sε μ= (63)
 
em que, μ é um dos parâmetros de Lamé (numericamente igual ao módulo de elasticidade 
transverssal-G) e k é o módulo de expansão volumétrica: 
( )2 1
Eμ ν= + (64)
 
( )3 1 2
Ek ν= − (65)
 
Substituindo (62) e (63) em (61) obtém-se o tensor das extensões em função da tensão 
média e do tensor das tensões de desvio: 
m
2 3
ij
ij ij
s
k
σε δμ= + (66)
 
que substituindo em (59) permite rescrever a expressão para o cálculo da energia de 
deformação por unidade de volume: 
0 m
1 1 1
2 2 3ij ij ij
U s
k
σ σ δμ
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
(67)
 
ou ainda, apenas em função do tensor das tensões de desvio e da tensão média: 
2
0 m
1 1
12 2ij ij
U s s
k
σμ= + (68)
 
É ainda usual escrever-se a expressão da energia de deformação em função do segundo 
invariante das tensões de desvio (J2) expresso em (41): 
2
0 2 m
1 1
2 2
U J
k
σμ= + (69)
 
Beltrami apresentou em 1885 [4] um critério de cedência que estabelece para o início 
da deformação plástica o estado de tensão que corresponde a um valor crítico da energia de 
deformação elástica por unidade de volume: 
( ) 22 m 01 1, 2 2 criticoF J Ukα σμ= + −σ (70)
 
Teoria da Plasticidade 34
Este valor crítico pode ser obtido para uma estado de tensão uniaxial, resultante do ensaio 
de tracção: 
( ) ( )2 2Y Y
0 6 18critico
U
k
σ α σ α
μ= + (71)
 
obtendo-se a função de cedência em função da tensão de cedência: 
( ) ( )2 22 m Y1 1 1 1, 2 2 6 18F J k kα σ σ αμ μ
⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟⎝ ⎠σ 
(72)
 
No espaço de Westergaard esta condição de cedência representa-se por uma 
superfície elíptica com simetria circular em relação ao eixo hidrostático. 
 
 
 
5.5. Critério de von Mises 
 
Von Mises formulou um critério de cedência em 1913 [46], sugerindo que a cedência 
ocorre quando o segundo invariante das tensões de desvio 2J atinge um valor crítico: 
( )12 2 0J α− Φ = (73)
 
em que ( )αΦ , dependente do parâmetro de endurecimento (α) é o raio da superfície de 
cedência. Devido à dependência de 2J , a teoria da plasticidade que utiliza este critério em 
conjunto com a lei associativa é referida na literatura como a teoria do escoamento 2J . 
Teoria da Plasticidade 35
von Mises Tresca
(J2=constante) (τmáx=constante)
 θ
3σ
2σ1σ
2 3-σ σ
1 3-σ σ
 
 (a) (b) 
Fig. 30-Representação das projecções das superfícies dos 
critérios de Tresca e de von Mises. 
Como se verá à frente, para o ensaio de tracção, ( ) 2 Y3α σΦ = , pelo que a tensão 
efectiva, σ , em termos do tensor das tensões de desvio, vem: 
2= 3 = 3 2 : = 3 2 ij ijJ s sσ s s (74)
 
resultando finalmente para a condição (73): 
( )Y- = 0σ σ α (75)
 
Existem duas interpretações físicas possíveis para o critério de von Mises. Uma, 
dada por Nadai (em 1937), que introduziu o conceito de tensão de corte octaédrica, 
2= 2 3oct Jτ , que é a tensãode corte nos planos do octaedro regular, cujos vértices 
coincidem com os eixos principais de inércia [13]. Outra interpretação, dada por Hencky 
(em 1924), mostra que a cedência ocorre quando a energia elástica de distorção atinge um 
valor crítico [18]. 
A interpretação de Hencky percebe-se rapidamente se se atender à expressão (69) 
para o cálculo da energia de deformação elástica por unidade de volume. De facto, nesta 
expressão, que contém duas parcelas, a primeira estabelece a energia de deformação 
associada à energia de deformação elástica de distorção, enquanto a segunda estabelece a 
energia de deformação associada à dilatação. Substituindo (65) em (69) resulta: 
Teoria da Plasticidade 36
( ) 2
0 2 m
3 1 21
2 2
U J
E
ν σμ
−= + (76)
 
Por definição do módulo de expansão volumétrica, em elasticidade a condição de 
incompressibilidade é garantida pela imposição de ν = 0,5, resultando um valor nulo para a 
segunda parcela, pelo que a função de cedência vem: 
( ) ( )22 Y1 1, 02 6F Jα σ αμ μ= − =σ (77)
 
Combinando (75) com (77) obtém-se a seguinte expressão para a tensão efectiva: 
23Jσ = (78)
 
concluindo-se deste modo que o critério de von Mises é uma caso particular do critério de 
Beltrami e aplicável a materiais cuja energia de deformação volúmica se pode considerar 
desprezável. 
Da figura anterior, pode-se verificar que os critérios de Tresca e von Mises 
apresentam a sua máxima diferença para o caso do corte puro ( 3 1σ σ= − , 2 0σ = ), 
resultando da aplicação de cada um dos critérios: 
1 3 12Trescaσ σ σ σ= − = (79)
 
( ) ( ) ( )( )2 2 21 1 2 2 3 3 1 12 3von Misesσ σ σ σ σ σ σ σ= − + − + − = (80)
 
Combinando estas duas expressões, pode-se concluir que a tensão efectiva calculada por 
aplicação do critério de Tresca pode ser 2 / 3 1,15≈ vezes maior que a obtida pelo 
critério de von Mises, permitindo concluir que, o critério de Tresca é mais conservativo 
que o de von Mises. 
 
 
 
5.6. Critério de Drucker-Prager 
 
Ainda para aplicação ao comportamento de materiais granulosos dotados de atrito 
interno existe uma outra função de cedência utilizada com alguma frequência e que 
corresponde à superfície de cedência de Drucker-Prager cuja expressão matemática é a 
seguinte [10]: 
Teoria da Plasticidade 37
m 23 0F J kασ ′= + − =( (81)
 
em que os coeficientes α( e k ′ são constantes do material e que dependem do ângulo de 
atrito interno (ψ) e da coesão (c): 
( )
2 sen
3 3 sen
ψα ψ
×= × −
( (82.1)
 
( )
6 cos
3 3 sen
ck ψψ
×′ = × − (82.2)
 
No espaço de Westergaard a superfície representativa do critério de Drucker-Prager 
representa-se por um cone de revolução em torno do eixo hidrostático ( 1 2 3σ σ σ= = ). 
 
 
 
5.7. Critério de Green 
 
Para materiais com fendas interiores ou materiais porosos, Green apresentou uma 
superfície de cedência que é função do coeficiente de porosidade do material [16]: 
( )( ) ( )43
2
2 3 223
m 2 Y2 3 1
ln 3F Jβββ σ σ− ×−
⎛ ⎞= × + × −⎜ ⎟⎝ ⎠
(
(
(
 (83)
 
em que β( é o coeficiente de porosidade sendo definido do seguinte modo: 
volume de vazios
volume total
β =( (84)
 
 
 
 
6. Regra do Encruamento 
 
A regra do encruamento estabelece as condições para que um novo escoamento 
plástico possa ocorrer, depois de se ter atingido o estado plástico do material. Esta situação 
verifica-se em virtude da superfície de cedência poder sofrer contínuas alterações à medida 
que se dá o escoamento plástico. 
Teoria da Plasticidade 38
Na expressão (37) introduziu-se um conjunto de variáveis de endurecimento contidas 
num vector, ′α . Basicamente, existem dois tipos de aproximações para a dependência de 
qualquer variável interna de endurecimento iα′ ′∈α , (1 endurecimentoi n≤ ≤ ) [38]: 
i) Se uma variável de endurecimento é assumida como dependente da 
deformação plástica efectiva, isto é, i i= ( )
pα α ε′ ′ , diz-se que ocorre deformação 
com encruamento, em que a deformação plástica efectiva, pε , é definida do 
seguinte modo [27][49]: 
2 2
3 3:
p p p p p
ij ijε ε ε= =ε ε (85)
 
Esta deformação plástica efectiva «reflecte a história» do processo de 
deformação plástica, na medida em que estabelece que o endurecimento é 
determinado por cada parcela infinitesimal de deformação plástica, e não 
simplesmente pelo seu estado inicial e final: 
( )1 223
0 0
dd d d d
d
p
ijt p
p p p p
ij ijtt
εεε ε ε ε= = =∫ ∫ ∫ (86)
ii) A segunda possibilidade designa-se por endurecimento energético, e relaciona 
a variável de endurecimento com o trabalho plástico total, i i= ( )
pWα α′ , em que 
[1]: 
0 0
: d d
pp ij
p p p
ij ijW
εε
σ ε= =∫ ∫σ ε (87)
 
Segundo Nayak e Zienckiewicz [30] para o caso dos materiais em que seja possível 
aplicar o critério de von Mises, os dois modelos de endurecimento descritos são 
equivalentes, ou seja, as curvas obtidas no ensaio de tracção conduzem ao mesmo nível de 
encruamento. 
A variação da superfície de cedência pode ser classificada, de acordo com três 
modelos elementares [18]: 
¾ Se a superfície de cedência subsequente, provocada pelo incremento de 
deformação plástica, é exclusivamente uma expansão uniforme da superfície de 
cedência precedente, o modelo de encruamento é designado de isotrópico [22]. 
Para o caso bidimensional, exemplifica-se na Fig. 31(a). Este modelo, proposto 
por Odquist [33] apresenta como principal vantagem, a sua simplicidade, não 
conseguindo, no entanto, reproduzir determinados aspectos reais da deformação 
de alguns materiais, como por exemplo o efeito de Bauschinger [9]. 
Teoria da Plasticidade 39
¾ Se a superfície de cedência subsequente, mantiver a mesma forma, mas 
simplesmente for transladada no espaço das tensões como um corpo rígido, o tipo 
de encruamento diz-se cinemático (ver Fig. 31(b)) [20][35][42]. Este modo de 
encruamento, apresentado inicialmente por Prager, surgiu com o objectivo de 
modelar um fenómeno bem visível experimentalmente, o efeito de Bauschinger, 
muito corrente em materiais sujeitos a regimes de carregamento cíclico. 
¾ Endurecimento distorcional, em que se admite a expansão, a translação e a 
rotação da superfície de cedência, ou inclusive a mudança de forma [11]. 
 
Superfície
de cedência
corrente
Superfície de
cedência inicial
σ
τ
 
Superfície
de cedência
corrente
Superfície de
cedência inicial
σ
τ
 
Fig. 31- (a) Encruamento isotrópico (b) Encruamento cinemático 
 
 
Com o objectivo de modelar matematicamente os dois primeiros modos de 
encruamento, admite-se que a escolha das variáveis de endurecimento no vector ′α , pode 
ser a seguinte: 
( ){ }T ,p b pε ε′ =α σ (88)
 
em que, o valor escalar da deformação plástica efectiva pε é suficiente para a definição de 
qualquer tipo de endurecimento isotrópico, enquanto que o tensor, bσ , usualmente 
conhecido por tensor das tensões de recuperação [38], é necessário para a descrição do 
endurecimento cinemático. A tensão de recuperação observa-se graficamente pela 
translação no espaço das tensões do centro da superfície de cedência, tendo portanto a 
mesma dimensão do tensor das tensões. 
A expressão (38) pode ser reformulada, adicionando o encruamento cinemático e, 
assumindo para o endurecimento isotrópico, a igualdade = pα ε , resultando: 
Teoria da Plasticidade 40
( ) ( )( ) ( )Y, 0b p pF f ε σ ε′ = − − =σ α σ σ (89)
 
Com base em (89), importa definir as leis para o encruamento isotrópico e para o 
encruamento cinemático. Para o encruamento isotrópico, pode-se admitir uma função, 
dependente simplesmente, do valor de início da plastificação Y0σ e, de uma função 
unicamente dependente da deformação plástica efectiva [35]: 
( )Y Y0 phσ σ ε= + (90)
 
exprimindo-se a lei do encruamento isotrópico do seguinte modo: 
( )Y ppd H dσ ε ε′= (91)
 
em que, H ′é a derivada da função geral h, relativamente a pε . 
Além do comportamento perfeitamente plástico, isto é, h ≡ 0 , em aplicações práticas 
assume-se normalmente outras duas hipóteses [38]: 
Y Y0
pHσ σ ε= + (92)
 ( ) ( )( )Y Y0 0 1 exp pH H nεσ σ ε∞= + − − −) (93)
 
em que, H, H∞ , 0H
)
 e nε nε, são constantes do material. 
O encruamento cinemático é mais complexo de definir, pois não é um valor escalar. 
É necessário expressar o incremento escalar e a direcção para o incremento da tensão de 
recuperação, o que pode ser feito da seguinte maneira [1][38]: 
( )23b p p kFd K dε ε ∂′= ∂σ σ) (94)
 
em que: 
k b= −σ σ σ (95)
 
A função de cedência F é, à priori, assumida como o potencial na validação da 
variável interna do encruamento cinemático, o que leva à conhecida lei associativa do 
escoamento plástico. Na prática, o encruamento cinemático é assegurado como sendo 
linearmente dependente de pε , ou seja, ( )pK K constanteε′ ′= ≡) em (94). 
Também são possíveis modelos numéricos combinando os dois encruamentos. Os 
termos lineares de ambas as leis podem ser expressos por H e β ′ em vez de H e K ′ 
[2][38]: 
Teoria da Plasticidade 41
Y Y0
pHσ σ β ε′= + (96.1)
 ( )1K Hβ′ ′= − (96.2)
 
em que β ′ é uma constante, [ ]0 , 1β ′ ∈ . 
Tendo em atenção novamente o ensaio de tracção, mostra-se na Fig. 32 uma curva 
típica de um ensaio de tracção dum provete metálico. A curva resulta das medidas de 1σ e 
1ε , em que o índice 1 indica a direcção para a primeira direcção principal. 
ET
 E
σ
τ
Y0σ
dσ
dε
d eεd pε
 
Fig. 32-Curva tensão-deformação de um ensaio de tracção uniaxial. 
 
Importa agora mostrar que para além da relação entre 1σ e 1pε , o mesmo gráfico 
também representa a relação entre os valores efectivos do estado de tensão e do 
correspondente estado de deformação, ou seja, - pσ ε . 
No ensaio de tracção tem-se, por hipótese, 1 0σ ≠ e 2 3 0σ σ= = , vindo a tensão 
média m 13 3iiσ σ σ= = . As tensões de desvio segundo as direcções principais são: 
Teoria da Plasticidade 42
2 1
1 1 2 3 13 3;= = = −s s sσ σ (97)
 
Utilizando o critério de von Mises e por conseguinte, substituindo estas tensões de desvio 
na expressão para o cálculo da tensão efectiva (74), obtém-se: 
( )3 2 1 1 2 2 3 3 1s s s s s sσ σ= + + = (98)
 
De modo análogo para a deformação plástica efectiva, em que se assume a 
incompressibilidade do material (ν=0,5), e consequentemente, as outras duas deformações 
plásticas principais são 2 3 1-0,5
p p pε ε ε= = , resultando: 
( )2 3 1 1 2 2 3 3 1p p p p p p p pε ε ε ε ε ε ε ε= + + = (99)
 
Então, para que a expressão que relaciona - pσ ε , seja válida para 1 1- pσ ε , pode-se 
relacionar facilmente 1σ com 1pε , e assumir essa relação como válida para o caso geral 
- pσ ε , isto é [35]: 
( ) 1
1
p
p p
ddH
d d
σσε ε ε′ = = (100)
 
A tangente local à curva tensão-deformação, TE , calcula-se a partir da curvatura obtida no 
ensaio: 
1
T
1
ddE =
d d
σσ
ε ε= (101)
 
O módulo de encruamento pode-se obter, em função desta tangente, do seguinte 
modo: 
( )
1
1 1 1 T T
1 T1 1 1 1
1 T1
111
p
p e e
d
d d d E EH
d E E Ed d d d
d Ed
σ
σ σ εε σε ε ε ε
σε
′ = = = = = −− −−
 (102)
 
Conclui-se assim, que a função de encruamento ( )pH ε′ , necessária para uma 
implementação numérica, pode ser obtida a partir do ensaio de tracção uniaxial. 
Note-se ainda, que no domínio elástico se tem no ensaio a seguinte relação tensão-
deformação: 
Teoria da Plasticidade 43
1
1
=
e
e
dE
d
σ
ε (103)
 
 
 
7. Teoria do Escoamento Plástico 
 
 
No estudo do comportamento dos materiais em regime plástico existem duas 
formulações em que se baseiam as relações constitutivas: 
Teoria incremental - admite a influência da trajectória de carregamento e 
portanto relaciona o tensor das tensões aos 
incrementos de deformação plástica; 
Teoria da deformação total - relaciona o tensor das tensões com o tensor das 
extensões. 
A primeira formulação (teoria incremental) serve de base à denominada teoria do 
escoamento plástico, enquanto que a segunda (teoria da deformação total) suporta a teoria 
da deformação plástica. De uma forma geral, o estado de deformação plástico depende da 
trajectória do carregamento, coincidindo ambas as teorias para o caso em que o 
carregamento apresenta uma trajectória linear. Todavia, a teoria da deformação plástica, 
embora ignore a influência da trajectória de carregamento, é frequentemente utilizada, pois 
a sua aplicação simplifica consideravelmente a solução de problemas em plasticidade. 
A teoria do escoamento plástico baseia-se em alguns princípios que são descritos 
seguidamente. 
 
 
 
7.1. Postulado de Drucker 
 
Se o material no ensaio de tracção atingir a tensão de cedência, passa a ter um 
comportamento plástico, sendo a parcela da energia acumulada denominada energia 
plástica. A energia elástica (associada ao processo de deformação elástico) de deformação 
é totalmente recuperável, designando-se esse processo conservativo. Relativamente à 
energia associada a um comportamento plástico, esta não se pode designar por processo 
conservativo, pois devido a fenómenos de origem térmica e/ou de contacto a nível atómico, 
o processo é dissipativo. Tendo como objectivo tratar esses fenómenos de uma maneira 
Teoria da Plasticidade 44
sistemática e passível de modelação surgiram o postulado de Drucker e a regra da 
normalidade [7]. 
Admitindo que o encruamento do material por deformação pode ser descrito como 
uma função do estado de tensão e da deformação plástica na forma infinitesimal pode-se 
considerar as seguintes relações [24]: 
 0pσε > → processo de encruamento (104.1)
 0pσε = → material perfeitamente plástico (104.2)
 0pσε < → processo de amaciamento (104.3)
 
que para um ensaio de tracção (estado uniaxial de tensão) podem ser representados pelo 
gráfico da Fig. 33. 
σ
ε
0pε >
0σ <
0σ >
0σ =
0σ =
0pε <
0σ >
0σ <
 
Fig. 33-Postulado de Drucker: ilustração para um estado uniaxial. 
 
Para um ponto material submetido a um estado de tensão σ e a um estado de 
deformação plástico pε , o produto pσε corresponde, em termos dimensionais, à energia 
por unidade de volume. Considere-se então um estado de tensão uniaxial cujo valor é σ a 
que corresponde a deformação plástica pε . Admita-se um incremento de carga, que 
conduz a um incremento de tensão (dσ), provocando um incremento de deformação dε, o 
qual pode ser decomposto numa componente elástica d eε e, numa plástica d pε (sendo 
Teoria da Plasticidade 45
portanto o incremento total de deformação: d d de pε ε ε= + ). Seguidamente procede-se ao 
descarregamento desse incremento de carga. O trabalho efectuado pelo incremento de 
carga vale: 
( )d d d de pdσ ε σ ε ε= + (105)
 
Admita-se agora um processo cíclico de carregamento-descarregamento, partindo-se do 
mesmo estado inicial de tensão (σ) e deformação plástica ( pε ). O trabalho desenvolvido 
pelo sistema que actua sobre o sólido neste ciclo de carregamento-descarregamento 
depende apenas da parcela plástica do incremento de deformação: 
d d pσ ε (106)
 
Por outro lado, e para os referidos incrementos de tensão e deformação, verifica-se 
que o trabalho correspondente à parcela elástica do estado de deformação ( d d eσ ε ) é 
sempre positivo, enquanto que o trabalho correspondente à parcela plástica do estado de 
deformação pode tomar um valor maior ou igual a zero. Desta forma, para o estado de 
deformação total resulta que: d d 0σ ε > . Assim, Drucker definiu que um material é 
susceptível de encruar com o incremento do estado de deformação plástica se, para um 
carregamento incremental o trabalho desenvolvido forpositivo e, no processo de 
carregamento–descarregamento o trabalho realizado for não negativo. A definição acabada 
de descrever é conhecida na literatura como o postulado de Drucker, vindo para um estado 
geral de tensão/deformação [24]: 
d d 0ij ijσ ε > (107.1)
 
d d 0pij ijσ ε ≥ (107.2)
 
Particularizando para um material com comportamento perfeitamente plástico 
verifica-se d d 0pij ijσ ε = , sendo d d 0pij ijσ ε ≥ válido para um material com encruamento. 
Note-se que o termo referido nesta descrição para incremento de carga deve entender-se 
como algo que provoca o incremento de tensão. Todavia, como se pode verificar 
facilmente pela observação do gráfico tensão-deformação esta descrição não é válida para 
certos materiais, como por exemplo para um material perfeitamente plástico, em que num 
estado uniaxial de tracção não é possível qualquer aumento no valor da tensão. Por outras 
palavras, para um controle ao nível do estado de tensão estes materiais são instáveis. 
Também para os materiais cujo gráfico tensão-deformação revele um amaciamento 
do estado de tensão, o pressuposto adoptado por Drucker, ao considerar o incremento de 
carga (incremento de tensão) como variável independente, ao qual corresponde uma 
resposta em termos de extensão (variável dependente), não é válido. Neste caso, um 
determinado estado de tensão conduziria a mais que um estado de deformação possível. 
Teoria da Plasticidade 46
Tendo em vista a resolução do problema descrito, isto é, a falha na relação unívoca 
tensão-deformação, pode-se imaginar uma relação em que a variável independente seja o 
estado de deformação. Segundo Lubliner [24], esse facto, decorrente do trabalho pioneiro 
de Ilyushin (1961), representa uma vantagem para a utilização de um critério de cedência 
fisicamente baseado em deformações. Para uma análise não linear do material e rotura no 
betão, por exemplo, alguns autores desenvolveram critérios de cedência seguindo esta 
abordagem [34]. 
O postulado de Drucker acabado de descrever e em que um incremento de carga 
provoca um incremento infinitesimal de tensão, também pode ser estendido para um 
incremento de tensão finito. Em particular, para o caso em que o estado de tensão inicial 
( *ijσ ) se encontra no interior da superfície de cedência e o estado de tensão final ( ijσ ) está 
sobre a superfície de cedência. Admitindo então um incremento de carga que conduza o 
estado de tensão de *ijσ para o estado de tensão ijσ e subsequentemente um 
descarregamento que conduza novamente o estado de tensão para *ijσ , o postulado de 
Drucker implica a seguinte relação: 
( )* d 0pij ij ijσ σ ε− ≥ (108)
 
 
7.2. Postulado da Dissipação Plástica Máxima 
 
Admitindo um problema em que apenas se considere um estado de tensão uniaxial, a 
expressão (108) pode rescrever-se do seguinte modo: 
( )* d 0pσ σ ε− ≥ (109)
 
Esta desigualdade representa a propriedade de que a variação de extensão é positiva 
se o valor do estado de tensão final não for inferior ao estado de tensão inicial elástico. 
Esta interpretação constitui o postulado da dissipação plástica máxima e que, segundo 
Lubliner [24] foi proposto independentemente por von Mises em 1928, por Taylor em 
1947 e por Hill em 1948. Utilizando uma abordagem em termos do espaço das 
deformações, tem-se um postulado análogo devido a Ilyushin. 
A expressão (109) tem importantes consequências na teoria da plasticidade. 
Considere-se por exemplo, que a superfície de cedência é diferenciável em todos os seus 
pontos, como ocorre na superfície correspondente ao critério de von Mises. Desta forma, 
num qualquer ponto pertencente à superfície de cedência é possível definir um plano 
tangente à superfície e um vector normal a esse plano. Admitindo uma representação 
Teoria da Plasticidade 47
esquemática da superfície de cedência num espaço bidimensional como o representado na 
Fig. 34, a relação (109) representa um produto escalar: 
( )* d 0pσ σ ε− ⋅ ≥ (110)
 
σ
*σ
*-σ σ
d pε
 
Fig. 34-Normalidade do vector incremento de deformação. 
Para que o produto interno (110) possa ser válido para um estado de tensão elástico 
inicial arbitrário, o vector correspondente ao incremento de deformação plástica d pε , deve 
ser normal ao plano tangente à superfície e com o sentido a apontar para fora da superfície. 
A descrição acabada de descrever é conhecida como a regra da normalidade [22][24]. 
No entanto, como se pode verificar na Fig. 35, se o estado de tensão inicial se 
encontrar do outro lado do plano tangente a inequação (110) é violada. Deste modo, toda a 
região elástica se encontra do mesmo lado do plano tangente, pelo que se pode concluir 
que a superfície de cedência é convexa. 
σ
*σ
d pε
*-σ σ
 
Fig. 35-Convexidade da superfície de cedência. 
A regra da normalidade, bem como a conclusão acerca da convexidade da superfície 
de cedência são consideradas propriedades consequentes do postulado da dissipação 
plástica máxima. 
 
 
Teoria da Plasticidade 48
 
7.3. Potencial Plástico e Regra de Escoamento 
 
Na teoria do escoamento plástico relaciona-se incrementos infinitesimais de tensão 
com incrementos infinitesimais de deformação. O incremento infinitesimal de deformação 
total dε é igual à soma dos incrementos infinitesimais correspondentes a uma componente 
elástica d eε e a uma componente plástica d pε : 
d d de p= +ε ε ε (111.a)
 
d d de pij ij ijε ε ε= + (111.b)
 
Lévy (1871) e mais tarde von Mises (1913) propuseram que o incremento total de 
extensão se relaciona com o respectivo estado de tensão da seguinte forma: 
d dγ=ε s (112.a)
 
d d ijsε γ= (112.b)
 
em que γ é um coeficiente de proporcionalidade e que pode eventualmente variar ao longo 
do processo de deformação plástica. Naturalmente, que a expressão (112) só seria aplicável 
em materiais cujo processo de deformação não inclua componente elástica (Hill denomina-
os de materiais fictícios [18]). 
No entanto, admita-se a aplicação de (112) a um material cujo processo deformação 
inclua também componente elástica. Para esta situação suponha-se que à componente 
elástica do incremento de deformação é aplicável a lei de Hooke e que à restante parte do 
incremento de deformação (componente plástica) se aplica a expressão (112). Deste modo, 
o incremento infinitesimal de extensão total pode então ser calculado por intermédio da 
seguinte expressão: 
( ) ( ) ( )m1 3d d d d - d2 1e pij ij ij ij ij ijsνε ε ε σ δ σ γμ ν⎛ ⎞⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠ (113)
 
O trabalho de deformação correspondente ao incremento de deformação plástica 
vem: 
( )m 2d d d d d 2dp pij ij ij ij ij ij ij ij ijW s s s s s Jσ ε σ γ γ δ σ γ γ= = = + = = (114)
 
em que J2 representa o segundo invariante das tensões de desvio definido em (41.1). 
A partir de (114) e considerando a condição de cedência de von Mises obtém-se para 
o coeficiente dγ: 
Teoria da Plasticidade 49
2
2
d 3dd
2 2
p pW W
J
γ σ= = 
(115)
 
Substituindo em (113) o valor de dγ calculado em (115) obtém-se a denominada 
equação de Prandtl-Reuss [22][24]: 
m
1 3 3dd d
2 1 2
p
ij ij ij ij
W sνε σ δ σμ ν σ
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟+⎝ ⎠ 
(116)
 
De facto, segundo Hill [18], a extensão da expressão de Lévi-Mises (112) para problemas 
planos e em que o processo de deformação incluísse no respectivo incremento ambas as 
componentes (elástica a plástica) deve-se a Prandtl (1924), tendo posteriormente Reuss 
(1930) efectuado a generalização para problemas tridimensionais. 
Admitindo que o incremento de deformação elástica é desprezável, quando 
comparado com o incremento de deformação total, a partir de (113) pode-se calcular o 
incremento de deformação total do seguinte modo: 
d dij ijsε γ= (117)
 
A expressão (117) permite calcular o incremento de extensão total a partir do tensor 
das tensõesde desvio e corresponde às equações de Lévi-Mises: 
( )( )12dd xx xx yy zzεε σ σ σσ= − + (118.1)
 
( )( )12dd yy yy zz xxεε σ σ σσ= − + (118.2)
 
( )( )12dd zz zz xx yyεε σ σ σσ= − + (118.3)
 
3 dd
2xy xy
εε τσ= (118.4)
 
3 dd
2xz xz
εε τσ= (118.5)
 
3 dd
2yz yz
εε τσ= (118.6)
 
Analisando as equações de Lévy-Mises verifica-se uma analogia com a lei de Hooke 
para a elasticidade em que o inverso do módulo de Young (1/E) é substituído pelo 
coeficiente dγ e, o coeficiente de poisson é igual a 0,5, assegurando desse modo a 
Teoria da Plasticidade 50
condição de incompressibilidade. Pode-se ainda concluir que as equações de Lévy-Mises 
são um caso particular das equações de Prandtl-Reuss (116), que por sua vez são um caso 
particular da equação de escoamento (113). 
A lei do escoamento plástico pode ser obtida por uma outra via, em que se considera 
que o incremento de deformação plástica deriva de uma função potencial. Entende-se por 
função do potencial plástico ( )Q σ a função escalar do tensor das tensões a partir da qual 
os incrementos de deformação plástica podem ser determinados por derivação parcial em 
ordem às componentes do tensor das tensões [6][18][22][36]: 
dd dp Qγ= ∂ε σ (119.a)
 
d dpij
ij
Q∂ε γ ∂σ= (119.b)
 
em que o escalar dγ, é uma constante de proporcionalidade maior que zero, denominado 
multiplicador plástico. 
Do mesmo modo, como se fez na validação do incremento da tensão de recuperação, 
assume-se também aqui uma lei da plasticidade associativa, isto é, a função de cedência 
coincide com o potencial plástico, Q F≡ . 
A lei associativa do escoamento plástico também é referida como condição de 
normalidade, pois o gradiente /F∂ ∂σ , designado correntemente por vector fluxo, é normal 
à superfície de cedência em qualquer ponto do espaço das tensões. 
Para os metais, a utilização da lei associativa origina resultados concordantes com 
observações experimentais [3][39]. No entanto, pode-se mostrar que a lei associativa do 
escoamento plástico e a lei associativa do encruamento cinemático, são equivalentes ao 
princípio da máxima dissipação plástica [18][25][26], o que torna a utilização da lei 
associativa aceitável do ponto de vista termodinâmico [38]. Na Fig. 36 representa-se 
geometricamente a lei associativa e não associativa. 
Teoria da Plasticidade 51
 F≡Q
2σ
1σ
F Q∂ ∂≡∂ ∂σ σ
 
Q
F
2σ
1σ
F∂
∂σ
Q∂
∂σ
 
 a) b) 
Fig. 36-Formas de escoamento: (a) associado; (b) não associado. 
Note-se que, para outros materiais, como por exemplo, em solos, a aplicação de 
regras de escoamento plástico fazendo uso da lei não associativa em simulações numéricas, 
conduz a resultados mais realistas [45][50]. 
No presente texto, a aplicação da lei associativa aos metais, significa que as funções 
de cedência de von Mises e de Tresca são também potenciais plásticos. 
 
 
 
8. Anisotropia Plástica 
 
Nos itens anteriores admitiu-se que o material apresenta propriedades com carácter 
isotrópico, sendo usual efectuar-se a generalização e designar-se o material por isotrópico. 
De facto, muitos materiais não apresentam propriedades isotrópicas, mesmo quando 
sujeitos a estados de tensão em domínio linear elástico (por exemplo os materiais 
compósitos). No entanto, outros materiais, embora apresentando características isotrópicas 
em regime elástico, em conjugação com determinadas aplicações envolvendo plasticidade, 
ou são fortemente anisotrópicos, ou adquirem anisotropia ao longo do processo de 
deformação plástica. 
Teoria da Plasticidade 52
Sob uma perspectiva macroscópica, a anisotropia plástica evidencia-se como a 
característica do material em apresentar comportamentos diferenciados para distintas 
direcções. Recorrendo a título exemplificativo, a processos tecnológicos relacionados com 
a conformação em chapa, considere-se a direcção de rolamento (RD) e a direcção 
transversal à direcção de rolamento, ou simplesmente direcção transversal (TD), como se 
mostra na Fig. 37. As propriedades mecânicas da chapa podem apresentar características 
distintas, quando se considera uma, ou outra direcção. 
RD
TD 1
2
3
Rolo
 
Fig. 37-Direcções consideradas na anisotropia. 
Em 1948, Hill propôs um critério de cedência aplicável a materiais anisotrópicos 
(apresentando simetria ortotrópica) e que se pode considerar como uma generalização do 
critério de von Mises [18]. De facto, pode-se entender a superfície de cedência 
representativa do critério de Hill como uma distorção da superfície correspondente ao 
critério de von Mises. Tomando as direcções de rolamento e transversal como sendo as 
direcções principais (ver Fig. 37) e considerando o espaço das tensões principais para a 
representação da superfície de cedência, a forma matemática representativa da superfície 
de cedência correspondente ao critério de Hill é a seguinte: 
( ) ( ) ( )2 2 22 3 1 3 1 2F G Hσ σ σ σ σ σ− + − + − (120)
 
em que F,G, e H são constantes do material que caracterizam a anisotropia. 
Para um estado uniaxial de tensão, correspondente ao ensaio de tracção, a direcção 
da tensão coincide com a direcção principal 1 (sendo o estado de tensão representado por 
1 0σ σ= ≠ , 2 3 0σ σ= = ), obtendo-se: 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 20 0 0 0F G H G Hσ σ σ− + − + − = + (121)
 
Teoria da Plasticidade 53
Igualando (120) ao segundo membro de (121) obtém-se a tensão equivalente para o critério 
de cedência de Hill (em função das tensões principais) 
( ) ( ) ( )2 2 22 2 3 1 3 1 2F G HG H G H G Hσ σ σ σ σ σ σ= − + − + −+ + + (122)
 
De notar, que para um material que apresente as constantes F=G=H=1/2 o critério de 
cedência de Hill coincide com o critério de von Mises (como se pode confirmar com (80)). 
Como se referiu anteriormente, uma das aplicações do critério de Hill envolve 
componentes em chapa, e portanto, peças em que uma das dimensões (no caso da chapa é a 
espessura) é muito inferior, quando comparada com as outras duas. Neste tipo de 
componentes é usual admitir-se que uma das tensões normais (a normal ao plano tangente 
à superfície média da chapa) é desprezável (tome-se 3 0σ ≈ ). A tensão equivalente 
correspondente ao critério de Hill vem então 
( )22 22 1 1 2F G HG H G H G Hσ σ σ σ σ= + + −+ + + (123)
 
Fazendo uso da lei associativa, tomando portanto para potencial plástico a própria 
função de cedência e utilizando a expressão (119) para a regra de escoamento, obtém-se 
para os incrementos de deformação plástica (segundo as três direcções principais): 
1
1
d dp σε γ σ
∂= ∂ (124.a)
 
2
2
d dp σε γ σ
∂= ∂ (124.b)
 
3
3
d dp σε γ σ
∂= ∂ (124.c)
 
Resultando para uma estrutura tipo casca a partir da derivação de (122) (e não de (123)) e 
tomando posteriormente 3 0σ ≈ 
( )1 1 2
1
dd p
G H
G H
σ σ σγε σ
+ −= + (125.a)
 ( )2 2 1
2
dd p
F H
G H
σ σ σγε σ
+ −= + (125.b)
 
1 2
3
dd p G F
G H
σ σγε σ
+=− + (125.c)
 
em que σ toma o valor proveniente de (123). 
Teoria da Plasticidade 54
Os valores associados às constantes do material F,G, e H terão que ser determinados 
experimentalmente. A sua determinação correcta pode ser efectuada pela medição dos 
valores da tensão de cedência efectuada em várias direcções e para diferentes estados de 
tensão. No entanto, este procedimento raramente é adoptado na prática [47], sendo as 
constantes determinadas de forma indirecta, por recorrência à condição de normalidade, e 
em que são determinados os cocientes entre extensões obtidas em ensaios de tracção. Para 
o efeito são efectuados provetes a partir da própria chapa como se mostra na Fig. 38. 
RD
TD
1
2
3
βB
A
 
Fig. 38-Orientação dos provetes em chapa para o ensaio de tracção. 
Tomando um provete cuja direcção longitudinal coincida com a