Cálculo da densidade de sólidos e líquidos por Arquimedes

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Cálculo e análise da densidade de sólidos e líquidos 
Ágata Vaz da Cruz Costa, Camila Oliveira Castro, Joice de Oliveira Bueno, Marcela Oliveira 
de Carvalho, Sergio Eduardo Vicentini 
Turma 31A do curso de Engenharia Civil. 
11 de outubro de 2016. 
Resumo 
 Este relatório compreende à determinação da densidade de sólidos e líquidos através do princípio de 
Arquimedes, fórmulas matemáticas para cálculo do volume de sólidos regulares e equipamentos de 
laboratório (densímetro). Os resultados obtidos por cada um destes métodos são apresentados, discutidos 
e comparados de modo a indicar qual destes é mais eficiente e preciso. 
 
1 Introdução 
 A densidade é uma característica física particular de cada substância, essencial para diferenciar 
diversos materiais. Pode ser definida como a razão entre massa de um corpo e o volume que este ocupa. 
Através desta pode-se obter a composição exata de algumas misturas, a quantificação do teor de álcool na 
gasolina, por exemplo, é um processo muito utilizado e se baseia na densidade dos dois componentes. 
Segundo o princípio de Arquimedes, "todo corpo mergulhado num fluido em repouso sofre, por parte do 
fluido, uma força vertical para cima, cuja intensidade é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo". [2]. 
Através disso, deduz-se que ao mergulhar um corpo de prova em uma proveta, por exemplo, a variação de 
volume entre os instantes, proveta vazia - corpo mergulhado corresponde exatamente ao volume do 
objeto. Este princípio é muito utilizado para determinar o volume exato de sólidos irregulares, uma vez 
que pelos métodos matemáticos o cálculo se torna bastante complexo. Essa prática teve como objetivo 
definir a densidade de diversos sólidos e líquidos com o auxílio do princípio de Arquimedes e da 
geometria, e finalmente comparar os resultados obtidos em cada método. 
2 Métodos 
2.1 Modelo Teórico 
 O princípio de Arquimedes é utilizado para calcular a densidade de corpos através do volume 
deslocado quando o corpo é imerso em um fluido. Todo corpo imerso em um fluido sofre ação de uma 
força (empuxo) verticalmente para cima, cuja intensidade é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo. 
Ou seja, o módulo do empuxo é igual ao modo do peso: 
I = P = m . g 
 Ao encontrar o volume do corpo através do princípio de Arquimedes e saber sua massa, deve-se 
utilizar a fórmula para o cálculo da densidade: 
ρ = 
m
v
 
 Sabe-se que para toda medida, existe uma incerteza/erro associada (o), que pode ser calculada (o) por 
meio da fórmula: 
σa = √
∑(yi − y)2
n − 1
 
 
2 
 
Em que σa é o desvio padrão amostral, mais indicado para um número de medidas menor que dez. 
 A incerteza de calibração de qualquer instrumento métrico analógico pode ser estimada, admitindo a 
menor divisão ou menor leitura do mesmo, dividido por dois, ou seja: 
σc ≅ 
L
2
 
 Onde σc é a incerteza de calibração e L é a menor divisão do equipamento. 
 Para a incerteza de equipamentos onde obtemos a leitura direta, usa-se o próprio limite de calibração 
para estimar esse valor, ou seja, a incerteza é a menor divisão do equipamento. 
 Para a comparação da densidade da água descoberta a partir de um densímetro comercial e por meio 
de cálculos matemáticos, pesquisou-se e descobriu que o valor teórico é igual a 1,000 g/cm3. [1] 
 E para a comparação da densidade do álcool também descoberto a partir de um densímetro comercial e 
por meio de cálculos matemáticos, pesquisou-se e descobriu que seu valor teórico é igual a 0,790 g/cm3. 
[1]. 
2.2 Métodos Experimentais 
 Materiais utilizados: 
 Balança; 
 4 (quatro) corpos de prova (sendo três paralelepípedos e um cilindro); 
 Paquímetro; 
 Micrômetro; 
 Trena; 
 Proveta de 150 e 250 mL; 
 Densímetro; 
 Água; 
 Álcool. 
 Para a Parte 1 do experimento, mediram-se as dimensões (comprimento, altura e largura) dos quatro 
corpos de provas utilizando o paquímetro. Logo após, mediu-se a largura e o comprimento dos mesmos 
corpos utilizando o micrômetro. Ambos os procedimentos foram repetidos quatro vezes. Utilizando uma 
balança, mediram-se os pesos dos corpos de prova. Para possibilitar o cálculo da densidade dos corpos 
através da fórmula, foi calculado o volume de cada um e sua incerteza, em seguida, foram calculadas as 
densidades e suas incertezas. 
 Para a Parte 2 do experimento, utilizando a mesma balança, mediu-se a massa da proveta de 250 mL 
sem nenhum líquido. Em seguida, colocou-se 150 mL de álcool e mediu-se o volume novamente. A 
densidade foi obtida por meio de um densímetro. Os mesmos procedimentos foram repetidos para um 
volume de 150 mL de água, entretanto, usando a proveta de 150 mL. 
 Para a Parte 3 do experimento, colocou-se 100 mL de água na proveta (limpa) de 150 mL. Em seguida, 
mergulhou-se cada corpo de provas na água e anotou-se o volume deslocado. 
 
3 Discussão e Resultados 
Para melhor compreensão a discussão dos dados obtidos será dividida em tópicos conforme a ordem dos 
procedimentos realizados em laboratório. 
 Parte 1 
 Primeiramente as medidas (comprimento, largura, altura e diâmetro) das quatro peças utilizadas neste 
experimento e suas respectivas médias foram alocadas na tabela 1, separadas de acordo com o 
instrumento utilizado na medição. 
 
3 
 
Tabela 1: Medidas das dimensões de cada peça utilizada no experimento com suas respectivas médias. 
Legenda: C (comprimento), L (largura), A (altura) e D (diâmetro). 
 
Micrômetro 
N° 
medida 
Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3 Cilindro 
 C(mm 
±0,005) 
L(mm 
±0,005) 
A(mm 
±0,005) 
C(mm 
±0,005) 
L(mm 
±0,005) 
A(mm 
±0,005) 
C(mm 
±0,005) 
L(mm 
±0,005) 
A(mm 
±0,025) 
D(mm 
±0,005) 
A(mm 
±0,005) 
1 19,040 12,670 50,050 19,320 13,360 41,900 19,030 12,700 30,150 19,060 60,250 
2 19,020 12,820 50,050 19,300 13,480 41,900 19,020 12,700 30,150 19,060 60,200 
3 19,020 12,560 50,250 19,320 13,340 41,800 19,030 12,700 30,200 19,060 60,250 
4 19,010 12,550 50,050 19,330 13,350 41,850 19,030 12,690 30,250 19,060 60,300 
Média 19,023 12,650 50,100 19,318 13,383 41,863 19,028 12,698 30,188 19,060 60,250 
Paquímetro 
N° 
medida 
Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3 Cilindro 
 C(mm 
±0,025) 
L(mm 
±0,025) 
A(mm 
±0,025) 
C(mm 
±0,025) 
L(mm 
±0,025) 
A(mm 
±0,025) 
C(mm 
±0,025) 
L(mm 
±0,025) 
A(mm 
±0,025) 
D(mm 
±0,025) 
A(mm 
±0,025) 
1 19,050 12,700 50,050 19,300 12,850 41,900 19,050 12,700 30,150 19,050 60,250 
2 19,050 12,650 50,050 19,300 12,850 41,900 19,050 12,700 30,150 19,050 60,200 
3 19,050 12,650 50,250 19,300 12,900 41,800 19,050 12,700 30,200 19,050 60,250 
4 19,050 12,650 50,050 19,350 12,900 41,850 19,050 12,700 30,250 19,050 60,300 
Média 19,050 12,660 50,100 19,310 12,880 41,863 19,050 12,700 30,188 19,050 60,250 
Trena 
 Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3 Cilindro 
 
C(mm ±0,5) 
L(mm 
±0,5) 
A(mm 
±0,5) 
C(mm 
±0,5) 
L(mm 
±0,5) 
A(mm 
±0,5) 
C(mm 
±0,5) 
L(mm 
±0,5) 
A(mm 
±0,5) 
D(mm 
±0,5) 
A(mm 
±0,5) 
1 18,000 12,000 50,000 19,000 12,000 41,000 18,000 12,000 30,000 18,000 59,000 
2 18,000 12,000 50,000 19,000 12,000 41,000 18,000 12,000 30,000 18,000 59,000 
3 18,000 12,000 50,000 19,000 12,000 41,000 18,000 12,000 30,000 18,000 59,000 
4 18,000 12,000 50,000 19,000 12,000 41,000 18,000 12,000 30,000 18,000 59,000 
Média 18,000 12,000 50,000 19,000 12,000 41,000 18,000 12,000 30,000 18,000 59,000 
 
Posteriormente foram calculados os volumes de cada peça utilizando-se das medidas encontradas na 
tabela 1. Para este cálculo foram usadas as fórmulas de acordo com o formatogeométrico das peças. 
Volume do paralelepípedo: 
𝐕 = 𝐂 ∗ 𝐋 ∗ 𝐀, sendo: 
V = volume; 
C = comprimento; 
L = largura; 
A = altura. 
Volume do cilindro: 
𝐕 = 𝛑 ∗ 𝐫𝟐 ∗ 𝐀, sendo: 
V = volume; 
Π = letra grega pi (valor utilizado 3,14); 
r = raio; 
A = altura. 
 
O volume médio de cada peça também foi encontrado. Para o cálculo da incerteza (erro total) do volume, 
foi utilizada a fórmula: 
𝐞 = √𝐬𝟐 + ∆𝐕𝟐 , sendo: 
 
4 
 
e = erro total; 
s = desvio padrão amostral; 
∆V = erro do volume. 
Em que: 
 
, sendo: 
n = número de medidas realizadas; 
xi = primeira medida; 
 = média aritmética de um conjunto de medidas. 
E: 
∆V2 = (AC)2 ∗ (∆𝐿)2 + (𝐴𝐿)2 ∗ (∆𝐴)2 + (𝐶𝐿)2 ∗ (∆𝐶)², sendo: 
∆L = erro da largura. 
∆A = erro da altura. 
∆C = erro do comprimento. 
𝐴 = altura. 
C = comprimento. 
L = largura. 
 
No caso do cilindro, a incerteza foi calculada a partir de: 
∆V2 = (
𝜋𝐷²
4
)
2
∗ (∆𝐴²) + (
𝜋𝐴𝐷
2
)
2
∗ (∆𝐷)², sendo: 
D = diâmetro. 
∆D = erro do diâmetro. 
Os valores calculados podem ser encontrados na tabela 2. 
Tabela 2: Volume dos sólidos (de acordo com o instrumento usado na medição), e seu respectivo erro. 
BLOCO 1 
 Micrômetro (±0,0005cm) Paquímetro (±0,0025cm) Trena (±0,05cm) 
Volume 1 (cm³) 12,073 12,108 10,80 
Volume 2 (cm³) 12,204 12,061 10,80 
Volume 3 (cm³) 12,004 12,109 10,80 
Volume 4 (cm³) 11,940 12.108 10,80 
Volume médio 12,055 ± 0,115 12,097 ± 0,052 10,80 ± 0,858 
BLOCO 2 
 Micrômetro (±0,005mm) Paquímetro (±0,025mm) Trena (±0,5mm) 
Volume 1 (cm³) 10,815 10,391 9,35 
Volume 2 (cm³) 10,900 10,391 9,35 
Volume 3 (cm³) 10,785 10,419 9,35 
Volume 4 (cm³) 10,786 10,434 9,35 
Volume médio (cm³) 10,822 ± 0,055 10,409 ± 0,064 9,35 ± 0,75 
 
5 
 
BLOCO 3 
 Micrômetro (±0,005mm) Paquímetro (±0,025mm) Trena (±0,5mm) 
Volume 1 (cm³) 7,287 7,294 6,50 
Volume 2 (cm³) 7,283 7,294 6,50 
Volume 3 (cm³) 7,299 7,306 6,50 
Volume 4 (cm³) 7,305 7,319 6,50 
Volume médio (cm³) 7,294 ± 0,112 7,303 ± 0,027 6,50 ± 0,56 
CILÍNDRO 
 Micrômetro (±0,005mm) Paquímetro (±0,025mm) Trena (±0,5mm) 
Volume 1 (cm³) 17,182 17,164 15,01 
Volume 2 (cm³) 17,168 17,150 15,01 
Volume 3 (cm³) 17,182 17,164 15,01 
Volume 4 (cm³) 17,196 17,164 15,01 
Volume médio (cm³) 17,182 ± 0,013 17,164 ± 0,027 15,01 ± 0,96 
 
Os sólidos foram pesados para a obtenção de suas respectivas massas. Juntamente com o volume médio 
de cada peça (tabela 2), foi calculada a densidade de cada um com base na fórmula: 
ρ = 
m
V
, sendo: 
m = massa da peça; 
v = volume. 
Para o cálculo da incerteza (erro) da densidade, foi usado: 
∆ρ2 = (
1
𝑉
)
2
∗ (∆𝑚) + (
−𝑚
𝑉2
)
2
∗ (∆𝑉), sendo: 
∆𝑚= erro da massa 
∆𝑉= erro do volume (encontrado acima) 
Os resultados obtidos foram anexados na tabela 3. 
Tabela 3: Densidade dos sólidos (de acordo com o instrumento usado na medição), e seu respectivo erro. 
BLOCO 1 
Massa = 32,540 ± 0,001 g 
 Micrômetro (±0,005mm) Paquímetro (±0,025mm) Trena (±0,5mm) 
Densidade (g/cm³) 2,699 ± 0,026 2,689 ± 0,012 3,013 ± 0,240 
BLOCO 2 
Massa = 28,000 ± 0,001 g 
 Micrômetro (±0,005mm) Paquímetro (±0,025mm) Trena (±0,5mm) 
Densidade (g/cm³) 2,587 ± 0,013 2,690 ± 0,017 2,995 ± 0,240 
BLOCO 3 
Massa = 19,570 ± 0,001 g 
 Micrômetro (±0,005mm) Paquímetro (±0,025mm) Trena (±0,5mm) 
Densidade (g/cm³) 2,683 ± 0,041 2,679 ± 0,012 3,011 ± 0,260 
CILÍNDRO 
Massa = 132,82 ± 0,001 g 
 Micrômetro (±0,005mm) Paquímetro (±0,025mm) Trena (±0,5mm) 
Densidade (g/cm³) 7,730 ± 0,005 7,738 ± 0,012 8,851 ± 0,567 
 
Os valores obtidos de volume e densidade nos casos em que se utilizou o micrômetro e o paquímetro 
foram razoavelmente satisfatórios, pois houveram valores bem próximos. Mas se considerarmos a 
margem de erro, não houve diferenças muito significativas entre as densidades. Já ao utilizar a trena 
 
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observou-se uma grande discrepância nos dados. Isso pode ser explicado pela imprecisão do aparelho nas 
medições, e até mesmo erro do operador na hora da leitura das dimensões das peças. 
Parte 2: 
A segunda parte do experimento teve como objetivo medir a densidade da água e álcool por meio de dois 
métodos. O primeiro com uso de um densímetro comercial, no qual a medida da densidade foi obtida 
diretamente, e o segundo por meio da fórmula de densidade, enunciada anteriormente. Os resultados 
obtidos se encontram na tabela 4. 
Obs: O cálculo da incerteza foi feito com base na fórmula: 
∆ρ2 = (
1
𝑉
)
2
∗ (∆𝑚) + (
−𝑚
𝑉2
)
2
∗ (∆𝑉), sendo: 
∆𝑚= erro da massa (da balança) 
∆𝑉= erro do volume (erro da proveta) 
Tabela 4: Valores de densidade, massa e volume da água e álcool. 
 Água Álcool 
Massa (g ± 0,001g) 149,150 133,800 
Volume (cm³ ± 0,5 ) 150 150 
Densidade calculada (g/cm³) 0,994 ± 0,003 0,892 ± 0,003 
Densidade medida com densímetro (g/cm³ ± 0,0025) 0,990 0,886 
Densidade teórica (g/cm³) [1] 1,000 0,790 
 
Para densidade da água o valor obtido não foi exatamente igual ao teórico, porém considerando a margem 
de erro o resultado foi satisfatório. Possíveis diferenças podem ser explicadas pelo fato de não se ter 
usado água destilada, pois se sabe que a água de torneira contém a adição de certos tipos de sais que 
podem alterar a densidade. Além disso, existem os erros de leitura do menisco, calibração da balança e 
vidraria associadas. 
 Já para a densidade do álcool os valores foram pouco satisfatórios, pois houve uma diferença 
considerável quando comparada ao valor teórico. Um dos fatores que podem ter provocado essa diferença 
são os erros descritos anteriormente e a possibilidade de o álcool estar contaminado, havendo uma 
alteração na sua concentração e consequentemente na densidade obtida experimentalmente.
Parte 3: 
 Para posterior comparação foi realizada a medição do volume das peças com base no princípio de 
Arquimedes. As massas, o volume e a densidade de cada peça se encontram na tabela 5. 
A incerteza da densidade foi calculada com base na fórmula: 
∆ρ2 = (
1
𝑉
)
2
∗ (∆𝑚) + (
−𝑚
𝑉2
)
2
∗ (∆𝑉), sendo: 
∆𝑚= erro da massa (da balança) 
∆𝑉= erro do volume (erro da proveta) 
 
 
 
7 
 
Tabela 5: Volume e Densidade de cada peça de acordo com o princípio de Arquimedes. 
 Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3 Cilindro 
Volume deslocado 
(cm³ ± 0,5) 
11,0 9,0 7,0 16,0 
Massa (g ± 0,001) 32,540 28,000 19,570 132,820 
Densidade 2,958 ± 0,134 3,111 ± 0,173 2,796 ± 0,199 8,301 ± 0,259 
 
 Com base nos dados das Tabelas 2 e 5, observa-se que o volume obtido por meio do princípio de 
Arquimedes se aproximou mais dos valores encontrados ao utilizar a trena nas medições. Fato que leva a 
entender que neste último método a precisão dos dados foi comprometida, pois foi utilizada uma proveta 
com uma graduação que vai de 1 em 1 cm³, tornando a identificação das casas decimais seguintes 
impossíveis. 
 
 
4 Conclusão 
A partir dos resultados, observa-se que os valores obtidos de volume e densidades das peças utilizadas na 
primeira parte do experimento foram bastante satisfatórios principalmente quando foi analisado de acordo 
com as medições feitas pelo micrômetro e paquímetro. Já a utilização do método que se baseia no 
princípio de Arquimedes deixou um pouco a desejar, pois não apresentaram valores muito coerentes 
devido à baixa precisão da proveta utilizada. 
Com relação às densidades encontradas para a água e o álcool ao analisar os dados obtidos em laboratório 
com os dados introduzidos na metodologia para densidade teórica chega-se à conclusão de que o 
experimento obteve resultados satisfatórios com relação à água. Porém,ao observar os resultados obtidos 
para a densidade do álcool infere-se que houve uma diferença muito grande com relação ao valor teórico 
ocasionado por possíveis impurezas na amostra, descalibração da balança ou erro na leitura do menisco. 
 
Referências 
 [1] Densidade teórica. Disponível em: 
<https://pt.wikibooks.org/wiki/Mec%C3%A2nica_dos_fluidos/Tabela:_densidade_de_algumas_subst%C3%A2ncias> Acesso em: 
07 de outubro de 2016, às 13:38 h. 
 
[2] HALLIDAY, David et al. Fundamentos de Física – Vol.2- Gravitação, Ondas, 
Termodinâmica - 9ª EDIÇÃO. RIO DE JANEIRO, ED. LTC-2013.