8 Análise de variancia

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ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
Análise de Variância 
ANOVA 
ENG09004 – 2014/2 
Prof. Alexandre Pedott 
pedott@producao.ufrgs.br 
 
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
ANOVA 
Os testes de hipótese apresentados até aqui limitaram-se à 
comparação de duas médias ou duas variâncias. 
Contudo, há situações onde se deseja comparar várias médias, 
cada uma oriunda de um grupo diferente. 
Esses grupos, também chamados tratamentos, poderiam ser: a 
performance em Km/l de carros consumindo 4 marcas de 
combustíveis, a eficiência de 3 métodos de treinamento, 
comparação da produtividade entre 5 máquinas ou 3 postos de 
trabalho ou 3 layouts. 
 
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One Way ANOVA 
One Way ANOVA - Analisa experimentos que envolvem: 
 1 Variável de resposta 
 1 Fator controlável a vários níveis (vários grupos) 
Os ensaios (repetições) realizados em cada nível do fator 
controlável configuram um grupo 
O objetivo é identificar se os valores da variável de resposta 
medidos nos diversos níveis do fator controlável diferem entre si. 
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Exemplo: Um profissional deseja estudar se a temperatura ambiente 
influencia na produtividade dos funcionários. Para isso realizou três medidas 
de produtividade (peças/hora) em três temperaturas diferentes. 
 Fator controlável: temperatura 
Níveis do fator controlável: 15, 25, 35 
Variável de resposta: produtividade 
Repetições: 3 valores para cada nível 
Fator controlável 
Níveis do fator control. 
Variável de resposta 
Temperatura (ºC) 
15 25 35 
12 20 17 
13 19 16 
11 18 18 
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Existem dois tipos de experimentos 
Fatores Controláveis a níveis fixos: quando o efeito de cada nível é 
fixo, como no caso em que os tratamentos são 4 pressões de 
operações, ou 4 layouts ou 5 temperaturas; Por ex., 6 linhas 
produtivas. 
Fatores Controláveis a níveis aleatórios: quando o efeito de cada 
nível é aleatório, como no caso em que os tratamentos são k lotes 
de produção, ou k operadores escolhidos aleatoriamente; Por ex., 
3 lotes escolhidos ao acaso. 
 
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Modelo Estatístico 
Os resultados poderiam ser representados por um modelo 
aditivo: 
 
 
onde: 
 Yij é a observação j medida no tratamento i; 
  média geral de todas as observações; 
 i. efeito do tratamento i; 
 ij erro aleatório; 
j
ijiij
nj
kiY
 ..., ,1= 
,.....,1 ; .  
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Arranjo Experimental 
Fator A A1 A2 ... Ak
y
11
y
21
... y
k1
y
12
y
22
... y
k2
: : : :
: : y
ij
:
: : : :
y1,n1 y2,n2 ... yk,nk
Totais Ti. T1. T2. ... Tk. T.. =
No.Obs. ni n1 n2 ... nk N =
Médias .iY Y1. Y2. ... Yk. ..Y
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Exemplo 
20 = 16 + 3 + 1 
 Temperatura 
 15 25 35 
 12 20 17 
 13 19 16 
 11 18 18 
.iT
 36 57 51 
144T.. 
 
in
 3 3 3 
9N 
 
.iY
 12 19 17 
16.. Y
 
 
 ijiijY  
Modelo Estatístico 
Níveis do fator 
 controlável 
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Formulação matemática da ANOVA 
15o C 25o C 35o C 
Y ij = 20 
16 .. 
 Y 
12 .  1 Y 
19 .  2 Y 
17 .  3 Y 
( ) Y Y.. i.  19 - 16 3 - ( )  20 - 16  4 Y Y ij - . . 
( ) Y Y ij - i.  20 - 19  1 
20 = 16 + 3 + 1 
ijiijY  4 = 3 + 1 
( ) ( ) ( )...... iijiij YYYYYY ---
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Teste de Hipótese 
H0: não há diferenças significativas entre os grupos; 
 
 
H1: há diferenças significativas entre os grupos. 
 
k  ....21
k  ....21
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Decomposição da variabilidade 
A Análise de Variância se baseia na decomposição da 
variabilidade total. 
Mais especificamente, os desvios das observações individuais 
em relação a média global podem ser escritos como: 
 
 
( ).iij YY -
é o desvio da média do tratamento i em relação à 
média global. 
é o desvio da observação individual em relação a média 
do tratamento i correspondente. 
( )... YY i -
( ) ( ) ( ) ...... iijiij YYYYYY ---
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Elevando ao quadrado ambos os termos e efetuando o somatório, 
resulta: 
 
 
Desde que é fácil demonstrar que 
 
Identificamos as seguintes somas quadradas: 
 SQT = SQG + SQR 
SQT soma dos quadrados totais, decomposta em: 
SQG soma dos quadrados dos grupos (tratamentos), associada 
exclusivamente a um efeito dos grupos; 
SQR soma dos quadrados dos resíduos, devida exclusivamente ao erro 
aleatório, medida dentro dos grupos. 
 
 
 
( ) ( ) ( ) --- 2.iij
2
...i
i
i
ij
2
..ij YYYYnYY
( )( ) 0YYYY .iij...i --
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Teste F 
Observamos que a soma quadrada dos resíduos dividida pelos 
seus graus de liberdade fornecerá uma estimativa da variância 
dentro dos grupos: 
 
 
 
Da mesma forma, se não houver efeito dos grupos, a divisão da 
SGQ pelos respectivos graus de liberdade também fornecerá 
uma estimativa da variância dentro dos grupos: 
 
 
 
( )
 2
,
2
.

-
-

-


kN
YY
kN
SQR
MQR
ji
iij
( ) ( ) /
11
22
2
...  








-
-

-


nn
k
YY
n
k
SQG
MQG
i
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Teste F 
Notem que, se não há efeito dos grupos, a quantidade entre 
colchetes é a variância das médias, a qual sabe-se que é igual a 
2/n. 
As grandezas apresentadas acima são chamadas de médias 
quadradas, 
Observa-se que as Médias Quadradas são simplesmente uma 
outra notação para Variância. 
MQG = SQG/(k-1) é a Média Quadradas dos Grupos; 
MQR = SQR/(N-k) é a Média Quadradas dos Resíduos; 
 
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Teste F 
Obseva-se que para as somas quadradas vale a aditividade: 
SQT = SQG + SQR 
N-1 = (k-1) + (N-k) 
Mas o mesmo não vale para as médias quadradas 
 MQT  MQG + MQR 
 
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Teste de hipótese 
Se não há diferença significativa entre os grupos: 
 E(MQG) = E (MQR) 
Para testar a hipótese referente ao efeito dos grupos usamos a 
distribuição F que é o modelo adequado para a distribuição do 
quociente de duas variâncias. 
 
MQR
MQG
Fcalc 
Estima a 
variância entre 
os grupos 
Estima a variância 
dentro do grupo 
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Teste de Hipótese 
Verifica-se que, se não há efeito dos grupos, esse quociente é 
próximo de 1 
Se há efeito dos grupos esse quociente será significativamente 
maior do que 1 
O limite de decisão é estabelecido usando os valores tabelados 
da distribuição F : 
kN,1k,F --
= nível de significância 
graus de liberdade do numerador: k-1 
graus de liberdade do denominador: N-k 
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Distribuição F 
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Rejeita H0 (1 = 2 = ... = k) se 
 
 F calculado > F tabelado = 
 
Logo, há diferença significativa entre os grupos 
 
Caso contrário, não há diferenças significativas entre 
os grupos 
Distribuição F 
kN,1k,F --
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Formulário para cálculo 
 
 
 
 
 
onde: 
T.. é a soma de todas as observações 
Ti. é a soma das observações no grupoi 
N..)T(TC 2 (Termo de Correção)
( ) - TCYSQT 2ij
( ) - TCnTSQG i2.i
( ) ( )  -- SQGSQTnTYSQR i2.i2ij
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Tabela ANOVA 
Os cálculos associados à Análise de Variância são apresentados 
em uma tabela, chamada de Tabela de Análise de Variância ou 
Tabela ANOVA (Analysis of Variance): 
 
Fonte de 
Variação 
Soma dos 
Quadrados 
GDL Média Quadrática FCAL FTAB 
Entre 
Grupos 
SQG k-1 MQG = SQG/(k – 1) 
MQG / 
MQR 
Dentro do 
Grupo 
SQR N – k MQR = SQR/(N - k ) 
Total SQT N – 1 
kN,1k,F --
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Exemplo a níveis fixos 
Agente 0 5 10 15 20 
43 47 55 50 52 
47 53 50 54 49 
46 52 54 54 54 
45 50 55 55 55 
45 49 52 56 55 
46 51 53 52 56 
47 55 55 57 56 
44 48 56 57 53 
42 49 59 55 57 
48 50 56 60 60 
49 47 57 56 57 
44 49 54 58 55 
Totais 546 600 656 664 659 T..= 3125 
N o Obs. 12 12 12 12 12 N = 60 
Médias 45,5 50,0 54,7 55,3 54,9 08 , 52 Y .. 
 
Os dados a seguir representam o alongamento de um 
composto de borracha, em função da quantidade 
de agente de processo adicionado durante a mistura. 
 
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Tabela ANOVA 
 TC = T.. 
2 
 / N = (3125) 
2 
 / 60 = 162.760,42 
 SQT = S (Y 
ij 
) 
2 
 - TC = 163.971,00 - 162.760,42 = 1210,58 
 SQG = S (T i. 
2 
 / n i ) - TC 
 = [(546) 
2 
 / 12] + ... + [(659) 
2 
 / 12] - 162.760,42 = 875,33 
 SQR = SQT - SQG = 1210,58 - 875,33 = 335,25 
Fonte SQ GDL MQ Teste F
Entre Grupos
(Agente de processo)
875,33 4 218,83 35,9
Dentro Grupos (Residual) 335,25 55 6,09
Total 1210,58 59
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Teste de Significânica 
Como F calculado > F tabelado = F 0,05,4,55 
 35,9 > 2,55 
 Conclui-se que existe diferença significativa de 
alongamento entre os grupos, ou seja, 
 a quantidade de agente na mistura influencia 
significativamente o alongamento 
Qual a melhor quantidade considerando qualidade e 
economia? 
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Comparação múltipla de médias 
(1) Calcular o desvio padrão das médias 
 
onde nc = (n1 + n2 + ... + nk) / k 
(2) Calcular o limite de decisão 
 Ld = 3 x 
(3) Escrever as médias em ordem crescente ou decrescente e 
compará-las duas a duas. A diferença será significativa se for 
maior que o Ld. 
(4) Usar barras contínuas sobre as médias que não diferem 
entre si. 
 
cx nMQRs /
X
S
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Comparação múltipla de médias 
Calcular o desvio padrão das médias 
 
 
 
Calcular o limite de decisão 
 
Escrever as médias em ordem crescente ou decrescente e 
compará-las duas a duas. 
 
cx n/MQRs  = 2,47 / 3,46 = 0,71
onde nc = (n1 + n2 + ... + nk) / k
xd s3L  = 3 x 0,71 = 2,13
Y1. Y2. Y3. Y5. Y4. 
45,5 50,0 54,7 54,9 55,3 
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Comparação múltipla de médias 
A diferença entre as médias será significativa se for maior 
que o Ld. 
 
 
 
 
 
 
Usar barras contínuas sobre as médias que não diferem entre 
si 
 
 
Y(2) - Y(1) = 50,0 - 45,5 = 4,5 > Ld = 2,13 Dif. Signif. 
Y(3) - Y(2) = 54,7 - 50,0 = 4,7 > Ld = 2,13 Dif.Signif. 
Y(5) - Y(3) = 54,9 - 54,7 = 0,2 < Ld = 2,13 Dif. Não Signif. 
Y(4) - Y(5) = 55,3 - 54,9 = 0,4 < Ld = 2,13 Dif. Não Signif. 
 Y(1) Y(2) Y(3) Y(5) Y(4) 
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Otimização 
A análise técnica deve acompanhar e completar a análise 
estatística. 
Para isso é recomendável representar graficamente os dados. 
Para os dados do experimento anterior, poderia se usar, por 
exemplo, um boxplot. 
Na otimização devemos considerar o binômio qualidade e 
custo. Os resultados estatísticos, em conjunto com a análise 
gráfica dão suporte à tomada de decisão a respeito do 
processo. Via de regra, o experimento revela opções para a 
redução de custos e melhoria da qualidade, simultaneamente. 
 
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Otimização 
Boxplot
Agente de processo
A
lo
ng
am
en
to
G1 G2 G3 G4 G5
35
45
55
65
Como não existe diferença significativa entre as quanti- 
dades de agente 10, 15 e 20, a quantidade ótima de 
agente é 10 (dez) pois otimiza simultaneamente 
qualidade e custos 
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Exemplo a níveis aleatórios 
Uma fábrica de embalagens de papel recebe a matéria prima 
(papel) em rolos. É desejável que as características dos rolos 
sejam homogêneas, de modo a fornecerem papel com a 
mesma resistência à tração. 
O engenheiro suspeita que além da variabilidade inerente 
(dentro dos rolos) também possa haver uma variação 
significativa entre os rolos. Medições de resistência feitas em 
embalagens produzidas com material proveniente de cinco 
rolos aleatoriamente indicaram: 
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Exemplo a níveis aleatórios 
Rolo Resistência
1 72 73 70 74 74 75 78 77 80 76
2 63 70 69 65 66 66 62 65 67 63
3 78 74 82 76 76 73 75
4 75 74 73 78 75 71 67 73
5 85 82 80 86 83 92 89 86
Cálculos iniciais: 
Hipóteses 
Ho: não há diferenças significativas entre os rolos  = 0 
H1: há diferenças significativas entre os rolos  > 0 
Rolo T i. n i . i Y 
1 749 10 74,90 
2 656 10 65,60 
3 534 7 76,29 
4 586 8 73,25 
5 683 8 85,38 
T.. = 3208 N = 43 60 74 .. Y ,  
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Tabela ANOVA 
TC = (T..)
2
 / N = (3208)
2
/43 = 239331,7
SQT = S(
2
ijY ) - TC = 241476,0 - 239331,7 = 2144,28
SQG = S(
2
.iT /ni) - TC = [(749)
2
/10] + ... + [(683)
2
/8] - 239331,7
 = 1774,18
SQR = SQT - SQG = 2144,28 - 1774,18 = 370,10
Fonte SQ GLD MQ Teste F
Rolos 1774,18 4 443,54 45,54
Resíduos 370,10 38 9,74
Total 2144,28 42
Há diferenças significativas entre os rolos 
F calculado = 45,54 > F 0,05,4,38 = 2,618 
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Estimativa dos componentes de variação 
Pode ser demonstrado que o valor esperado das médias 
quadradas vale: 
 
 
 
A partir dessas equações, podemos obter as estimativas para os 
componentes de variação 2 e : 
 
E (MQG) = 2 + nc
2
(5)
E (MQR) = 2 (6)
2 = MQR
cc
2
2
n
MQRMQG
n
MQG -

-

2

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Estimativa dos componentes de variação 
Conhecidos os componentes de variação, podemos calcular a 
contribuição percentual de cada termo na composição da 
variabilidade total: 
 
 ( ) 222TOTALijYVar  
Percentual correspondente aos tratamentos:
2
TOTAL
2
 x 100


Percentual correspondente ao erro aleatório:
2
TOTAL
2
 x 100


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Estimativa dos componentes de variação 
2 = MQR = 9,74
44,50
6,8
74,954,443
n
MQRMQG
c
2 
-

-

18,6074,944,50222TOTAL  
Os resultados indicam que 50,44 / 60,18 = 83,81 % 
da variabilidade total se deve a diferenças entre rolos. 
 
As causas dessas diferenças deveriam ser investigadas 
e, na medida do possível, eliminadas. 
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Otimização 
Via de regra, a variabilidade devida aos tratamentos se deve a 
causas especiais que podem e devem ser eliminadas. 
Rolo
Re
0 1 2 3 4 5 6
60
70
80
90
100
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Otimização 
Por exemplo, diferenças entre máquinas podem ser devidas a 
falta de manutenção apropriadaou diferenças de setup. 
Similarmente, diferenças entre lotes de produção podem ser 
devidas a qualidade da matéria prima usada na produção de cada 
lote. Nesse caso, deveriam ser investigados os fornecedores, ou as 
condições de estocagem, etc. 
A variabilidade devida ao erro aleatório deve-se a causas comuns, 
inerentes ao sistema em estudo. 
Para eliminar as causas comuns é preciso modificar o sistema 
como um todo, o que pode não se justificar economicamente 
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Exercícios 
8.1) Quatro concentrações de catalisadores que podem afetar o 
tempo de processo de uma mistura química estão sendo 
investigados. Os seguintes tempos de misturas foram obtidos: 
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
Pede-se: 
Fazer a análise de Variância e concluir a respeito do efeito dos 
catalisadores. 
Fazer uma comparação múltipla de médias se for o caso. 
Fazer um gráfico de barras da concentração x tempos, e 
concluir a respeito do que deve ser feito para (i) assegurar 
qualidade e (ii) assegurar economia. 
 
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
Cálculos iniciais: 
TC = T..2 / N = 
S (Yij
2) = 
SQT = (Yij
2) - TC = 
SQG = (Ti.
2 / ni) - TC = 
SQR = SQT - SQG = 
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Tabela Anova: 
 
 
 
 
F calculado = 
F tabelado = 
Efeito dos catalisadores é significativo ? 
 
Fonte de Variação SQ GDL MQ Teste F
Entre Grupos SQG k-1 MQG MQG/MQR
Dentro Grupos SQR N-k MQR
Total SQT N-1
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Exercícios 
8.2) Um jogo de oito pneus das marcas M1, M2 e M3 foram testados quanto 
a durabilidade. Os resultados obtidos (em milhares de Km) foram os que 
seguem: 
 
 
 
 
 
 
a)Qual a variável de resposta e qual o fator controlável? 
b)Quantos níveis possui o fator controlável? 
c)Faça a análise de variância e conclua a respeito do fator em estudo. 
d)Caso necessário, faça uma comparação múltipla de médias. 
e)Plote um gráfico relacionando o fator controlável com a resposta medida. 
f)Indique o que deve ser feito para assegurar qualidade. 
g)Indique o que deve ser feito para obter economia. 
Marca M1 M2 M3 
 45 40 42 44 40 35 
 48 44 44 47 41 39 
 44 46 41 40 31 36 
 43 41 43 45 33 38 
Totais 
Média 
 
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
Exercícios 
8.3) Um grupo de engenheiros está estudando o efeito do ângulo de 
uma ferramenta de corte sobre o acabamento superficial resultante 
após a operação. As medições de rugosidade (menor é melhor) 
efetuadas revelaram: 
 
 
 
 
 
a)Qual a variável de resposta e qual o fator controlável? 
b)Quantos níveis possui o fator controlável? 
c)Faça a análise de variância e conclua a respeito do fator em estudo. 
d)Plote um de ângulo da ferramenta X rugosidade. 
e)Indique o que deve ser feito para assegurar qualidade. 
f)Indique o que deve ser feito para obter economia. 
Marca 0º 5º 10º 15º 
 10 12 12 8 7 9 4 6 4 5 7 6 
 11 12 14 10 7 7 5 5 7 6 8 10 
 12 12 9 6 8 8 3 6 4 6 10 6 
Totais 
Média 
 
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
Exercícios 
8.4) Uma indústria têxtil tem um grande número de teares 
mecânicos. Supõem-se que a velocidade desses teares seja a 
mesma. Para verificar essa hipótese, foram escolhidos 
aleatoriamente cinco teares e a produção medida em um 
período de uma hora foi anotada: 
 
 
 
 
 
a) Indique se esse é um experimento a níveis fixos ou aleatórios. 
b) Faça a análise de variância e conclua a respeito do efeito dos 
teares. 
c) Estime os componentes de variação. 
Tear Produção (Kg) 
1 23,8 24,0 23,8 23,6 23,9 
2 23,9 23,7 23,6 23,8 24,0 
3 24,0 23,9 24,1 24,2 24,1 
4 24,0 24,0 23,9 23,8 23,9 
5 24,0 24,1 24,0 24,1 24,2 
 
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
Exercícios 
8.5) Resultados de corpos de prova de concreto com adição de 
Microssílica indicaram os seguintes resultados de resistência à 
compressão: 
 
 
 
 
 
a) Indique se esse é um experimento a níveis fixos ou aleatórios. 
b) Faça a análise da variância e conclua a respeito do efeito da 
adição de microssílica. 
c) Se for o caso, faça uma comparação múltipla de médias. 
d) Plote um gráfico de linha para a mediana. 
Adição Resistência (MPa) 
0% 28,1 26,5 24,3 
5% 35,3 34,3 37,5 
10% 39,8 44,1 42,3 
15% 39,1 40,8 43,0 
 
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
Exercícios 
8.6) Um engenheiro deseja que os azulejos produzidos em uma 
indústria cerâmica apresentem a menor absorção de água 
possível. Os resultados de um experimento feito com três tipos 
diferentes de argila indicaram o seguinte: 
 
 
 
 
a) Indique se esse é um experimento a níveis fixos ou aleatórios. 
b) Faça a análise da variância e conclua a respeito do efeito do tipo 
de argila. 
c) Se for o caso, faça uma comparação múltipla de médias. 
d) Plote um gráfico de barras para as médias. 
Tipo de Argila Absorção (gramas) 
A1 141 112 128 122 102 
A2 132 115 98 121 108 139 126 
A3 135 122 158 143 155 
 
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
Exercícios 
8.7) Uma metalúrgica tem um grande número de fornos usados 
para fundição de metais. A temperatura desses fornos deveria 
ser a mesma. Para testar essa hipótese foram feitas medições 
em 4 fornos escolhidos aleatoriamente. Analise os resultados 
e conclua a respeito de possíveis diferenças entre os fornos. 
Forno Temperatura 
1 824 821 829 808 815 
2 817 830 819 809 825 
3 822 810 831 824 818 
4 826 828 810 820 815 
 
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
Exercícios 
8.8) Um engenheiro industrial desenvolveu um modelo estocástico de 
simulação que prevê a produtividade mensal em função do intervalo de 
tempo entre manutenções preventivas. Se esse intervalo for muito 
curto, as máquinas estarão constantemente em manutenção e a 
produtividade será baixa. Se o intervalo for muito longo, haverá quebras, 
exigindo manutenção corretiva, mais demorada, novamente 
prejudicando a produtividade. Os resultados da simulação aparecem a 
seguir. 
 
 
 
 
 
Faça a análise da variância, plote um gráfico de barras para a 
produtividade média e conclua a respeito do intervalo ótimo para as 
intervenções da manutenção produtiva. 
Intervalo Produtividade 
4 136 137 135 140 136 
6 145 146 147 147 148 
8 146 144 148 145 145 
10 134 131 136 134 133 
12 117 119 117 115 116 
 
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Exercícios 
8.9) Em uma indústria química um catalisador é utilizado para 
acelerar um processo de deposição metálica. Foi feito um 
experimento variando-se a concentração desse catalisador e 
anotando-se o tempo necessário para completar o processo. 
Analise os dados usando a Tabela Anova. Depois faça uma 
comparação múltipla de médias, plote um gráfico de linhas e 
conclua a respeito da concentração ideal. 
Concentração Tempos 
10 11,2 10,4 10,1 10,6 
15 10,6 11,1 10,8 11,7 
20 12,5 12,0 13,2 12,6 
25 18,8 19,0 18,4 19,6 
 
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
Exercícios 
8.10) Um profissional da área de ergonomia realizou um estudo para 
verificar qual posto de trabalho gerava um melhor bem estar para o 
funcionário. Para isso foram projetados três postos de trabalho e durante 
um mês os funcionários testaram os novos postos. Ao final de um mês os 
funcionários responderam um questionários gerando uma nota para o 
bem estar do funcionário. Analise os dados e conclua a respeito do 
melhor posto de trabalho. 
 Postos 
Func. 1 2 3 
1 7 5 8 
2 86 9 
3 7 7 8 
4 8 6 9 
5 9 5 8 
6 7 6 8 
7 8 7 9 
8 6 5 10 
9 7 6 8 
10 6 6 9 
 
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
Exercícios 
8.11) Para analisar a variabilidade na qualidade de um tipo de tijolo 
de cimento fornecido por uma fábrica, selecionou-se 
aleatoriamente 5 sacos de cimento durante um certo período de 
produção e para cada saco foram tomadas três amostra aleatórias. 
Estime o percentual da variabilidade dentro dos sacos e entre os 
sacos de cimento. 
Saco cimento 1 2 3 4 5 
74 68 75 72 79 
76 71 77 74 81 Resistências 
75 72 77 73 79 
 
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Exercícios 
8.12) Três layout estão sendo testados em relação a produtividade. 
Para isso 12 operadores foram avaliados em relação a 
produtividade medida em peças/hora. Os valores de produtividade 
estão apresentados na tabela abaixo. Analise os dados e conclua a 
respeito do melhor layout. 
 Postos 
Func. 1 2 3 
1 120 125 130 
2 122 126 129 
3 124 127 131 
4 118 125 128 
5 116 128 128 
6 120 126 127 
7 119 129 126 
8 117 128 125 
9 121 129 128 
10 122 130 129 
11 117 127 127 
12 120 128 128 
 
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RESPOSTAS (catalisador): 
TC = T..2 / N = 59995,05 
S (Yij
2) = 60085,8 
SQT = (Yij
2) - TC = 90,75 
SQG = (Ti.
2 / ni) - TC = 66,69 
SQR = SQT - SQG = 24,06 
 
 
Sx = 0,55 nc = 5 Ld = 1,65 
 
 Y(1) - Y(2) = 6,18 > Ld  Dif. Signif. 
 Y(1) - Y(3) = 3,08 > Ld  Dif. Signif. 
 Y(1) - Y(4) = 4,15 > Ld  Dif. Signif. 
 Y(2) - Y(3) = 2,9 > Ld  Dif. Signif. 
 Y(2) - Y(4) = 3,97 > Ld  Dif. Signif. 
 Y(3) - Y(4) = 1,07 < Ld  Dif. Ñ Signif. 
Fcalculado = 14,8 > Ftabelado= 3,24 
 
 
O efeito dos 
catalisadores é 
significativo 
 O catalisador ótimo é o 3 
(3 e 4 não dif. sig.), pois 
otimiza o processo com 
relação a qualidade e custos.