7 Teste de hipoteses

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ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
Teste de Hipóteses 
ENG09004 – 2014/2 
Prof. Alexandre Pedott 
pedott@producao.ufrgs.br 
 
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
7.1. Comentários Iniciais 
Uma hipótese estatística é uma afirmativa a respeito de um 
parâmetro de uma distribuição de probabilidade. 
Por exemplo, podemos formular a hipótese que a produtividade 
2,5 peças/hora. Formalmente isso é escrito como: 
 
 
 
Ho é chamada de hipótese nula e H1 de hipótese alternativa. 
Nesse caso, a alternativa formulada é bilateral, mas também 
podem ser estabelecidas alternativas unilaterais, tais como: 
 
peças/horaH
peças/horaH
5,2 :
5,2 :
1
0




peças/horaH
peças/horaH
5,2 :
5,2 :
1
0




ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
•Os testes de hipótese são uma das aplicações da estatística 
mais usadas. 
•Via de regra, a hipótese nula é feita com base no 
comportamento passado do produto/processo/serviços, 
enquanto a alternativa é formulada em função de alterações / 
inovações recentes. 
•No ambiente atual de melhoria contínua, é fácil entender a 
importância dos testes de hipótese: eles permitem confirmar a 
eficácia das medidas de melhoria adotadas. 
•Ao testar a hipótese, toma-se uma amostra aleatória do sistema 
em estudo e se calcula o parâmetro desejado. Conforme o valor 
do parâmetro, a hipótese nula será aceita ou rejeitada, a partir 
de procedimentos estatísticos. 
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
Quadro de Decisões em um Teste de Hipóteses 
 Aceitar H0 Rejeitar H0 
H0 verdadeira Decisão correta 
Erro do tipo I 
() 
H0 falsa 
Erro do tipo II 
() 
Decisão correta 
 = P {rejeitar Ho/Ho é verdadeira} = erro do tipo I 
 = P {não rejeitar Ho/Ho é falsa} = erro do tipo II 
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
O procedimento usual é fixar o valor de  e verificar o valor de . 
O risco  é uma função do tamanho da amostra, e é controlado 
indiretamente. 
Quanto maior o tamanho da amostra, menor será o risco . 
Quanto menor , maior será o . 
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
Testes de Hipóteses 
 
1. Comparação de médias, variância conhecida 
2. Comparação de médias, variância desconhecida 
3. Comparação de pares de observações 
4. Comparação de variâncias 
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
7.2. Comparação de médias, variância 
conhecida 
Suponha que X é uma variável aleatória com média  
desconhecida e variância conhecida. E queremos testar a 
hipótese de que a média é igual a um certo valor especificado 0. 
O teste de hipótese pode ser formulado como segue: 
 
 
 
Para testar a hipótese, toma-se uma amostra aleatória de n 
observações e se calcula a estatística 
 
 
Note que o teste é feito usando-se no denominador, uma 
vez que esse é o desvio padrão da média. 
2
01
0o
 :H
 :H


n/
X
Z oo



n/
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
A hipótese Ho é rejeitada se onde é um valor 
limite da distribuição normal reduzida tal que a probabilidade 
de se obter valores externos a é . 
 
A probabilidade do valor Zo acontecer segundo a hipótese nula 
é menor do que , logo rejeita-se a hipótese nula Ho. 
 
Se resultar próximo de , a hipótese Ho não 
pode ser rejeitada; 
 
Se resultar longe de , a hipótese Ho deve ser 
rejeitada. 
2/Z

2/0 ZZ  2/Z
X
2/ao ZZ 
X
2/ ao ZZ 
o
o
7.2. Comparação de médias, variância 
conhecida 
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
Exemplo 7.1: Um processo deveria produzir bancadas com 0,85 
m de altura. O engenheiro desconfia que as bancadas que estão 
sendo produzidas são diferentes que o especificado. Uma 
amostra de 8 valores foi coletada e indicou . Sabendo 
que o desvio padrão é , teste a hipótese do engenheiro 
usando um nível de significância  = 0,05. 
Solução: 
 
 
 
 
  Rejeita-se Ho 
0,87X 
010,0
0,0255,66 1,96oZ Z  
Exercício 7.2 pg 7.13 
1
o
: 0,85
: 0,85
0,87 0,85
Z 5,66
0,010 / 8
oH
H





 
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
-1,96 +1,96
 
=0,850 
Aceita Ho 
2/Z
2/Z
Rejeita Ho 
2/0 ZZ 
Rejeita Ho 
2/0 ZZ 2/0 ZZ 
7.2. Comparação de médias, variância 
conhecida 
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
Em alguns casos, o objetivo pode ser rejeitar Ho somente se a 
verdadeira média for maior que o. Assim, a hipótese 
alternativa unilateral será , e a hipótese nula será 
rejeitada somente se . 
 
•Se o objetivo for rejeitar Ho somente quando a verdadeira 
média for menor que o, a hipótese alternativa será e 
a hipótese nula será rejeitada somente se . 
 
•Quando há duas populações com médias desconhecidas, 
digamos e variâncias conhecidas, , o teste para 
verificar a hipótese que as médias sejam iguais é o seguinte: 
o1 :H 
 ZZo
1o e  2
2
2
1 e 
211
21o
 :H
 :H



o1 :H 
 ZZo
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
Nesse caso, a partir de uma amostra aleatória de n1 observações 
da população 1 e n2 observações da população 2, calcula-se: 
 
 
 
E Ho é rejeitada se . 
 
No caso da alternativa unilateral , a hipótese nula Ho 
será rejeitada quando . 
 
E se a alternativa unilateral for , a hipótese nula Ho será 
rejeitada quando resultar . 
 
2
2
2
1
2
1
21
o
nn
XX
Z





211 :H 
 ZZo
211 :  H
 ZZo
Exercício 7.3 
2/0 ZZ 
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
Hipótese Estatística Critério de Rejeição 
Tabela 7.1: 
Teste de Médias, 
Variância 
Conhecida 
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
7.3. Comparação de médias, variância 
desconhecida 
Suponha que X é uma variável aleatória Normal com média  
e variância desconhecidas. Para testar a hipótese de que a 
média é igual a um valor especificado o , formulamos: 
 
 
Esse problema é idêntico àquele da seção anterior, exceto que 
agora a variância é desconhecida. Como a variância é 
desconhecida, é necessário fazer a suposição adicional de que a 
variável tenha distribuição Normal. 
Essa suposição é necessária para poder desenvolver a estatística 
do teste; contudo, os resultados ainda serão válidos se o 
afastamento da normalidade não for forte. 
2
o1
0o
 :H
 :H


ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
Como não é conhecido, usa-se a distribuição de Student para 
construir a estatística do teste: 
 
 
 
E a hipótese nula é rejeitada se , onde t  / 2 
é um valor limite da distribuição de Student tal que a 
probabilidade de se obter valores externos a t  / 2 é . 
 
A Tabela 7.2 mostra os testes apropriados para os casos de 
hipóteses unilaterais. 
2
n/S
X
t oo


0o :H  1n,2/0 tt 
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Exemplo 7.2: Um empresário desconfia que o tempo médio de 
espera para atendimento de seus clientes é superior a 20 minutos. 
Para testar essa hipótese ele entrevistou20 pessoas e questionou 
quanto tempo demorou para ser atendido. O resultado dessa 
pesquisa aparece a seguir: 
 
22 20 21 23 22 20 23 22 20 24 
21 20 21 24 22 22 23 22 20 24 
 
min20 :
min20 :
1 



H
Ho
min 8,21X
min40,1S
75,5
20/40,1
208,21
/





nS
X
t oo

729,1 75,5 19,05,00  tt
Rejeita-se Ho 
Exercício 7.4 
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
Quando há duas populações normais com médias e 
variâncias desconhecidas, as hipóteses para testar se as 
médias são iguais são as seguintes: 
 
 
O procedimento do teste irá depender de que . Se essa 
suposição for razoável, então calcula-se a variância combinada: 
 
 
 
E a seguir calcula-se a estatística: 
 
H0 será rejeitada se 
2
2
2
1 
21 
211
21o
 :H
 :H


2
2
2
1 
 
2nn
S1nS1n
S
21
2
22
2
112
p



21
p
21
0
n
1
n
1
S
xx
t



2nn,2/0
21
tt 
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
Exemplo 7.3: Um engenheiro desconfia que a qualidade de um 
material pode depender da matéria-prima utilizada. Há dois 
fornecedores de matéria-prima sendo usados. Testes com 10 
observações de cada fornecedor indicaram: 
 
Use um nível de significância  = 0,05 e teste a hipótese do 
engenheiro. 
 
Solução: 
 
 
 
 
39 X1 
7S1 43X2  9S2 
211
21o
 :H
 :H


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Supondo temos: 
 
 
 
 
 
 
  Ho não pode ser rejeitada 
11,1
10
1
10
1
06,8
4339
t0 



101,2t11,1t 18;025,00 
2
2
2
1 
 
06,8S65
21010
9979
S p
22
2
p 



Exercício 7.5 
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
Se houver evidências de que , então a estatística a ser 
usada é: 
 
 
 
e o número de graus de liberdade para t é calculado da forma 
aproximada: 
 
 
 
 
Ho será rejeitada se . Os testes unilaterais 
correspondentes aparecem na Tabela 7.2 . 
2
2
2
1 
2
2
2
1
2
1
21
0
n
S
n
S
xx
t



 
2
1
)/(
1
)/(
)/()/(
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
21
2
1 





n
nS
n
nS
nSnS

 ,2/0 tt 
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
Tabela 7.2: 
Teste de Médias, 
Variância 
Desconhecida 
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7.4. Comparação de Pares de 
Observações 
Em algumas situações os dados de duas populações são 
coletados e comparados em pares. Isso é feito para impedir que 
fatores não controláveis inflacionem as estimativas das 
variâncias. 
A hipótese testada é se existe diferenças significativas entre 
pares de observações. 
 
 
O teste baseia-se na estatística: 
 
 
Ho será rejeitada se . 1,2/0  ntt 
nS
d
t
d /
0 
0 :
0 :
1 

dH
dHo
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Exemplo 7.4: Duas espécies de um certo tipo de cereal estão 
sendo testadas quanto ao seu crescimento. O experimento foi 
feito escolhendo 10 blocos de terreno e plantando em cada 
bloco mudas de ambas as espécies. Os resultados a seguir 
são as alturas medidas ao final do primeiro mês. Utilizar  = 
0,05 
 
 
 
Os dados deste experimento foram coletados aos pares para 
impedir que as diferenças de fertilidade entre os blocos de 
terreno (que podem ser grandes) mascarem os resultados. 
 
Terreno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Espécie 1 22 27 18 33 25 21 15 33 21 24
Espécie 2 21 31 24 32 29 23 19 37 22 27
0 :
0 :
1 

dH
dHo
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A análise é feita computando a média e o desvio padrão da 
diferença: 
 
 
 
para o exemplo, usando-se  = 0,05 tem-se: 
 
 
 
como , a hipótese nula é 
rejeitada. 
 
 
54,3
10/32,2
6,2


t
262,2t54,3t 9;025,0  0d :H0 
Exercício 7.6 
6,210/)3144241641(d 
32,2Sd 
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7.5. Comparação de Variâncias 
Os testes descritos a seguir assumem que as distribuições das 
variáveis aleatórias sigam o modelo Normal. Se essa suposição 
é violada, o teste deixa de ser exato. 
Uma hipótese testada com frequência é que a variância tenha 
um valor especificado : 
 
 
A estatística para o teste é: 
 
 
onde S2 é o valor da variância medida para uma mostra 
aleatória de n observações. 
2
0
2
0
2
1
2
0
2
0
 :H
 :H


 
2
0
2
2
0
S1n



Exercício 7.7 
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A hipótese nula é rejeitada se ultrapassar os limites inferior 
ou superior da distribuição do chi-quadrado, mais 
especificamente, se ou se . 
 
Testes unilaterais também podem ser formulados. A Tabela 7.3 
mostra os limites correspondentes. 
 
 
No caso em que se deseja testar se as variâncias de duas 
populações com distribuição Normal são idênticas, as hipóteses 
são formuladas como: 
2
0
2
1n;2/
2
0 
2
1n;2/1
2
0 
2
2
2
11
2
2
2
10
 :H
 :H


ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
Esse teste tem larga aplicação no controle da qualidade, uma vez 
que o monitoramento da variabilidade é essencial para a garantia 
de qualidade. Pode-se, por exemplo, comparar a variabilidade 
antes e após a implantação do controle estatístico de processo. 
 
A comparação de variâncias é feita usando-se a distribuição F: 
 
 
 
H0 é rejeitada se ou se 
 
A Tabela 7.3 indica os limites apropriados para os testes 
unilaterais: 
2
2
2
1
0
S
S
F 
1n,1n,2/0
21
FF  1n,1n,2/10
21
FF 
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Exemplo 7.5: Para o exemplo da qualidade do materiais (dois 
tipos de fornecedores, 10 observações de cada fornecedor S1 = 7 
m e S2 = 9 m), testar a hipótese de que as variâncias sejam as 
mesmas, usando  = 0,05. 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
A hipótese H0 não pode ser rejeitada, uma vez que o valor 
calculado F0 = 0,605 está dentro dos limites de decisão 
[0,248 ; 4,03]. 
2
2
2
11
2
2
2
10
 :H
 :H


605,0
9
7
F
2
2
0 
248,003,4/1F
03,4F
9,9;975,0
9,9;025,0


Exercício 7.8 
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
Hipótese Estatística Critério para
rejeitar H0
2
0
2
1
2
0
2
0
 :
 :




H
H
2
0
2
1
2
0
2
0
 :
 :




H
H
2
0
2
1
2
0
2
0
 :
 :




H
H
 
2
0
2
2
0
1


Sn 

 2
1;2/
2
0 

n
 ou
2
1;2/1
2
0 

n

2
1;
2
0


n

2
1;1
2
0


n

2
2
2
11
2
2
2
10
 :
 :




H
H
2
2
2
11
2
2
2
10
 :
 :




H
H
2
2
2
11
2
2
2
10
 :
 :




H
H
2
2
2
1
0
S
S
F 
2
2
2
1
0
S
S
F 
2
1
2
2
0
SS
F 
12,11,2/0 
 nnFF  ou
12,11,2/10 
 nnFF 
12,11,0 
 nnFF 
12,11,10 
 nnFF 
Tabela 7.3: 
Comparação 
de Variâncias 
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
7.6. Comparação dos parâmetros da 
Binomial 
Seja que queremos testar a hipótese que o parâmetro  da 
Binomial é igual a um certo valor p0. 
 
O teste que será descrito se baseia na aproximação Binomial 
através da distribuição Normal. 
 
Se uma amostra aleatória de n observações é coletada e se 
observam x itens que pertencem a classe associada com p, então 
para testar: 
 
 
 
 
 
o
o
 :H
 :H




1
0
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
Usa-se a estatística: 
 
 
 
A hipótese nula é rejeitada se resultar . 
 
No caso de alternativas unilaterais usa-se o mesmo raciocínio. 
7.6. Comparação dos parâmetros da 
Binomial 
 
 
n
p
Z
00
0
0
1 




2/0 ZZ 
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
Exemplo 7.6: Um engenheiro deseja testar a hipótese de que seu 
fornecedor entrega lotes com 10% de não conformes. Um lote de 
180 unidades revelou 14 não conformes. Use  = 5% e conclua 
a respeito. 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
  H0 não pode se rejeitada 
 
96,198,0 025,00  ZZ
 
98,0
180
1,011,0
1,0078,0
078,0180/14
1,0:
1,0 :
0
1
0







Z
p
H
H


Exercício 7.9 
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
A aproximação Normal também pode ser usada para testar a 
hipótese que dois parâmetros de Binomiais sejam iguais, ou 
seja, para testar: 
 
 
 
Nesse caso, amostras de tamanho n1 e n2 são retiradas de 
cada população, gerando x1 e x2 itens pertencentes à classe 
associada com p. Então e são os 
estimadores de  para cada população. 
 
111 / nxp  222 / nxp 
211
210
 :
 :




H
H
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
A estatística para o teste é: 
 
 
 
onde: 
 
 
E a hipótese nula é rejeitada quando 
  








21
21
0
11
1
nn
pp
pp
Z
21
2211
nn
pnpn
p

 
2/0 ZZ 
Exercício 7.10 
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
Exemplo 7.7: Um empresário deseja saber se o percentual de 
satisfação de seus clientes em relação a dois produtos oferecidos 
por sua empresa são similares. Para isso entrevistou 150 pessoas, 
das quais 80 disseram estar satisfeitas com o produto A e 100 com 
o produto B. Use  = 5% e conclua a respeito. 
 
211
210
 :
 :




H
H
53,0
150
80
1 p
67,0
150
100
2 p
60,0
150150
67,015053,0150
21
2211 




 
xx
nn
pnpn
p
   
47,2
0567,0
14,0
150
1
150
1
60,0160,0
67,053,0
11
1
21
21
0 




















xx
nn
pp
pp
Z
96,147,2 2/  ZZo
Rejeita-se Ho 
ENG 09004 – Estatística para Engenharia 
Exercícios 
7.1 Estabeleça a hipótese nula e a hipótese alternativa para as 
seguintes situações: 
a) Um fornecedor afirma que o tempo de vida de um produto bateria que ele 
comercializa é maior que 3 meses. 
b) Um engenheiro desconfia que uma máquina está fora do ajuste, 
produzindo eixos com diâmetro diferente do especificado, que é de = 2,54. 
c) Um fabricante atesta que o consumo de um certo modelo de 
eletrodoméstico é inferior a 20 watts. 
7.2 Vinte observações de um tipo de matriz indicaram um 
tempo de vida média de 217 min. Sabendo que o desvio padrão 
é de 20 min, teste a hipótese de que o tempo de vida é inferior a 
250 min, conforme atestam alguns engenheiros. Use  = 0,05. 
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7.3 Dois tipos de combustível estão sendo testados. A hipótese é 
de que eles tenham o mesmo desempenho. Teste essa hipótese, 
sabendo que o desvio padrão é de 0,7 Km/l e os resultados de 
testes feitos com 10 automóveis usando cada tipo combustível 
indicaram . Use  = 0,05. 
 
7.4 Os dados a seguir representam a produtividade de um 
processo. Use  = 0,05 e teste a hipótese de que, nas condições 
atuais, a produtividade seja superior a 1,5. 
 
 
7.5 Repita o exercício 7.3 supondo que o desvio padrão não fosse 
conhecido, mas que tivesse sido medido nas duas amostras de 10 
valores, resultando em S1 = 0,6 Km/l e S2 = 0,8 Km/l. (Suponha 
e use  = 0,05). 
.l/Km9,13X e l/Km3,13X 21 
1,50 1,55 1,59 1,42 1,53 1,58 1,48 1,52
1,53 1,62 1,46 1,56 1,63 1,54 1,58 1,68
2
2
2
1 
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7.6 Um médico está estudando o crescimento de dois tipos de 
bactérias. Essas bactérias foram cultivadas em diferentes 
substratos. Como pode haver um efeito significativo do 
substrato, os dois tipos de bactérias foram cultivados em cada 
substrato. Use  = 0,01 e teste a hipótese de que a bactéria 1 
cresce mais que a bactéria 2. 
Substrato 1 2 3 4 5 6 7 8 
B1 3,0 3,2 2,7 2,5 3,8 4,3 3,5 4,8 
B2 3,2 3,1 2,4 2,1 3,2 3,7 3,2 4,0 
 
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7.7 Um fabricante atesta que as máquinas de enchimento que 
ele produz apresentam um coeficiente de variação inferior a 2%. 
Um experimento aleatório realizado com garrafas de 2 litros 
indicou S2=0,0024 litros2 para uma amostra de 15 garrafas. 
Teste a hipótese do fabricante para um nível de significância 
 = 0,05. 
 
7.8 Uma nova unidade de desalinização foi instalada em uma 
indústria química. Uma amostra com n = 10, coletada antes da 
instalação da nova unidade, indicou concentração de sal 
 e . Enquanto que, após a instalação, uma 
amostra com n = 16 indicou e . Baseado 
nesses dados, pede-se: 
a) Teste a hipótese de que as duas variâncias sejam iguais. 
b) Teste a hipótese de que a nova unidade reduziu a 
concentração média de sal. 
55,19X1 
35,15S 21 
85,17X 2 
65,8S 22 
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7.9 Um engenheiro deseja testar a hipótese de que o percentual 
de peças defeituosas é inferior a 10%. Uma amostra aleatória 
com 75 peças revelou 6 peças defeituosas. Use  = 0,05 e 
conclua a respeito. 
 
7.10. Um engenheiro desconfia que o percentual de produtos 
defeituosos reduziu depois da implantação do controle 
estatístico de processo. Em uma amostragem de 500 produtos 
realizada antes da implantação do CEP, identificou-se 5 produtos 
defeituosos. Após a implantação do CEP, coletou-se uma 
amostra de 700 produtos e identificou-se 1 defeituosos. Teste a 
hipótese do engenheiro usando 2,5% de significância. 
7.11 Num estudo do tempo médio de adaptação para uma 
amostra aleatória de 50 homens num grande complexo 
industrial, surgiram as seguintes estatísticas: x= 3,2 anos e S = 
0,8 anos. Pode-se concluir, ao nível de 1% de significância que 
os homens tenham um tempo adaptação menor que as 
mulheres que é de 3,7 anos? 
 7.12 Um fabricante alega que apenas 2% das peças que ele 
fornece estão abaixo das condições de utilização. Em 200 peças 
escolhidas aleatoriamente de uma remessa de 5.000 
encontraram-se 10 falhas. A alegação do fabricante parece 
aceitável ao nível de 5% de significância? 
 
 7.13 Os dados abaixo dão os acertos obtidos por 8 soldados 
num experimento destinado a determinar sea precisão do tiro 
é afetada pela maneira de dispor os olhos. 
 (a) com o olho direito aberto 
 (b) com o olho esquerdo aberto 
 Que tipo de conclusão você poderia tirar? 
 
 
Soldado 1 2 3 4 5 6 7 8 
Direito 44 39 33 56 43 56 47 58 
Esquerdo 40 37 28 53 48 51 45 60 
 
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7.14 Para verificar o grau de adesão de uma nova cola para vidros, 
preparam-se dois tipos de montagem; Cruzado (A) onde a cola é 
posta em forma de X e quadrado (B), onde a fórmula é posta nas 4 
bordas. O resultado para a resistência das duas amostras de 10 
cada estão abaixo. Para um nível de 5% de significância que tipo de 
conclusão poderia ser tirada? 
 
 
7.15 A fim de comparar a eficácia de dois operários, foram 
tomadas, para cada um, oito medidas do tempo gasto, em 
segundos, para realizar certa operação. Os resultados obtidos são 
dados a seguir. Pergunta-se se, ao nível de 5% de significância, os 
operários devem ser considerados igualmente eficazes ou não. 
 
Método A 16 14 19 18 19 20 15 18 17 18 
Método B 13 19 14 17 21 24 10 14 13 15 
 
Operário 1 35 32 40 36 35 32 33 
Operário 2 29 35 36 34 30 33 31 
 
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7.16 Uma pesquisa nacional indica que aproximadamente 25% 
das contas de grandes magazines incorrem em penalidade por 
atraso nos pagamentos. Se um magazine local constata 40 
atrasos numa amostra de 200 clientes, pode necessariamente 
admitir que seus clientes sejam melhores que os clientes de 
todo país? Adote 5% de significância.