prova_2

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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Instituto de Cieˆncias Exatas
Departamento de Matema´tica
Professor Wilian
Aluno(a):.................................................................................... . Matr´ıcula: .....................................
2a Prova de Ca´lculo I - IC 241 — 06/11/2017
Questa˜o 1 (3,0 pontos) Calcule:
(a)(1,0 ponto) f ′(x), onde f(x) = 22 + x2 + 2x + xx.
(b)(1,0 ponto) f ′(x), se f(x) = sen (ex ) · ln(cos(x )).
(c)(1,0 ponto) lim
x→0
sen 2 (x ) + sen 2 (2x )
x2
.
Questa˜o 2 (1,5 ponto) Considere a curva definida pela equac¸a˜o xy2 +
√
xy = 2. Encontre a equac¸a˜o
da reta tangente a` curva no ponto (1,1).
Questa˜o 3 (2,0 pontos) Uma tempestade no mar danificou uma plataforma de petro´leo, produzindo um
vazamento de 60m3/min que produz uma mancha na forma circular com 25 cent´ımetros de espessura.
(a) Qual e´ a taxa de aumento do raio da mancha quando o raio e´ de 70 metros?
(b) Suponha que o defeito seja consertado de tal forma que o vazamento pare instantaneamente. Se o
raio da mancha estava aumentando a` taxa de 0, 2m/min quando o vazamento parou, qual foi o volume
de petro´leo derramado?
Sugesta˜o: Pense na mancha como um cilindro de petro´leo de raio r e espessura h, onde o volume deste
cilindro e´ V = pir2h.
Questa˜o 4 (3,5 pontos) Considere a func¸a˜o definida por f(x) =
4x2
x2 − 4 . Sabendo que f
′′(x) =
32(3x2 + 4)
(x2 − 4)3 . Determine, caso existam: (i) o domı´nio de f(x), suas (ii) ass´ıntotas verticais e
horizontais, (iii) intervalos de crescimento e decrescimento, (iv) extremos relativos, pontos de (v)
inflexa˜o e os intervalos de (vi) concavidade. Use estas informac¸o˜es para (vii) fazer o esboc¸o do
gra´fico de f(x).
JUSTIFIQUE SUAS RESPOSTAS!
Boa Prova!