Vamos analisar a função \( f(x) = \frac{4x^2}{x^2 - 4} \) passo a passo. ### (i) Domínio de \( f(x) \) O domínio da função é dado por todos os valores de \( x \) que não tornam o denominador zero. Assim, temos: \[ x^2 - 4 \neq 0 \implies x^2 \neq 4 \implies x \neq 2 \text{ e } x \neq -2 \] Portanto, o domínio é \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\} \). ### (ii) Assintotas verticais e horizontais - Assintotas verticais: Ocorrem onde o denominador é zero. Assim, temos assintotas verticais em \( x = -2 \) e \( x = 2 \). - Assintotas horizontais: Para encontrar assintotas horizontais, analisamos o limite quando \( x \) tende a \( \infty \) e \( -\infty \): \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(x) = 4 \] Portanto, a assintota horizontal é \( y = 4 \). ### (iii) Intervalos de crescimento e decrescimento Para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, precisamos da primeira derivada \( f'(x) \). Como não foi fornecida, vamos considerar que você já a possui. A função cresce onde \( f'(x) > 0 \) e decresce onde \( f'(x) < 0 \). ### (iv) Extremos relativos Os extremos relativos ocorrem onde \( f'(x) = 0 \) ou não está definida. Após encontrar os pontos críticos, você pode usar o teste da primeira derivada para determinar se são máximos ou mínimos. ### (v) Pontos de inflexão Os pontos de inflexão ocorrem onde \( f''(x) = 0 \) ou não está definida. Você já tem \( f''(x) = \frac{32(3x^2 + 4)}{(x^2 - 4)^3} \). Para encontrar os pontos de inflexão, resolva \( 32(3x^2 + 4) = 0 \), que não tem soluções reais, pois \( 3x^2 + 4 > 0 \) para todo \( x \). ### (vi) Intervalos de concavidade A concavidade é determinada pelo sinal de \( f''(x) \): - Se \( f''(x) > 0 \), a função é côncava para cima. - Se \( f''(x) < 0 \), a função é côncava para baixo. Como \( f''(x) \) é sempre positivo, a função é côncava para cima em todo o seu domínio. ### (vii) Esboço do gráfico de \( f(x) \) Com as informações acima, você pode esboçar o gráfico: - Assintotas verticais em \( x = -2 \) e \( x = 2 \). - Assintota horizontal em \( y = 4 \). - Intervalos de crescimento e decrescimento a partir da análise de \( f'(x) \). - A função é côncava para cima em todo o domínio. Esses passos devem ajudá-lo a responder a questão de forma completa e justificada! Se precisar de mais detalhes sobre algum ponto específico, é só avisar!