Vamos resolver as partes da questão uma a uma. ### (a) Calcule \( f'(x) \) onde \( f(x) = 22 + x^2 + 2x + x^x \). Para encontrar a derivada \( f'(x) \), vamos derivar cada termo: 1. A derivada de \( 22 \) é \( 0 \). 2. A derivada de \( x^2 \) é \( 2x \). 3. A derivada de \( 2x \) é \( 2 \). 4. Para \( x^x \), usamos a regra do logaritmo: \[ \frac{d}{dx}(x^x) = x^x(\ln(x) + 1) \] Portanto, a derivada total é: \[ f'(x) = 0 + 2x + 2 + x^x(\ln(x) + 1) = 2x + 2 + x^x(\ln(x) + 1) \] ### (b) Calcule \( f'(x) \) se \( f(x) = \sin(e^x) \cdot \ln(\cos(x)) \). Aqui, usaremos a regra do produto: \[ f'(x) = u'v + uv' \] onde \( u = \sin(e^x) \) e \( v = \ln(\cos(x)) \). 1. Para \( u' = \cos(e^x) \cdot e^x \) (usando a regra da cadeia). 2. Para \( v' = -\tan(x) \) (derivada de \( \ln(\cos(x)) \)). Assim, temos: \[ f'(x) = \cos(e^x) \cdot e^x \cdot \ln(\cos(x)) + \sin(e^x) \cdot (-\tan(x)) \] ### (c) Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(x) + \sin^2(2x)}{x^2} \). Usando a regra de L'Hôpital, pois a forma é \( \frac{0}{0} \): 1. Derivada do numerador: \( 2\sin(x)\cos(x) + 2\sin(2x)\cos(2x) \cdot 2 \). 2. Derivada do denominador: \( 2x \). Assim, aplicando a regra de L'Hôpital: \[ \lim_{x \to 0} \frac{2\sin(x)\cos(x) + 4\sin(2x)\cos(2x)}{2x} \] Substituindo \( x = 0 \): \[ = \frac{0 + 0}{0} \quad \text{(novamente 0/0)} \] Aplicando L'Hôpital novamente, você encontrará que o limite é \( 2 \). Portanto, as respostas são: (a) \( f'(x) = 2x + 2 + x^x(\ln(x) + 1) \) (b) \( f'(x) = \cos(e^x) \cdot e^x \cdot \ln(\cos(x)) - \sin(e^x) \cdot \tan(x) \) (c) \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(x) + \sin^2(2x)}{x^2} = 2 \)