Questão 2 (1,5 ponto) Considere a curva definida pela equação xy2 + √xy = 2. Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto (1,1).

Para encontrar a equação da reta tangente à curva definida pela equação \(xy^2 + \sqrt{xy} = 2\) no ponto \((1,1)\), siga os passos abaixo: 1. Derivar implicitamente a equação da curva em relação a \(x\): \[ \frac{d}{dx}(xy^2) + \frac{d}{dx}(\sqrt{xy}) = \frac{d}{dx}(2) \] Usando a regra do produto e a regra da cadeia, temos: \[ y^2 + x(2y \frac{dy}{dx}) + \frac{1}{2\sqrt{xy}}(y + x\frac{dy}{dx}) = 0 \] 2. Substituir o ponto \((1,1)\) na equação derivada para encontrar \(\frac{dy}{dx}\): \[ 1^2 + 1(2 \cdot 1 \cdot \frac{dy}{dx}) + \frac{1}{2\sqrt{1 \cdot 1}}(1 + 1 \cdot \frac{dy}{dx}) = 0 \] Simplificando: \[ 1 + 2\frac{dy}{dx} + \frac{1}{2}(1 + \frac{dy}{dx}) = 0 \] Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração: \[ 2 + 4\frac{dy}{dx} + 1 + \frac{dy}{dx} = 0 \] \[ 3 + 5\frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{3}{5} \] 3. Usar a fórmula da reta tangente: A equação da reta tangente em um ponto \((x_0, y_0)\) é dada por: \[ y - y_0 = m(x - x_0) \] Onde \(m\) é a inclinação (derivada) e \((x_0, y_0) = (1, 1)\): \[ y - 1 = -\frac{3}{5}(x - 1) \] 4. Simplificar a equação: \[ y - 1 = -\frac{3}{5}x + \frac{3}{5} \] \[ y = -\frac{3}{5}x + \frac{8}{5} \] Portanto, a equação da reta tangente à curva no ponto \((1,1)\) é: \[ y = -\frac{3}{5}x + \frac{8}{5} \]