Apostila RM (Autor - Prof Gilson)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS 
ESCOLA DE ENGENHARIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATERIAL DIDÁTICO PARA A GRADUAÇÃO 
 
LLiivvrroo:: ““RReessiissttêênncciiaa ddooss MMaatteerriiaaiiss”” 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coordenador: Prof. Gílson Queiroz 
 
 
 
Belo Horizonte,23 de Junho de 2003 
 
 1 
 
 
 
 
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO 
 
1.1 Definições 
Todas as construções têm componentes estruturais, que devem possuir resistência e rigidez 
adequadas para a finalidade prevista. Resistência é a capacidade do componente estrutural não 
sofrer qualquer tipo de dano, sob o efeito das ações, e rigidez é sua capacidade de não se 
deformar excessivamente, sob esse efeito. As ações, associadas à finalidade da construção, são 
todas as causas de deformações dos componentes estruturais, como peso próprio, forças 
aplicadas, variação de temperatura, vento, forças de inércia etc. 
Todos os materiais são deformáveis. Quando a deformação desaparece totalmente após a 
retirada das ações, diz-se que o comportamento do material é elástico. Quando alguma 
deformação permanece após a retirada das ações, diz-se que o comportamento é plástico. 
Todos os materiais comportam-se elasticamente até um certo limite das deformações a que são 
sujeitos; além de tal limite alguns se rompem e outros (a maioria) passam a se comportar 
plasticamente. 
 
1.2 Objetivo da Resistência dos Materiais 
Estabelecer métodos adequados para o cálculo de tensões e deformações em componentes 
estruturais, de forma que eles possam ser projetados atendendo às condições necessárias de 
resistência e rigidez. Para estabelecer tais métodos utilizam-se modelos matemáticos, baseados 
em resultados experimentais, cujo campo de validade é limitado pelas hipóteses inerentes. 
 
1.3 Limitações do curso de Resistência dos Materiais 
Comportamento elástico, pequenas deformações, pequenos deslocamentos. 
As deformações () são consideradas pequenas quando seu valor absoluto não ultrapassa 
determinado limite, geralmente da ordem de 0,01. 
Exemplo: barra com seção transversal quadrada de lado a0, comprimento L0, sujeita à tração, 
conforme figura 1.1.a - o diagrama tensão deformação do material é mostrado na figura 1.1.b. 
 2 
 
Sejam a e L as dimensões da barra depois da aplicação da força de tração F. Tem-se: 
L = L - L0 x = L / L0 a = a – a0 y = z = a / a0 
Relação entre as áreas final e inicial da seção transversal: 
(a/a0)
2 = [(a0 + a)/ao]2 = [(a0 + y a0)/a0]2 = (1 + y)2 
Para y  0,01 (pequenas deformações), notando que y é negativo (porque a < a0), obtém-se 
(a/a0)
2  0,98 (redução da ordem de 2% na área) 
Assim, pode-se considerar a área constante no caso de pequenas deformações. 
Para x  e o comportamento é linear, com  = F / (a0)2 = Ex (E = módulo de elasticidade) 
Particularmente, no fim do comportamento linear,  = e = Ee 
 
Deslocamentos são pequenos quando a geometria da estrutura deformada pelas ações difere 
pouco de sua geometria indeformada, de forma que seja desprezível o erro cometido quando se 
calculam respostas da estrutura com base na geometria inicial. 
Exemplo: para a determinação do momento fletor em A na peça em balanço da figura 1.2, o 
deslocamento u da extremidade direita seria pequeno se Pu << Fh, pois, neste caso, poder-se-
ia calcular MA com base na geometria indeformada, i. é., MA = Pu + Fh  Fh. 
 
 
 
 
 
 
1.4 Exemplos de projetos mecânicos que envolvem Resistência dos Materiais 
- eixos, engrenagens e elementos de máquinas em geral; 
- estruturas de automóveis, navios e aviões; 
- guindastes e pontes rolantes; 
a 
a0 
L0 
L 
F F 
 
 
x e 
e 0,01 
 FIGURA 1.1 
(a) 
(b) 
u 
F 
P 
A 
h 
FIGURA 1.2 
 
 
 3 
- comportas, condutos-forçados e equipamentos hidro-mecânicos em geral; 
- vasos de pressão; 
- estruturas de correias transportadoras; 
- estruturas de máquinas em geral; 
- etc. 
 
1.5 Histórico 
Os egípcios possuíam alguns conhecimentos de mecânica simples e de resistência dos 
materiais, pelo menos dois mil anos antes de Cristo. Contudo, o primeiro registro do uso de 
princípios científicos no campo da mecânica é atribuído a Arquimedes (287-212 A. C.), que 
estabeleceu o princípio da alavanca. Os romanos conheciam muitos princípios da mecânica, 
como o do arco, muito utilizado nas construções do Império Romano. Pouco avanço ocorreu 
durante o declínio do Império Romano e a Idade Média. 
O ressurgir do interesse pela ciência que veio com o Renascimento aparentemente concentrou-
se na Itália. A primeira publicação sobre resistência dos materiais é atribuída a Leonardo da 
Vinci (1452-1519). 
 O grande cientista italiano Galileu (1564-1642), em seu livro “Two New Sciences”, 
apresentou dois tópicos de resistência dos materiais, um a respeito de ensaios de barras 
tracionadas de geometria similar e outro a respeito da resistência teórica e experimental de 
vigas em balanço. 
O inglês Robert Hooke (1635-1703) contribuiu muito para o desenvolvimento da Resistência 
dos Materiais, com sua famosa lei de Hooke, formulada em 1660, mas, publicada somente em 
1676: “a deformação é proporcional à tensão”. Esta lei foi o primeiro avanço importante na 
teoria dos corpos elásticos. 
Isaac Newton (1642-1727), além de desenvolver suas leis famosas , é também considerado o 
criador do cálculo diferencial. 
Atribui-se a John Bernoulli (1667-1748) o estabelecimento do princípio dos deslocamentos 
virtuais. Foi o filho de John, Daniel (1700-1782), entretanto, quem propôs, numa carta a seu 
discípulo, Leonard Euler (1707-1783), o princípio que levou Euler a formular a teoria de Euler-
Bernoulli sobre a flexão de vigas. Leonard Euller foi um dos mais prolíferos e conceituados 
cientistas do século XVIII, produzindo vários livros-texto e mais de 400 artigos durante os 
últimos 20 anos de sua vida. 
 4 
J. L. Lagrange (1736-1813) produziu vários trabalhos, os mais significativos tendo sido a 
respeito de flambagem de pilares, aplicando corretamente as teorias de Euler sobre estabilidade 
estrutural. 
Próximo ao início do século XIX, a ênfase dada a corpos de forma específica, tais como barras 
solicitadas axialmente e vigas fletidas, começou a mudar para corpos de forma arbitrária. A 
caracterização das equações de campos elásticos foi descrita por Navier (1785-1836) em 1821, 
e por Cauchy (1789-1857) em 1822. As formulações apresentadas pelos dois cientistas foram 
idênticas, exceto por uma importante diferença: Navier acreditava que havia apenas uma 
constante do material em meio hookeano isotrópico, enquanto Cauchy considerava que havia 
duas constantes. Embora se saiba atualmente que há realmente duas constantes independentes, 
essa diferença de opinião continuou quase até o fim do século. Certamente uma importante 
razão para a controvérsia ter se estendido por várias décadas é a inexatidão dos equipamentos 
usados em ensaios naquele período. 
Na mesma época em que Navier e Cauchy estavam investigando o problema do campo 
elástico, Fourier (1768-1830) estava formulando as equações para modelagem do campo de 
temperaturas em um corpo de forma arbitrária. Este grande físico e matemático é também 
conhecido pelo desenvolvimento das séries de Fourier. 
Outro famoso cientista francês foi Duhamel (1797-1852). Ele foi o primeiro cientista a estudar 
tensões térmicas detalhadamente e também o primeiro a aplicar o princípio da superposição de 
efeitos. 
Em 1852 Lamé publicou o primeiro livro sobre a teoriada elasticidade: “Leçons sur la Théorie 
Mathematique de l’Elasticité des Corps Solids”. 
Durante meados do século XIX, os cientistas Thomas Young (1773-1829) e Poisson (1781-
1840) contribuíram com a introdução do módulo de Young e do coeficiente de Poisson, 
respectivamente. 
Sem dúvida, o mais prolífero estudioso de elasticidade do século XIX foi o francês Barré de 
Saint-Venant (1797-1886). Ele é conhecido principalmente devido ao princípio de St. Venant 
e à sua teoria da torção, que foi modificada por Prandtl (1875-1953) em 1903. Próximo ao final 
de sua vida, Saint-Venant tornou-se muito interessado no estudo da plasticidade, que tinha sido 
iniciado por Tresca no seu famoso trabalho sobre escoamento em 1864. 
No final do século XIX os cientistas mostraram crescente interesse pelos métodos variacionais 
ou energéticos, originalmente propostos por John Bernoulli e desenvolvidos por Euler e 
Lagrange. 
 5 
O teorema de Alberto Castigliano (1847-1884), apresentado em sua tese em 1873, é ainda 
largamente utilizado. 
O famoso tratado do inglês Lord Rayleigh (John William Strutt, 1842-1919), “The Theory of 
Sound”, foi publicado em 1877-1878. Suas aplicações de métodos variacionais a problemas de 
vibrações foram mais tarde corroboradas por Walter Ritz (1878-1909), resultando no método 
largamente utilizado de Rayleigh-Ritz. 
Os avanços do século XIX culminaram com a publicação de A. E. H. Love (1863-1940), 
intitulada “A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity” em 1892-1893. Certamente 
nenhum outro texto é tão profundo ou veio a causar tanto impacto posterior na análise 
estrutural. 
Por volta da virada do século, os cientistas dos Estados Unidos desconheciam grande parte dos 
métodos analíticos desenvolvidos na Europa durante o século XIX. Coube ao ucraniano 
Stephen P. Timoshenko (1878-1972) levar essas informações para os Estados Unidos. Após a 
tradução de seus trabalhos, eles têm sido utilizados por estudantes de mecânica estrutural em 
todo o mundo, mesmo nos dias atuais. 
 
Bibliografia do Capítulo 1 
H. Allen & Walter E. Haisler, “Introduction to Aerospace Structural Analysis”, John Wiley & 
Sons, 1985. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
 
 
 
 
CAPÍTULO 2 - EQUAÇÕES BÁSICAS DA ELASTICIDADE LINEAR 
 
2.1 Tensões 
Seja um corpo de forma qualquer sujeito a forças P1, P2, P3 etc. e outras ações, e um ponto 
qualquer P no interior do corpo, conforme figura 2.1.a. Em uma seção por um plano arbitrário 
Q, passando por P, existem forças distribuídas, com intensidades e direções variáveis, atuando 
nos pontos da seção. Tais forças correspondem à interação entre as duas partes em que o corpo 
foi subdividido pelo plano Q. Supondo que o material é contínuo, na área infinitesimal dA, 
situada no plano Q e contendo o ponto P, atua uma força dF, como mostrado na figura 2.1.b. 
Denomina-se vetor tensão  ao vetor, cuja direção é a mesma de dF, dado por: 
 = dF/dA 
 
 
 
 
 
 
 
 
O vetor tensão  pode ser decomposto em suas componentes Qn e Qt, nas direções ortogonal 
e tangencial ao plano Q, respectivamente. Conforme figura 2.1.b: 
Qn = dFn/dA Qt = dFt/dA 
É comum chamar Qn e Qt de  (tensão normal) e  (tensão tangencial ou de cisalhamento), 
respectivamente. 
Pelo exposto, fica claro que o vetor tensão em um ponto do corpo depende não só da posição 
do ponto, mas, também da inclinação do plano que passa pelo ponto. 
 
 
P3 
FIGURA 2.1 
(a) 
P1 
P2 
P4 
P5 
P Q 
(b)
) 
P 
Q dA 
dF 
dFn 
dFt 
 7 
Considere-se um parelepípedo de dimensões infinitesimais contendo o ponto P, cujas faces são 
ortogonais às direções X, Y, Z de um sistema de coordenadas previamente definido, conforme 
figura 2.2.a. Isolando-se esse parelepípedo do restante do corpo, em cada face atuará um 
determinado vetor tensão, como na figura 2.2.b. O índice utilizado é o da direção normal à 
face. Em duas faces opostas, os vetores tensão tornam-se iguais e opostos, quando as 
dimensões do parelepípedo tendem para zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em cada face do paralelepípedo, o vetor tensão pode ser decomposto, como na figura 2.1.b, em 
uma componente normal e outra tangencial à face. A componente tangencial à face, por sua 
vez, pode ser decomposta nas duas direções de eixos coordenados paralelos à face considerada. 
Resultam as três componentes por face indicadas na figura 2.2.c. O primeiro índice de cada 
componente indica a direção da normal à face considerada e o segundo índice indica a direção 
da própria componente. Assim a componente yz, por exemplo, atua tangencialmente à face de 
normal Y, na direção Z. A componente xx atua perpendicularmente à face de normal X. As 
componentes com índices diferentes são tensões tangenciais ou de cisalhamento e as 
componentes com índices iguais são tensões normais. 
Convenção de sinais: Uma componente que atua numa face de normal externa positiva do 
paralelepípedo elementar é positiva se tiver o mesmo sentido do eixo coordenado que lhe é 
paralelo; se a normal externa à face considerada for negativa, a componente é positiva se tiver 
sentido oposto ao do eixo coordenado que lhe é paralelo. Na figura 2.2.c todas as componentes 
indicadas são positivas. De agora em diante as componentes de tensões serão designadas 
simplesmente por tensões. Uma tensão normal positiva é de tração e uma tensão normal 
negativa é de compressão. 
 
x 
Z 
P3 
Y 
X 
FIGURA 2.2 
P2 
(b) (a) 
P1 
P4 
P5 
P 
(c) 
y 
z 
XX 
ZZ 
YY 
XY 
YX 
XZ ZX 
ZY 
YZ 
Obs: não estão repre-
sentadas as tensões nas 
faces ocultas. 
 8 
2.1.1 Estado de tensões em um ponto. Tensor de tensões. Simetria do tensor de tensões. 
Conhecidos os vetores tensão atuantes nas faces do paralelepípedo elementar que contém o 
ponto P, cujas faces são ortogonais aos eixos coordenados pré definidos, é possível determinar 
o vetor tensão em qualquer plano passando por P. Com efeito, seja  o vetor unitário normal ao 
plano arbitrário Q, passando por P – figura 2.3. Os vetores tensão  , x , y , z , atuam, 
respectivamente, nas áreas (k, m, n são os co-senos diretores da normal ): 
AQ = área ABC Ax = área PAC = kAQ Ay = área PAB = m AQ Az = área PBC = n AQ 
Por equlíbrio vetorial das forças atuantes no tetraedro ABCP, tem-se: 
 (AQ) = x (Ax) + y (Ay) + z (Az) = x (kAQ) + y (mAQ) + z (nAQ) Donde: 
 = kx + my + nz cqd 
Em termos de componentes nas direções dos eixos coordenados, esta equação equivale a: 
 
 
 
Ou, simplesmente: 
 = [ ]  (2.1) 
Na equação (2.1), [] é a matriz anterior contendo as nove tensões referidas ao sistema XYZ, a 
qual, como se mostrou, define totalmente o estado de tensões no ponto P. Pode-se mostrar que 
a matriz [] é um tensor, no sentido matemático. 
 
 
 
 
 
 
 
O vetor tensão  pode ser decomposto nas componentes  e t, normal e tangencial ao 
plano Q, respectivamente: 
  =  .  (produto escalar) (2.1 a) 
(t)2 = 2 – ()2 (Pitágoras) (2.1 b) 
O tensor de tensões [] é simétrico, isto é: yx = xy zx = xz zy = yz 
x 
y = 
z 
zx 
zy 
zz 
yx 
yy 
yz 
xx 
xy 
xz 
k 
m 
n 
X 
Y 
Z B 
A 
C 
P Q  
z 
x 
y 
 
FIGURA 2.3 
 9 
Demonstra-se a seguir a primeiraigualdade; para as outras duas o procedimento é análogo. Na 
figura 2.4 mostram-se as tensões que produzem momento em relação ao eixo PZ. 
A soma dos momentos das forças resultantes das tensões, em relação a PZ, é nula: 
(xx-xx)(dydz)(dy/2) + (yx)(dxdz)dy – (xy)(dydz)dx + (zx-zx)(dxdy)(dy/2) + 
(yy-yy)(dxdz)(dx/2) + (zy-zy)(dxdy)(dx/2) = 0, donde 
yx = xy cqd; analogamente 
zx = xz e zy = yz 
 
 
 
 
 
 
 
 
O tensor de tensões [] tem, então, somente 6 termos independentes: 
 
 [] = (2.2) 
 
2.1.2 Exemplos de estados de tensões 
Solicitação uniaxial – figura 2.5.a; Solicitação de corte - figura 2.5.b. Em ambos os casos o 
tensor de tensões está referido ao sistema XYZ. 
X 
Y 
Z 
XX 
YY 
XY 
YX 
 ZX 
ZY 
 
ZX 
ZY 
YY 
YX 
XX 
XY 
Z 
P 
dx 
dz 
dy 
FIGURA 2.4 
xz 
yz 
zz 
xx 
xy 
xz 
xy 
yy 
yz 
 
 
 
 
D 
A 
B 
C P1 P1 
P2 
P2 
X 
Y 
Z 
(a) (b) 
Na seção AB:  = P1/A1 
(A1 = área da seção AB) 
No sistema XYZ: 
 
[  ] = 
 
 0 0 
0 0 0 
0 0 0 
Na seção CD:  = P2/A2 
(A2 = área da seção CD) 
No sistema XYZ: 
 
[  ] = 
 
0  0 
 0 0 
0 0 0 
    
FIGURA 2.5 
 10 
2.1.3 Equações de equilíbrio de tensões 
Seja B o vetor que representa a força de massa ou de volume (devida à gravidade, à atração 
magnética etc.) por unidade de volume: 
B = Bxi + Byj + Bzk 
Tomando o equilíbrio estático das forças na direção X, atuantes no elemento da fig. 2.6: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 [(xx/x)dx]dydz + [(yx/y)dy]dxdz + [(zx/z)dz]dxdy + Bxdxdydz = 0, ou: 
 xx/x + yx/y + zx/z + Bx = 0 (2.3) 
Equações análogas de equilíbrio aplicam-se às direções Y e Z. 
 
2.1.4 Planos principais e tensões principais 
Denominam-se planos principais aos três planos ortogonais entre si, que passam pelo ponto 
considerado, nos quais as tensões de cisalhamento são nulas. As tensões normais que atuam 
nos planos principais são chamadas tensões principais e designadas por 1, 2 e 3, em ordem 
decrescente de valor algébrico. Se o plano inclinado da figura 2.3 for um plano principal, o 
vetor tensão  terá a direção de , podendo-se escrever: 
 = i (2.4) 
onde i é uma tensão principal. Igualando-se os segundos membros das equações (2.1) e (2.4), 
tem-se: 
[]  = i, ou 
 
xxk + xym + xzn = ik 
xyk + yym + yzn = im 
 xzk + yzm + zzn = in, donde: 
 
(xx - i)k + xym + xzn = 0 
X 
Z 
Y 
xx xx+(xx/x)dx 
Bx 
 
yx 
yx+(yx/y)dy 
zx 
 zx+(zx/z)dz
zzzzz 
 
FIGURA 2.6 
 
 
 
 
 
 
dz 
dx 
dy 
 11 
xyk + (yy - i)m + yzn = 0 (2.5) 
xzk + yzm + (zz - i)n = 0 
Observando-se que 
k2 + m2 + n2 = 1, (2.6) 
a solução do sistema (2.5) não pode ser trivial, resultando a condição: 
(xx - i) xy xz 
 xy (yy - i) yz = 0 (2.7) 
 xz yz (zz - i) 
A equação (2.7) é cúbica e suas três raízes i são as tensões principais 1, 2 e 3 (pode-se 
demonstrar que as três raízes são reais). 
Para se obterem as direções normais a cada plano principal (chamadas direções principais), 
substitui-se, sucessivamente, cada tensão principal no sistema (2.5). Devido à condição (2.7), 
apenas duas das três equações (2.5) são linearmente independentes, devendo (2.6) ser usada 
como terceira equação. Demonstra-se que as três direções principais e, consequentemente, os 
três planos principais, são ortogonais entre si. Desta forma, obtidas duas direções principais 
(correspondentes a 1 e 2, por exemplo), a terceira pode ser obtida pelo produto vetorial das 
anteriores: 
(k3 m3 n3) = (k1 m1 n1) (k2 m2 n2) 
O módulo do vetor tensão atuante em qualquer plano que passa pelo ponto considerado tem 
valor intermediário entre os módulos das tensões principais 1 e 3, como se mostra a seguir. 
Utilizando-se eixos paralelos às direções principais no ponto como sistema de coordenadas, a 
equação (2.1) fica: 
x = 1k 
y = 2m (2.8) 
z = 3n 
Substituindo os valores de k, m, n dados por (2.8) em (2.6), obtém-se: 
(x)2/(1)2 + (y)2/(2)2 + (z)2/(3)2 = 1 (2.9) 
Esta é a equação de um elipsóide cujos semi-eixos são 1, 2 e 3, no sistema de coordenadas 
x y z, conforme figura 2.7. Observa-se que o módulo de qualquer vetor tensão  (cujas 
componentes são x, y e z) tem valor intermediário entre os módulos das tensões 
principais 1 e 3, como se afirmou anteriormente. 
 12 
Pode-se também demonstrar que a tensão normal  atuante em qualquer plano que passa pelo 
ponto considerado tem valor intermediário, algebricamente, entre 1 e 3. 
 
2.1.5 Valores extremos das tensões de cisalhamento 
Utilizando-se eixos paralelos às direções principais no ponto como sistema de coordenadas, as 
componentes cartesianas de  são dadas por (2.8). O quadrado do módulo de  e a 
componente normal de , dada por (2.1 a), ficam, respectivamente: 
2 = (1k)2 + (2m)2 + (3n)2 
 =  .  = (1k 2m 3n) . (k m n) = 1k2 + 2m2 + 3n2 
Substituindo-se estas expressões na equação (2.1 b), obtém-se a componente tangencial, ou de 
cisalhamento, de : 
(t)2 = 2 – ()2 = (1k)2 + (2m)2 + (3n)2 – (1k2 + 2m2 + 3n2)2 (2.10) 
Determinando-se matematicamente os extremos da função t(k, m, n), obtêm-se os seguintes 
valores de t, com os correspondentes valores de k, m, n (que definem as normais aos planos 
onde as tensões de cisalhamento assumem valores extremos): 
 t k m n 
  (1-
2)/2 
1/2 1/2 0 
  (1-
3)/2 
1/2 0 1/2 
  (2-
3)/2 
0 1/2 1/2 (2.11) 
 
Vê-se que os planos onde atuam os valores extremos das tensões de cisalhamento são 
bissetores dos planos principais, e que a maior tensão de cisalhamento é igual a: 
(1 - 3)/2 
 x 
y 
z 
1 
2 
3 
 
FIGURA 2.7 
 13 
2.2 Deformações (para pequenos deslocamentos e pequenas deformações) 
Devido ao efeito de forças e outras ações, todos os pontos de um corpo sofrem deslocamentos, 
definindo-se o campo de deslocamentos (figura 2.8): 
q = q(x, y, z) = (u, v, w) 
u = u(x, y, z) v = v(x, y, z) w = w(x, y, z) 
 
Considerem-se três pontos A, B, C, do corpo indeformado, no plano XY, separados por 
distâncias infinitesimais; o segmento AB é paralelo a X e tem comprimento dx (figura 2.9.a); o 
segmento AC é paralelo a Y e tem comprimento dy (figura 2.9.b). Sendo u e v os 
deslocamentos horizontal e vertical, respectivamente, de A, tem-se: 
uB = u + (u/x) dx vB = v + (v/x) dx (figura 2.9.a) 
uC = u +(u/y) dy vC = v +(v/y) dy (figura 2.9.b) 
 
A posição deformada de AB é A1B1, cuja projeção horizontal é: 
dx + uB – u = dx + (u/x)dx 
Assim, a variação de comprimento de AB é (u/x)dx, e a deformação linear na direção X: 
xx = (u/x)dx/dx = u/x (2.12) 
Analogamente determinam-se as outrasdeformações lineares: 
 yy = v/y (2.13) 
zz = w/z (2.14) 
u A(x,y,z
) 
q(x,y,z) 
X 
Y 
Z w 
v
X 
FIGURA 2.8 
 
uB 
A 
X 
Y 
A 
X 
Y 
A1 
B1 
vB v 
u 
dx 
C 
dy 
A1 
u 
v 
vC 
uC 
C1 
B 
(a) (b) 
FIGURA 2.9 
 14 
Por outro lado, o ângulo reto BAC sofre uma distorção, devido à rotação de seus lados. 
Rotação de AB (figura 2.9.a).: (vB – v)/(dx + uB – u) = [(v/x)dx]/[(dx + (u/x)dx)] = v/x 
(para pequenas deformações, u/x << 1) 
Rotação de AC (figura 2.9.b).: (uC – u)/(dy + vC – v) = [(u/y)dy]/[(dy + (v/y)dy)] = u/y 
(para pequenas deformações, v/y << 1) 
Assim, a distorção total do ângulo reto BAC é dada por: 
xy = u/y + v/x (2.15) 
Analogamente determinam-se as distorções nos planos XZ e YZ: 
xz = u/z + w/x (2.16) 
yz = v/z + w/y (2.17) 
Vê-se, pelas equações (2.15), (2.16) e (2.17), que 
xy = yx xz = zx yz = zy (2.18) 
Convenção de sinais: deformações lineares positivas correspondem a alongamentos; distorções 
angulares positivas correspondem a redução do ângulo reto cujos lados têm direção e sentido 
dos eixos coordenados antes da deformação. 
 
2.2.1 Estado de deformações em um ponto. Tensor de deformações. 
Analogamente ao caso das tensões, demonstra-se que as três deformações lineares e as três 
distorções angulares são suficientes para descrever o estado de deformações em um ponto. 
Entretanto, pode-se mostrar que para a matriz de deformações tornar-se um tensor, no sentido 
matemático, é necessário que as distorções angulares sejam divididas por 2. Assim, o tensor de 
deformações, que é simétrico conforme (2.18), é dado por: 
 
 [] = (2.19) 
 
onde as deformações angulares são: 
xy = xy/2 xz = xz/2 yz = yz/2 (2.20) 
O vetor deformação , em um plano cuja normal é , bem como suas componentes linear () 
e angular (t) são obtidos com equações análogas às equações (2.1), (2.1.a) e (2.1.b): 
 = []  (2.21) 
 =  .  (produto escalar) (2.21 a) 
(t)2 = 2 – ()2 (Pitágoras) (2.21 b) 
xz 
yz 
zz 
xx 
xy 
xz 
xy 
yy 
yz 
 15 
2.2.2 Planos principais e deformações principais 
Assim como para as tensões, existem três planos ortogonais entre si, denominados planos 
principais, onde as deformações angulares são nulas. As deformações lineares 1, 2, 3, 
atuantes nestes planos, são denominadas deformações principais. A deformação linear  
atuante em qualquer outro plano tem seu valor algébrico compreendido entre 3 (mínima) e 1 
(máxima). A determinação das deformações principais e dos planos principais é feita da 
mesma forma que para as tensões, utilizando-se o tensor [] em lugar do tensor []. 
 
2.2.3 Valores extremos das deformações angulares 
Por analogia com as tensões, obtém-se: 
 
 t k m n 
  (1-2)/2 1/2 1/2 0 
  (1-3)/2 1/2 0 1/2 
  (2-3)/2 0 1/2 1/2 (2.22) 
 
2.2.4 Equações de compatibilidade de deformações 
Definido o campo de deslocamentos q = (u, v, w), ficam definidas as deformações ij em todo 
o corpo, por meio das equações (2.12) a (2.20). Entretanto, para se obter um campo de 
deslocamentos contínuo e unívoco, a partir das deformações, é necessário que tais deformações 
atendam a determinadas equações de compatibilidade. Por exemplo, no plano XY tem-se: 
 xx = u/x yy = v/y xy = u/y + v/x 
Derivando-se as 3 expressões acima como mostrado a seguir, obtém-se a equação (2.23) 
2xx/y2 = 3u/xy2 2yy/x2 = 3v/yx2 2xy/xy = 3u/xy2 + 3v/yx2, donde: 
 2xx/y2 + 2yy/x2 = 2xy/xy (2.23) 
Duas equações similares a (2.23) são obtidas para os planos XZ e YZ, respectivamente. 
Além destas três equações de compatibilidade, há outras três, uma das quais (2.24) é obtida a 
seguir, e as outras duas podem ser obtidas por meio de troca adequada dos índices: 
2xx/yz = 3u/xyz 2xy/xz = 3u/xyz + 3v/x2z 
2xz/xy = 3u/xyz + 3w/x2y 2yz/x2 = 3v/x2z + 3w/x2y, donde 
 2xx/yz =(1/2)( /x)(- yz/x + xz/y + xy/z) (2.24) 
 16 
2.2.5 Deformação volumétrica 
Considere-se um paralelepípedo retangular elementar, de lados dx, dy, dz, sujeito a um estado 
de deformações []. Os comprimentos finais dos lados deformados são dx + xdx, dy + ydy, 
dz + zdz, respectivamente. As deformações angulares não produzem variação de volume. 
Assim, a deformação volumétrica é dada por: 
V/V = [(dx + xdx)(dy + ydy)(dz + zdz) – dxdydz]/(dxdydz) = 
(1 + x)(1 + y)(1 + z) – 1 
Desprezando-se o produto de duas ou mais deformações: 
V/V = x + y + z (2.25) 
 
2.3 Relações entre tensões e deformações (para pequenos deslocamentos e pequenas 
deformações) 
Considerando-se a simetria dos tensores [] e [] e admitindo-se que cada tensão é função 
linear das 6 deformações, tem-se (índices repetidos são escritos só uma vez, tensões de 
cisalhamento são indicadas pela letra , distorções angulares ij são usadas em lugar das 
deformações correspondentes ij): 
x = c11x + c12y + c13z + c14yz + c15zx + c16xy 
y = c21x + c22y + c23z + c24yz + c25zx + c26xy 
z = c31x + c32y + c33z + c34yz + c35zx + c36xy 
yz = c41x + c42y + c43z + c44yz + c45zx + c46xy 
zx = c51x + c52y + c53z + c54yz + c55zx + c56xy 
 xy = c61x + c62y + c63z + c64yz + c65zx + c66xy (2.26) 
Na fig. 2.10 vê-se que a variação da energia de deformação associada a uma variação dx da 
deformação x, no volume dxdydz, é dada por: 
dWx = x(dydz) dx(dx) 
No volume unitário: dWx0 = xdx 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 2.10 
dy 
x, x 
dz 
dx 
x 
x 
dWx0 
dx (dx)dx 
 17 
Considerando-se todas as tensões e deformações obtém-se, no volume unitário: 
 dW0 = xdx + ydy + zdz + yzdyz + zxdzx + xydxy (2.27) 
Por outro lado, pode-se escrever: 
dW0 = (W0/x)dx + (W0/y)dy + (W0/z)dz + (W0/yz)dyz + (W0/zx)dzx 
 + (W0/xy)dxy (2.28) 
Comparando-se (2.27) e (2.28), vê-se que W0/x = x e W0/y = y 
Derivando-se estas igualdades como a seguir e levando-se em conta as equações (2.26): 
2W0/xy = x/y = c12 2W0/yx = y/x = c21, donde c12 = c21; em geral: 
 cij = cji (2.29) 
Assim, em (2.26) só existem 21 constantes independentes (materiais anisótropos). Para 
materiais ortotrópicos (aqueles que têm propriedades simétricas em relação a três planos 
ortogonais), demonstra-se que não há interação de tensão normal com distorção, de tensão de 
cisalhamento com deformaçãolinear, nem de tensão de cisalhamento com distorção cujos 
índices não correspondem aos da tensão. A matriz dos coeficientes cij de (2.26) fica com 9 
constantes independentes: 
 
 c11 c12 c13 0 0 0 
 c12 c22 c23 0 0 0 
 [cij] = c13 c23 c33 0 0 0 
 0 0 0 c44 0 0 
 0 0 0 0 c55 0 
 0 0 0 0 0 c66 (2.30) 
 
Para materiais isótropos (cujas propriedades independem da direção considerada), tem-se: 
c11 = c22 = c33 = c1, c12 = c13 = c23 = c2, c44 = c55 = c66 = c3 
Assim, as equações (2.26) ficam: 
x = c1x + c2y + c2z y = c2x + c1y + c2z z = c2x + c2y + c1z 
yz = c3yz zx = c3zx xy = c3xy 
Ou, inversamente: 
x = f1x + f2y + f2z y = f2x + f1y + f2z z = f2x + f2y + f1z 
yz = f3yz zx = f3zx xy = f3xy 
Fazendo f1 = 1/E, f2 = -/E, f3 = 1/G, obtém-se a chamada lei de Hooke generalizada: 
 
 18 
x = (1/E)[x -(y + z)] y = (1/E)[y -(x + z)] z = (1/E)[z -(x + y)] 
yz = yz/G zx = zx/G xy = xy/G (2.31) 
Mostra-se, a seguir, que existe uma relação entre G, E e . Considere-se o estado de tensões da 
figura 2.11, denominado estado de cisalhamento simples. A deformação linear  na direção  
pode ser determinada de duas formas: 
Em função do tensor de deformações no sistema XYZ 
De acordo com as equações (2.19) a (2.21.a) e (2.31): 
x = y = z = xz = yz = 0 xy = xy/2 = xy/(2G) = /(2G) 
 
 = .[]. = [2/2 2/2 0] = /(2G) 
 
Em função das tensões normais  e 11 
 = .[]. =  11 = 1.[].1 = - 
Assim, com a primeira das equações (2.31): 
 = (1/E)[ -(11 + 0)] = (1/E)[ -(- + 0)] = (1 + )/E 
Igualando-se os dois valores de : 
/(2G) = (1 + )/E, donde 
G = E/[2(1 + )] (2.32) 
Conclui-se que bastam duas constantes físicas para se determinarem as relações entre tensões e 
deformações, no caso de materiais isótropos. 
 
2.3.1 Significado físico das constantes G, E,  
Nas 3 últimas equações (2.31) nota-se que as tensões de cisalhamento são proporcionais às 
distorções angulares correspondentes, sendo G a constante de proporcionalidade: 
ij = Gij 
A constante G é denominada módulo transversal de elasticidade. 
 
 -2/2 
1 = 2/2 
 0 
 
0 /(2G) 0 
/(2G) 0 0 
0 0 0 
2/2 
2/2 
 0 
 
A B 
C D 
 
  
 
 1 
X 
Y 
Z 
 
 0  0 
[]=  0 0 
 0 0 0 
 
 
 2/2 
  = 2/2 
 0 
 
FIGURA 2.11 
45
o 
 19 
Considere-se agora o estado de tensões uniaxial (figura 2.5.a). De acordo com as 3 primeiras 
equações (2.31), tem-se: 
x = (1/E)[ -(0 + 0)] = /E y = z = (1/E)[0 -( + 0)] = -/E = -x 
Vê-se que a tensão normal longitudinal é proporcional à deformação linear longitudinal: 
 = Ex (no estado de tensões uniaxial) 
Esta é a conhecida lei de Hooke, e a constante de proporcionalidade E é denominada módulo 
longitudinal de elasticidade ou simplesmente módulo de elasticidade. 
Observa-se também que as deformações transversais são proporcionais à deformação 
longitudinal: 
y = z = -x (no estado de tensões uniaxial) 
A constante de proporcionalidade  é denominada coeficiente de Poisson. 
 
2.3.2 Valores limites do coeficiente de Poisson 
No estado de tensões uniaxial as deformações transversais nunca têm o mesmo sinal da 
deformação longitudinal; assim, se esta corresponder a um alongamento, as transversais 
corresponderão a contrações. Para atender a este fato físico, vê-se na expressão y = z = -x 
que a constante  não pode ser negativa, isto é,   0. 
Considere-se um estado de tensões onde as três tensões principais são iguais entre si e de 
tração, 1 = 2 = 3 =  > 0. Pelas 3 primeiras equações (2.31) obtém-se: 
1 = (1/E)[1 -(2 + 3)] = (/E)(1 – 2) = 2 = 3 
A deformação volumétrica, de acordo com (2.25) é: 
V/V = 1 + 2 + 3 = (3/E)(1 – 2) 
Esta deformação, causada pelas três tensões de tração, não pode ser negativa; como o fator 
3/E é positivo, resulta que 1 – 2  0 e, consequentemente,   1/2. O coeficiente de Poisson 
tem, portanto, os seguintes limites: 
0    1/2 (2.33) 
 
2.3.3 Coincidência dos planos principais de tensões e de deformações 
No caso de materiais isótropos, as equações (2.31) permitem concluir que os planos principais 
de deformações coincidem com os planos principais de tensões (quando as três tensões de 
cisalhamento são nulas, as três deformações angulares também são). Além disto, devido à faixa 
de variação de  dada por (2.33), as 3 primeiras equações (2.31) mostram que nos planos 
 20 
onde atuam a maior e a menor tensões normais, atuam também a maior e a menor deformações 
lineares, respectivamente. 
 
2.3.4 Efeito da variação de temperatura 
As deformações correspondentes a uma variação de temperatura T são dadas por ijT. Os 
coeficientes ij, denominados coeficientes de dilatação térmica, têm as seguintes propriedades: 
materiais anisótropos ij = ji 
materiais ortotrópicos ij = 0, para ij, 
materiais isótropos (além de ij = 0 para ij) x = y = z =  
As equações (2.31), com inclusão do efeito da variação de temperatura, tornam-se: 
x = (1/E)[x-(y+z)]+T; y = (1/E)[y-(x+z)]+T; z = (1/E)[z-(x+y)]+T 
yz = yz/G zx = zx/G xy = xy/G (2.34) 
 
2.3.5 Estados especiais de tensões 
Estado plano de tensões - ocorre quando uma chapa de pequena espessura t é sujeita somente a 
cargas cujas linhas de ação ficam no seu plano médio (paralelo às duas dimensões maiores da 
chapa). Considera-se que as tensões não variem na espessura da chapa, isto é, na direção 
perpendicular ao plano médio. Se esta direção for Z, tem-se: 
z = xz = yz = 0 e, consequentemente, xz = yz = 0 
Estado plano de deformações - ocorre quando o campo de deslocamentos tem componente nula 
em uma determinada direção e as outras duas componentes não variam ao longo desta direção. 
Se esta direção for Z, tem-se: 
w = 0, u = u(x, y), v = v(x, y) e, consequentemente, 
z = w/z = 0 xz = (1/2)( u/z + w/x) = 0 yz = (1/2)( v/z + w/y) = 0 
xz = yz = 0 
 
2.3.6 - Consideração final 
A hipótese das relações lineares entre tensões e deformações, feita em todo o item 2.3, é válida 
para qualquer material, no início da solicitação. Entretanto, além de um certo nível de 
solicitação, chamado limite de proporcionalidade do material, tal hipótese, bem como suas 
consequências, perdem a validade. Salvo indicação contrária, este curso de Resistência dos 
 21 
Materiais restringe-se a solicitações abaixo do limite de proporcionalidade. Além disto, 
consideram-se apenas materiais isótropos e homogêneos. 
 
2.4 Energia de deformação 
Admitindo-se que todas as ações aplicadas em um corpo cresçam lenta e proporcionalmente de 
zero até o respectivo valor final, todas as tensões e deformações também crescerão 
proporcionalmente de zero até o respectivo valor final. 
Na figura 2.12.a mostra-se a variação de x com x, e na figura 2.12.b o efeito da deformação 
x em um paralelepípedo elementar de lados paralelos aos eixos coordenados. 
 
 
 
 
 
 
 
A força resultante das tensões x é Fx =x(dydz), e o deslocamento de seu ponto de aplicação, 
associado a x, é ux = x(dx). A força e o deslocamento mantêm também uma relação linear 
entre si, assim como a tensão e a deformação (figura 2.12.a). A energia de deformação do 
elemento dxdydz, associada a x e x, é igual à área sob o diagrama Fx – ux: 
dUx = (1/2)Fxux = (1/2)x(dydz)x(dx) = (1/2)xx(dV) 
No volume unitário, U0x = dUx/dV = (1/2)xx 
Analogamente obtêm-se as energias de deformação do volume unitário, associadas a y, y e a 
z, z. Assim: 
U0x = (1/2)xx U0y = (1/2)yy U0z = (1/2)zz (2.35) 
Na figura 2.13.a mostra-se a variação de xy com xy, e na figura 2.13.b o efeito da deformação 
xy em um paralelepípedo elementar de lados paralelos aos eixos coordenados. 
 
 
 
 
 
 
x 
x 
FIGURA 2.12 
x, x 
dz 
dy 
dx 
xdx (a) (b) 
Fx 
ux 
xy 
xy 
FIGURA 2.13 
dz 
dy 
 dx 
(a) (b) 
Fy 
uy 
u/y 
v/x 
xy 
yx = xy 
ux 
Fx 
 22 
A força resultante das tensões xy é Fy = xy(dydz), e o deslocamento de seu ponto de aplicação, 
na direção da força, é uy = (v/x)(dx). A força resultante das tensões yx é Fx = 
yx(dxdz) = xy(dxdz), e o deslocamento de seu ponto de aplicação, na direção da força, é ux = 
(u/y)(dy). Força e deslocamento mantêm também uma relação linear entre si, assim como a 
tensão e a deformação (na figura 2.13.a mostra-se a relação entre Fy e uy, bem como a relação 
entre Fx e ux). A energia de deformação do elemento dxdydz, associada a xy e xy, é igual à 
soma das áreas sob os diagramas Fy – uy e Fx – ux: 
dUxy = (1/2)Fyuy + (1/2)Fxux = (1/2)xy(dydz)(v/x)(dx) + (1/2)xy(dxdz)(u/y)(dy) = 
(1/2)xy(v/x + u/y) (dV) = (1/2)xyxy(dV) 
No volume unitário, U0xy = dUxy/dV = (1/2)xyxy 
Analogamente obtêm-se as energias de deformação do volume unitário, associadas a xz, xz e a 
yz, yz. Assim: 
U0xy = (1/2)xyxy U0xz = (1/2)xzxz U0yz = (1/2)yzxz (2.36) 
A energia de deformação total do volume unitário é obtida somando-se todas as parcelas dadas 
em (2.35) e (2.36): 
U0 = (1/2)xx + (1/2)yy + (1/2)zz + (1/2)xyxy + (1/2)xzxz + (1/2)yzxz (2.37) 
 
2.5 Aplicação: tração e compressão de barras prismáticas 
Barra prismática é uma peça em forma de prisma ou de cilindro, na qual o comprimento 
medido ao longo do eixo é pelo menos 10 vezes maior do que a maior dimensão da seção 
transversal ao eixo. 
Em uma barra prismática sujeita a forças externas atuando no centro de gravidade da seção 
transversal, perpendicularmente ao plano desta seção, surgem forças normais de tração ou de 
compressão. 
A convenção de sinais para forças normais é análoga à utilizada para tensões: a força normal 
em uma face da seção transversal com normal positiva é positiva se tiver o mesmo sentido do 
eixo de coordenadas que lhe é paralelo. Assim, forças normais de tração são positivas. 
Conforme figura 2.5.a, no tensor de tensões para uma barra prismática sujeita a força normal, 
tem-se x =  = P1/A e as demais tensões nulas (X é a direção normal à seção transversal, P1 a 
força normal e A é a área da seção transversal). 
No tensor de deformações, conforme expressões (2.31), tem-se: 
x = x/E y = z = -x/E xy = xz = yz = 0 
 23 
A variação do comprimento dx é dada por xdx (expressão (2.12)); a variação do comprimento 
L, na direção X é: 
L = xdx = (x/E)dx = [P1/(EA)]dx (limites de integração 0 e L) 
Para trechos com P1/(EA) = constante: 
L = P1L/(EA) 
A energia de deformação no volume unitário, conforme (2.37), é U0 = (1/2)xx. No volume 
elementar Adx tem-se: 
dU = (1/2)Axxdx = (1/2)A(P1/A)[P1/(EA)]dx =[P12/(2EA)]dx 
No volume total da barra, de comprimento L: 
U = [P12/(2EA)]dx (limites de integração 0 e L) 
Para trechos com P1
2/(EA) = constante: 
U = P1
2L /(2EA) 
 
Bibliografia do Capítulo 2 
Boresi, A. P. e Chong, K. P. – “Elasticity in Engineering Mechanics” – Prentice Hall – N. 
Jersey - 1987 
Féodossiev, V. – “Résistance des Matériaux” – Éditions de la Paix – Moscou - 1968 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 24 
 
 
 
 
CAPÍTULO 3 – VASOS DE PRESSÃO AXISSIMÉTRICOS, DE PAREDE FINA 
 
Vasos de pressão podem conter gases e/ou líquidos e/ou partículas sólidas. Como exemplos de 
vasos de pressão axissimétricos citam-se: um bujão de gás doméstico, uma caixa d’água 
tronco-cônica de eixo vertical, um silo para armazenamento de grãos (com a parte superior 
cilíndrica e a inferior tronco-cônica) etc. 
Neste capítulo estudar-se-á basicamente o caso de conteúdo gasoso, considerando-se 
desprezíveis os efeitos do peso próprio (do vaso e do gás) e das forças externas (por exemplo 
as aplicadas pelos suportes). Entretanto, salienta-se que, nos casos em que o vaso contém 
líquido ou partículas sólidas: 
o peso próprio do conteúdo não pode ser desprezado e, consequentemente, 
a pressão interna na parede não é constante, 
as forças aplicadas pelos suportes têm que ser consideradas e, 
no caso de partículas sólidas, existem forças de atrito entre as partículas e a parede. 
 
3.1 Caso axissimétrico geral 
Considere-se o estado de tensões em um ponto qualquer A, situado na parede do vaso de 
pressão da figura 3.1, referido ao sistema formado pelas direções: 
c (circunferencial), m (meridional), n (normal) 
 
 
 
 
 
 
 
 
p 
A 
c 
m 
n 
c 
m 
A 
FIGURA 3.1 
t 
t = espessura da parede 
 25 
m 
c 
m 
c 
m 
m 
c 
Observa-se que não existem tensões de cisalhamento nas superfícies externa e interna da 
parede, ou seja, nc = nm = 0. Devido à axissimetria, a parede do vaso não sofre distorções 
angulares no plano formado pelas direções c, m, portanto, cm = 0 e cm = Gcm = 0. 
Observa-se também que a tensão normal nn (ou simplesmente n) é nula na superfície externa 
da parede e igual a –p na superfície interna. Como se verá à frente, a tensão –p é desprezível 
em relação às tensões normais mm (ou m) e cc (ou c). 
Assim, para definir o estado de tensões em um ponto qualquer da parede do vaso, basta 
determinar as tensões normais m (meridional) e c (circunferencial). 
Na figura 3.2.a: 
rm, r = raios do meridiano e do paralelo, respectivamente, que passam por A 
rc = raio da curvatura horizontal (normal à parede entre A e o eixo do vaso) 
Nas figuras 3.2.b e 3.2.c aparecem as variações de direção das tensões m e c, 
correspondentes aos ângulos d e d, medidos no plano meridiano e no plano perpendicular ao 
meridiano que contém rc (a tensão m varia também em módulo, mas esta variação é 
desprezível em relação ao valor da tensão). 
Resultante da pressão p no elemento compreendido pelos ângulos d e d, direção n: 
p(rmd)(rcd) 
Projeção das resultantes das tensões m no mesmo elemento, na direção n: 
-2tm(rcd)d/2 
Projeção das resultantes das tensões c no mesmo elemento, na direção n: 
 -2tc(rmd)d/2 
 
rc 
p 
A 
n 
rm 
r 
 
(a) 
FIGURA 3.2 
rm 
d 
p 
(b) 
p 
 rc 
d 
(c) 
t 
t 
n 
 26 
Estabelecendo-se o equilíbrio das três forças na direção n: 
p(rmd)(rcd) - 2tm(rcd)d/2 – [2tc(rmd)d/2] = 0 
Simplificando-se o resultado, obtém-se a equação de Laplace: 
p/t = m/rm + c/rc (3.1) 
A segunda equação necessária para a determinação de m e c é obtida pelo equilíbrio, na 
direção do eixo, de uma das partes em que o vaso é subdividido pelo plano doparalelo 
passando por A, conforme figura 3.3: 
p(r2) = mtcos(2r), donde 
m = pr/(2tcos) = prc/(2t) (3.2) 
As equações (3.1) e (3.2) resolvem o problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nos polos da superfície do vaso tem-se r = 0 e  = 90o; assim, a equação (3.2) não pode ser 
utilizada. Observa-se, entretanto, que todas as tensões meridionais atuantes em um polo são 
iguais entre si, independentemente do meridiano a que pertencem. Desta forma, pode-se 
escrever a seguinte equação de equilíbrio na direção da normal ao polo, que coincide com a 
direção do eixo do vaso (figura 3.4 - r0 = raio do meridiano, no polo analisado): 
p(r0d)(r0d)- 2t0(r0d)d/2 – 2t0(r0d)d/2 = 0, donde: 
 0 = pr0/(2t) (3.3) 
 
 
 
 
 
t 
m m rc 
r 
 
p 
FIGURA 3.3 
0 
0 
0 0 r0 
d 
p 
FIGURA 3.4 
t 
 27 
Observação: a teoria utilizada não se aplica a tampos planos de vasos, que sofrem flexão 
devido à pressão interna. 
 
3.2 Casos particulares 
3.2.1 Vasos esféricos 
Todos os pontos da superfície esférica podem ser considerados como polos, com raio r0 = R, 
sendo R o raio da superfície esférica. As tensões normais meridionais, independentemente do 
ponto e da direção considerados, são dadas por (3.3), substituindo-se r0 por R: 
0 = pR/(2t) (3.4) 
 
3.2.2 Vasos cilíndricos 
Comparando-se as figuras 3.2 e 3.5, vê-se que: 
rc = r = R = raio da superfície cilíndrica rm =   = 0 
Substituindo-se estas informações nas equações (3.1) e (3.2), respectivamente, obtém-se: 
c = pR/t (3.5) 
m = pR/(2t) (3.6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3 Tubos encaixados 
3.3.1 Efeito isolado da pressão interna 
Considere-se que os dois tubos da figura 3.6.a estejam encaixados, sem folga e sem pressão de 
contato, antes da aplicação da pressão interna pi. Seja ps a pressão de contato que surge após a 
aplicação de pi. Na figura 3.6.b mostra-se a metade do sistema situada acima do plano 
diametral; estabelecendo-se o equilíbrio vertical desta metade, obtém-se: 
Eixo 
rm =  
rc = r = R 
FIGURA 3.5 
 28 
2riLpi = 2L(cete + citi) ou ripi = cete + citi (3.7) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na superfície de contato dos dois tubos, as deformações circunferenciais são iguais, ce = ci; 
assim, usando-se a lei de Hooke generalizada (2.31): 
(ce - eme)/Ee = (ci - imi)/Ei (3.8) 
Ee, e, me são o módulo de elasticidade, o coeficiente de Poisson e a tensão meridional, 
respectivamente, no tubo externo 
Ei, i, mi são o módulo de elasticidade, o coeficiente de Poisson e a tensão meridional, 
respectivamente, no tubo interno 
Desprezando-se o efeito das parcelas eme e imi em (3.8) (simplificação usual na prática 
para esta situação), obtém-se: 
ce/Ee = ci/Ei ou ce = (Ee/Ei)ci (3.9) 
Utilizando-se (3.7) e (3.9), resultam: 
ci = piri /[(Ee/Ei)te + ti] ce = piri /[te + (Ei/Ee)ti] (3.10) 
O tubo externo fica sujeito a uma pressão interna igual à pressão de contato ps, assim: 
ce = psrs/te, donde 
ps = cete /rs = piri /{rs[1 + Eiti/(Eete)]} (3.11) 
 
3.3.2 Efeito isolado de variações de temperatura 
Considere-se que os dois tubos da figura 3.6 estejam encaixados inicialmente sem folga e sem 
pressão de contato (e também com pi = 0). A aplicação de variações de temperatura Te e 
te 
FIGURA 3.6 
 
pi 
ri 
rs 
ti 
(a) 
pi ci 
c
e 
ci 
c
e 
L 
(b) 
 29 
Ti nos tubos externo e interno, respectivamente, pode resultar no aparecimento de pressão de 
contato ou de folga entre os dois tubos. Sejam e e i os coeficientes de dilatação térmica dos 
tubos externo e interno, respectivamente; as deformações circunferenciais correspondentes, 
devidas somente à variação de temperatura, são eTe e iTi. 
Se eTe > iTi, surge folga entre os tubos e, consequentemente, nenhuma tensão. 
Se, ao contrário, eTe < iTi, surgem pressão de contato e tensões nos tubos. Neste caso, 
desprezando-se (como anteriormente) o efeito das parcelas eme e imi nas deformações 
circunferenciais, tem-se: 
 ce = ce/Ee + eTe ci = ci/Ei + iTi 
Estabelecendo-se a compatibilidade destas deformações e notando que ce = psrs/te (tração) e 
ci = -psrs/ti (compressão), onde ps é a pressão de contato: 
 psrs/(teEe) + eTe = -psrs/(tiEi) + iTi, donde 
 ps = (iTi - eTe)/{rs[1/(teEe) + 1/(tiEi)]} (3.12) 
 
Bibliografia do Capítulo 3 
Féodossiev, V. – “Résistance des Matériaux” – Éditions de la Paix – Moscou - 1968 
 
 
 
 
 
 30 
 
 
 
 
CAPÍTULO 4 – TORÇÃO DE BARRAS PRISMÁTICAS 
 
Em uma barra prismática em equilíbrio, sujeita a momentos externos atuando em planos 
normais ao eixo da barra, aparecem momentos de torção nas seções transversais. 
A convenção de sinais para momentos de torção é análoga à utilizada para tensões: o momento 
de torção em uma face da seção transversal com normal positiva é positivo se seu vetor tiver o 
mesmo sentido do eixo de coordenadas que lhe é paralelo. 
Vários tipos de seções transversais de barras sujeitas à torção, além de sofrerem rotação em 
torno do eixo da barra, perdem sua planicidade na situação deformada, fenômeno denominado 
empenamento. 
Este capítulo é limitado à torção uniforme, que ocorre quando a seção transversal for isenta de 
empenamento (por exemplo seções circulares cheias ou vazadas), ou quando não for isenta mas 
não houver restrição ao empenamento. Existe restrição ao empenamento quando o momento de 
torção varia ao longo do eixo da barra ou quando algum apoio da barra oferece restrição ao 
empenamento; neste caso tem-se uma situação complexa, denominada torção não uniforme, 
com tensões normais e de cisalhamento nas seções transversais. Geralmente a torção não 
uniforme é assunto de cursos de pós graduação. 
 
4.1 Barra de seção maciça qualquer 
Como já comentado, o momento de torção deve ser constante e os apoios não podem oferecer 
restrição ao empenamento. 
Condições de contorno em deslocamentos (figura 4.1.a): 
I - a seção da esquerda não gira em torno do eixo X (eixo de torção); 
II - o deslocamento u (na direção x) do ponto A é impedido, isto é, u(0, 0, 0) = 0. 
Hipóteses (figura 4.1.a): 
I - u = u(y, z), isto é, o empenamento (função dos deslocamentos u) é o mesmo para todas as 
seções transversais; 
 31 
II - as projeções das seções transversais no plano YZ giram como corpo rígido em torno do 
eixo X, e o ângulo de rotação de uma seção em relação a outra é proporcional à distância entre 
elas:  = x, sendo  o ângulo de torção por unidade de comprimento ( = constante). 
 
Campo de deslocamentos 
O ponto qualquer P = P(x, y, z) desloca-se para P’. Para pequenas rotações, PP’ = r(x), com 
PP’ tendendo a se tornar perpendicular ao raio r (figura 4.1.b). Assim, os deslocamentos nas 
direções Y e Z são dados por (notando que a projeção horizontal de PP’ tem sentido contrário 
ao do eixo Y): 
-v = rxsen = xz, donde v = -xz 
w = rxcos = xy(4.1) 
Campo de deformações 
Com as expressões (2.12) a (2.17) obtém-se: 
y = v/y = 0 z = w/z = 0 x = u/x = 0 (hipótese I) 
yz = v/z + w/y = 0 
xy = u/y + v/x = u/y - z xz = u/z + w/x = u/z + y (4.2) 
Observa-se que as distorções xy e xz (e consequentemante as tensões xy e xz) são funções 
apenas de y e z. 
Campo de tensões 
Com a lei de Hooke generalizada (eq. 2.31) obtém-se: 
x = y = z = yz = 0 
xy = G(u/y - z) xz = G(u/z + y) (4.3) 
 
Mt Mt A X 
Z Y
X B 
B’ 
C 
C’ 
x 
L 
=x L=L 
FIGURA 4.1 
(a) 
P 
P 
(b) 
P’ 
r 
r 
 
 
x 
-v 
w 
Y 
Z 
 32 
 
Compatibilidade de deformações 
Derivando-se a penúltima equação (4.3) em relação a z, a última em relação a y, e subtraindo-
se, tem-se: 
xy/z - xz/y = -2G = H = constante (4.4) 
Pode-se mostrar que (4.4) corresponde a uma equação de compatibilidade de deformações. 
Equilíbrio de tensões 
Com as expressões (2.3), obtém-se (desprezando-se o peso da barra, Bx = By = Bz = 0): 
x/x + xy/y + xz/z = xy/y + xz/z = 0 
xy/x + y/y + yz/z = xy/x = 0 
xz/x + yz/y + z/z = xz/x = 0 (4.5) 
As duas últimas equações (4.5) confirmam que xy e xz são funções apenas de y e z. 
Condições de contorno em tensões 
I - Considere-se, em um ponto S qualquer da superfície lateral da barra, o sistema de 
coordenadas formado pelo eixo X, pela normal  = (k, m, n) à superfície lateral em S, e pela 
tangente t ao contorno da seção em S (figura 4.2.a). Devido à simetria do tensor de tensões 
referido ao sistema tX, tem-se x = x. Porém, x = 0 (não existem tensões na superfície 
lateral da barra) e, consequentemente, x = 0. Desta forma, a tensão de cisalhamento na seção, 
junto ao contorno, é paralela à tangente ao contorno no ponto considerado. Expressando x em 
função de xy e xz, tem-se (notar que a projeção horizontal de ds tem sentido contrário ao do 
eixo Y): 
x = mxy + nxz = xy(dz/ds) + xz(-dy/ds) = 0 (4.6) 
II – Nas seções transversais extremas tem-se (figura 4.2.b): 
dMt = xz(dydz)y - xy(dydz)z, donde Mt = (yxz - zxy)dydz (4.7) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mt 
Z 
Y 
(b) 
y 
z 
xz 
xy 
dy 
dz 
(a) Y
X 
Z 
FIGURA 4.2 
X 
 t 
x 
x 
xz 
xy 
ds 
dz 
-dy 
 33 
Solução do problema 
A primeira equação (4.5) é condição necessária e suficiente para que exista uma função (y, z) 
tal que (a função (y, z) é denominada função de torção de Prandtl): 
xy = /z xz = -/y (4.8) 
Substituindo-se (4.8) em (4.4): 
2/z2 + 2/y2 = -2G = H = constante (4.9) 
Substituindo-se (4.8) em (4.6): 
(/z)(dz/ds) + (-/y)(-dy/ds) = 0, donde 
d/ds = 0 (só no contorno da seção) (4.10) 
Observa-se que a função  é constante no contorno da seção. 
Substituindo-se (4.8) em (4.7): 
Mt = (yxz - zxy)dydz = -(y/y)dydz - (z/z)dydz = -dzy(/y)dy - dyz(/z)dz 
Integrando-se por partes, obtém-se: 
Mt = -y(y2 - y1)dz + dydz - z(z2 - z1)dy + dydz 
Como y2, y1, z2, z1 são coordenadas de pontos situados no contorno da seção (onde  é 
constante), tem-se y2 = y1 e z2 = z1, donde: 
Mt = 2dydz (4.11) 
A solução consiste, então, em encontrar uma função (y, z) que atenda (4.9) em toda a seção e 
(4.10) no contorno. Com a equação (4.11) determina-se a constante H (consequentemente, o 
ângulo de torção por unidade de comprimento, ). As demais respostas são determinadas, uma 
vez definida a função , na sequência: xy e xz pelas expressões (4.8); u por integração das 
expressões (4.3); xy e xz pelas expressões (4.2) ou simplesmente dividindo xy e xz, 
respectivamente, por G (2.31). 
Nota: o centro de rotação das seções transversais (sobre o eixo X) chama-se centro de torção. A 
determinação do centro de torção para seções transversais abertas de parede fina é apresentada 
no capítulo 6; a determinação genérica é objeto da Teoria da Elasticidade. Quando a seção tem 
um eixo de simetria, o centro de torção fica sobre ele. 
 
4.2 Barra de seção elíptica 
Aplica-se o procedimento descrito no item 4.1. Devido à dupla simetria, o centro de torção 
coincide com o centro de gravidade. A equação do contorno da seção, na situação da figura 4.3, 
é y2/a2 + z2/b2 – 1 = 0. 
 34 
 
 
 
 
 
 
 
Experimenta-se uma função de Prandtl dada por: 
(y, z) = K(y2/a2 + z2/b2 – 1), sendo K uma constante (4.12) 
A função  atende às exigências (4.9) e (4.10), respectivamente: 
2/z2 + 2/y2 = K(2/b2 + 2/a2) = constante (4.13) 
 = 0 no contorno, donde d/ds = 0 no contorno 
Comparando (4.9) e (4.13), obtém-se: 
K(2/b2 + 2/a2) = -2G, donde K = -G a2b2/( a2 + b2) (4.14) 
Com (4.11), (4.12) e (4.14) relacionam-se Mt e : 
Mt = 2dydz = [-2G a2b2/( a2 + b2)] (y2/a2 + z2/b2 – 1)dydz = 
= [-2G a2b2/( a2 + b2)](ab/4 + ab/4 - ab) = a3b3G/( a2 + b2), donde 
 = Mt/GIt (4.15) 
It = ( a3b3)/(a2 + b2) (4.16) 
Com (4.14), (4.15) e (4.16) em (4.12), obtém-se, finalmente: 
(y, z) = [-Mt/(ab)](y2/a2 + z2/b2 – 1) (4.17) 
Demais respostas: 
Com (4.8) xy = /z = -2Mtz/(ab3) xz = -/y = 2Mty/(a3b) (4.18) 
Com (4.3) xy = G(-z + u/y) xz = G(y + u/z) (4.19) 
Igualando-se as expressões de xy dadas em (4.18) e (4.19), e também as expressões de xz, 
obtém-se: 
u/y = -z[2Mt/(ab3G) - ] u/z = y[2Mt/(a3bG) - ] 
Substituindo-se nestas equações o valor de  dado por (4.15), com It dado por (4.16), resulta: 
 u/y = [Mt(b2 – a2)/(a3b3G)]z u/z = [Mt(b2 – a2)/(a3b3G)]y 
Nota-se que o coeficiente de z e de y nas duas equações é o mesmo e também que é uma 
constante; chamando esta constante de c0, obtém-se: 
u/y = c0z, donde u = c0zy + f1(z) u/z = c0y, donde u = c0yz + f2(y) 
Y 
Z 
b 
a 
FIGURA 4.3 
 
Mt 
 35 
Para que o valor de u seja o mesmo nas duas equações, é necessário que f1(z) = f2(y), para 
qualquer ponto (y, z), ou seja, f1(z) = f2(y) = constante = c1, resultando u = c0yz + c1. Com a 
condição de contorno II do item 4.1 (u(0, 0, 0) = 0), obtém-se c1 = 0 e, finalmente: 
u = c0yz = [Mt(b
2 – a2)/(a3b3G)]yz (4.20) 
Como b < a, vê-se que os deslocamentos u têm sinal contrário ao do produto yz das 
coordenadas, isto é, os deslocamentos longitudinais são positivos no segundo e no quarto 
quadrantes da seção e negativos no primeiro e no terceiro, caracterizando a perda de 
planicidade da seção. 
Vetor tensão 
No plano da seção, o vetor tensão é tangencial, sendo dado por  =  = (0 xy xz). Vê-se em 
(4.18) que xy e xz variam linearmente ao longo de um raio qualquer da elipse, com valor nulo 
no centro. Assim, como mostrado na figura 4.3, a direção do vetor tensão é constante ao longo 
de um raio e paralela à tangente ao contorno na extremidade do raio (devido à primeira 
condição de contorno em tensões vista no item 4.1). O módulo do vetor tensãoé dado por: 
 =  = (xy2 + xz2) = [2Mt/(ab)](y2/a4 + z2/b4) (4.21) 
No contorno, onde o módulo é máximo para um determinado raio, tem-se z2 = b2(1 – y2/a2). 
Para se obter o máximo em toda a seção substitui-se esta expressão em (4.21) e faz-se d/dy 
= 0, obtendo-se: 
y = 0 z = b (extremidades do eixo menor) max = 2Mt/(ab2) = Mt/Wt (4.22) 
Wt = ab2/2 (4.23) 
 
4.2.1 Caso particular: barra de seção circular 
Neste caso a = b = R e y2 + z2 = r2 (figura 4.4), donde 
Com (4.16) It = ( a3b3)/(a2 + b2) = R4/2 (4.24) 
Com (4.21)  = Mtr/It (4.25) 
Com (4.20) u = [Mt(b
2 – a2)/(a3b3G)]yz = 0 (4.26) 
Na expressão (4.26) vê-se que a seção circular não empena. 
Mt 
R 
FIGURA 4.4 
 
Z 
Y 
 
r 
 36 
Para seção em forma de coroa circular, demonstra-se que também não são sujeitas a 
empenamento e que (R = raio externo, ri = raio interno): 
It = (R4 – ri4)/2 (4.27) 
Wt = It/R = (R4 – ri4)/(2R) (4.28) 
 
4.3 Barra de seção retangular maciça de pequena espessura 
Na figura 4.5 tem-se b >> t. Assume-se uma função de Prandtl  invariável com z: 
 = (y) 
Aplicando-se a  a condição (4.9), tem-se d2/dy2 = -2G, donde: 
 = -Gy2 + Ay + B, sendo A e B constantes de integração 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para atender (4.10) faz-se  = 0 no contorno y = t/2, obtendo-se: 
0 = -Gt2/4 + At/2 + B 0 = -Gt2/4 – At/2 + B, donde: 
A = 0 B = Gt2/4   = (G/4)(t2 – 4y2) (4.29) 
Substituindo-se (4.29) em (4.11): 
Mt = 2dydz = 2b(G/4)(t2 – 4y2)dy = (Gb/2)(t2y – 4y3/3), com y variando de –t/2 a +t/2 
 Mt = Gbt3/3 e  = Mt/GIt (4.30) 
It = bt
3/3 (4.31) 
As tensões de cisalhamento, calculadas com (4.8), são: 
xy = /z = 0 xz = -/y = 2Gy (4.32) 
A nulidade das tensões xy, decorrente da função  assumida, não corresponde à realidade; 
entretanto, tais tensões são desprezadas porque (xy) max < (xz) max. A tensão xz varia 
linearmente com y e seu maior valor absoluto é dado por: 
(xz) max = max = 2Gt/2 = (Mt/It)t = Mt/Wt (4.33) 
Wt = It/t = bt
2/3 (4.34) 
Y 
t/2 t/2 
b 
t 
FIGURA 4.5 
Z 
Mt 
 37 
Comentário 
Como se observa nas expressões (4.15) e (4.16), bem como nas expressões (4.30) e (4.31), a 
relação entre o ângulo de torção por unidade de comprimento e o momento de torção pode ser 
escrita, em geral, como  = Mt/GIt, sendo It uma propriedade geométrica da seção transversal, 
denominada momento de inércia à torção. 
Analogamente, observa-se nas expressões (4.22) e (4.23), bem como nas expressões (4.33) e 
(4.34), que a tensão máxima de cisalhamento na seção é dada por max = Mt/Wt, sendo Wt uma 
propriedade geométrica da seção transversal, denominada módulo resistente à torção. 
 
4.4 Barras com seção aberta de parede fina 
Quando a seção transversal é aberta e composta de vários retângulos de pequena espessura (bi 
>> ti), conforme figura 4.6, tem-se 
Mt = Mt1 + Mt2 + Mt3 + ... + Mtn, (4.35) 
sendo Mti (1 i n) a parcela do momento de torção assumida pelo retângulo i e n o número de 
retângulos componentes da seção. 
Por outro lado, de acordo com a hipótese II dada no item 4.1, as projeções sobre o plano YZ de 
todos os componentes da seção giram do mesmo ângulo, igual ao ângulo correspondente à 
seção inteira: 
 1 = 2 = 3 = ... = n =  (4.36) 
Para cada retângulo i tem-se i = Mti/GIti, sendo Iti = biti3/3, e para a seção inteira tem-se  
= Mt/GIt, donde 
Mt1/GIt1 = Mt2/GIt2 = Mt3/GIt3 = ... Mtn/GItn = Mt/GIt (4.37) 
 (Mt1 + Mt2 + Mt3 + ... + Mtn)/(GIt1 + GIt2 + GIt3 + ... + GItn) = Mt/GIt 
Eliminando-se G e aplicando-se a equação (4.35), conclui-se que: 
It = It1 + It2 + It3 + ... + Itn = (1/3)(biti3), para i variando de 1 a n (4.38) 
 
 
 
 
 
 
 
b1 
b2 
b3 
b
4 
t1 
t2 
t3 t4 
FIGURA 4.6 
Mt,  
Mt1, 1 
Mt2, 2 
Mt3, 3 
Mt4, 4 
1 
2 
3 
4 
 38 
O 
 
Para paredes curvas de pequena espessura, (4.38) transforma-se em (s é a coordenada ao longo 
da linha média da parede) 
It = (1/3)t3ds (4.39.a) 
A tensão máxima de cisalhamento em um retângulo componente da seção é dada por 
maxi = Mti/Wti = (Mti/Iti)ti 
Com (4.37) maxi = (Mt/It)ti (4.40) 
A maior tensão de cisalhamento na seção ocorre no retângulo componente de maior espessura 
max = (Mt/It)tmax = Mt/Wt (4.41) 
Wt = It/tmax = [(1/3)(biti3)]/tmax (4.42) 
 
4.5 Barras com seção fechada de parede fina 
Neste caso admite-se que as tensões de cisalhamento na seção transversal são constantes na 
espessura da parede e têm direção paralela à linha média da parede, no ponto considerado, 
conforme figuras 4.7.a e 4.7.b (na figura 4.7.b isola-se um elemento de comprimento dx, entre 
os planos 1-1 e 2-2, paralelos a X). As tensões 1 e 2 na seção transversal repetem-se nos 
planos 1-1 e 2-2, respectivamente, devido à simetria dos tensores de tensões correspondentes. 
Estabelecendo o equilíbrio do elemento isolado na direção X, tem-se: 
1t1dx = 2t2dx, donde 
1t1 = 2t2 = t = q = constante (4.43) 
A constante q é denominada fluxo de cisalhamento (a direção do fluxo é tangente à linha média 
da parede, no ponto considerado). 
B 
FIGURA 4.7 
Mt 
O 
A 
ds 
dF 
t 
h 
C 
2 
2 
1 
1 
X 
1 
1 
2 
2 
dx 
t2 
t1 
2 
2 
1 
1 
(a) 
(b) 
Área A* 
 39 
A força dF, na figura 4.7.a, é a resultante das tensões de cisalhamento no elemento da seção de 
comprimento ds e espessura t: 
dF = tds =qds 
O momento de dF em relação a um ponto O qualquer é: 
dMt = hdF = qhds = 2qdA* (4.44) 
(O produto hds é igual ao dobro da área dA* do triângulo elementar OAB, uma vez que ds é 
colinear com dF). A integral de dMt na seção é igual ao momento de torção. Para q constante: 
 Mt = 
 tdM
= 2q 
 *dA
 = 2qA* = 2tA*   = Mt/(2tA*) (4.45) 
A* é a área da região delimitada pela linha média. 
A tensão máxima de cisalhamento ocorre onde a espessura da parede for mínima: 
max = Mt/Wt = Mt/(2A*tmin) (4.46) 
Determina-se a seguir o ângulo de torção  por unidade de comprimento. A energia de 
deformação do volume unitário é dada por (conforme equações (2.36) e (2.31)): 
U0 = (1/2) = (1/2)2/G 
No volume infinitesimal tdsdx (figura 4.7), tem-se 
dU = [1/(2G)] 2tdsdx = [1/(2G)] (q2/t)dsdx (4.47) 
A energia de deformação dU neste volume infinitesimal pode também ser obtida em função de 
dMt, dado por (4.44), e do ângulo de torção  por unidade de comprimento (figura4.1.a): 
dU = (1/2)(dx)dMt = (dx)qdA* (4.48) 
Igualando-se (4.47) e (4.48): 
(dx)qdA* = [1/(2G)] (q2/t)dsdx  2GdA* = (q/t)ds 
Integrando-se na seção: 
 2GA* =  (q/t)ds (4.49) 
Para q = constante = Mt/(2A
*): 
 = [Mt/(4GA*2)] ds/t = Mt/(GIt) 
It = (4A
*2)/  ds/t (4.50) 
 
4.6 Energia de deformação de barras sujeitas à torção uniforme 
Com base na expressão (4.48), tem-se, na seção transversal completa e no comprimento dx: 
dU = (dx)  qdA* (4.51) 
Para q = constante: 
dU = (1/2)Mtdx = Mt2dx/(2GIt) (4.52) 
 40 
Bibliografia do Capítulo 4 
Boresi, A. P. e Chong, K. P. – “Elasticity in Engineering Mechanics” – Prentice Hall – New 
Jersey - 1987 
Féodossiev, V. – “Résistance des Matériaux” – Éditions de la Paix – Moscou - 1968 
Ugural, A. C., Fenster, S. K. - “Advanced Strength and Applied Elasticity” – Elsevier – New 
York – 1981 
Rivello, R. M. – “Theory and Analysis of Flight Structures” – McGraw Hill, New York - 1969 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 41 
 
 
 
 
CAPÍTULO 5 – PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS 
 
Neste capítulo estudam-se algumas propriedades geométricas das seções transversais de barras, 
necessárias para o estudo da flexão e da flambagem em capítulos posteriores. 
 
5.1 Definições 
Considere-se uma seção de forma qualquer, cujo centro de gravidade é o ponto C (figura 5.1). 
Os eixos CY e CZ são eixos baricêntricos. A área da seção é dada por: 
A = S dA (5.1) 
Com relação aos eixos OY1 e OZ1, paralelos a CY e CZ, respectivamente, tem-se: 
Momentos estáticos: Qy1 = S z1dA Qz1 = S y1dA (5.2) 
Momentos de inércia: Iy1 = S z12dA Iz1 = S y12dA (5.3) 
Raios de giração: ry1 = (Iy1/A) rz1 = (Iz1/A) (5.4) 
Produto de inércia: Iy1z1 = S y1z1dA (5.5) 
Momento polar de inércia: IO = S R12dA (5.6) 
Como (y1
2 + z1
2) = R1
2, tem-se: Iy1 + Iz1 = IO (5.7) 
Vê-se que a soma Iy1 + Iz1 não se altera mediante rotação do sistema Y1Z1 em torno de O. 
Observa-se também que os momentos de inércia e o momento polar de inércia não se alteram 
quando se trocam os sentidos dos eixos coordenados. 
 
Y1 
Z1 
Y 
Z 
O 
C 
R1 
R 
dA 
S 
y1 
z1 
y 
z 
y1C 
z1C 
FIGURA 5.1 
R1C 
 42 
Definem-se as mesmas propriedades com relação aos eixos baricêntricos, bastando substituir 
y1, z1, IO, R1 por y, z, IC, R, respectivamente, nas expressões (5.2) a (5.7). Devido ao conceito 
de centro de gravidade, tem-se, em relação a eixos baricêntricos: 
Qy = S zdA = 0 Qz = S ydA = 0 (5.8) 
 
5.2 Translação a partir de eixos baricêntricos 
Na figura 5.1 vê-se que 
y1 = y + y1C z1 = z + z1C, (5.9) 
sendo y1C e z1C as coordenadas do centro de gravidade no sistema Y1Z1, de eixos paralelos aos 
eixos baricêntricos CY e CZ. Substituindo-se as relações (5.9) em (5.2), obtem-se: 
Qy1 = S (z + z1C)dA = S zdA + z1CA Qz1 = S (y + y1C)dA = S ydA + y1CA 
Considerando-se as relações (5.8), resulta: 
Qy1 = z1CA Qz1 = y1CA (5.10) 
Donde z1C = Qy1/A y1C = Qz1/A (5.11) 
Com as equações (5.11) pode-se locar o centro de gravidade no sistema Y1Z1. 
Substituindo-se as relações (5.9) em (5.3), obtem-se: 
Iy1 = S (z + z1C)2dA = S z2dA + 2z1C S zdA + (z1C)2A 
Iz1 = S (y + y1C)2dA = S y2dA + 2y1C S ydA + (y1C)2A 
Considerando-se as relações (5.8), resulta: 
Iy1 = Iy + (z1C)
2A Iz1 = Iz + (y1C)
2A (5.12) 
Analogamente mostra-se que 
Iy1z1 = Iyz + y1Cz1CA (5.13) 
Com (5.7) e (5.12) obtem-se: 
IO = Iy + Iz + [(y1C)
2 + (z1C)
2]A = IC + (R1C)
2A (5.14) 
 
5.3 Rotação de eixos 
Considere-se uma rotação  do sistema Y1Z1, conforme figura 5.2. As coordenadas u, v de dA 
no novo sistema são dadas por: 
u = y1cos + z1sen v = z1cos - y1sen (5.15) 
Desta forma: 
Iu = S v2dA = S (z1cos - y1sen)2 dA = Iy1cos2 + Iz1sen2 - Iy1z1sen2 (5.16) 
 Iv = S u2dA = S (y1cos + z1sen)2 dA = Iy1sen2 + Iz1cos2 + Iy1z1sen2 (5.17) 
 43 
Iuv = S uvdA = S (y1cos+z1sen)(z1cos-y1sen)dA = Iy1z1cos2+(1/2)(Iy1 – Iz1)sen2 (5.18) 
Como já mencionado, o momento polar de inércia não se altera com a rotação. 
 
5.4 Eixos principais de inércia e momentos principais de inércia 
Determina-se um valor da rotação  (figura 5.2) para o qual Iu assuma um valor extremo 
(máximo ou mínimo); como a soma Iy1 + Iz1 não se altera com a rotação, se Iu for máximo, Iv é 
mínimo, e vice versa. Os eixos e os momentos de inércia correspondentes a tal rotação são os 
eixos principais de inércia e os momentos principais de inércia, respectivamente, no ponto O. 
dIu/d = -2Iy1cossen + 2Iz1sencos - 2Iy1z1cos2 = (Iz1 – Iy1)sen2 - 2Iy1z1cos2 = 0, donde 
tg2 = 2Iy1z1/(Iz1 – Iy1) (5.19) 
Com (5.19) ficam determinadas as direções dos eixos principais. Os sentidos dos eixos 
principais dependem da escolha do quadrante para o ângulo 2 (duas opções para cada sinal de 
tg2): 
. se tg2  0 há duas soluções que diferem de , sendo uma do 1o. quadrante e outra do 3o. 
quadrante. Para  há duas soluções que diferem de /2. Escolhe-se a correspondente a do 1o. 
quadrante: 0    /4 (a outra solução é a 2a. direção, perpendicular à 1a.); 
. se tg2  0 há duas soluções que diferem de , sendo uma do 2o. quadrante e outra do 4o. 
quadrante. Escolhe-se a do 4o. quadrante e - /4   0. 
Com (5.18) e (5.19), obtém-se: 
Iuv = cos2[Iy1z1 – (1/2)(Iz1 – Iy1)tg2] = cos2(Iy1z1 – Iy1z1) = 0 (5.20) 
Como o produto de inércia é nulo em relação aos eixos principais, o sentido destes eixos é 
irrelevante. Assim: 
V 
u 
 
y1 
U 
v 
 
Y1
11 
Z1 
O 
dA 
z1 
FIGURA 5.2 
S 
 44 
 se tg2  0, considera-se que 0  2  /2 e, consequentemente, 
sen2  0 cos2  0 0    /4 sen2  1/2 cos2  1/2 (5.21) 
se tg2  0, considera-se que -/2  2  0 e, consequentemente, 
sen2  0 cos2  0 -/4    0 sen2  1/2 cos2  1/2 (5.22) 
Determinação do momento de inércia principal Iu, para tg2  0 – têm-se as seguintes relações 
trigonométricas, levando-se em conta (5.21): 
cos2 ={1+[1/(1+tg22)]1/2}/2 sen2 ={1-[1/(1+tg22)]1/2}/2 sen2 = [tg22/(1+tg22)]1/2 
(5.23) 
Substituindo-se estas expressões trigonométricas em (5.16), obtém-se: 
Iu = (Iy1 + Iz1)/2 + [(Iy1 – Iz1)/2] [1/(1+tg22)]1/2 – Iy1z1[tg22/(1+tg22)]1/2 
Com a equação (5.19) obtém-se, após algumas simplificações (notando que Iz1–Iy1 e 2Iy1z1 têm 
o mesmo sinal): 
Iu = (Iy1 + Iz1)/2  [(Iz1 – Iy1)2/4 + (Iy1z1)2]1/2 (5.24)