Modelo de Avaliação de Cálculo Instrumental (Funções e Limite)

Prévia do material em texto

MODELO DA AVALIAÇÃO Nº 1 de CÁLCULO INSTRUMENTAL – RESOLUÇÃO 
Curso: Engenharia de Produção Disciplina: Cálculo Instrumental 
Professor: Jorge Leão 
Aluno: Gerson C. Santos Turma: EPN1A Data: 25/06/2015 
1. [1,5 pontos] Considerar a função afim 
f
 dada por 
1 3
( )
2 4
f x x  
 . Fazer um esboço do gráfico de 
f
(anotar nos eixos cartesianos os valores numéricos da raiz e da interseção
y
), determinar a raiz de 
f
 e o 
“maior” intervalo do domínio em que 
f
 é: (i) positiva; e (ii) negativa. 
 
1 3 1 3 1 3 3
( ) 0 ( ) 0 ( 4) 2 3
2 4 2 4 2 4 2
1 3 3
0 (0) (0) (0)
2 4 4
3 3
( ,0) ,0 (0, ) 0,
2 4
R f x f x x x x x x
N x f f
R r N n
                  
       
   
      
   
 
 
3
( ) ,
2
3
( ) ,
2
i positiva
ii negativa
 
  
 
 
  
 
 
 
 
 
2. [3,0 pontos] Seja a função quadrática 
f
 dada por 
2 7( ) 2 1
2
f x x x  
. (1º) Calcular os zeros de 
f
 e as 
coordenadas do vértice do gráfico de 
f
. (2º) Fazer um esboço do gráfico de 
f
, anotando nos eixos 
cartesianos os valores numéricos das abscissas dos zeros de 
f
 e das coordenadas do seu vértice. (3º) 
Determinar o “maior” intervalo (ou reunião de intervalos) em que a função 
f
 é (i) crescente; (ii) 
decrescente; (iii) positiva; e (iv) negativa. 
2 2
2 2
1 1
2 2
1 2
7
( ) 0 2 1 0( 4) 4 7 2 0 ( 4; 7; 2)
2
4 ( 7) 4 (4) ( 2) 49 32 81 81 9
7 9 16
2
8 8
7 9 2 12
0,25
8 8 4
1 7
2
7 1 74 4 0,875
2 2 2 4 2 8
7 7
2
8 8
f x x x x x a b c
b ac
r r
b
r
a
r r
r r
h h h
k f
               
                 

      
  
        



        
 
  
 
2
7 7 49 49 49 49 1 49 98 32 81
1 2 1 2,53
2 8 64 16 32 16 1 32 32
7 81
,
8 32
k
v
    
                  
   
 
  
 
 
 
 
7 7
( ) , , ( ) ,
8 8
1 1
( ) , 2, , ( ) , 2
4 4
i crescente ii decrescente
iii positiva iv negativa
   
    
   
   
      
   
 
 
 
3. [3,0 pontos] Calcular 
0
lim ( )
x x
f x

 , no caso de: 3 2
2
2 3 20
( )
6 7 20
x x x
f x
x x
 

 
 e 
0
5
2
x 
 
65
[ : ]
46
resposta
 : 
 
3 2
25 5
2 2
3 2 2
2
2 2
1 1
2
2 3 20 ( )
lim lim
6 7 20 ( )
( ) 2 3 20 ( ) (2 3 20) ( 2; 3; 20)
2 3 20 0
4 (3) 4(2)( 20) 9 160 169 169 13
3 13 10 5
2
4 4 2
2 3 13 1
4
x x
x x x n x
x x d x
fatoração n x x x x n x x x x a b c
x x
b ac
r r
b
r
a
r
 
 

 
            
  
              
 
    
  
 
 
   2
1 2
2
1 2
2
2 2
1
6
4
4
5
( ) ( )( ) ( ) 2 ( 4)
2
( ) 6 7 20 ( 6; 7; 20) ( ) 6( )( )
6 7 20 0
4 ( 7) 4(6)( 20) 49 480 529 529 23
7 23 30
( 6)
12 12
2
r
n x a x r x r n x x x x
fatoração d x x x a b c d x x r x r
x x
b ac
r
b
r
a





  

 
       
 
             
  
               

  
  
 
1
2 2
1 2
5 5
2 2
5
2
7 23 16 4
( 4)
12 12 3
5 4
( ) 6( )( ) ( ) 6
2 3
5 5 5
2 ( 4) 2 4
2 ( 4)2 2 2
lim lim
5 4 4
6 6 6
2 3 3
x x
r
r r
d x x r x r d x x x
x x x
x x
x x x
 

 



      


  
        
  
       
                 
                       
13 655
65 1 652 2
5 4 23 23 2 23 46
6
2 3 6
 
 
     
   
   
   
 
4. [2,5 pontos] Calcular a inclinação da reta tangente ao gráfico 
f
 no ponto de abscissa 
0x
, aplicando o 
“procedimento de três passos”, no seguinte caso: 
2( ) 4 20 3f x x x  
 e 
0 6x 
. 
[ : 28]resposta
 : 
 
2
0 0
2
0
2
0
0
2 2
1º : ( , ( ) ( , 4 20 3)
( ) (6) 4(6) 20(6) 3 144 120 3 (6) 21
(6,21)
( , 4 20 3)
( ) ( )
2º :
4 20 3 21 4 20 24
6 6
s
s s
passo P x f x Q x x x
f x f f
P
Q x x x
f x f x
passo m
x x
x x x x
m m
x x
   
        

  



    
  
 
 
 
 
 
 
0
2
6
2
1 2
2 2
2 2
1 1
2
3º : lim
4 20 24
lim
6
: ( ) 4 20 24 ( ) 4( )( )
4 20 24 0 4 5 6 0 ( 1; 5; 6)
4 ( 5) 4(1)( 6) 25 24 49 49 7
5 7 12
6
2 2
2
t s
x x
t
x
passo m m
x x
m
x
fatoração n x x x n x x r x r
x x x x a b c
b ac
r r
b
r
a
r



  
  
 
      
             
               

   
  
 
 
2
6 6
5 7 2
1
2 2
( ) 4( 6)( 1)
4( 6)( 1)
lim lim 4( 1) 4(6 1) 28
( 6)
t
x x
r
n x x x
x x
m x
x 



      

  
  
      
 