Matemática Básica (21)

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ÂNGULO – é a abertura formada por dois raios divergentes que têm um extremo comum que se denomina vértice.
ELEMENTOS DE UM ÂNGULO:
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
 0º <  < 180º
0º <  < 90º
CLASSIFICAÇÃO SEGUNDO A SUA MEDIDA
a) ÂNGULO CONVEXO
a.1) ÂNGULO AGUDO
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  = 90º
 90º <  < 180º
a.2) ÂNGULO RETO
a.3) ÂNGULO OBTUSO
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   = 90º
  +  = 180º
CLASSIFICAÇÃO SEGUNDO A SOMA
a) ÂNGULOS COMPLEMENTARES
b) ÂNGULOS SUPLEMENTARES
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CLASSIFICAÇÃO SEGUNDO A SUA POSIÇÃO
a) ÂNGULOS ADJACENTES
b) ÂNGULOS CONSECUTIVOS
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
são congruentes
Pode formar mais ângulos
Un lado comum
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01. Ângulos alternos internos:
 m 3 = m 5; m 4 = m 6
02. Ângulos alternos externos:
 m 1 = m 7; m 2 = m 8
03. Ângulos conjugados internos:
 m 3+m 6=m 4+m 5=180°
04. Ângulos conjugados externos:
 m 1+m 8=m 2+m 7=180°
05. Ângulos correspondentes:
 m 1 = m 5; m 4 = m 8
 m 2 = m 6; m 3 = m 7
ÂNGULOS ENTRE DUAS RETAS PARALELAS
 E UMA RETA SECANTE
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 +  +  = x + y
01- Ângulos que se formam por uma linha poligonal entre 
 duas retas paralelas.
PROPRIEDADES DOS ÂNGULOS
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 +  +  +  +  = 180°
02- ÂNGULOS ENTRE DUAS RETAS PARALELAS
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 +  = 180°
03- ÂNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES
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O complemento da diferença entre o suplemento e o complemento de um ângulo “X” é igual ao dobro do complemento do ângulo “X”. Calcule a medida do ângulo “X”.
90 - { ( ) - ( ) } = ( )
180° - X
90° - X
90° - X
2
90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X
90° - 90° = 180° - 2X
2X = 180°
X = 90°
RESOLUÇÃO
Problema Nº 01
A estrutura segundo o enunciado:
Desenvolvendo se obtem:
Logo se reduz a:
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A soma das medidas dos ângulos é 80° e o complemento do primeiro ângulo é o dobro da medida do segundo ângulo. Calcule a diferença das medidas desses ângulos.
Sejam os ângulos:  e 
 +  = 80° 
Dado:
  = 80° -  
( 90° -  ) = 2
Substituindo (1) em (2):
( 90° -  ) = 2 ( 80° -  ) 
90° -  = 160° -2
 = 10°
 -  = 70°-10°
 = 60°
Problema Nº 02
RESOLUÇÃO
Dado:
Diferença das medidas
Resolvendo
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A soma de seus complementos dos ângulos é 130° e a diferença de seus suplementos dos mesmos ângulos é 10°. Calcule a medida destes ângulos.
Sejam os ângulos:  e 
( 90° -  )
( 90° -  )
= 130°
+
( 180° -  )
( 180° -  )
 = 10°
-
Resolvendo: (1) e (2)
 +  = 50° 
 -  = 10° 
2 = 60°
 = 30°
 = 20°
Problema Nº 03
RESOLUÇÃO
Do enunciado:
Do enunciado:
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Se têm ângulos adjacentes AOB e BOC (AOB<BOC), se traça a bissetriz OM dol ângulo AOC; se os ângulos BOC e BOM medem 60° e 20° respectivamente. Calcule a medida do ângulo AOB.
Da figura:
 = 60° - 20°
Logo:
X = 40° - 20°
 = 40°
X = 20°
Problema Nº 04
RESOLUÇÃO
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A diferença das medidas dos ângulos adjacentes AOB e BOC é 30°. Calcule a medida do ângulo formado pela bissetriz do ângulo AOC com o lado OB.
(  + X)
( - X)
 = 30º
2X=30º
X = 15°
Problema Nº 05
RESOLUÇÃO
Construção do gráfico segundo o enunciado
Do enunciado:
AOB - OBC = 30°
- 
Logo se substitui pelo que
se observa no gráfico
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Se têm os ângulos consecutivos AOB, BOC e COD tal que a mAOC = mBOD = 90°. Calcule a medida do ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos AOB e COD.
Da figura:
2 +  = 90°
 + 2 = 90°
2 + 2 + 2 = 180°
 +  +  = 90°
X =  +  + 
X = 90°
Problema Nº 06
RESOLUÇÃO
Construção do gráfico segundo o enunciado
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Se m // n . Calcule a medida do ângulo “X”
Problema Nº 07
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2 + 2 = 80° + 30°
Pela propriedade
Propriedade do quadrilátero 
côncavo
Substituindo (1) em (2)
80° = 55° + X
X = 25°
RESOLUÇÃO
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Se m // n . Calcular a medida do ângulo “X”
Problema Nº 08
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Pela propiedad:
4 + 5 = 90°
 = 10°
Ângulo exterior do triângulo
40°
65°
X = 40° + 65°
X = 105°
RESOLUÇÃO
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Problema Nº 09
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3 + 3 = 180°
 +  = 60°
Ângulos entre línhas poligonais
X =  +  
X = 60° 
RESOLUÇÃO
x
Ângulos conjugados
 internos
*
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PROBLEMA 01- Se L1 // L2 . Calcule a m  x
A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50°
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PROBLEMA 02- Se m // n. Calcule a m  x
A) 18° B) 20° C) 30° D) 36° E) 48°
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PROBLEMA 03- Se m // n. Calcule a m  
A) 15° B) 22° C) 27° D) 38° E) 45°
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PROBLEMA 04- Se m // n. Calcule o valor de “x”
A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°
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PROBLEMA 05- Calcule m  x
A) 99° B) 100° C) 105° D) 110° E) 120°
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PROBLEMA 06- Se m // n. Calcule m  x
A) 22° B) 28° C) 30° D) 36° E) 60°
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A) 24° B) 25° C) 32° D) 35° E) 45°
PROBLEMA 07- Se. Calcule m  x
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PROBLEMA 08- Se m // n. Calcule m  x
A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 30°
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PROBLEMA 09- Se m//n e  -  = 80°. Calcule mx 
A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80°
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PROBLEMA 10- Se m // n. Calcule m  x
A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60°
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PROBLEMA 11- Se m // n. Calcule m  
A) 46° B) 48° C) 50° D) 55° E) 60°
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PROBLEMA 12- Se m // n. Calcule m  x
A) 30° B) 36° C) 40° D) 45° E) 50°
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PROBLEMA 13- Se m // n. Calcule m  x
A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°
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REPOSTAS DOS PROBLEMAS PROPOSTOS
20º					8.	50º
30º					9.	80º
45º					10.	30º
10º					11.	60º
120º				12.	40º
36º					13.	50º
7.	32º
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