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Amintas Paiva Afonso * Amintas Paiva Afonso Amintas Paiva Afonso * ESTÁ DIFÍCIL SABER QUAIS AS RESPOSTAS PARA ESSAS PERGUNTAS? Amintas Paiva Afonso * Podemos dizer que essas expressões são verdadeiras. Já essas não podemos classificar como verdadeiras, nem falsas. a – c ≥ 9 6t + 4 = 40 13 > 10 7 + 8 = 15 Amintas Paiva Afonso * a) uma expressão matemática que pode ser classificada como verdadeira ou falsa é denominada SENTENÇA ou PREPOSIÇÃO FECHADA. 40 > 11 15 + 14 =29 4 . 8 = 36 SENTENÇA VERDADEIRA SENTENÇA FALSA SENTENÇA VERDADEIRA Amintas Paiva Afonso * b) uma expressão matemática que NÃO podemos classificar como verdadeira ou falsa é denominada SENTENÇA ou PREPOSIÇÃO ABERTA. EXEMPLOS: a – b ≥ 8 7c + 5 = 19 x + y ǂ 36 PODE SER VERDADEIRA OU FALSA, DEPENDENDO DO VALOR ATRIBUÍDO A c. PODE SER VERDADEIRA OU FALSA, DEPENDENDO DOS VALORES ATRIBUÍDOS A x e a y. PODE SER VERDADEIRA OU FALSA, DEPENDENDO DOS VALORES ATRIBUÍDOS A a E A b. Amintas Paiva Afonso * Sentenças ou preposições matemáticas estabelecem uma relação de igualdade ou de desigualdade. 40 > 22 4 . 8 = 32 a – b ≥ 8 7c + 5 = 19 x + y ǂ 36 EXEMPLOS: Amintas Paiva Afonso * Agora, veja: Vamos procurar no dicionário outros significados da palavra Equação e registrar no caderno. Amintas Paiva Afonso * Equações Chamamos de equação toda sentença matemática expressa por uma igualdade que contém um ou mais termos desconhecidos representados por letras. Exemplos: a) 4x + 8 = 3x - 5 b) 3a - 4 = b + 1 c) 9y - 11 = - 2 d) x² - 3x + 2 = 0 e) sen x = 0,8660254 Amintas Paiva Afonso * 2x – 5 = 12 x – y = 25 8x = 32 r² + 5 = r + 17 x + 6 = 2x + 1 É uma equação de incógnita x É uma equação com uma incógnita: r É uma equação com duas incógnitas: x e y x é a incógnita da equação É uma equação com uma incógnita: x Amintas Paiva Afonso * Observe a equação 2x - 5 = 12. 2x - 5 = 12 Denomina-se 1º membro da equação Denomina-se 2º membro da equação Amintas Paiva Afonso * Em uma equação, o expoente da incógnita indica o seu grau. Veja: 2x – 5 = 13 4x² = 12 r² + 5 = r + 17 É uma equação do primeiro grau. Observe que 2 = 2¹, 3 = 3¹, ... então x = x¹ É uma equação do segundo grau. Também é uma equação do segundo grau. Nesse caso, considera-se o maior expoente da incógnita. Equações de 1º grau Definição É uma sentença matemática que exprime uma relação de igualdade e que contém, pelo menos, uma incógnita (representada por uma letra). A palavra equação tem o prefixo “equa”, que em latim quer dizer "igual". Amintas Paiva Afonso Equações de 1º grau Amintas Paiva Afonso Equações de 1º grau Amintas Paiva Afonso Equações de 1º grau Raízes de uma equação São os elementos do conjunto verdade de uma equação. Verificação se um número é raiz de uma equação: Substituir a incógnita por esse número. Determinar o valor de cada membro da equação. Verificar a igualdade, se ela for uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação. Amintas Paiva Afonso Amintas Paiva Afonso * Em uma equação do 1º grau, procura-se o valor da incógnita que a transforma em uma sentença verdadeira. Na equação 8x = 32, qual o valor de x ? Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. Amintas Paiva Afonso * Resolvendo mentalmente: 8x = 32 8 . 4 = 32 Logo, x = 4, ou seja, 4 é a solução ou raiz da equação 8x = 32. Isso significa dizer que, substituindo o x por 4, na equação 8x = 32, temos uma sentença fechada verdadeira. Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. Amintas Paiva Afonso * Resolva a equação 2x - 5 = 13 Resolver uma equação do 1º grau é encontrar a sua raiz e verificar se ela satisfaz as condições apresentadas por essa equação. Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. Amintas Paiva Afonso * 2 . x - 5 = 13 Então, temos que x = 9 9 = 13 2 . Logo, x = 9 é soluções da equação 2x - 5 = 13 - 5 13 18 = - 5 Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. Amintas Paiva Afonso * A RAIZ ou solução da equação é todo número que, substituindo a incógnita, torna a equação uma sentença verdadeira. 4 é a RAIZ da equação 8x = 32 9 é a RAIZ da equação 2x - 5 = 13 Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. Amintas Paiva Afonso * Vamos agora resolver as equações 8x = 32 e 2x – 5 = 13, utilizando um método que não é o mental. Vamos resolver essas equações por meio das operações matemáticas inversas. Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. Amintas Paiva Afonso Amintas Paiva Afonso * RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO 8x = 32 8 . x = 32 Observe que o 8 está multiplicando. A operação inversa de multiplicar por 8 é dividir por 8. x = 32 : 8 Observe que o número 8 estava multipicando no 1º membro e “passou” para o 2º membro dividindo (operação inversa). x = 4 RESPOSTA: 4 é a raiz da equação 8x = 32 Verificação: 8 . 4 = 32 Amintas Paiva Afonso * 2x - 5 = 13 2x = 13 + 5 Observe que o 5 está subtraindo. A operação inversa de subtrair 5 é somar 5. Observe que o número 5 estava subtraindo no 1º membro e “passou” para o 2º membro somando (operação inversa). Observe que o 2 está multiplicando, logo “passará” para o 2º membro dividindo. Verificação: 2. 9 – 5 = 13 → 18 – 5 = 13 2x = 18 x = 18 : 2 x = 9 RESPOSTA: 9 é a raiz da equação 2X – 5 = 13 RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO 2x - 5= 13 Amintas Paiva Afonso * Observação: As equações aparecerão em linguagem corrente. Vamos agora resolver mais problemas envolvendo equações! Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. Equações de 1º grau Amintas Paiva Afonso Equações de 1º grau Amintas Paiva Afonso Equações de 1º grau Amintas Paiva Afonso Equações de 1º grau Amintas Paiva Afonso Equações de 1º grau Exercícios Um provedor de acesso à Internet oferece um plano de assinatura para seus assinantes, onde tem uma taxa mensal de R$ 8,00 mais R$ 3,00 por cada minuto de conexão durante o mês. Se o assinante pagou no final do mês o valor total de R$ 368,00, quantos minutos ele ficou conectado neste mês? Amintas Paiva Afonso Amintas Paiva Afonso * Uma loja possui um plano de venda de eletrodomésticos que corresponde a uma entrada de R$ 100,00 mais quatro prestações de valores iguais. Na venda de uma TV que custa R$ 700,00, qual é o valor de cada prestação? EXERCÍCIO 5 Amintas Paiva Afonso * Vamos equacionar o problema Igualando a expressão 100 + 4p, que representa o preço da TV utilizando o plano de venda da loja, com seu custo, que é R$ 700,00 : 4p = 700 + 100 VAMOS RESOLVER A EQUAÇÃO. Passando para linguagem matemática, a expressão “uma entrada de R$ 100,00 e mais quatro prestações de mesmo valor”, chamando as prestações de p, temos: 100 + 4 . P = 100 + 4p Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. Amintas Paiva Afonso * 100 4p = 700 + O inverso de adicionar 100 é subtrair 100. 4p = 700 - 100 600 4p = O inverso de multiplicar por 4 é dividir por 4. 600 p = : 4 p = 150 A raiz da equação é 150. O que esse resultado nos mostra? Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resoluçãopor meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. Amintas Paiva Afonso * Como p = 150 e ele representa o valor da prestação, isso significa dizer que cada prestação da TV custa R$ 150,00. Vamos verificar: 100 4p = 700 + 100 4 .150 = 700 + 100 600 = 700 + 700 = 700 Substituindo p por 150 Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. Amintas Paiva Afonso * A soma das idades de Petrúcio e Petrus é 20 anos. Qual é a idade de cada um, sabendo que Petrúcio é 8 anos mais velho que Petrus? Representando a idade de Petrus por x, então a idade de Petrúcio será representada por x + 8 Passando para linguagem matemática: x = 20 + (x + 8) Solução A soma das idades de Petrúcio e Petrus é 20. EXERCÍCIO 6 Amintas Paiva Afonso * RESOLVENDO A EQUAÇÃO X + 8 X = 20 + Aplicando a propriedade comutativa. 2X + 8 = 20 12 2X = O inverso de multiplicar por 2 é dividir por 2. 12 X = : 2 X + X 8 = 20 + O inverso de adicionar 8 é subtrair 8. 2X = 20 - 8 6 X = Observe que x + x = 2x. (X + 8) X = 20 + Eliminando os parênteses. Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. Amintas Paiva Afonso * A raiz da equação é 6. Isso significa dizer que... Como a idade de Petrus foi representada por x, e x = 6, logo Petrus tem 6 anos. A idade de Petrúcio foi representada por x + 8, e como x = 6, temos: x + 8 6 + 8 = 14 Conclusão: Petrus tem 6 anos e Petrúcio tem 14 anos. Isso significa dizer que Petrúcio tem 14 anos. Amintas Paiva Afonso * EXERCÍCIO 7 Amintas Paiva Afonso * O retângulo abaixo representa a planta baixa de um quarto cujo perímetro é 30 m. Qual é a largura e o comprimento desse quarto? Chamando o perímetro de P, temos: 2x x P = 2x + 2x + x + x = 6x P = 6x Largura: x Comprimento: 2x TEMOS: 2x x EXERCÍCIO 7 Amintas Paiva Afonso * Equacionando o problema Do enunciado do problema, temos que o perímetro é igual a 30 m, então podemos escrever a expressão: P = 30 Como a expressão que representa o perímetro é dada por P = 6x, igualando as duas expressões, temos: 6x = 30 Amintas Paiva Afonso * RESOLVENDO A EQUAÇÃO: 6 . x = 30 O inverso de multiplicar por 6 é dividir por 6. x = 30 : 6 x = 5 Temos que a largura é x, e x = 5 logo, a largura é igual a 5m. Como o comprimento é representado por 2x, ou seja, o dobro da largura, temos: 2 . 5 = 10; O comprimento é igual a 10 m. 6x = 30 Amintas Paiva Afonso * Verificação: 6x = 30 Com x = 5 temos que: 6 . x = 30 6 . 5 = 30 30 = 30 CONCLUSÃO: O quarto tem 5m de largura e 10m de comprimento. Amintas Paiva Afonso * Amintas Paiva Afonso Exercícios 1) O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, denominada "bandeirada", e uma parcela que depende da distância percorrida. Se a bandeirada custa R$ 3,44 e cada quilômetro rodado custa R$ 0,86, calcule: a) a equação que determina o preço em função da distância; b) o preço de uma corrida de 11 km; c) a distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 21,50 pela corrida. Amintas Paiva Afonso Amintas Paiva Afonso * Amintas Paiva Afonso Exercícios 2) Uma fábrica de camisas tem um custo mensal de R$ 5.000,00 mais R$15,00 por camisa produzida. Cada camisa é vendida por R$ 25,00. Para ter um lucro de R$ 4.000,00, quanto a fábrica deverá produzir e vender mensalmente? Amintas Paiva Afonso Amintas Paiva Afonso * Amintas Paiva Afonso Sistemas Método da Substituição Sistema é um conjunto, no caso, de equações do 1o grau. Resolver um sistema é encontrar valores para as variáveis que satisfaçam, simultaneamente, todas as equações. Amintas Paiva Afonso Amintas Paiva Afonso * Sistemas Método da Adição Sistema linear de equações do 1º grau coeficientes incógnitas termo independente Amintas Paiva Afonso Sistema linear de equações do 1º grau Sistema de equações lineares É um conjunto de equações lineares nas mesmas incógnitas. Amintas Paiva Afonso Sistema linear de equações do 1º grau Amintas Paiva Afonso Sistema linear de equações do 1º grau Amintas Paiva Afonso Sistema linear de equações do 1º grau Amintas Paiva Afonso Sistema linear de equações do 1º grau Amintas Paiva Afonso Sistema linear de equações do 1º grau Amintas Paiva Afonso Sistema linear de equações do 1º grau Amintas Paiva Afonso Amintas Paiva Afonso * Amintas Paiva Afonso Exercícios 1) Um taxista trocou uma nota de 50 reais por notas de 2 reais e 5 reais num total de 19 notas. Quantas notas de cada valor o taxista recebeu? Amintas Paiva Afonso Amintas Paiva Afonso * Amintas Paiva Afonso Exercícios 2) Um açougue vende dois tipos de carne: de 1ª a R$ 12,00 o quilo e de 2ª a R$ 10,00 o quilo. Se um cliente pagou R$ 105,00 por dez quilos de carne, então determine a quantidade de carne de 1ª que ele comprou. Amintas Paiva Afonso Amintas Paiva Afonso * Amintas Paiva Afonso Inequação São equações onde trocamos o sinal de = pelo sinais... < , ≤ , > ou ≥. (<) representa menor que (5 < 8, cinco menor que oito) (>) representa maior que (7 > 2, sete maior que dois) Trabalha a idéia de comparação entre equações. Exercício: As empresas ALFA e BETA alugam congeladores do mesmo tipo. A empresa ALFA cobra R$ 350,00 fixos e R$ 10,00 por dia. A empresa BETA cobra R$ 150,00 fixos e R$ 15,00 por dia. Após n dias o valor cobrado pela empresa BETA passa a ser maior do que o cobrado pela empresa ALFA. Determine o valor de n. Amintas Paiva Afonso Amintas Paiva Afonso * Amintas Paiva Afonso Funções Reais Em nosso cotidiano, utilizamos funções informalmente, quando vamos ao supermercado, quando calculamos o pagamento do pedreiro em nossa casa, ou quando recebemos nossa conta de energia elétrica. Na vida moderna, quase tudo responde a um certo padrão . A fatura de energia elétrica geralmente mostra que o preço a pagar é igual a um valor fixo básico mais um preço por kWh consumido. Algo parecido também ocorre quando abastecemos um carro com gasolina, mas neste caso não existe um valor fixo básico, somente lidamos com o preço por litro e a quantidade de litros. Amintas Paiva Afonso Amintas Paiva Afonso * Amintas Paiva Afonso Funções Reais Se o preço da gasolina é R$ 2,50 / litro, a função y = 2,5x, onde y é o preço a ser pago, e x são os litros (inteiros) de gasolina comprados, tem como domínio o conjunto {0, 1, 2, 3, 4, ...}. Assim sendo, os valores respectivos de y seriam {0; 2,5; 5; 7,5; 10; ...}, que constituem a imagem da função. Vemos que para cada valor de (litros de gasolina comprados) pode haver somente um valor de (preço a ser pago). Amintas Paiva Afonso Amintas Paiva Afonso * Amintas Paiva Afonso Funções Reais Gráfico . Amintas Paiva Afonso Amintas Paiva Afonso * Amintas Paiva Afonso Inequações Desigualdades Amintas Paiva Afonso Inequação de 1º grau Definição Inequação é uma sentença matemática com uma ou mais incógnitas expressas por uma desigualdade, diferente da equação que representa uma igualdade. Elas são representadas através de relações que não são de equivalência. Amintas Paiva Afonso Inequação de 1º grau Amintas Paiva Afonso Inequação de 1º grau Amintas Paiva Afonso Inequação de 1º grau 1 de 3 Amintas Paiva Afonso Inequação de 1º grau 2 de 3 Amintas Paiva Afonso Inequação de 1º grau 3 de 3 Amintas Paiva Afonso Amintas Paiva Afonso * Amintas Paiva Afonso Inequação É um enunciado que contém um dos símbolos < ou >. Uma desigualdade que contém uma ou mais variáveis se chama desigualdade condicional ou inequação. Amintas Paiva Afonso AmintasPaiva Afonso * Amintas Paiva Afonso Inequação Observe b a b a b a O que podemos dizer delas Primeira reta a = b Segunda reta a > b Terceira reta a < b Amintas Paiva Afonso Amintas Paiva Afonso * Amintas Paiva Afonso Inequação Para resolver inequações Aplicamos a propriedade aditiva da desigualdade Exemplo: x + 3 < 7 x + 3 – 3 < 7-3 x < 4 S = { x / x < 4 } Amintas Paiva Afonso Amintas Paiva Afonso * Amintas Paiva Afonso Inequação Outra maneira de resolver Amintas Paiva Afonso Amintas Paiva Afonso * Amintas Paiva Afonso Inequação Exemplo 2 Amintas Paiva Afonso Amintas Paiva Afonso * Amintas Paiva Afonso Inequação Exemplo 3 Amintas Paiva Afonso Amintas Paiva Afonso * Amintas Paiva Afonso Inequação Exemplo 4 Amintas Paiva Afonso Amintas Paiva Afonso * Amintas Paiva Afonso Inequação Exemplo 5 Amintas Paiva Afonso Amintas Paiva Afonso * Amintas Paiva Afonso Inequação Exemplo 6 1 4 1 3 Amintas Paiva Afonso Amintas Paiva Afonso * Amintas Paiva Afonso Inequação Exemplo 7 Amintas Paiva Afonso Amintas Paiva Afonso * Amintas Paiva Afonso Inequação Comprovação Amintas Paiva Afonso Amintas Paiva Afonso * Amintas Paiva Afonso Amintas Paiva Afonso * * * * * * * * *
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