CÁLCULO DO ESFORÇO TRATOR E DO NÚMERO DE VAGÕES

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Aeroportos e 
Ferrovias
Ferrovias
CÁLCULO DO ESFORÇO TRATOR E DO 
NÚMERO DE VAGÕES
ESFORÇO TRATOR
De maneira geral, as locomotivas têm potência 
nominal variando de 1000 a 5000 kW.
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3
Máquinas em série
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4
Esforço trator - AREMA
ET=300*HP/V
Para se dimensionar o número de vagões acionados por uma 
locomotiva é necessário inicialmente determinar o ET para as regiões 
críticas em termos de rampa e para a velocidade de projeto.
1 HP = 745 WATTS
1mph = 1,6 km/h
(Esforço trator)
5
5
LOCOMOTIVA
6
6
Número de vagões acionados por
uma locomotiva
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Esforço Trator
AREMA
Esforço Trator expresso pela fórmula:
T = (2650 h P) / V 
Onde:
T = Esforço Trator expresso em Newton [N]
P = Potência do motor da locomotiva, expresso em hp
V = Velocidade expressa em km/h
h = Rendimento da locomotiva – adotar 0,70 (70%) e 
0,80 (80%)
ET=300*HP/V
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Peso 
(kN) Vel.máx (km/h)
Potência 
(HP) ET(lb) T(kN)
1290 50 3800 36,480 140.98
ET=300 HP/V T = (2650 ƞ P) / V
Ƞ = 0,70
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Exercício: Dada a LOCOMOTIVA GE PH37ACi
Potência 3738,96HP
Peso 1235,45 kN
Velocidade máxima = 120 km/h = 75 mph
Calcular o esforço trator pela fórmula da AREMA, 
a) considerando o rendimento de 70%;
b) considerando o rendimento de 80%;
Para Ea= 12,157 mm e 
Raio mínimo = 487,13m = 15,981ft
(lembre-se de mudar para milhas de por hora = dividir 
por 1,6); 1 milha = 1,6km/h
1N = 0,2248 lb
c) Pela fórmula 𝑇 =
2650∗𝜂∗𝑃
𝑉
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Elaborar gráficos ET x Velocidade considerando as duas fórmulas de ET 
e os dois valores de rendimento. CONSIDERAR A VELOCIDADE DE 
PROJETO como sendo a velocidade diretriz e variar 20 km/h para mais e 
para menos. Fazer o estudo variando de 10 em 10 km/h
Modelo de gráfico
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Dados de locomotivas para o projeto.
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Exercício de aplicação
Vagão de 4 eixos: 70t
Número de vagões: 60
Velocidades (km/h): 30; 40; 60
Menor rampa num trecho reto= 2%
Menor rampa num trecho curvo = 0,8% e 15°
Pede-se potência em HP, para cada 
velocidade.
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1. Conversão das velocidade km/h para mph
1mph = 1,6 km/h
V1= 30 km/h = 18,75 mph
V2 = 40 km/h = 25,0 mph
V3 = 60 km/h = 37,50 mph
2. Cálculo do esforço trator ET
Sendo todas as velocidades superiores a 10mph, tem-se:
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2. Cálculo do Esforço trator (ET)
𝐸𝑇 =
300 𝑋 𝐻𝑃
𝑉
𝐸𝑇1 =
300 𝑋 𝐻𝑃
18,75 mph = 16 HP1
𝐸𝑇2 =
300 𝑋 𝐻𝑃
25,0mph = 12 HP2
𝐸𝑇3 =
300 𝑋 𝐻𝑃
37,50mph = 8HP3
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3. Cálculo da Resistência total (RT)
RT = Ru + Rc + Rr
Ru = RESISTÊNCIA AO DESLOCAMENTO HORIZONTAL NÃO 
INCLINADO E RETILÍNEO
Desenvolvida por W.J. Davis ou Davis equation
𝑹𝒖 = 1,3 + 
𝟐𝟗
𝒘
+ bV + 
𝑪𝑨𝑽𝟐
𝒘𝒏
Onde:
Ru = Resistência ao deslocamento, em pounds/t (lb/t) do peso do vagão;
w = Peso por roda do vagão, em t (peso bruto dos vagões dividido pelo 
número de rodas);
V = Velocidade em mph;
n = Número de rodas.
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3. Cálculo da Resistência total (RT)
RT = Ru + Rc + Rr
Desenvolvida por W.J. Davis ou Davis equation
𝑹𝒖 = 1,3 + 
𝟐𝟗
𝒘
+ bV + 
𝑪𝑨𝑽𝟐
𝒘𝒏
Onde:
b = Coeficiente experimental fundamentado no atrito da flange; b = 0.03 para 
locomotivas e 0.045 para vagões de carga (normalmente se usa direto 0.045 a 
favor da segurança). Coeficiente experimental fundamentado no atrito da flange 
(atrito roda/trilho). Geralmente se não há ensaios, adota-se 0,02.
A = seção frontal do trem que causa o arrastro durante o movimento. Em geral esse 
número varia de 80 a 90 ft2;
C= Coeficiente de arrastro, similar ao que se usa nos veículos projetados para 
corrida e nos aviões. Esse coeficiente depende da forma aerodinâmica da locomotiva 
e da configuração geral da composição. O valor do arrastro é determinado em teste 
de túnel de vento e pode-se adotar = 0.0017 para locomotivas e 0.0005 para 
veículos de carga (normalmente se utiliza 0.0005);
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Arrastro
FORMA AERODINÂMICA
SEM AERODINÂMICA 
DEFINIDA
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3. Cálculo da Resistência total (RT)
RT = Ru + Rc + Rr
Desenvolvida por W.J. Davis ou Davis equation
𝑹𝒖 = 1,3 + 
𝟐𝟗
𝒘
+ bV + 
𝑪𝑨𝑽𝟐
𝒘𝒏
Para V1= 30 km/h = 18,75 mph
Adotando b = 0.045 
A = 90 ft2 (maior área, mais desfavorável);
C= 0,0005
Vagão de 4 eixos: 70t
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3. Cálculo da Resistência total (RT)
RT = Ru + Rc + Rr
Desenvolvida por W.J. Davis ou Davis equation
Ru = 1,3 + 29/w + bV + ( CAV2)/ wn
Ru2=1,3+
29
17,5
+0,045 𝑥 25 mph + 0,0005 x 90ft2 x 
252
17,5 𝑡 𝑥 4
= 4,484 lb/t
Ru3=1,3+
29
17,5
+0,045 𝑥 37,5 mph + 0,0005 x 90ft2 x
37,52
17,5 𝑡 𝑥 4
= 5,549 lb/t
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2- RESISTÊNCIA DE RAMPA
• Considera-se que as rampas utilizadas em 
ferrovias são muito pequenas, da ordem de 
1% portanto, o ângulo também é pequeno, 
menor que 1 grau. Assim, em termos 
práticos o valor do seno é praticamente o 
mesmo da tangente. 
• Veja a figura a seguir.
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2- Resistência de rampa
• Como a devida simplificação que o caso 
precisa, pode-se dizer que F’ = W * sen θ 
ou em outras palavras simplificando e 
considerando que sen θ ≈ tan θ e, tan θ = 
CB/AB.
• Tem-se que F’= W * (CB/AB).
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2- resistência de rampa
• Como se deseja saber o resistência de 
rampa por tonelada transportada e uma 
tonelada é aproximadamente 2000 lbs tem-
se que para cada tonelada transportada e a 
relação CB/AB expressa em porcentagem:
• F’= 2000 lb (1/100) = 20 lb ou seja, para 
cada porcento de rampa e tonelada de 
carga tem-se uma resistência de rampa de 
20 lb.
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2- Resistencia de rampa
• EXEMPLO : Resistência de Rampa 
• Dados:
• Rampa = 0,5%
• Constante 20 lbs/t/% de rampa;
• 100 vagões container 200.000 lbs/vagão
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Cálculo da Resistência de rampa (Rr)
Constante 20 lbs/t/% de rampa
• Trecho reto: Menor rampa num trecho reto = 2%
Rrreto = 20 (lb / t )/ % 
• Trecho curvo: Menor rampa num trecho curvo = 0,8
Rrcurvo = 20 (lb / t) / %
Rr = Rrreto + Rrcurvo
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Cálculo da Resistência de curva
O valor da resistência de curva é determinado em testes e 
experimentos. De maneira geral, tem-se como valor 
conservativo a faixa de 0,8 a 1,0 lbs x t x grau da curva.
Também devido à complexidade do fenômeno, esta
resistência também é obtida empiricamente (fórmula de 
Stevenson).
onde:
• R’c: Taxa de resistência de curva, em kgf/tf.
• R: raio da curva, em m;
• p: base rígida, em m;
• b: bitola, em m;
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Cálculo da Resistência de curva
O valor da resistência de curva é determinado 
em testes e experimentos. De maneira geral, 
tem-se como valor conservativo a faixa de 
0,8 a 1,0 lbs x t x grau da curva.
Menor rampa num trecho curvo = 0,8% e 15°
Para 15°
Rc =
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Cálculo da Resistência total
RT = Ru + Rr+ Rc
RT1 = Ru1 + Rr + Rc =
RT2 = Ru2 + Rr + Rc =
RT3 = Ru3 + Rr + Rc =
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Continuação do projeto
LOCOMOTIVA
33
33
Locomotiva 
Arema 
GE PH37ACi Característica Potência 
Peso (kN) V. Máx (km/h) (HP) lb (massa) kN (força) 
1235,64 120 3.738,96 67760 3070 
 
CÁLCULO DO ESFORÇO TRATOR
Fórmula: 𝑻 =
𝟐𝟔𝟓𝟎 ∗η ∗ 𝑷
𝑽
T = Esforço Trator expresso em Newton (N) 
P = Potência do motor da locomotiva, expresso em hp
V = Velocidade expressa em km/h 
h = Rendimento da locomotiva – adotar 0,7 (70%) e 0,8 
(80%)
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NOMINAL 
(FÁBRICA)
RENDIMENTO 
70%
RENDIMENTO 
80%
(kN) (kN) (força) (kN)
370 259 296
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𝑻 =
𝟐𝟔𝟓𝟎 ∗ η ∗ 𝑷
𝑽
Para rendimento = 70%
𝑇 =
2650 ∗ 0,7 ∗ 3.738,96
59,87
𝑇 = 115.847,20 N ou 115,84 kN ou 11.812,39 kgf
Para rendimento= 80%
𝑇 =
2650 ∗ 0,8 ∗ 3.738,96
59,87
𝑇 = 132.396,80 N ou 132,39 kN ou 13.500,02 kgf 36
Pela fórmula da AREMA, onde ET será em libra-força:
𝐸𝑇 =
300 ∗ 𝐻𝑃
𝑉
Para rendimento = 70% (HP = 3.738,96) = 2617,272 HP
𝐸𝑇 =
300∗2617,272
37,2
𝑬𝑻 =21.107,02 lbf ou 93,888 kN ou 9.573,09 kgf
Para rendimento = 80% (HP = 3.738,96) = 2.991,168 HP
𝐸𝑇 =
300∗2991,168
37,2
𝑬𝑻 = 24.122,32 lbf ou 107,30 kN ou 10.941,55 kgf
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RESISTÊNCIAS DE CURVA, RAMPA E DESLOCAMENTO.
Resistência ao deslocamento
DADOS:
Fórmula de Davis: 𝑹𝒖 = 𝟏, 𝟑 +
𝟐𝟗
𝒘
+ 𝒃 ∗ 𝑽 +
𝑪∗𝑨∗𝑽²
𝒘∗𝒏
Onde:
W = peso bruto total do vagão (t)
Ru = Resistência ao deslocamento, em lb/t referente ao peso do trem ou vagão;
w = Peso por eixo do vagão, (t) (peso bruto do vagão dividido pelo número de
eixos w = W/n) = 10 t;
V = Velocidade (mph) = 37,2 mph;
n = Número de eixos. (4 eixos);
b = Coeficiente experimental fundamentado no atrito da flange (atrito
roda/trilho). Geralmente se não há ensaios, adota-se 0,02
A = seção frontal do trem que causa o arrasto durante o movimento expresso
em ft². Valores médios de 80 a 90 ft²;
c= Coeficiente de arrasto. Na falta de resultados de ensaios de laboratório,
adotar o número c = 0,0005.
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RESISTÊNCIAS DE CURVA, RAMPA E DESLOCAMENTO.
Resistência ao deslocamento
𝑹𝒖 = 𝟏, 𝟑 +
𝟐𝟗
𝟏𝟎
+ 𝟎, 𝟎𝟐 ∗ 𝟑𝟕, 𝟐 +
𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟓 ∗ 𝟗𝟎 ∗ 𝟑𝟕, 𝟐²
𝟏𝟎 ∗ 𝟒
𝑹𝒖 = 𝟔, 𝟓𝟎 𝒍𝒃/𝒕
Fórmula de Davis: 𝑹𝒖 = 𝟏, 𝟑 +
𝟐𝟗
𝒘
+ 𝒃 ∗ 𝑽 +
𝑪∗𝑨∗𝑽²
𝒘∗𝒏
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Resistência à rampa
Fórmula: 𝑹𝒓 = 𝟐𝟎 𝒍𝒃 ∗ % (lb/t)
% = Máxima inclinação de rampa no trecho = 0%
𝑅𝑟 = 20 𝑙𝑏 ∗ 0%
𝑅𝑟 = 0
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Resistência à curva
Fórmula: 𝑹𝒄 = 𝟎, 𝟖 𝒍𝒃 ∗ 𝒈𝒓𝒂𝒖 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂 (lb/t)
Grau de curva = 𝐷 =
5730
𝑅
𝐷 =
5730
1598,20
= 3,58
𝑅𝑐 = 0,8 𝑙𝑏 ∗ 3,58
𝑅𝑐 = 2,864 lb/t
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PERDA TOTAL
Fórmula: 𝑹𝑻 = 𝑹𝒖 + 𝑹𝒓 + 𝑹𝒄 (lb/t)
𝑅𝑇 = 6,5 + 0 + 2,864
𝑅𝑇 = 9,364 𝑙𝑏/𝑡
Convertendo para N/t (1N = 0,2248 lb):
RT = 41,653 N/t
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Resistência total da composição considerando a 
locomotiva
Fórmula: RTtrem=Plocomotiva+Pvagão*N*RT
P locomotiva = 1235,64 kN ou 126 t (slide 26)
P vagão = 40 t ou 392,27 kN
N = número de vagões = 50
RT = 41,653 N/t (slide 36)
RTtrem=126+40*50*41,653
RTtrem=88.554,28 N = 88,554 kN
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NÚMERO DE LOCOMOTIVAS NECESSÁRIAS PARA 
ACIONAR A COMPOSIÇÃO
Fórmula: 𝑅𝑇𝑡𝑟𝑒𝑚 = 𝑃𝑙𝑜𝑐𝑜𝑚𝑜𝑡𝑖𝑣𝑎 + 𝑃𝑣𝑎𝑔ã𝑜 ∗ 𝑁 ∗ 𝑅𝑇
RTtrem = 88.554,28 N
ET locomotiva dado pelo fabricante = 370 kN
ET locomotiva 1ª. Fórmula 70% aprov. = 115.847,20 N ou 115,84 kN
ou 11.812,39 kgf
ET locomotiva 1ª. Fórmula 80% aprov. =132.396,80 N ou 132,39 kN
ou 13.500,02 kgf
ET locomotiva AREMA 70% aprov = 21.107,02 lbf ou 93,888 kN ou
9.573,09 kgf ou 93.888,00 N
ET locomotiva AREMA 80% aprov = 24.122,32 lbf ou 107,30 kN ou
10.941,55 kgf ou 107.300,00 N
Pelas fórmulas dadas e os Esforços Tratores obtidos, somente uma
locomotiva é necessária para puxar a composição inteira que tem
uma resistência total de 88.554,28 N
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Obrigada
rita.fortes@anhembimorumbi.edu.br
Eng.Civil e Eng. Ambiental e Sanitária