paralelepípedo, tetraedro, area do triangulo, área do paralelogramo, produto misto etc...

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Aula 8
Objetivo:
Produto Misto
O produto misto entre vetores consiste em um produto entre 3 vetores, utilizando ao mesmo tempo o produto escalar e o produto vetorial, obtendo como resultado um escalar.
Sendo   e 
= 
O resultado do produto misto é um NÚMERO REAL e não um vetor.
Geometricamente, o módulo do produto misto  é igual ao volume do paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores .
Proposição: Se  são coplanares.
O volume de um tetraedro é dado por VT = 
Posição relativas entre retas, eixos e planos coordenados
Exercícios
Determinar o valor de m para que o vetor =(1, 2, m) seja simultaneamente ortogonal aos vetores  = (2, -1, 0) e  = (1, -3, -1).
Calcular a área do paralelogramo definido pelos vetores  = (3, 1, 2) e = (4, -1, 0).
Calcular a área do triângulo de vértices
a) A (-1,0,2), B(-4, 1,1) e C(0,1,3) b) A (1,0,1), B(4,2,1) e C(1,2,0)
Verificar se são coplanares os pontos:
A (1,1,1), B(-2,-1,-3), C(0,2,-2) e D(-1,0,-2)
A (1,0,2), B(-1,0,3), C(2,4,1) e D(-1,-2, 2)
Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores ,  e  seja igual a 10.
Dados os pontos A (1,-2,3), B(2,-1,- 4), C(0,2,0) e D (-1,m,1), determinar o vetor de m para que seja de 20 unidades de volume o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores ,  e .
Calcular o volume do tetraedro ABCD, sendo dados:
a) A (1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) e D (4,2,7)
b) A (-1,3,2), B(0,1,-1), C(-2,0,1) e D (1,-2, 0).Para este, calcular também a medida da altura traçada do vértice A.
8)A reta  é ortogonal à reta determinada pelos pontos A (1, 0, m) e B (-2, 2m, 2m). Calcular o valor de m.
9) Calcular o valor de m para que sejam coplanares as seguintes retas:
e 
10) Dadas as retas ,  e , determinar:
a) o ponto de interseção de s e h; 
b) o ângulo entre r e s.
Respostas:
1) -5
2)
3) a) ; b) ;
4) a) Sim; b) Não
5) 6 ou - 4
6) 6 ou 2
7) a) 2; b) 4 e .
8) -2
9) 1 ou 
10)