Apostila de Probabilidade e Estatística

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Curso de Sistemas de 
Informação 
AAppoosstt ii ll aa ddee 
PPrroobbaabbii ll ii ddaaddee ee EEsstt aatt íísstt ii ccaa 
Prof. Braulino Mattos 
(Qualquer dúvida ou sugestão: bmreis2@yahoo.com.br ) 
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Capítulo 1 
Estatística: Conceitos Preliminares 
1.1 Introdução
 
A Estatística t rata dos métodos cient íf icos para coleta, organização, resumo, 
apresentação e análise de dados, visando também à tomada de decisões. 
Para isso, ela conta com técnicas poderosas para ext rair informações signif icat ivas a part ir de 
quant idades enormes de dados brutos, como fazer inferências sobre a natureza de uma população com base 
em observações feitas sobre uma amostra dela extraída. 
Percebe-se, conforme o exposto, que a Estatística é aplicável a qualquer ramo do conhecimento onde 
se manipulam dados experimentais. Assim, as Ciências Sociais, a Biologia, a Medicina, a Física, a Engenharia, 
as Ciências Administ rat ivas, etc., tendem, cada vez mais, a servir-se dos métodos estat íst icos como 
ferramenta de trabalho, daí a sua grande e crescente importância. 
Logo, pessoas que precisam tirar conclusões ou expor idéias sobre um grande número de dados devem 
estudar Estat íst ica. Por exemplo, uma empresa automobilíst ica deve saber predizer quantos automóveis 
serão vendidos num certo mês, ou ao longo de um período, para planej ar sua produção, seus estoques e sua 
estratégia de preços e marketing, isso será feito com base no histórico de vendas da empresa. 
Nessa apost ila encont ra-se um ferramental estat íst ico rico para organizar, resumir, apresentar e 
fazer algumas considerações sobre quant idades expressivas de dados que são encont radas em qualquer 
empresa. 
1.2 Estatística Descritiva X Estatística Indutiva
 
Estat íst ica Descrit iva:
 
É a parte da Estat íst ica que apenas descreve e analisa um conj unto de dados. 
Nela não são tiradas conclusões. 
 
Estat íst ica Indutiva:
 
Trata das inferências e conclusões. A part ir da análise de dados são t iradas 
conclusões. Também chamada de Inferência Estatística. 
Obs.:
 
O estudo de Probabilidade se torna importante no instante em que percebemos que, em geral, as 
decisões (inferências) são tomadas em ambiente de incerteza e, logo, existe sempre uma possibilidade 
(probabilidade) de erro. 
1.3 População e Amostra
 
Ao coletar dados sobre as característ icas de um conj unto nem sempre é possível considerar todos os 
elementos, ou seja, toda a população ou universo. Exemplos: 
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Os brinquedos produzidos por uma indústria; 
 
Os carros que passam por um determinado farol; 
 
As preferências da população sobre candidatos a uma determinada eleição; 
 
Entre outros. 
Considera-se, então, apenas uma pequena parte do todo, chamada amost ra. No caso da eleição, a 
população é formada por todos os cidadãos com direito a voto e a amost ra é formada pelos eleitores que 
serão entrevistados. 
Podemos resumir como: 
 
População: são todos os indivíduos ou objetos do grupo em que estamos interessados ; 
 
Amostra:
 
 é um subconjunto da população. 
Exemplo:
 
 Eleição para Presidente do Brasil 
População 120.000.000 de brasileiros (eleitores) 
Amostra 2.000 pessoas pesquisadas (escolhidas aleatoriamente) 
Exemplo:
 
Ao chegarmos a uma churrascaria, não precisamos comer todos os t ipos de saladas, de sobremesas 
e de carnes para conseguirmos chegar a conclusão de que a comida é de boa qualidade. Basta que sej a 
provado um t ipo de cada opção para concluirmos que estamos sendo bem servidos e que a comida está 
dentro dos padrões. 
Exemplo:
 
Em uma cidade, não precisamos analisar todas as pessoas para sabermos se nela existe uma 
epidemia. 
1.4 Variáveis Qualitativas e Quantitativas
 
Uma variável é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. 
Pode ser divida em duas categorias: 
Qualitativa 
Quando seus valores são expressos por atributos. 
Quantitativa 
Quando seus valores são expressos por números. 
 
Nominal: Não admite ordenação. 
( Ex.: Cor da pele ( branca, negra, morena), estado 
civil, profissão, etc. ) 
 
Ordinal: Admite algum tipo de ordenação. 
( Ex.: Classe social alta, média, baixa ) 
 
Discreta: Conta ou enumera elementos. 
( Ex.: quant idade de alunos numa sala de aula, 
quant idade de aviões num aeroporto, 
escolaridade, etc.) 
 
Contínua: Medições. 
( Ex.: A altura ou o peso de uma pessoa, 
quantidade de arroz estocado, salário, etc.) 
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1.5 Gráficos
 
Os gráficos permitem a representação da relação entre variáveis e podem facilitar a compreensão dos 
dados, se apresentados de forma clara e objetiva. Em Estatística são usados os gráficos de linha (curvas), de 
barra e de setores, entre outros. 
 
Gráfico de Linhas 
 
Gráfico de Barras ( Verticais ou Horizontais ) 
 
OBS.: Um gráfico com barras verticais é, geralmente, chamado de gráfico de colunas. 
 
Gráfico de Setores 
 
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1.6 Exemplos da Aplicação da Estatística
 
1.6.1 Na Informática
 
Aceitação de software/produto; 
 
Quantidade ou perfil (%) de pessoas que utilizam páginas da Internet; 
 
Pesquisas de opinião/cursos; 
 
Pesquisas de mercado; 
 
Informática como ferramenta da Estatística. 
o Obs.: Softwares estatísticos: Statgraphics, Minitab, R+, etc. 
1.6.2 Na Administração
 
Alguns exemplos da aplicação da estatística à Administração estão listados abaixo. 
1. Uma f irma se prepara para o lançamento de um novo produto e, para isso, precisa conhecer as 
preferências dos consumidores no mercado de interesse. Logo, ela deve fazer uma pesquisa de mercado, 
ent revistando certo número de residências escolhidas aleatoriamente, e usar os resultados obt idos para 
estimar qual é a preferência de toda a população. 
2. Um auditor deve verif icar os livros de uma f irma para se cert if icar de que os lançamentos ref letem 
efet ivamente a situação f inanceira da companhia. O auditor deve examinar quant idades enormes de 
documentos originais, como notas de venda, ordens de compra e requisições. Certamente, seria muito 
dif ícil realizar esse t rabalho todo. Ent retanto, o auditor pode verif icar uma amost ra de documentos 
originais, escolhidos aleatoriamente, e com base nessas observações tentar inferir sobre a totalidade dos 
documentos. 
3. Antes de lançar um novo remédio no mercado, é necessário fazer várias experiências para se cert if icar 
que o produto é seguro e ef icaz. O melhor modo de verif icar isso consiste em separar dois grupos tão 
semelhantes quanto possível. Para um deles é dado o remédio e para o out ro não. Verif ica-se então o 
resultado obt ido nos dois grupos e se analisa estat ist icamente se todas as diferenças observadas ent re os 
grupos foram provocadas pelo uso do medicamento. (Nota: O grupo para o qual é dado o remédio é comumente chamado 
de experimental, enquanto o outro é chamado grupo de controle.) 
4. Ao recebermos um grande número de mercadorias de um fornecedor, temos que nos cert if icar se essas 
satisfazem os requisitos de qualidade acordados. No entanto, é uma tarefa dif ícil verif icar todas as 
mercadorias e, sendo assim,costuma-se ut ilizar as técnicas estat íst icas para se averiguar uma pequena 
amostra das mercadorias e inferir sobre todo o lote. 
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5. Uma grande empresa automobilíst ica precisa analisar seu histórico de vendas dos últ imos anos para 
decidir quantos automóveis devem ser produzidos no próximo período e quantos funcionários devem 
permanecer no seu quadro. 
6. O gerente de uma grande rede de supermercados planej a fazer uma mega promoção para o mês de 
aniversário. Para isso, pediu a seu funcionário que coletasse os dados referentes a demanda de diversos 
produtos de várias marcas e indicasse quais deveriam ser colocadas em promoção. Esse funcionário então 
teve que reunir dados de vários anos, organizá-los em categorias de produtos, resumir as informações de 
interesse e apresentar de forma clara e sucinta ao gerente. (Certamente, esse funcionário apresentou os dados ao 
gerente em forma de gráficos e/ou tabelas.) 
Exercícios Propostos 
1) Coloque um D nas variáveis discretas e um C nas contínuas. 
( ) Nº de livros da biblioteca da Universidade Estácio de Sá. 
( ) Altura dos alunos do 1º período do curso de RH. 
( ) Velocidade de um carro. 
( ) Inflação anual no Brasil. 
( ) Peso dos estudantes. 
( ) Salário dos professores da Universidade Estácio de Sá. 
( ) Nº de filhos de uma família. 
( ) Nº de faltas na disciplina de Estatística. 
( ) Média dos alunos na disciplina de Estatística. 
2) Calcular: 
a) 3% de 420; 
b) 125% de 36; 
c) 0,4% de 200; 
d) 12,5 % de 1250; 
e) 19% de 4000; 
f) 100% de 200; 
3) Se 50% de uma mensalidade é R$ 75,00, qual é o valor da mensalidade? 
4) Se 75% de uma prestação é R$ 250,00, qual é o valor da prestação? 
5) Numa cidade, 45% da população são homens. Qual é a população dessa cidade, se nela residem 60500 
mulheres? 
 Exercícios de Aprendizagem 
1) Você seria capaz de encontrar, ou sugerir, uma aplicação da Estatística dentro de sua empresa? Qual? 
2) Você é capaz de determinar uma out ra aplicação para a Estatística? Não necessariamente na sua empresa, 
mas no mercado em geral. 
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1.7 Notação Somatório
 
Digamos que uma variável X tenha os seguintes 6 resultados possíveis: 33, 15, 29, 17, 20, 18. Então 
podemos indexar essa variável de modo que: 
 1 33X , 2 15X , 3 29X , 4 17X , 5 20X , 6 18X
 
Ou seja, para indicar um conjunto com 6 dados sobre a variável X foi usada a notação iX , onde iX
 
representa o i-ésimo deles. 
Ent retanto, se estamos interessados na soma 1 2 nX X X
 
, para uma variável X com n 
dados, então denotamos por: 1 2
1
n
i n
i
X X X X
 
NOTA:
 
Em geral, com a f inalidade de simplif icar essa notação e quando não houver possibilidade de dúvidas, 
usa-se a notação iX ou ainda X . 
Exemplos:
 
(1) Se F é uma variável com n dados, então 1 2 nF F F F . 
(2) Se F e X são duas variáveis com n dados, então 1 1 2 2 n nF X F X F X F X . 
(3) Se h é um número real, então 
 vezesn
h h h h n h . 
Exemplos:
 
 (1) Quanto vale 
4
2
1i
i ? Resp.: 
4
2 2 2 2 2
1
1 2 3 4 1 4 9 16 30 .
i
i
 
(2) Quanto vale 5
1
1
4i
i ? 
Resp.: 
5
1
1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 2 3 4 5 6 20 5
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4i
i
. 
1.8 Critérios de Arredondamento
 
Para realizar as aproximações de valores numéricos, utilizaremos a seguinte regra. 
Observe, no exemplo da reta numérica, a posição do valor 3,57. 
 
 | | | | 
 3,5 3,55 3,57 3,6 
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Ele se encont ra mais próximo do 3,6 que do 3,5. Assim, para representarmos este valor com apenas 
uma casa decimal, cometeremos um erro menor se o representarmos como 3,6, ao invés de 3,5. 
Podemos generalizar a regra da seguinte forma: 
 
1º) Observe em qual casa decimal você irá fazer a aproximação; 
Ex.:
 
Aproximar o valor 12,56789 na segunda casa decimal. 
1
 
2 ,
 
5
 
6
 
7
 
8
 
9
 
Parte Inteira
 
Parte Decimal
 
1ª CD
 
2ª CD
 
3ª CD
 
4ª CD
 
5ª CD
 
O algarismo da 2ª Casa Decimal é o 6. 
2º) Observe o algarismo que está na primeira casa a direita da casa que sofrerá a aproximação; 
1
 
2,
 
5
 
6
 
7
 
8
 
9
 
1ª CD
 
2ª CD
 
3ª CD
 
4ª CD
 
5ª CD
 
Se esse algarismo for maior ou igual que 5, ou sej a, 5, 6, 7, 8 ou 9, acrescente uma unidade no 
algarismo da casa que sofrerá a aproximação e abandone todas os algarismos das casas decimais que 
estiverem a sua direita. 
Caso ele seja menor que 5, ou seja, 0, 1, 2, 3 ou 4, mantenha inalterado o algarismo da casa que está 
sofrendo a aproximação e abandone as demais que estiverem a sua direita. 
Exemplos:
 
a) 12,56789 aproximado na 2ª casa decimal fica 12,57. 
b) 3,25679 aproximado na 2ª casa decimal fica 3,26. 
c) 4,56753 aproximado na 3ª casa decimal fica 4,568. 
d) 2,43567 aproximado na 1ª casa decimal fica 2,4. 
e) 1,18697 aproximado na 4ª casa decimal fica 1,1870. 
f) 3,99950 aproximado na 3ª casa decimal fica 4,000. 
Algarismo que sofrerá 
a aproximação 
Algarismo da primeira casa a 
direita da casa que sofrerá a 
aproximação
 
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Exercícios Propostos 
1) Arredonde os seguintes números: 
a. 24,6 para a unidade mais próxima. 
b. 242,5 para a unidade mais próxima. 
c. 5,438 para o centésimo mais próximo. 
d. 1,426 para o décimo mais próximo. 
e. 1,0482 para o milésimo mais próximo. 
f. 3,891 para o centésimo mais próximo. 
2) Use os critérios de arredondamento para aproximar os seguintes números na 3ª casa decimal. 
a) 4,3167 - 
a) 13.4579 - 
b) 21,8954 - 
c) 56,2365 - 
d) 2,01027 - 
e) 10,12045 - 
f) 19,9996 - 
g) 31,13554 – 
Anotações 
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Capítulo 2 
Distribuições de Freqüência 
2.1 Conceituação
 
Denomina-se série estat íst ica a organização de dados referentes a uma mesma ordem de 
classificação. As séries estatísticas são representadas, em geral, por meio de tabelas. 
O obj et ivo de uma série é fornecer o máximo de informação em um mínimo de espaço. Conforme o 
critério de agrupamento, as séries classificam-se em: Temporal, Geográf ica, Específ ica e Dist ribuição de 
Freqüências. 
Série Temporal (Cronológica, Evolutiva ou Histórica) 
 
 É a série estatística em que os dados são observados 
segundo a época de ocorrência. 
- Elemento variável : época. 
- Elementos fixos : local, fenômeno 
Ex.:
 
 Dia, mês, ano, século 
Matrícula na Escola X 
no Quadriênio 1970/73- RJ 
Anos Matrícula 
1970 107.000 
1971 109.500 
1972 110.000 
1973 118.300 
Fonte: Boletins Anuais. 
Série Geográfica (ou de Localização) 
 
É a série estat íst ica em que os dados são observados segundo a 
localidade de ocorrência. 
- Elemento variável : local. 
- Elementos fixos : época, fenômeno 
Ex.:
 
 Estado, Município 
Matrícula na EscolaX 
por Município - 1973- RJ 
Município Alunos 
Nilópolis 7.000 
São João de Meriti 45.000 
Nova Iguaçu 18.000 
Fonte: Boletins Semestrais 
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Série Específica É a série estatística em que os dados são agrupados segundo a modalidade da ocorrência. 
- Elemento variável : fenômeno. 
- Elementos fixos : época, local 
Ex.:
 
 Tipo sangüíneo, peso, altura, produto 
Distribuição da Matrícula 
por Série em 1973- RJ 
Séries Alunos 
1ª 45.000 
2ª 32.080 
3ª 23.200 
4ª 18.020 
Fonte: Boletins Semestrais. 
Distribuição de Freqüências 
 
É a série estat íst ica em que os dados são agrupados com suas respect ivas 
freqüências absolutas. 
Obs.: Freqüência é o número de “elementos” que pertencem a uma determinada classe. 
Por se t ratar do t ipo mais importante de série estat íst ica, estuda-se a dist ribuição de freqüências 
isoladamente. Nessa apostila, esse será o único tipo de série estatística estudado. 
2.2 Distribuição de Freqüências
 
É o t ipo de série estat íst ica mais importante para a Estat íst ica. Trata-se de uma tabela de valores 
numéricos onde os dados observados são agrupados de acordo com sua freqüência, ou sej a, número de vezes 
que o elemento aparece. 
Uma distribuição de freqüências pode ser: 
 
Distribuição de Freqüências sem intervalos de classes 
o Variável Discreta 
 
Contagem ( Ex.: Número de alunos numa sala de aula, número de carros que 
estão no estacionamento, idade, etc..) 
 
Distribuição de Freqüências com intervalos de classes 
o Variável Contínua Medição ( Ex.: Quantidade produzida de arroz, notas de aluno, idade, etc..) 
 Agrupamento de classes 
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2.2.1 Dados Brutos
 
É o conjunto de valores, ou conjunto de dados numéricos, observados sobre a variável. 
Esses dados são coletados da população de interesse e não apresentam nenhum tipo de tratamento. 
Exemplo: Idades de 20 alunos de uma turma de graduação da Universidade Estácio de Sá. 
X : 24, 23, 22, 28, 36, 21, 23, 33, 34, 24, 28, 45, 24, 34, 22, 23, 36, 33, 30, 33 
X é uma variável discreta que representa a idade dos alunos, note que: 
1 24X (1º valor observado para a variável) , 2 23X (2º valor observado para a variável) , ..., 
16 23X (16º valor observado para a variável), ..., 20 33X (20º valor observado para a variável) 
2.2.2 Rol
 
É o arranjo dos dados brutos em ordem crescente. (No Dicionário Aurélio temos que Rol = lista) 
Exemplo: Para os valores do exemplo anterior, temos: 
X : 21, 22, 22, 23, 23, 23, 24, 24, 24, 28, 28, 30, 33, 33, 33, 34, 34, 36, 36, 45 
2.2.3 Amplitude Total (ou Range)
 
É a diferença entre o maior e o menor valor observados. Nota-se por: R . 
Exemplo: Para os valores do exemplo anterior, temos: 45 21 24R R
 
OBS.:
 
A amplitude total most ra o tamanho do intervalo de dados. Para o exemplo acima, temos que a diferença ent re o 
aluno mais velho e o mais novo é de 24 anos. Logo, o conjunto de idades desta turma cobre um intervalo de 24 anos. 
2.2.4 Freqüência
 
A freqüência, ou f reqüência absolut a, denotada por iF , é o número de vezes que o elemento iX
 
aparece no conjunto de dados. 
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Exemplo: Ainda para o exemplo dos 20 alunos da Estácio, temos: 
i
 
iX
 
iF
 
1 21 1 
2 22 2 
3 23 3 
4 24 3 
5 28 2 
6 30 1 
7 33 3 
8 34 2 
9 36 2 
10 45 1 
 
20 
OBS.:
 
# iF n , onde n é o tamanho da amost ra. Nesse, tem-se 20 alunos da Estácio e, logo, o 
somatório das freqüências é 20. 
# Esse é um exemplo de uma distribuição de freqüências sem intervalos de classes, visto que os 
elementos são dados por valores e não por intervalos. 
Exemplo:
 
Como ficaria a dist ribuição de freqüências anterior se agrupássemos as idades em intervalos de 
comprimento 5. 
i
 
Intervalos 
iF
 
1 20 |-- 25 9 
2 25 |-- 30 2 
3 30 |-- 35 6 
4 35 |-- 40 2 
5 40 |--| 45 1 
 
20 
 
OBS.: Essa distribuição é uma distribuição de freqüências com intervalos de classes, visto que os elementos 
são agrupados em intervalos. 
Outras observações:
 
1º. Nas tabelas de dist ribuição de freqüências com intervalos de classe sempre usa-se os intervalos 
fechados a esquerda e aberto a direito em todas as classes, exceto a últ ima, quando é fechado em ambos 
os lados. 
2º. O comprimento dessa tabela é constante em todas as classes e pode ser determinado tomando a 
diferença entre os limites de um intervalo qualquer. (Ex.: 25 – 20 = 5 ; 30 – 25 = 5 ; ...; 45 – 40 = 5) 
i
 
denota a classe do elemento, onde na 1ª classe tem-se o menor 
valor observado, na 2ª tem-se o 2º menor valor, e assim por diante. 
iX
 
é o valor da variável para a classe i
 
iF
 
é a freqüência do elemento iX
 
O intervalo 25 |-- 30 compreende todos os valores entre 25 e 30, 
 
exceto 30. 
O intervalo 30 |-- 35 compreende todos os valores entre 30 e 35, 
exceto o 35. 
O intervalo 40 |--| 45 compreende todos os valores entre 40 e 45. 
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Essa dist ribuição tem a vantagem sobre a anterior de diminuir o tamanho da tabela e facilitar a 
visualização dos dados na apresentação. 
Ent retanto, uma vez apresentado somente essa tabela, não é possível ident if icar, por exemplo, se os 
6 alunos com idades entre 30 e 35 (exclusive) têm todos 30 anos, 34 anos ou algum caso intermediário. 
Em geral, ao estudar dist ribuições de freqüências com intervalos de classes é interessante 
estabelecer quais são os pont os médios das classes, pois esses serão seus representantes para qualquer t ipo 
de cálculo que seja desejado realizar com os valores da distribuição. 
Pontos médios das classes é a média aritmética dos extremos do intervalo. 
Exemplo: 
Para o intervalo 30 | -- 35 (3ª classe da dist ribuição anterior), o ponto médio será dado por: 
3
30 35 32,5
2
m . 
Para o intervalo 35 | -- 40 (4ª classe da dist ribuição anterior), o ponto médio será dado por: 
4
35 40 37,5
2
m . 
2.2.5 Freqüência Acumulada
 
A freqüência acumulada, ou f reqüência absolut a acumulada, denotada por acF , é a soma das 
freqüências das classes inferiores ou iguais a classe considerada. 
Exemplo: 
i
 
Intervalos 
iF
 
acF
 
1 20 |-- 25 9 9 
2 25 |-- 30 2 11 
3 30 |-- 35 6 17 
4 35 |-- 40 2 19 
5 40 |--| 45 1 20 
 
20 
 
OBS.:
 
Também pode se achar a freqüência acumulada no caso da dist ribuição de freqüência sem intervalos 
de classe. 
Observe que 11 = 9 +2, 17 = 11+ 6, 19 = 17 + 2, 
 
20 = 19 +1. 
O primeiro valor dessa coluna é igual ao da 
freqüência. 
Não se deve somar os valores desta coluna, pois 
essa soma não tem sentido estatístico. 
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2.2.6 Freqüência Relativa
 
A freqüência relat iva de uma classe, denotada por RiF , é dada por iRi
FF
n
. Ou sej a, é a 
porcentagem ( % ) da freqüência da classe sobre todo o conjunto. 
Exemplo: 
i
 
Intervalos 
iF
 
acF
 
RiF
 
1 20 |-- 25 9 9 9 20 0, 45 45%
 
2 25 |-- 30 2 11 2 20 0,10 10%3 30 |-- 35 6 17 6 20 0,30 30%
 
4 35 |-- 40 2 19 2 20 0,10 10%
 
5 40 |--| 45 1 20 1 20 0,05 5%
 
20 100% 
2.2.7 Freqüência Relativa Acumulada
 
A freqüência relat iva acumulada, denotada por RacF , é a soma das freqüências relat ivas das classes 
inferiores ou iguais a classe considerada. 
Exemplo: 
i
 
Intervalos 
iF
 
acF
 
RiF
 
RacF
 
1 20 |-- 25 9 9 9 20 0, 45 45%
 
45% 
2 25 |-- 30 2 11 2 20 0,10 10%
 
55% 
3 30 |-- 35 6 17 6 20 0,30 30%
 
85% 
4 35 |-- 40 2 19 2 20 0,10 10%
 
95% 
5 40 |--| 45 1 20 1 20 0,05 5%
 
100% 
 
20 
Exercícios Resolvidos 
1) Considere as seguintes médias de 40 alunos de uma turma de Estatística. 
1 8 4 9 6,5
 
6 9 10 2 3 8,5
 
4 9 6 5 5,5
 
6,5
 
9 8 7 
4,5
 
6 6,5
 
7,5
 
5 6 5,5
 
8 9 8 6 7 8 9 10 3 2,5
 
1,5
 
4 7 
a) Determine o rol dessas médias. 
b) Determine a amplitude total das médias. 
c) Construa uma distribuição de freqüência sem intervalos de classes. 
d) Construa uma distribuição de freqüências com intervalos de classes de comprimento 2. 
e) Para a tabela do item d), determine qual é o limite inferior da 3ª classe e o limite superior da 4ª classe. 
f) Determine os pontos médios das classes da tabela do item d). 
g) Determine as freqüências acumulada, relativa e relativa acumulada para a tabela do item d). 
Todas as três representações estão 
corretas para a freqüência relativa: 
fração, número decimal ou porcentagem. 
Nesse curso, procuraremos escrever em %. 
A soma das RiF deve ser 100% . 
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Página 16 
Respostas:
 
a) Rol 
1 1,5
 
2 2,5
 
3 3 4 4 4 4,5
 
5 5 5,5
 
5,5
 
6 6 6 6 6 6,5
 
6,5
 
6,5
 
7 7 7 7,5
 
8 8 8 8 8 8,5
 
9 9 9 9 9 9 10 10 
 
b) 10 1 9R R
 
c) 
iX
 
iF
 
1 1 
 
1,5 1 
 
2 1 
 
2,5 1 
 
3 2 
 
4 3 
 
4,5 1 
 
5 2 
 
5,5 2 
 
6 5 
 
6,5 3 
 
7 3 
 
7,5 1 
 
8 5 
 
8,5 1 
 
9 6 
 
10 2 
 
40 
 
d) i
 
Intervalos 
iF
 
1 0 |-- 2 2 
 
2 2 |-- 4 4 
 
3 4 |-- 6 8 
 
4 6 |-- 8 12 
 
5 8 |--| 10 14 
 
40 
 
 e) O limite inferior da 3ª classe é 4 e o limite superior da 4ª classe é 8. 
f, g) i
 
Intervalos 
iF
 
im
 
acF
 
RiF
 
RacF
 
1 0 |-- 2 2 1 2 2 40 0,05 5%
 
5% 
 
2 2 |-- 4 4 3 6 4 40 0,10 10%
 
15% 
 
3 4 |-- 6 8 5 14 8 40 0, 20 20%
 
35% 
 
4 6 |-- 8 12 7 26 12 40 0,30 30%
 
65% 
 
5 8 |--| 10 14 9 40 14 40 0,35 35%
 
100% 
 
40 100% 
 
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Página 17 
2) Const rua uma dist ribuição de freqüências com intervalos de classe de comprimento 5 para os dados 
abaixo e responda as perguntas. 
“Os dados abaixo, representam a taxa de glicose de, em miligramas de por 100 ml de sangue, uma amostra 
de 42 ratos machos da raça Wistar, com 20 dias de idade” 
80 85 87 89 91 94 97 
80,5 85,5 87,5 89 91 94 97,5 
83,5 86 88 89,5 91,5 94,5 98,5 
84 86 88 89,5 92 95 99 
84,5 87 88,5 90 92,5 95,5 100,5
 
85 87 88,5 90,5 93 96,5 103,5
 
Fonte: Guimarães et al (Março de 1999) 
a) Qual é o intervalo de classe com maior freqüência? 
b) Qual é freqüência relativa da 4ª classe? 
c) Qual é o número de ratos que possuem taxas de glicose inferiores a 100mg? 
d) Qual é o número de ratos que possuem taxas de glicose superiores ou iguais a 90mg? 
e) Até que classe estão incluídos os 60% dos ratos com as menores taxas de glicose? 
Resposta:
 
a) i
 
Intervalos 
iF
 
acF
 
RiF
 
RacF
 
1 80 |-- 85 5 5 5 42 0,119 11,9%
 
11,9% 
 
2 85 |-- 90 17 22 17 42 0, 405 40,5%
 
52,4% 
 
3 90 |-- 95 11 33 11 42 0, 262 26, 2%
 
78,6% 
 
4 95 |-- 100 7 40 7 42 0,167 16,7%
 
95,3% 
 
5 100 |--| 105 2 42 2 42 0,048 4,8%
 
100% 
 
42 100% 
O intervalo de maior f reqüência é 85 | -- 90. Ou sej a, aquele que compreende os ratos com taxas de glicose 
entre 85mg e 90mg, excluindo o 90. 
b) Como a freqüência absoluta da 4ª classe é 7 e temos no total 42 ratos, então a freqüência relativa é: 
7 42 0,167 16,7% , conforme mostra a tabela acima. 
c) Se queremos ratos com taxas de glicose inferiores a 100mg, então esses ratos devem pertencer a 1ª, 2ª, 3ª ou 4ª 
classes. Logo, se olharmos a freqüência acumulada da 4ª classe, teremos a resposta. Assim, existem 40 ratos com taxas 
inferiores a 100. 
d) Se queremos ratos com taxas de glicose superiores ou iguais a 90mg, então veremos quantos tem taxa inferior a 90mg 
e subt rairemos do total de ratos. Logo, como a freqüência acumulada na 2ª classe é 22, então temos que o número de 
ratos com taxa superior ou igual a 90mg é 42 – 22 = 20, ou seja, 20 ratos. 
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Página 18 
e) Se observarmos na freqüência relat iva acumulada das classes, veremos que até a 2ª classe temos 52,4% dos ratos e até 
a 3ª classe temos 78,6% dos ratos. Assim, 60% dos ratos ult rapassam a 2ª classe, mas não a 3ª. Portanto, a resposta é que 
os 60% dos ratos com as menores taxas de glicose se encontram até a 3ª classe. 
Exercícios Propostos 
1) Contou-se o número de erros de impressão da primeira página de um jornal durante 50 dias, obtendo-se os 
resultados abaixo: 
5 8 10 12 14 
5 8 10 12 14 
6 8 10 12 14 
6 8 10 12 14 
6 8 11 12 14 
7 8 11 12 15 
7 8 11 12 15 
7 9 11 13 16 
7 9 12 14 19 
7 10 12 14 22 
Determine. 
a) A distribuição de freqüências sem intervalos de classe; 
b) A distribuição de freqüências com intervalos de classe de comprimento 5. 
2) Os dados abaixo representam as idades de 24 pessoas atendidas no setor de Ortopedia do Hospital N. Sra. 
da Penha – Janeiro/ 2000. Const rua uma dist ribuição de freqüência sem intervalos de classe para os seguintes 
dados e responda as perguntas. 
14 12 11 13 14 13 12 14 16 13 15 11 
12 14 13 14 11 12 15 13 16 17 14 14 
a) Qual é idade com maior freqüência no setor de Ortopedia? 
b) Qual é a amplitude total dos dados? 
3) Sejam as alturas (em centímetros) de 25 alunos de uma determinada classe. 
 150 
 
 159 
 
 157 
 
 151 
 
 152 
 156 153
 
 163 159
 
 175 
 162 162
 
 164 158
 
 159 
 164 168
 
 166 160
 
 162 
 170 169
 
 174 165
 
 167 
a) Disponha esses dados em ordem crescente e calcule a amplitude total. 
b) Ache a distribuição de freqüência com intervalos de classe de comprimento 5. 
c) Determine a freqüência acumulada, relativa e relativa acumulada. 
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Página 19 
4) Usando os dados da tabela abaixo, construa a distribuição de freqüências das variáveis: 
a) Estado civil; 
b) Região de procedência; 
c) Número de filhos dos empregados casados; 
d) Idade. 
Informações sobre o Estado Civil, Grau de instrução, Número de filhos, Salário (expresso como fração 
do salário mínimo), Idade (medida em anos e meses) e Região de procedência de 36 empregados da seção de 
orçamento da companhia MB. 
Estado Grau de Nº de Salário Idade Região de No. Civil Instrução Filhos (x sal. Min.) Anos Meses Procedência1 solteiro fundamental 
 
4,00 26 03 interior 
2 casado fundamental 1 4,56 32 10 capital 
3 casado fundamental 2 5,25 36 05 capital 
4 solteiro médio 
 
5,73 20 10 outra 
5 solteiro fundamental 
 
6,26 40 07 outra 
6 casado fundamental 0 6,66 28 00 interior 
7 solteiro fundamental 
 
6,86 41 00 interior 
8 solteiro fundamental 
 
7,39 43 04 capital 
9 casado médio 1 7,59 34 10 capital 
10 solteiro médio 
 
7,44 23 06 outra 
11 casado médio 2 8,12 33 06 interior 
12 solteiro fundamental 
 
8,46 27 11 capital 
13 solteiro médio 
 
8,74 37 05 outra 
14 casado fundamental 3 8,95 44 02 outra 
15 casado médio 0 9,13 30 05 interior 
16 solteiro médio 
 
9,35 38 08 outra 
17 casado médio 1 9,77 31 07 capital 
18 casado fundamental 2 9,80 39 07 outra 
19 solteiro superior 
 
10,53 25 08 interior 
20 solteiro médio 
 
10,76 37 04 interior 
21 casado médio 1 11,06 30 09 outra 
22 solteiro médio 
 
11,59 34 02 capital 
23 solteiro fundamental 
 
12,00 41 00 outra 
24 casado superior 0 12,79 26 01 outra 
25 casado médio 2 13,23 32 05 interior 
26 casado médio 2 13,60 35 00 outra 
27 solteiro fundamental 
 
13,85 46 07 outra 
28 casado médio 0 14,69 29 08 interior 
29 casado médio 5 14,71 40 06 interior 
30 casado médio 2 15,99 35 10 capital 
31 solteiro superior 
 
16,22 31 05 outra 
32 casado médio 1 16,61 36 04 interior 
33 casado superior 3 17,26 43 07 capital 
34 solteiro superior 
 
18,75 33 07 capital 
35 casado médio 2 19,40 48 11 capital 
36 casado superior 3 23,30 42 02 interior 
FONTE: Dados hipotéticos. 
5) A tabela abaixo most ra a idade e o sexo de 50 pessoas que arrumaram estágio num grande loj a de vendas 
de roupas. (Legenda: M = mulher e H = homem) 
Sexo M M M H M M H H H H M H M M M H H H M M M H M M M 
Idade
 
18 18 24 18 18 21 18 18 19 18 18 18 18 23 19 20 18 25 18 22 18 19 18 21 19 
 
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Página 20 
Sexo H H M H M M H M H M H M H H M M M H M H H M M M H 
Idade
 
18 19 22 18 18 19 19 18 18 20 21 19 22 19 18 20 20 21 18 18 19 20 23 24 20 
a) Construa uma distribuição de freqüências sem intervalos de classe da variável idade. 
b) Qual é a idade de maior freqüência entre os estagiários? 
c) Determine até que idade se encontra a metade dos estagiários. 
d) Quantos estagiários têm até 22 anos? 
e) Construa a distribuição de freqüências da variável sexo. 
f) Qual foi o sexo mais contratado como estagiário? Qual foi a freqüência relativa correspondente? 
6) A quant idade de pessoas que compraram certa marca de sabão no Supermercado Bom Preço num período 
de 32 dias está representada na tabela abaixo. 
 60 0 20
 
 65
 
 50
 
 35 40 70 
 80 
 
 70
 
 85
 
 60 
 
 45
 
 105
 
 65 60 
 20
 
 50
 
 55
 
 50 
 
 70
 
 15 50 50 
 40
 
 45
 
 40
 
 10 
 
 55
 
 35 95 45 
 
Determine: 
a) O rol e a amplitude total. 
b) A distribuição de freqüências (utiliza intervalos de comprimento 20). 
c) A porcentagem de dias que tiveram vendas inferiores a 40. 
d) A porcentagem de dias que tiveram vendas iguais ou superiores a 60. 
7) Dado um rol de 50 notas, agrupar os elementos em classes de comprimento 10. 
 33 
 
 35 
 
 35 
 
 39 
 
 41 41 
 
 42 
 
 45 
 
 47 
 
 48 
 50 52 53
 
 54 55 55 57 59 60
 
 60 
 61 64 65
 
 65 65 66 66 66 67
 
 68 
 69 71 73
 
 73 74 74 76 77 77
 
 78 
 80 81 84
 
 85 85 88 89 91 94
 
 97 
 
Além disso, responda: 
a) Qual é a amplitude total dessa distribuição? 
b) Qual é o limite inferior da 2ª classe e o limite superior da 6ª classe? 
c) Qual é o intervalo de classe de maior freqüência? Qual é o ponto médio desse intervalo? 
d) Qual é a freqüência relativa da 3ª classe? 
e) Determine quantos % das notas se encontram abaixo de 70. 
f) Determine quantos % das notas se encontram acima ou igual a 50. 
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Página 21 
Determine:
 
a) A amplitude total da distribuição. 
c) O limite superior da 5ª classe e o limite inferior da 2ª classe. 
d) O ponto médio da 6ª classe. 
e) A freqüência absoluta da 4ª classe. 
f) A freqüência relativa em porcentagem da classe com maior número 
de pacientes. 
g) A freqüência acumulada da 5ª classe. 
h) O número de pacientes cuja altura não atinge 180cm. 
i) O número de pacientes cuja altura atinge ou ultrapassa 174cm. 
j) A porcentagem de pacientes cuja altura não atinge 168cm. 
k) A porcentagem de pacientes cuja altura atinge ou ultrapassa 162cm, 
mas é inferior a 192cm. 
l) A classe do 52º paciente. 
8) Os pesos de 40 alunos estão relacionados a seguir. 
 69 57 72
 
 54 93 68 72 58 64
 
 62 
 65 
 
 76 60
 
 49 
 
 74 59 66 83 70
 
 45 
 60 81 71
 
 67 
 
 63 64 53 73 81
 
 50 
 67 68 53
 
 75 
 
 65 58 80 60 63
 
 53 
 
a) A distribuição de freqüências (utiliza intervalos de comprimento 10). 
b) A porcentagem de alunos com pesos inferiores a 80. 
c) A porcentagem de alunos com pesos iguais ou superiores a 80. 
9) Uma emissora de televisão, desconfiada dos dados do Ibope, resolveu instalar um aparelho em 50.000 
aparelhos de televisão espalhados por todo o território brasileiro para ident if icar a preferência dos 
telespectadores e o tempo que cada televisor f ica ligado por dia. Os dados obt idos sobre o número de horas 
que esses televisores ficam ligados foram os seguintes: (Escala adotada 1 para 1.000) 
Número de Horas Ligado Freqüência 
0 |-- 6 16 
 6 |-- 12 18 
12 |-- 18 12 
 18 |--| 24 4 
TOTAL 50 
 
10) A tabela abaixo apresenta a estatura de 80 pacientes da Clínica de Fisioterapia São José (SP) – 1997. 
Estatura (cm)
 
iF
 
150 |-- 156 7 
156 |-- 162 18 
162 |-- 168 22 
168 |-- 174 15 
174 |-- 180 10 
180 |-- 186 5 
186 |-- 192 2 
192 |--| 198 1 
 
80 
Fonte : Clínica São José 
a)
 
Qual é o intervalo de maior freqüência?
 
b) Qual é a freqüência relativa de cada um 
desses intervalos? 
c) Determine quantos aparelhos ficam 
ligados durante 6 horas ou mais. 
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Página 22 
Capítulo 3 
Medidas de Tendência Central 
Dent re as medidas de uma dist ribuição, a média arit mét ica, a mediana e a moda ocupam lugar de 
destaque e têm a característica comum de ocuparem posições centrais numa distribuição. 
De fato, um conj unto de dados é comumente representado pelos seus valores médios, visto que os 
dados observados tendem, em geral, a se agrupar ao redor dos valores centrais. 
OBS.: 
 
1) A média aritmét ica é, de modo geral, a mais importante e mais comum de todas as mensurações 
numéricas descritivas. 
2) Estas medidas podem ser calculadas, tanto para dados não agrupados em classes (conj unto de 
valores), quanto para dados grupados em classes (dist ribuições de freqüência com e sem intervalos 
de classes). 
3. 1 Média
 
A média arit mét ica, ou simplesmente média, do conj unto de valores de uma variável X
 
é 
representada por x (lê-se x barra) e é definida como: 
x
x
n
 , onde n é o tamanho da amostra. 
Exemplo: A média aritmética dos valores 9, 8, 3, 4 e 6 é: 
9 8 3 4 6 30 6
5 5
x
. 
3. 2 Moda
 
A moda de um conj unto de valoresde uma variável X
 
é definida como o valor de maior freqüência. 
Em geral, representa-se a moda por Mo. 
Exemplo: O conjunto 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 13 tem moda 9. 
Exemplo:
 
O conjunto 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9 tem duas modas 4 e 7. 
Exemplo:
 
O conjunto 3, 5, 8, 10, 12, 15, 17 não tem moda, visto que não existe elemento(s) que apareça(m) 
mais que os outros. 
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Página 23 
OBS.: 1) Uma distribuição que tem apenas uma moda é denominada unimodal. 
2) Se uma distribuição tiver duas (três) modas, então será chamado de bimodal (trimodal). 
3) Uma distribuição que não tem moda é denominada amodal. 
3. 3 Mediana
 
A mediana de um conj unto de valores de uma variável X , organizados em ordem crescente (rol), é 
definida como o valor central ou a média dos valores centrais. Em geral, representa-se a mediana por Md. 
Exemplo:
 
A mediana para o conj unto de valores 2, 3, 4, 5, 7, 8 e 10 é Md = 5, pois temos t rês valores 
menores que 5 e três maiores que 5. 
Exemplo:
 
A mediana para o conj unto de valores 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 é Md = 5,5 , ou sej a, a média 
aritmética dos dois valores centrais (5 e 6). Ou seja, 5 6 5,5
2
. 
 OBS.:
 
1) Se o número de elementos é ímpar, existe um único valor intermediário, que é a mediana 
2) Se o número de elementos é par, existem dois valores intermediários. Neste caso, convencionou-se 
calcular a média aritmética dos dois valores centrais para a determinação da mediana. 
3) Só devemos aplicar o que foi dito acima para a posição da mediana, seja o número de elementos par 
ou ímpar, no caso de séries const ituídas por conj unto de valores, o mesmo não acontecendo para o caso 
de dados agrupados em classes, conforme veremos adiante. 
3. 4 Comparações entre a Média, Mediana e Moda
 
A média é inf luenciada por cada valor do conj unto, inclusive os ext remos. Já a mediana é 
relativamente insensível aos valores extremos. 
 
 
 
 Mediana Média 
A ordenação dos dados para a determinação da mediana, por vezes, pode ser difícil. 
A moda, comparada à média e a mediana, é a medida menos út il por não ter nenhum t ratamento 
matemático, mas, do ponto de vista descrit ivo, a moda indica o valor "t ípico" em termos de maior 
ocorrência. A ut ilidade da moda acontece quando um valor ou um grupo de valores ocorrem com uma 
freqüência muito maior que os demais. Quando todos, ou quase, todos os valores ocorrem aproximadamente 
com a mesma freqüência, a moda nada acrescenta em termos de descrição dos dados. 
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Página 24 
Exercícios Propostos 
1) Um j ogador de futebol, em 10 oportunidades, conseguiu cont rolar a bola com os pés sem derrubá-la os 
seguintes números de vezes: 23, 43, 16, 26, 49, 16, 58, 68, 71 e 114. Determine: 
a) A amplitude de rol. b) A média aritmética. 
c) A mediana. d) A moda. 
2) De acordo com o período abaixo: 
a. Calcule a produção média e a venda média do período abaixo. 
b. Qual foi a venda mediana do período? 
c. Quais foram os anos em que o número de automóveis vendidos foi superior a produção? 
Produção e Vendas da Indústria Automobilística 
no Brasil, 1976/82 
PERÍODO PRODUÇÃO VENDAS 
1976 
1977 
1978 
1979 
1980 
1981 
1982 
985.469 
919.239 
1.068.194 
1.127.966 
1.165.206 
780.852 
859.254 
974.594 
908.664 
1.067.343 
1.121.245 
1.118.610 
800.777 
861.207 
 
3) Um levantamento feito em determinada empresa revelou que os salários de 4 horistas eram 
respectivamente: 151,00 u.m; 160,00 u.m; 146,00 u.m.; 153,00 u.m. Pede-se: 
a) O salário médio hora. b) O salário mediano hora. 
4) Num torneiro de basquete, uma equipe marcou 104 pontos, 96 pontos, 117 pontos e 103 pontos nas 4 
partidas que disputou na 1ª fase. Qual é a média de pontos que essa equipe marcou nessa fase do torneio? 
5) Suponha que um aluno tenha obt ido notas 3,5; 5 e 7 nos 1º, 2º e 3º bimest res, respect ivamente. Para 
aprovação, a escola exige média aritmét ica simples dos 4 bimest res igual a 6. Nestas condições, qual deve 
ser a nota mínima que o aluno deve alcançar no 4º bimestre para ser aprovado? 
6) Dados os conjuntos abaixo, calcule a média aritmética, a mediana e a moda. 
A = {3, 5, 2, 1, 4, 7, 9, 9} 
B = {6, 12, 15, 7, 10} 
C = {10,5; 11,8; 15,4; 16,5; 16,5; 11,8; 20; 13,6} 
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Página 25 
7*) Uma agência de automóveis, ao f inal da 1ª quinzena de um certo mês, fez o levantamento dos 
automóveis negociados e pôs os dados na tabela abaixo: 
Padrão do carro Valor (em R$) Quantidade negociada 
1 14.000,00 7 
2 17.000,00 10 
3 25.000,00 2 
4 42.000,00 1 
 
Em média, qual foi o preço de cada carro negociado? 
8*) Em uma corretora de valores foram negociados os seguintes títulos: 
Descrição Quantidade 
Títulos de R$ 4.000,00 2 
Títulos de R$ 10.000,00 8 
Títulos de R$ 20.000,00 18 
 
Qual foi o valor médio dos títulos negociados? 
9*) A tabela abaixo representa a dist ribuição das idades de 24 pessoas atendidas no setor de Ortopedia do 
Hospital N. Sra. da Penha – Janeiro/2000. Determine a média, a moda e a mediana dessas idades. 
X F 
11 3 
12 4 
13 5 
14 7 
15 2 
16 2 
17 1 
 
24 
 
10*) A seguir temos a dist ribuição de salários de uma empresa de reciclagem. Calcule a média, a moda e a 
mediana da distribuição desses salários. 
Salários (em R$) Freqüência 
300 |-- 350 13 
350 |-- 400 10 
400 |-- 450 8 
450 |-- 500 5 
500 |-- 550 3 
550 |--| 600 2 
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Página 26 
Exercícios Complementares 
1) Para cada série, determine a média, a moda e a mediana. 
a) 5, 7, 1, 6, 6, 8, 7, 7, 9, 2, 4, 7 b) 3, 2, 1, 1, 2, 3, 5, 2, 9, 8, 2, 7, 8, 2 
c) 0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 7, 7 d) 2, 5, 4, 6, 9, 9, 7, 8, 1, 9 , 9 
2) A média aritmét ica dos alunos da turma A, que tem 30 alunos, é 8 e a média aritmét ica dos alunos da 
turma B, que possui 20 alunos, é 6. Se j untarmos todos esses alunos em um única turma, qual será a média 
aritmética do grupo? 
3) São dados os conjuntos A (1; 2; 3; 4; 5) e B (202; 204; 206; 208; 210). É correto afirmar que: 
a) as médias aritméticas de A e B são iguais. 
b) a média aritmética de A é 201 unidades menor que a de B. 
c) o dobro da soma de 100 com a média aritmética de A, é igual à média aritmética de B. 
d) se somarmos 200 unidades à media aritmética de A, obteremos a média aritmética de B. 
e) a media aritmética de A é 202 vezes menor que a de B. 
4) Numa certa empresa t rabalham 4 analistas de mercado, 2 supervisores, 1 chefe de seção e 1 gerente, os 
quais ganham, respectivamente: 1300,00 u.m; 1600,00 u.m.; 2500,00.u.m, e 3250,00 u.m. 
Determine o valor do salário médio desses profissionais para o período considerado. 
5) Calcule a média da distribuição do número de acidentes por dia, observados em determinado cruzamento, 
durante 40 dias. 
Número de acidentes 
por dia 
Xi 
Número de 
dias 
Fi 
0 30 
1 5 
2 3 
3 1 
4 1 
 
6) Sej am as alturas (em cent ímet ros) de 25 alunos de uma determinada classe dist ribuídas como most ra a 
tabela abaixo.Determine a média, a moda e a mediana dessas alturas. 
X F 
150 2 
152 4 
156 6 
164 8 
169 3 
172 1 
175 1 
 
25 
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Página 27 
7) A distribuição dada apresenta os pares de calçados vendidos numa loja em um determinado dia, de acordo 
com o número usado de uma certa marca. Calcule a média aritmética, moda e mediana. 
Número usado Freqüência 
36 1 
37 2 
38 5 
39 9 
40 11 
41 8 
42 4 
43 1 
 
8) A dist ribuição de freqüência nos fornece, por faixa etária, a freqüência com que ocorre determinada 
doença, para um grupo de 100 pessoas estudadas, com idade entre 16 e 48 anos. Calcule a média, a moda e a 
mediana das idades desse grupo. 
Idades Freqüência 
16 |-- 20 9 
20 |-- 24 18 
24 |-- 28 26 
28 |-- 32 14 
32 |-- 36 10 
36 |-- 40 9 
40 |-- 44 8 
44 |--| 48 6 
 
9) A tabela abaixo representa a porcentagem de bactérias encont radas por cm em 100 amost ras de 
determinado produto. Calcule: 
a) A média; b) A moda; c) A mediana. 
% Fi 
 0 |- 0,1 02 
0,1 |- 0,2 05 
0,2 |- 0,3 10 
0,3 |- 0,4 15 
0,4 |- 0,5 18 
0,5 |- 0,6 20 
0,6 |- 0,7 15 
0,7 |- 0,8 10 
0,8 |- 0,9 05 
0,9 |-| 1,0 02 
 
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Página 28 
10) A tabela abaixo most ra a dist ribuição de freqüência de acidentes que ocorreram no últ imo ano numa 
rodovia do Estado do Rio de Janeiro para cada quant idade de pessoas feridas por acidente. Com base nessa 
tabela, determine: 
Número de Feridos 
 Xi 
Número de Acidentes 
 Fi 
0 |- 3 12 
3 |- 6 18 
6 |- 9 10 
 9 |- 12 6 
12 |-| 15 4 
Total 50 
 
Anotações 
MMeeddiiddaass ddee TTeennddêênncciiaa CCeennttrraall -- DDiissttrriibbuuiiççõõeess ddee FFrreeqqüüêênncciiaa
 
Moda :
 
pos
i i
ant pos
F
Mo L a
F F
 
Mediana :
 
AA
i i
Md
PMd F
Md L a
F , 
onde 
1 1
2
PMd n
 
a) o número médio,
 
o número modal
 
e
 
o número mediano de feridos em 
acidentes. 
b) a porcentagem de feridos em cada 
uma das classes. 
c) a quantidade de acidentes que 
tiveram menos de 9 feridos, utilizando 
a freqüência acumulada dos dados. 
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Página 29 
Capítulo 4 
Medidas de Dispersão 
Muitas vezes o cálculo das medidas de tendência cent ral não é suficiente para caracterizar uma 
distribuição ou um conjunto de dados. Vejamos o exemplo abaixo. 
Exemplo: Sejam quatro grupos de alunos e suas respectivas notas. 
Grupo 
 
Notas Média 
A 7 7 7 7 7 7 
B 5 6 7 8 9 7 
C 4 5 7 9 10 7 
D 0 5 10 10 10 7 
 
Observemos que a média não foi capaz de diferenciar o desempenho de cada grupo. 
Nesse capítulo estudaremos medidas que analisam o quanto os valores de uma dist ribuição ou de um 
conjunto de dados se dispersam da média. 
As medidas estat íst icas responsáveis pela variação ou dispersão dos valores de uma série são as 
chamadas medidas de dispersão, que nos most ram como se dist ribuem os dados em torno de um valor 
cent ral. As medidas de dispersão mais usadas são a amplit ude t ot al (j á estudada), o desvio médio, o desvio 
padrão, a variância e o coeficiente de variação. 
Diremos, em princípio, que ent re duas ou mais séries, a mais dispersa é aquela que tem a maior 
medida de dispersão. Quanto mais dispersa for a série, menos confiável é sua descrição at ravés das medidas 
de tendência central. 
4.1 Medidas de Dispersão (ou Medidas de Dispersão Absoluta)
 
4.1.1 Desvio Médio
 
O desvio médio mede o afastamento médio dos valores com relação a média do grupo, ignorando o 
sinal do afastamento. 
M
x x
d
n
 
NOTA: O módulo de um número é o número sem sinal. (Ex.: 2 2 , 3 3 , etc.) 
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Página 30 
Exemplo: Vamos calcular o desvio médio dos grupos A, B, C e D. 
Grupo A Grupo B Grupo C Grupo D 
X x x
 
X x x
 
X x x
 
X x x
 
7 |7 – 7| = 0 5 | 5 – 7| = 2 4 | 4 – 7| = 3 0 | 0 – 7| = 7 
7 |7 – 7| = 0 6 | 6 – 7| = 1 5 | 5 – 7| = 2 5 | 5 – 7| = 2 
7 |7 – 7| = 0 7 |7 – 7| = 0 7 |7 – 7| = 0 10 | 10 – 7| = 3 
7 |7 – 7| = 0 8 | 8 – 7| = 1 9 | 9 – 7| = 2 10 | 10 – 7| = 3 
7 |7 – 7| = 0 9 | 9 – 7| = 2 10 | 10 – 7| = 3 10 | 10 – 7| = 3 
 
0 
 
6 
 
10 
 
18 
 
0 0
5AM
d
 
6 1,2
5BM
d
 
10 2
5CM
d
 
18 3,6
5DM
d
 
Logo, conclui-se que D é mais disperso que C, C é mais disperso que B e B é mais disperso que A. 
4.1.2 Variância
 
A variância surge como uma medida de dispersão interessante por t rabalhar com a função elevar ao 
quadrado ao invés da função modular, a qual é mais difícil de lidar matematicamente. 
A fórmula para calcular a variância para um conjunto de valores é: 
2
x x
Var
n
 . 
Exemplo: Vamos calcular a variância dos grupos A, B, C e D. 
Grupo A 
 
Grupo B 
 
Grupo C 
 
Grupo D 
X x x
 
2
x x
 
X x x
 
2
x x
 
X x x
 
2
x x
 
X x x
 
2
x x
 
7 0 0 5 -2 4 4 -3 9 0 -7 49 
7 0 0 6 -1 1 5 -2 4 5 -2 4 
7 0 0 7 0 0 7 0 0 10 3 9 
7 0 0 8 1 1 9 2 4 10 3 9 
7 0 0 9 2 4 10 3 9 10 3 9 
 
0 
 
10 
 
26 
 
80 
 
0 0
5A
Var
 
10 2
5B
Var
 
26 5,2
5C
Var
 
80 16
5D
Var
 
Da mesma forma que no desvio médio, conclui-se que D é mais disperso que C, C é mais disperso que 
B e B é mais disperso que A. 
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Página 31 
As fórmulas da variância para uma distribuição de freqüência sem e com intervalos de classe são: 
Distribuição de Freqüência Sem Intervalos de Classe:
 
2F x x
Var
n
 . 
OBS.:
 
Execut a-se o mesmo procediment o ut i l izado ant eriorment e e mult ipl ica-se a úl t ima coluna pelas 
respectivas freqüências. Some a coluna obtida. 
Distribuição de Freqüência Com Intervalos de Classe:
 
2F m x
Var
n
 , onde m é o ponto médio. 
OBS.: Troca-se x
 
 por m no processo. 
Exemplo:
 
Vamos calcular agora a variância para o grupo D do exemplo anterior considerando a freqüência 
de seus valores. Como vimos a nota média desse grupo foi 7, ou seja, 7x . 
i
 
X F
 
x x
 
2
x x
 
2F x x
 
1 0 1 -7 49 49 
2 5 1 -2 4 4 
3 10 3 3 9 27 
 
5 80 
 
Exemplo:
 
Voltando ao exemplo dos 20 alunos de uma turma de graduação da Universidade Estácio de Sá. 
Vimos num capítulo anterior a média de suas idades é 28,5 anos, ou sej a, 28,5x . Qual é variância sobre 
essa média? 
i
 
Intervalos F
 
m
 
m x
 
2
m x
 
2F m x
 
1 20 |-- 25 9 22,5 -6 36 324 
2 25 |-- 30 2 27,5 -1 1 2 
3 30 |-- 35 6 32,5 4 16 96 
4 35 |-- 40 2 37,5 9 81 162 
5 40 |--| 45 1 42,5 14 196 196 
 
20 780 
 
Logo, a variância dos dados é: 
780 39
20
Var
 
. 
OBS.: O inconveniente de usar a variância é que essa medida é expressa numa unidade diferente dos dados. 
 
Logo, a variância das 
notas do grupo D é: 
80 16
5
Var . 
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Página 32 
4.1.3 Desvio Padrão
 
O desvio padrão é, sem dúvida, a medida de dispersão mais ut ilizada. Ele é calculado a part ir da 
variância e têm a vantagem de ser uma medida expressa na mesma unidade que os dados. 
Define-se o desvio padrão como: 
dp Var . 
OBS.: Interpretações interessantes podem ser feitas com base no desvio padrão: 
1º) O intervalo ,x dp x dp
 
contém aproximadamente 68% dos valores da série. 
2º) O intervalo 2 , 2x dp x dp
 
contém aproximadamente 95% dos valores da série. 
3º) O intervalo 3 , 3x dp x dp
 
contém aproximadamente 99% dos valores da série. 
Estes percentuais 68%, 95% e 99% que citamos na interpretação poderão mais tarde ser comprovados, 
com maior precisão. 
Assim, quando se afirma que uma série apresenta média 100x e desvio padrão 5dp , pode-se 
interpretar estes valores da seguinte forma: 
 
Os valores da série estão concentrados em torno de 100. 
 
O intervalo [ 95,105] contém, aproximadamente, 68% dos valores da série. 
 
O intervalo [ 90,110] contém, aproximadamente, 95% dos valores da série. 
 
O intervalo [ 85,115] contém, aproximadamente, 99% dos valores da série. 
Exercícios Propostos 
1) Calcular o desvio padrão dos seguintes dados de pesos em quilogramas, de dois grupos (A e B) de alunas, 
dizendo, ainda com base no cálculo, qual o grupo menos disperso. 
Grupo A: 43, 45, 52, 54, 56 Grupo B: 46, 53, 58, 60, 66 
2) Considere os seguintes dados referentes a números de dias exigidos para preencher pedidos de compra 
para Dawson Supply Inc , e J.C. Clark Distributors: 
Dias para entrega 
na Dawson Supply : 11 10 9 10 11 11 10 
Dias para entrega 
na Clark Distributors : 8 10 13 7 10 11 10 
Calcule o desvio-padrão das duas amost ras e use-os para determinar qual das duas empresas fornece 
tempos de entrega mais constantes e confiáveis. 
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Página 33 
Determine:
 
a) A média das notas dos alunos; 
b) A variância e o desvio padrão. 
3) Calcular o desvio médio e o desvio padrão dos números: 
a) 1, 3, 4, 4, 8. 
b) 12, 10, 20, 13, 15, 18. 
c) 2, 9, 5, 7, 7, 6, 10, 9. 
4) Dadas as distribuições a seguir, determine: a distribuição de freqüência sem intervalos de classe, o desvio 
médio, a variância e o desvio padrão. 
a) 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9,10. 
b) 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9,10,10,10. 
5) Calcule a média, a variância e o desvio padrão das distribuições a seguir. 
Xi Fi 
11 2 
14 3 
15 5 
18 8 
20 4 
22 3 
 
25 
 
Xi Fi 
2 4 
4 8 
5 15 
6 10 
8 6 
10 2 
 
45 
 
6) Numa determinada turma, o resultado obt ido em uma prova de Estatíst ica foi representado pela seguinte 
tabela: 
Xi Fi 
1 5 
2 7 
5 10 
8 15 
14 9 
16 4 
 
50 
Xi Fi 
0 8 
4 14 
7 20 
10 32 
12 17 
15 9 
 
100 
Notas
 
Número de 
Alunos 
0 |– 2 6 
2 |– 4 9 
4 |– 6 15 
6 |– 8 12 
 8 |–| 10 8 
Total 50 
b)
 
a)
 
d)
 
c)
 
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Página 34 
Determine:
 
a) A média; 
b) A variância; 
c) O desvio padrão; 
 
7) Dada a distribuição de freqüência: 
 
8) Numa determinada escola, foi medida a altura de cada um de seus alunos e se representou os resultados 
pela seguinte tabela: 
 
4.2 Medidas de Dispersão Relativa
 
4.2.1 Coeficiente de Variação
 
Estudamos até o momento medidas de dispersão absolutas cuj as unidades de medida, com exceção 
da variância, são as mesmas dos termos da série. 
Consideremos agora as distribuições de pesos e estaturas com as seguintes características: 
Distribuição de pesos: 57,7x kg e 7,5dp kg 
Distribuição de estaturas: 170x
 
cm e 7,1dp
 
cm 
Como não há muito sent ido compararmos grandezas de unidades diferentes, como, por exemplo, kg 
com cm, definimos o coeficiente de variação, que é uma medida de dispersão relativa. 
O coef icient e de variação ( CV
 
) mede percentualmente a relação ent re o desvio padrão e a média 
aritmética, sendo, pois, uma medida adimensional. 
100 dpCV
x
 
Para as distribuições de pesos e estaturas acima, temos: 
Altura (cm) F 
150 | – 158 5 
158 | – 166 18 
166 | – 174 42 
174 | – 182 27 
182 | -| 190 8 
 
100 
a) Calcular a média.
 
b) Determine a variância e o desvio padrão. 
 
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Página 35 
Distribuição de pesos: 7,5100 13,0%
57,7
CV CV
 
Distribuição de estaturas: 7,1100 4,2%
170
CV CV
 
Podemos perceber dessa forma que a distribuição da estatura é menos dispersa que a de pesos. 
OBS.:
 
Para classificarmos uma distribuição em relação à sua variabilidade, em geral, é utilizado o seguinte 
critério: 
 
Baixa dispersão: 15%CV
 
Média dispersão: 15% 30%CV
 
Alta dispersão: 30%CV
 
Exercícios Propostos 
1) Dados de peso de 140 universitários, separados por sexo, revelaram após tabulação e cálculos: 
 
Com base no coeficiente de variação dos dois grupos, qual o grupo que tem a maior variabilidade? 
2) Sucessivas medidas do diâmet ro de um mancal, efetuadas com um micrômet ro, acusaram média de 
2,49mm e desvio padrão de 0,012mm.; e várias medidas do comprimento de uma mola, não estendida, com 
out ro micrômet ro acusaram média de 0,75 polegadas, e desvio padrão de 0,0002 polegadas. Qual dos dois 
micrômetros é mais preciso? 
3) Os seguintes tempos foram regist rados pelos corredores de 400m e de 1600m de uma equipe de uma 
universidade(os tempos estão em minutos) 
Tempos de 400m: 0,92 0,98 1,04 0,90 0,99 
Tempos de 1.600m: 4,52 4,35 4,60 4,70 4,50 
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Página 36 
Depois de ver essas amost ras de tempos de corrida, um dos t reinadores comentou que os corredores 
de 400 met ros apresentaram tempos mais constantes. Use o desvio padrão e o coeficiente de variação para 
sintetizar a variabilidade dos dados. Suas estatísticas comprovam a afirmação do treinador? 
4) Os retornos anuais das ações da empresa X e empresa Y durante os últ imos cinco anos estão regist rados na 
tabela seguinte. Ut ilizando o coeficiente de variação, determine qual das duas empresas fornece retornos 
mais constantes e confiáveis. 
X Y 
12% 12% 
15% 16% 
12% 15% 
11% 9% 
14% 13% 
 
5) O Los Angeles Times regularmente publica o índice da qualidade do ar para várias áreas da Califórnia do 
Sul. Uma amost ra de valores do índice da qualidade do ar para Pomona forneceu os seguintes dados: 28, 42, 
58, 48, 45, 55, 60, 49 e 50. 
a) Calcule a variância e o desvio padrão; 
b) Uma amost ra de leituras do índice da qualidade do ar para Anaheim forneceu uma média de amost ra de 
48,5, uma variância de 136 e um desvio padrão de 11,66. Que comparações você pode fazer ent re a 
qualidade do ar em Pomona e em Anaheim com base nessas estatísticas? 
6) A tabela abaixo apresenta a distribuição do peso de um grupo de 440 pessoas. Determine: 
Intervalos Fi 
60 |-- 66 120 
66 |-- 72 180 
72 |-- 78 80 
78 |-- 84 40 
84 |--| 90 20 
 
440a)
 
A média;
 
b) A variância e o desvio padrão; 
c) O coeficiente de variação. 
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Página 37 
Capítulo 5 
Introdução à Probabilidade 
A história da teoria das probabilidades teve início com os j ogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o 
mot ivo da grande existência de exemplos de j ogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da 
probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um evento em um experimento aleatório. 
Para isso, antes disponibilizaremos alguns conceitos de Análise Combinatória que já foram vistos em 
Fundamentos de Matemát ica Discreta 1. Esses conceitos não serão revistos durante as aulas, mas a plena 
compreensão dos mesmos é fundamental para desenvolver algumas das atividades em sala. 
5.0 Revisão dos Conceitos de Análise Combinatória
 
5.0.1 Princípio Fundamental da Contagem (PFC)
 
O Princípio Fundamental da Contagem (PFC) diz que se um acontecimento pode ocorrer por várias etapas 
sucessivas e independentes, de tal modo que: 
 
1n é o número de possibilidades da 1ª etapa; 
 
2n é o número de possibilidades da 2ª etapa; 
 
kn é o número de possibilidades da kª etapa; 
então 1 2 kn n n n é o número total de possibilidades do acontecimento ocorrer. 
Exemplo: Um indivíduo possui 5 discos dos Beatles, 8 Rolling Stones e 4 Dire Straits. Ele foi convidado para ir 
a uma festa onde o anfit rião solicitou que ele tocasse um disco de cada uma dessas bandas, na ordem posta 
acima. Sendo assim, de quantos modos distintos ele poderá tocar todos os seus discos? 
5 8 4 160n n
 
Exemplo:
 
Para abrir um cofre elet rônico deve-se digitar uma seqüência formada por quat ro algarismos 
dist intos, sendo que o primeiro algarismo deve ser o t riplo do segundo. Uma pessoa que desconhece essa 
seqüência pretende abrir o cofre. Qual é o maior número possível de seqüências que ela pode ser obrigada a 
digitar? 
Se o 1º algarismo deve ser o t riplo do 2º, então se conclui que para o 2º algarismo tem-se 3 
possibilidades (os números 1, 2 ou 3) e para o 1º algarismo tem-se 1 possibilidade (3x o segundo). 
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O 3º algarismo tem 8 possibilidades (dos algarismo de 0 a 9 só não pode ser igual aos dois primeiros) e 
o 4º algarismo tem 7 possibilidades (dos algarismo de 0 a 9 só não pode ser igual aos três primeiros). 
Logo, temos que: 
1 3 8 7 168n n . 
5.0.2 Permutação Simples
 
Os problemas de permutação simples são aqueles onde se busca ordenar n objetos. 
O número de permutações simples de n objetos é dado por: 
1 2 3 2 1 !
n
P n n n n . 
Exemplo:
 
Quantos anagramas existem da palavra CASTELO? 
7
7
7! 7 6 5 4 3 2 1
5040
P
P
 
Exemplo:
 
Numa estante existem 3 livros de história, 4 de matemát ica e 2 de geografia. Se desej armos que 
os livros de uma mesma disciplina f iquem sempre j untos e na ordem em que aparecem acima, de quantas 
maneiras podemos arrumar a estante com estes nove livros? 
Número de maneiras 3! 4! 2!
6 24 2
288
 
5.0.3 Arranjo Simples
 
Os problemas de arranjos simples são aqueles onde se escolhe e ordena k objetos dentre n . 
O número de arranjos simples de n objetos escolhidos k a k
 
é dado por: 
!
,
!
nA n k
n k
 . 
Exemplo:
 
Uma emissora de TV dispõe, ao todo, de 20 programas dist intos. Quantas são as possíveis 
seqüências de quatro programas distintos a serem exibidos em um dia? 
20! 20 19 18 17 16!20, 4
16!
A
16!
20, 4 116.280A
 
Exemplo:
 
Num bingo, quat ro pedras são ret iradas sucessivamente e sem reposição de uma urna contendo 
exatamente 90 pedras, numeradas de 1 a 90. O número de seqüências dist intas possíveis para essas quat ro 
pedras tal que a segunda pedra tenha o número 40 é? 
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Se a pedra de número 40 tem que ser a segunda a ser ret irada, então existem 89 pedras a serem 
retiradas nas outras três posições. Note que só precisamos nos preocupar com essas posições. 
Logo, temos: 
89! 89 88 87 86!89,3
86!
A
86!
89,3 681.384A
 . 
5.0.4 Combinação Simples
 
Os problemas de combinações simples são aqueles onde se escolhe k
 
obj etos dent re n . A ordem não é 
importante! 
O número de combinações simples de n objetos escolhidos k a k é dado por: 
!
,
! !
nC n k
n k k
 . 
Exemplo:
 
Num grupo de 10 professores, 3 são professores de Matemát ica. Qual é o número de comissões de 
6 professores, dos quais pelo menos um é professor de Matemática? 
Note que nesse problema é necessário escolher 1, 2 ou 3 professores de Matemát ica e completar a 
comissão com professores que não sejam de Matemática. 
1 professor de Matemática 
3! 7!3,1 7 ,5 63
2! 1! 2! 5!
C C (Confira!) 
2 professores de Matemática 
3! 7!3, 2 7, 4 105
1! 2! 3! 4!
C C (Confira!) 
3 professores de Matemática 
3! 7!3,3 7 ,3 35
0! 3! 4! 3!
C C (Confira!) 
Exemplo:
 
Nove t imes de futebol vão ser divididos em t rês chaves, todas com o mesmo número de t imes, 
para a disputa da primeira fase de um torneio. Cada uma das chaves já tem um cabeça-de-chave definido. De 
quantas maneiras possíveis e diferentes podemos completar as chaves? 
escolher 2 times para escolher 2 times para escolher 2 times para 
a 1ª chave a 2ª chave a 3ª chave
6! 4! 2!6, 2 4, 2 2, 2
4! 2! 2! 2! 0! 2!
90
C C C
 
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5.1 Conceitos Básicos
 
Experimentos Aleatórios: São experimentos que, mesmo repetidos em condições iguais, apresentam 
resultados imprevisíveis. 
São exemplos de experimentos aleatórios: lançamento de um dado (ou de uma moeda) e anotar o 
resultado obtido, retirar uma carta de um baralho de 52 cartas e anotar o seu naipe, os números sorteados na 
Mega Sena, etc. 
Obs.:
 
Os experimentos determinísticos são aqueles em que o resultado são previsíveis. 
 
Espaço Amostral (S):
 
É o conj unto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório, 
também conhecido com conjunto universo. 
 
Eventos:
 
São subconj untos de um espaço amost ral. São os resultados de um experimento. Em geral, 
denota-se os eventos por letras maiúsculas do alfabeto. 
Exemplo: Considere o lançamento de um dado. 
Espaço amostral: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Evento A 
 
sair um número ímpar: A = { 1, 3, 5} 
Evento B 
 
sair um número maior que 4: B = { 5, 6} 
Exemplo: Considere o lançamento de duas moedas. 
Espaço amostral: S = { KK, KC, CK, CC} , onde K é cara e C é coroa 
Evento A sair faces iguas: A = { KK, CC} 
Evento B sair faces diferentes: B = { KC, CK} 
Exemplo:
 
Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amost ral, const ituído pelos 
12 elementos: S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, C1, C2, C3, C4, C5, C6}, onde K é cara e C é coroa. Observe os 
seguintes eventos: 
 
A = {cara e m número par aparece} = { K2, K4, K6} ; 
 
B = {um número primo aparece} = { K2, K3, K5, C2, C3, C5} ; 
 
C = {coroa e um número ímpar aparecem} = {C1, C3, C5}. 
5.2 Tipos de Eventos
 
5.2.1 Evento Certo X Evento Impossível
 
Evento certo: Evento que coincide com o espaço amostral ou evento quesempre ocorre. A = S. 
 
Evento impossível: Evento vazio ou evento que nunca ocorre. A = . 
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Exemplo:
 
 No lançamento de um dado, consideremos os eventos: 
A = {sair um natural não-nulo menor que 7}; 
B = {sair um número primo maior que 5}. 
 Note que o evento A é um evento certo e o evento B é um evento impossível. 
OBS:
 
Um event o element ar (ou simples) é um subconj unt o unit ário do espaço amost ral . Um event o que t em 
mais de um elemento é chamado de evento composto. 
5.2.2 Evento Complementar
 
O event o complement ar de um evento A, denotado por A , é formado por todos os resultados 
possíveis do espaço amostral que não fazem parte de A. 
A
 
 Note que: 
1. A A S ; 
2. A A . 
Exemplo: Considere o lançamento de um dado. 
Espaço amostral: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Evento A = { 1, 3, 5} sair um número ímpar 
Evento 
 
2, 4, 6A
 
 complementar de A (sair um número par) 
5.2.3 Eventos Mutuamente Exclusivos
 
Dois eventos A e B são mut uament e exclusivos quando não têm elementos em comum 
( A B ). Ou seja, a ocorrência de um evento implica na não ocorrência do outro. 
Exemplo: Considere o lançamento de um dado. 
Espaço amostral: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Evento A = { 1, 3, 5} sair um número ímpar 
Evento B = { 2, 4, 6} sair um número par 
Evento C = { 2 } sair um número par e primo 
Note que os eventos A e C não tem elementos em comum. Logo, A e C são eventos mutuamente 
exclusivos. 
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Exercícios Propostos 
1) Identifique entre os experimentos abaixo quais são aleatórios e quais são determiníst icos. 
a) Comprar uma dezenas de canetas, a 5 reais cada, e determinar o custo total. 
b) Lançar quatro dados e verificar se a soma dos valores é um múltiplo de 5. 
c) Contar os dias de chuva em determinado período. 
d) Jogar um dado três vezes e anotar quantos números pares ocorrem. 
e) Percorrer 300Km, a uma velocidade constante de 80Km/h, e medir o tempo gasto. 
f) Jogar duas moedas e anotar o par de resultados. 
2) Determine o espaço amostral dos experimentos abaixo. 
a) Lançar uma moeda quatro vezes e anotar a seqüência de faces observadas. 
b) Lançar dois dados e anotar o par de números resultantes. 
c) Lançar uma moeda e um dado e anotar o par obtido. 
d) Retirar três cartas de um baralho de 52 cartas. 
e) Sorteio da MegaSena. 
3) Quantos são os resultados possíveis da loteria esportiva? 
4) Considere o experimento “lançar um dado e observa o número da face de cima”. Explicite os eventos 
abaixo na forma de conjuntos. 
a) A : sair o número 5. 
b) B : sair um número menor que 5. 
c) C : sair um número maior que 8. 
d) D : sair um número par. 
e) E : sair um número primo. 
f) F : sair um número inteiro positivo menor que 7. 
5) Qual evento da questão 4 é o evento certo e qual é o evento impossível? 
6) Determine o evento complementar de cada evento da questão 4. 
7) Existem eventos mutuamente exclusivos entre os eventos da questão 4? Quais? 
5.3 Definição de Probabilidade
 
Se em um fenômeno aleatório o espaço amost ral S é equiprovável, então a probabilidade de ocorrer 
um evento A é: 
 número de casos favoráveis a A 
número de resultdos possíveis do experimento
n A
P A
n S
. 
NOTA:
 
Um espaço amost ral S é equiprovável se cada evento elementar tem a mesma probabilidade de 
ocorrer. 
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Exemplo:
 
No lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dent re 6 
igualmente prováveis. Portanto, P(A) = 3/6= 1/2 = 50% . 
5. 4 Propriedades Importantes:
 
1. A probabilidade de um evento é sempre um número ent re 0 (probabilidade de evento impossível) e 1 
(probabilidade do evento certo). 
0 1P A . 
2. A probabilidade da união de dois eventos A e B é dada por: P A B P A P B P A B . 
3. Se A e A são eventos complementares, então: 1P A P A . 
Exemplo:
 
Se ret irarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 
8 ou um rei de copas? Se que um j ogador t ivesse apostado R$10,00 que sairia nesse resultado, qual seria a 
probabilidade dele perder. 
Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os 
eventos: 
A: sair 8 e P(A) = 4 / 52. 
B: sair um rei de copas e P(B) = 1 / 52. 
Assim, P( A 
 
B) = 4 / 52 + 1 / 52 – 0 = 5 / 52. Note que P(A B) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e 
rei de copas ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos. 
Logo, a probabilidade do apostador perder é 1 – ( 5 / 52 ) = 47 / 52. 
Exercícios Propostos 
1) Determine a probabilidade de cada evento. 
a) Um número menor do que 4 aparecer no lançamento de um dado não-viciado. 
b) Uma carta múltipla de 2 (portanto numérica) aparece ao extrair-se uma carta de um baralho de 52 cartas. 
2) Responda. 
a) Quantas placas de automóvel podem ser feitas, se cada uma contém duas letras seguidas por 3 dígitos? 
b) Escolhendo-se uma placa ao caso, qual é a probabilidade dela ter as duas let ras iguais e os t rês dígitos 
iguais? 
c) Considerando a situação mencionada na questão 2, qual é a probabilidade de escolhermos, ao acaso, uma 
placa formada apenas por vogais e por números pares? 
3) Uma urna contém 50 bolinhas numeradas de 1 a 50. Sorteia-se uma bolinha ao acaso, qual é a 
probabilidade de que o número observado seja múltiplo de 8? 
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4) Numa urna são depositadas seis et iquetas numeradas de 1 a 6. Três et iquetas são sorteadas, sem 
reposição. Qual é a probabilidade de que os números sorteados sejam consecutivos? 
5) Um dado é lançado duas vezes. 
a) Qual é a probabilidade da soma dos resultados ser 10? 
b) Qual é a probabilidade do primeiro resultado ser maior do que o segundo? 
6) Uma urna contém 7 bolas vermelhas e 3 brancas. Três bolas são ret iradas, uma após out ra. Encont re a 
probabilidade das duas primeiras serem vermelhas e a terceira ser branca. 
7) Considere o seguinte experimento: “Uma moeda é lançada três vezes, sucessivamente”. 
a) Qual é a probabilidade de observarmos exatamente 1 cara? 
b) Qual é a probabilidade de observarmos pelo menos 1 cara? 
8.) Um lote é const ituído de 12 peças perfeitas e 5 defeituosas. Feita uma ret irada de 3 peças, qual é a 
probabilidade de serem 3 peças perfeitas e 2 defeituosas? 
9.) Uma estante tem 10 livros distintos, sendo 5 de Álgebra, 3 de Geometria e 2 de Trigonometria. 
a) De quantos modos podemos arrumar esses livros na estante, se desej amos que os livros de um mesmo 
assunto permaneçam juntos? 
b) Qual é a probabilidade de conseguirmos uma disposição desses livros conforme no item a) numa 
organização aleatória dos mesmos? 
10.) São sorteados na Sena seis números escolhidos entre os números de 1 a 50. 
a) Quantas são os resultados possíveis para o sorteio da Sena? 
b) Qual é probabilidade de um apostador ganhar fazendo um único jogo com 6 números marcados? 
c) Qual é a probabilidade de sair um resultado com 4 números pares e 2 números ímpares? 
11.) Tomam-se duas retas paralelas r
 
e s com 5 pontos marcados sobre a primeira