Matemática Elementar - Unidade II

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Matemática Elementar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática Elementar 
 
Gestão da Educação a Distância 
Cidade Universitária – Bloco C 
Avenida Alzira Barra Gazzola, 650, 
Bairro Aeroporto. Varginha /MG 
ead.unis.edu.br 
0800 283 5665 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Todos os direitos desta edição ficam 
reservados ao Unis – MG. 
É proibida a duplicação ou reprodução 
deste volume (ou parte do mesmo), sob 
qualquer meio, sem autorização expressa 
da instituição. 
 
 
 
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Matemática Elementar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Doutora em Educação (UNIMEP - Universidade Metodista de Piracicaba) e Mestre 
em Tecnologias da Informação e Comunicação na Formação em EaD (UFC - 
Universidade Federal do Ceará). Licenciada em Matemática, com habilitações em 
Física e Desenho Geométrico (Unis-MG -Centro Universitário do Sul de Minas). 
Especialista em Educação Matemática, em Redes de Computadores, também pelo 
Unis-MG, em Informática na Educação (UFLA - Universidade Federal de Lavras) e 
em Design Instrucional (Unifei - Universidade Federal de Itajubá). Atua como 
professora universitária e supervisora na Unidade de Gestão da Educação a Distância 
do Unis-MG. 
 
Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/5950462827823117 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autoria 
 
 
MOREIRA, Simone de Paula Teodoro. Guia de Estudo – 
Matemática Elementar. Varginha: GEaD-UNIS/MG, 2017. 
198 p. 
I. Conjuntos 2. Potenciação e Radiciação. 3. Equações e 
Inequações. 4. Funções. 
I. Título. 
 
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Título. 
 
 
Profa. Dra. 
Simone de Paula Teodoro Moreira 
 
 
 
 
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Matemática Elementar 
 
 
Caríssimo (a), 
 
Que bom estar você nessa disciplina! 
Matemática Elementar é uma disciplina que compõe a estrutura curricular de seu 
curso de graduação e entre seus objetivos está a proposta de conduzir o aluno a 
analisar e resolver situações-problemas práticos que envolvam conteúdos 
matemáticos, além de levá-lo a reconhecer a importância da Matemática nas diversas 
áreas de atuação. 
Em vários momentos somos questionados sobre a importância da Matemática e sua 
utilidade, principalmente no dia-a-dia ou na respectiva área de atuação. São comuns 
indagações como: Para que serve toda essa Matemática que estamos estudando? 
Qual a necessidade real de aprender tais fórmulas, regras e/ou expressões 
complicadas? Perguntas desse tipo nem sempre têm respostas diretas, fáceis ou 
breves. As razões mais frequentemente mencionadas para justificarmos o ensino da 
Matemática estão relacionadas à necessidade de realizarmos atividades práticas que 
envolvem aspectos quantitativos da realidade; dada a importância dessa disciplina 
auxiliar no desenvolvimento do raciocínio lógico e estar presente diretamente e 
indiretamente na vida das pessoas e no corre-corre do dia-a-dia. 
Sabemos que a Matemática é produto da cultura humana e faz parte do nosso 
cotidiano. Por isso, deve ser trabalhada de forma a ser aprendida por todos. É uma 
ciência exata, cuja produção envolve o pensar crítico e criativo. 
A Matemática é de fundamental importância para o desenvolvimento das teorias 
envolvendo os mais diversos cursos. O mundo moderno, cada vez mais, exige 
profissionais gabaritados e dinâmicos, independentemente da área de atuação, os 
Profissionais de agora necessitam de domínio de ferramentas e teorias da Matemática, 
que serão discutidas ao longo dessa disciplina, desde aspectos mais básicos como 
mais avançados. Além disso, sabemos que a Matemática caminha junto com a Física, 
com a área financeira, ou com métodos da Estatística, ou com linguagens de 
programação na área computacional, etc. 
Para condução da disciplina teremos com base o Guia de Estudos e material 
complementar, como os planos de estudos, vídeos-aulas e os livros da bibliográfica 
 
 
 
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Matemática Elementar 
 
 
básica e complementar. O acesso a todo esse material você fará através do ambiente 
virtual de aprendizagem (AVA). 
A disciplina é organizada em atividades e em orientações semanais que ajudarão você 
a se organizar nos estudos. É importante se organizar para não comprometer o seu 
rendimento e não atropelar as etapas. 
Sabendo das dificuldades enfrentadas por muitas pessoas em relação às exatas, 
busquei uma linguagem bastante simples como forma de propiciar um bom 
entendimento e estarei, junto da equipe de tutoria, sempre à disposição. 
A interação entre os colegas, tutores e professores será essencial! 
Abraço, 
Profª Simone de Paula Teodoro Moreira 
"Todo ponto de vista é a vista de um ponto. 
Ler significa reler e compreender, interpretar. 
Cada um lê com os olhos que tem. 
E interpreta a partir de onde os pés pisam". 
(Leonardo Boff, 1997, p. 9) 
 
 
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Matemática Elementar 
 
 
 
 
 
 
Conjuntos e conjuntos numéricos. Potências, Radicais, Polinômios e 
Fatoração. Equações e Inequações. Funções do Primeiro Grau. Funções 
do Segundo Grau. Função Modular. Função Exponencial. Função 
Logarítmica. 
 
 
 
 
 
 
 
Ver Plano de Estudos da disciplina, disponível no Ambiente Virtual. 
 
 
 
 
 
Conjuntos, Equações, Inequações, Funções. 
Ementa 
 
 
Orientações 
 
 
Palavras-chave 
 
 
 
 
 
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Matemática Elementar 
 
 
 
EMENTA ____________________________________________________________________ 6 
ORIENTAÇÕES ______________________________________________________________ 6 
PALAVRAS-CHAVE ___________________________________________________________ 6 
UNIDADE I – CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS ___________________________ 10 
1.1 INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS _______________________________________ 11 
1.1.1 CONCEITO FORMAL DE CONJUNTO ___________________________________________ 12 
1.1.2 CONJUNTOS E ELEMENTOS DE UM CONJUNTO: RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA _______________ 14 
1.1.3 REPRESENTAÇÕES MAIS COMUNS DE UM CONJUNTO _______________________________ 15 
1.1.3.1 DIAGRAMA DE VENN: UMA REPRESENTAÇÃO GRÁFICA ÚTIL _________________________ 16 
1.1.4 CONJUNTOS IMPORTANTES: UNIVERSO, VAZIO E UNITÁRIO __________________________ 18 
1.1.5 IGUALDADE DE CONJUNTOS _________________________________________________ 21 
1.1.6 SUBCONJUNTOS DE UM CONJUNTO ___________________________________________ 21 
1.1.7 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS ______________________________________________ 25 
1.1.7.1 UNIÃO DE CONJUNTOS __________________________________________________ 25 
1.1.7.1.1 PROPRIEDADES DA UNIÃO DE CONJUNTOS ___________________________________ 28 
1.1.7.2 INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS _____________________________________________ 29 
1.1.7.2.1 PROPRIEDADES DA INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS ______________________________ 32 
1.1.7.3 DIFERENÇA DE CONJUNTOS _______________________________________________ 32 
1.1.7.4 COMPLEMENTO DE UM CONJUNTO A ________________________________________ 36 
1.2 CONJUNTOS NUMÉRICOS ____________________________________________________ 37 
1.2.1 INTERVALOS: SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DOS NÚMEROS REAIS _____________________ 41 
ATIVIDADES _________________________________________________________________ 42 
GABARITO __________________________________________________________________ 52 
UNIDADE II – POTÊNCIA, RADICAIS E POLINÔMIOS ______________________________ 70 
2.1 RADICIAÇÃO E POTENCIAÇÃO ________________________________________________ 71 
2.1.1 PROPRIEDADE FUNDAMENTAIS E OPERATÓRIAS DAS POTÊNCIAS _______________________74 
2.1.2 PROPRIEDADE FUNDAMENTAIS E OPERATÓRIAS DOS RADICAIS ________________________ 76 
2.1.3 SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES COM RADICAIS ___________________________________ 78 
2.2 POLINÔMIOS E FATORAÇÃO __________________________________________________ 79 
2.2.1 OPERAÇÃO COM POLINÔMIOS _______________________________________________ 82 
2.3 PRODUTOS NOTÁVEIS ______________________________________________________ 83 
2.4 FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS USANDO PRODUTOS NOTÁVEIS _________________________ 85 
2.5 EXPRESSÕES FRACIONÁRIAS E EXPRESSÕES RACIONAIS _______________________________ 88 
ATIVIDADES _________________________________________________________________ 90 
 
 
 
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Matemática Elementar 
 
UNIDADE III – EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES ______________________________________ 93 
3.1 INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES _________________________________________________ 94 
3.1.1 EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU ______________________________________________ 94 
3.1.2 EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU _____________________________________________ 97 
3.1.3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES __________________________________________________ 101 
3.1.3.1 MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE UM SISTEMAS DE EQUAÇÕES ________________________ 105 
3.2 INEQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU _____________________________________________ 107 
3.2.2 INEQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU ___________________________________________ 110 
3.2.3 SISTEMA DE INEQUAÇÕES __________________________________________________ 114 
ATIVIDADES ________________________________________________________________ 116 
UNIDADE IV - FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAU ______________________________________ 123 
4.1 INTRODUÇÃO E APLICAÇÃO DAS FUNÇÕES ______________________________________ 124 
4.2 CONCEITOS PRELIMINARES DA TEORIA DE FUNÇÕES ________________________________ 126 
4.2.1 PAR ORDENADO ________________________________________________________ 126 
4.2.2 PRODUTO CARTESIANO___________________________________________________ 128 
4.2.3 RELAÇÃO DE A EM B _____________________________________________________ 129 
4.2.4 FUNÇÃO DE A EM B ______________________________________________________ 131 
4.2.4.1 OUTRAS FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES _____________________________ 134 
4.2.5 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO ________________________________________________ 134 
4.2.6 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E CONJUNTO IMAGEM DE UMA FUNÇÃO ________________ 136 
4.2.7 CRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO ____________________________________________ 140 
4.2.8 PARIDADE DE FUNÇÕES ___________________________________________________ 142 
4.3 FUNÇÃO AFIM (POLINOMIAL DO 1º GRAU) ______________________________________ 145 
4.4 FUNÇÃO QUADRÁTICA (POLINOMIAL DO 2º GRAU) _______________________________ 148 
4.5 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS VIA IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA ________________________ 153 
UNIDADE V - FUNÇÕES EXPONENCIAIS, LOGARÍTMICAS E MODULARES ____________ 155 
5. OUTRAS FUNÇÕES _________________________________________________________ 156 
5.1 A FUNÇÃO COMPOSTA ____________________________________________________ 156 
5.2 FUNÇÃO INVERSA _________________________________________________________ 159 
5.2.1 FUNÇÃO INJETORA ______________________________________________________ 160 
5.2.2 FUNÇÃO SOBREJETORA. ___________________________________________________ 161 
5.2.3 FUNÇÃO BIJETORA _______________________________________________________ 161 
5.3 FUNÇÃO EXPONENCIAL ____________________________________________________ 166 
5.4 FUNÇÃO LOGARÍTMICA ____________________________________________________ 169 
5.4.1 LOGARITMOS __________________________________________________________ 169 
5.4.2 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS. ________________________________ 172 
5.5 FUNÇÃO MODULAR _______________________________________________________ 177 
ESTUDO DE CASO: O LAVA - JATO ___________________________________________ 182 
ESTUDO DE CASO: O CHEQUE ESPECIAL ______________________________________ 192 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ____________________________________________________ 198 
 
 
 
 
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Matemática Elementar 
 
 
 
 
 
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Matemática Elementar 
 
 
 
 
 
 Reconhecer, interpretar e resolver problemas que envolvam a 
Teoria dos Conjuntos. 
 
 
 
 Ciclo 01 
 Atividade Fórum de Discussões 
 Título: Resultados da Negociação 
 
 
 
Unidade I – Conjuntos e 
Conjuntos Numéricos 
Objetivos da Unidade 
 
 
Plano de Estudos 
 
 
I 
 
 
 
 
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Matemática Elementar 
 
 
1.1 Introdução à Teoria dos Conjuntos 
 
A seguir, são apresentados conceitos básicos relativos à Teoria dos Conjuntos os 
quais, possivelmente, são do conhecimento de cada um de vocês. Neste caso, 
sugerimos uma rápida passagem para verificarmos as nomenclaturas e convenções 
adotadas ao longo da disciplina e do curso. A partir da segunda metade deste século, 
a Matemática passou a substituir cálculos por idéias. Por isso não é estranho que, 
atualmente, todos os conceitos fundamentais dessa Ciência sejam explicados à luz da 
Teoria dos Conjuntos. Essa teoria, elaborada principalmente entre 1850 e 1950, 
permite uma linguagem matemática universal por ser precisa e concisa. A figura 
abaixo é uma representação da linguagem da Teoria dos Conjuntos. 
 
 
 
Figura: Teoria dos Conjuntos 
 
 
A figura abaixo apresenta o ponto de partida nesta teoria é constituído pelas 
seguintes noções aceitas como conceitos primitivos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática Elementar 
 
 
Figura: Conceitos Primitivos da Teoria dos Conjuntos. 
 
 
1.1.1 Conceito Formal de Conjunto 
 
O conceito de conjunto é fundamental, pois praticamente todos os conceitos 
desenvolvidos ao longo da Matemática (como por exemplo, a noção de relação, 
função etc.), bem como os correspondentes resultados, são baseados em conjuntos 
ou construções de conjuntos. 
 
Conjunto é uma estrutura que agrupa objetos e constitui uma base para a construção 
de estruturas mais complexas. Desta forma, informalmente, um conjunto é uma 
coleção, sem repetições e sem qualquer ordenação, de objetos denominados 
elementos. O termo “elemento” é usado de forma ampla e pode designar um objeto 
concreto ou abstrato. Neste contexto, um elemento é uma entidade básica a qual 
não é definida formalmente como falamos anteriormente. A figura representação a 
relação entre elemento e conjunto. 
 
 
A Noção de 
Igualdade
A Noção de Conjunto
A Noção de Elemento
A Noção de Elemento 
de Um Conjunto
Conceitos 
Primitivos
 
 
 
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Matemática Elementar 
 
 
 
Figura: Relação entre Elemento e Conjunto. 
 
 
Definição Formal: Um Conjunto é uma coleção de zero ou mais objetos distintos, 
chamados Elementos do conjunto os quais não possuem qualquer ordem associada. 
 
Exemplos introdutórios de conjuntos: 
a) As vogais a, e, i, o e u; 
b) O par de sapatos preferidos; 
c) Os dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9; 
d) Todos os brasileiros; 
e) Os números pares 0, 2, 4, 6, 8,...; 
f) O personagem Snoopy, a letra A, a baía da Guanabara e o Pelé. 
 
 
 
 
Conjunto
Element
o
 
 
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Matemática Elementar 
 
Observemos que um conjunto pode ser definido listando-se todos os seus elementos 
(como “as vogais a, e, i, o e u”) ou por propriedades declaradas (como “todos os 
brasileiros”). Adicionalmente, deve ficar claro que um conjunto não necessariamente 
é constituído por objetos que compartilham mesmas características ou propriedades 
(como em “o personagem Snoopy, a letra A, a baía da Guanabara e o Pelé”). 
 
1.1.2 Conjuntos e Elementos de um conjunto: relação de pertinência 
 
Se umdeterminado elemento a é elemento de um conjunto A, tal fato denotamos 
por: 
a A, o qual é interpretado como segue: a pertence ao conjunto A. Caso contrário, 
afirmamos que a não pertence ao conjunto A. Tal fato é denotado por: a A 
 
Exemplos para fixação das duas definições anteriores. 
a) Relativamente ao conjunto Vogais = {a, e, i, o, u}, temos que: 
a Vogais 
h Vogais 
 
b) Relativamente ao conjunto B = {x | x é brasileiro} 
Pelé B 
Bill Gates B 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
Matemática Elementar 
 
 
1.1.3 Representações mais comuns de um conjunto 
As representações mais comuns envolvendo conjuntos são descritas conforme 
apresenta a figura a seguir. 
 
Figura: Principais Representações de Conjuntos. 
a) Descrevendo os elementos do conjunto por uma propriedade exclusiva dos 
mesmos: IN = {x / x é um número natural} 
 
b) Enumerando os seus elementos: 
{a, e, i, o, u} conjunto das vogais 
{0, 1, 2, 3, 4,..., 2009,...} conjunto dos números naturais (IN) 
{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} conjunto dos números inteiros(  ) 
 
c) Representação Gráfica pelo Diagrama de Venn: 
 
Nesse caso, o diagrama representa os conjuntos A = {6,9} e B = {2,9,10} 
6
9
10
A B
2
Descrevendo os 
seus elementos
Enumerando os 
seus Elementos
Representação 
gráfica pelo 
Diagramas de 
Venn
 
 
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Matemática Elementar 
 
1.1.3.1 Diagrama de Venn: uma representação gráfica útil 
 
Com frequência, o tratamento dado aos conjuntos e conceitos correlatos usa uma 
linguagem textual. Todavia, na medida em que outros conceitos são desenvolvidos, 
como as operações sobre conjuntos, uma linguagem diagramática auxilia o 
entendimento de definições, facilita o desenvolvimento de raciocínios e permite uma 
identificação e uma compreensão fácil e rápida dos componentes e dos 
relacionamentos em discussão. 
Os Diagramas de Venn (John Venn (1834 -1923), matemático inglês) são 
universamente conhecidos e são largamente usados nos estudos da Teoria dos 
Conjuntos. Os diagramas usam figuras geométricas, em geral representadas no plano, 
para expressar as estruturas da Teoria dos Conjuntos. Em verdade, os conjuntos são 
apresentados por regiões planas interiores a uma curva fechada e simples (“simples”, 
aqui significa “não-entrelaçada). 
 
Exemplos ilustrativos referentes a empregabilidade dos Diagramas de Venn. 
1) Seja A = {2, 3, 4, 5}. No Diagrama de Venn abaixo representado pela figura, temos 
que: 
2  A 
3  A 
4  A 
5  A 
6  A 
7  A 
Figura: o Diagrama de Venn do Exemplo. 
 
 
 
 
 
 
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Matemática Elementar 
 
 
2) Seja A = { }, B = {b} e C = {1,2,3}. O Diagrama de Venn da figura representa esses 
conjuntos. 
 
Figura: o Diagrama de Venn do Exemplo. 
 
 
3) Sejam A = {2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5}. Nesse caso temos que A  B e A ≠ B, como 
podemos visualizar no Diagrama de Venn da figura a seguir. 
Figura: o Diagrama de Venn do Exemplo 3. 
 
 
4) Consideremos agora A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6, 8}. Nesse caso temos que A 
e B têm alguns elementos comuns (mas não todos), como podemos visualizar no 
Diagrama de Venn da figura abaixo. 
 
 
 
 
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Matemática Elementar 
 
 
Figura: o Diagrama de Venn do Exemplo 4. 
 
5) Sejam A = {1, 2, 3} e B = {4, 6, 8, 9}. Nesse caso temos que A e B não possuem 
elementos comuns, como podemos visualizar no Diagrama de Venn da figura abaixo. 
 
Figura: o Diagrama de Venn do Exemplo 5. 
 
1.1.4 Conjuntos importantes: Universo, Vazio e Unitário 
 
Quando vamos desenvolver um certo assunto de Matemática, admitimos a existência 
de um conjunto U ao qual pertencem todos os elementos utilizados no tal 
 
 
 
 
 
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Matemática Elementar 
 
 
assunto. Esse conjunto recebe o nome de conjunto universo e é o maior conjunto 
caracterizado no contexto. 
 
Sendo assim, ao escrevermos, por exemplo, {x  | x > -1}, consideramos  como 
sendo o conjunto universo, isto é, os elementos a serem considerados devem ser, 
antes de mais nada, pertencentes a  . Observemos, então que ½ não é elemento de 
{x  | x> -1}, pois não é um número inteiro. Usualmente representamos o conjunto 
universo por U. 
Nos diagramas é usual representarmos o conjunto universo por um retângulo e 
dentro dele os seus subconjuntos. Assim, por exemplo, sendo U = IN, A = {3, 4, 5} 
e B = {4, 5, 7, 9}, temos a seguinte disposição geométrica mostrada na figura abaixo. 
Figura: Representação geométrica do conjunto universo. 
 
 
Um conjunto especialmente importante é o conjunto vazio, ou seja, o conjunto sem 
elementos { }, o qual é usualmente representado pelo seguinte símbolo:  . Ou 
ainda por: { }. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. 
 
 
 
20 
Matemática Elementar 
 
Vejamos alguns exemplos envolvendo o conjunto vazio. 
a) O conjunto de todos os brasileiros com mais de 300 anos. 
b) O conjunto de todos os números os quais são simultaneamente pares e 
ímpares. 
c) {x  | 2.x – 1 = 6} é o conjunto vazio, já que não existe x inteiro tal que 2.x 
– 1 = 6. 
d) {x IN / x ≠ x} é o conjunto vazio, pois não existe nenhum número natural 
que seja diferente dele mesmo. 
e) O conjunto B = { }. O conjunto B é o conjunto vazio. 
 
Um tipo de conjunto quase tão importante como o vazio é o conjunto unitário, ou 
seja, um conjunto constituído por um único elemento. Portanto, existem infinitos 
conjuntos unitários. Entretanto, para muitas aplicações, podemos usar qualquer 
conjunto unitário, ou seja, o fato importante é que o conjunto considerado possui 
um único elemento, sendo irrelevante qual é o elemento que o constitui. 
 
A seguir alguns exemplos envolvendo o conjunto unitário. 
a) O conjunto constituído pelo jogador Pelé. 
b) O conjunto de todos os números que são simultaneamente pares e primos, 
que em verdade é o conjunto {2}. 
c) O conjunto A = { * }, que possui como único elemento o símbolo *. 
 
d) O conjunto B = {Ø}. Observemos que o conjunto B, não é o conjunto vazio 
e sim um conjunto unitário, cujo único elemento é o símbolo Ø, que sem as 
chaves representa o conjunto vazio. 
 
 
 
21 
Matemática Elementar 
 
 
1.1.5 Igualdade de conjuntos 
Dizemos que dois conjuntos são iguais se ambos tiverem os mesmos elementos ou 
se ambos forem conjuntos vazios. 
 
Exemplo: 
Sejam os conjuntos A= {1, 2}; B = {2, 1} e C = {1, 2, 2, 2, 1, 1, 2} 
Podemos afirmar que A, B e C são conjuntos iguais, já que possuem os mesmos 
elementos que neste caso são os números 1 e 2. 
 
1.1.6 Subconjuntos de um conjunto 
Para iniciarmos a discussão sobre a noção de um subconjunto de um conjunto, 
consideremos os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B = {1, 3, 5, 7}. Observemos 
sem grandes dificuldades que, se x é um elemento qualquer de B, então x é um 
elemento de A, isto é, todo elemento de B é também elemento de A. Desta maneira, 
temos a seguinte definição. 
 
Definição: Diremos que B é um subconjunto de A e indicamos isso por B A, se e 
somente se todo elemento de B for também elemento de A. 
 
Geometricamente, temos a seguinte disposição relacionando a inclusão entre B = 
{2,4} e A = {2,3,4}, como mostrado na figura abaixo. 
 
Figura: Interpretação Geométrica de Subconjunto de um Conjunto. 
A
B
3
2 4
 
 
22 
Matemática Elementar 
 
 
Vejamos alguns exemplos de relação de inclusão de subconjuntos. 
1) {1, 2}  {1, 3, 5} 
2) {19, 7, -3}  {-4, 18, 20} 
3) {0, 1, 2}  {0, 1, 3, 4, 5, 6,7} 
4) {0}  { {0} } 
5) {2,3,4}  {2,4} 
 
Salientamos algumas informações importantes sobre o último conceito descrito, ou 
seja, sobre a relação de inclusão entre conjuntos. 
 
 
1 Em vez de falarmos que B é um subconjunto de A, é comum dizermos que B 
está contido em A, o que não deve ser confundido com a expressão 
“pertence a A”. 
2 Podemos afirmar que B

A, se e somente se existir pelo menos um elemento 
de B que não seja elemento de A, em resumo: B

A 

existe x, x

B e x

A, 
conforme demonstrado na figura. 
Figura: Interpretação Geométrica: B

A. 
A B
 
 
 
23 
Matemática Elementar 
 
 
 
3 Quando tratamos da relação entre conjuntos temos a Relação de Inclusão. 
Quando falamos da relação entre Elemento e Conjunto temos a Relação de 
Pertinência. Não confundir o uso dos símbolos 

ou 

, conforme apresenta a 
figura. 
 
Figura: Relação entre Elemento e Conjunto e Relação entre Conjunto e Conjunto. 
 
4 Dado o conjunto A, denominamos de conjunto das partes de A ao conjunto 
de todos os subconjuntos de A. Denotaremos tal conjunto por P(A). 
Definição: Consideremos um conjunto A. O Conjunto das Partes de A ou 
Conjunto Potência de A, denotado por: P(A) ou 2 A é como segue: P(A) = 
{X | X 

 A} 
Exemplo: (Conjunto das Partes) 
Sejam A={a}, B= {a, b} e C = {a, b, c}. Então: 
P(

) =

 
• ⊂: Serve para indicar que um conjunto está 
contido em outro conjunto.
• Conjunto e Conjunto.
Relação de Inclusão 
(⊂)
• ∈: Serve para indicar que um objeto é 
elemento de um conjunto.
• Elemento e Conjunto.
Relação de Pertinência 
(∈)
 
 
24 
Matemática Elementar 
 
P(A)={

, {a}} 
P(B)={

, {a}, {b}, {a,b}} 
P(C)={

, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}} 
 
Supondo que o número de elementos de X é n, podemos mostrar que o 
número de elementos de P(X) é 2 n . Ou seja, um conjunto C = {a,b,c}, possui 
n=3, então o número de elementos do conjunto das partes de C será igual a 
23 = 8, conforme demonstrado em P(C). 
5 Outras formas de ler A B são descritas na figura abaixo: 
 
Figura: Outras formas da leitura de A

B. 
 
 
 
A é parte de B 
A é 
subconjunto 
de B
B contém A
 
 
 
25 
Matemática Elementar 
 
 
1.1.7 Operações com Conjuntos 
 
Sendo A e B conjuntos quaisquer, definimos as seguintes operações com A e B, 
conforme figura, que frequentemente retratam situações tanto na teoria quanto na 
prática. 
Figura: As operações entre Conjuntos. 
 
 
1.1.7.1 União de Conjuntos 
 
Dados os conjuntos A e B, chamamos de união de A e B ao conjunto A B formado 
pelos elementos que pertencem a A ou a B ou a ambos. Em símbolos, a união entre 
A e B é caracterizada por: A B = {x | x A ou x B}, conforme representado na 
figura. 
 
A B
União Intersecção
Diferença Complemento de A
Operação 
entre 
conjuntos
 
 
26 
Matemática Elementar 
 
 
 
 
 
 
Figura: Representação da União. 
 
Exemplos que ilustram a determinação da união entre dois conjuntos A e B. 
1) Consideremos os seguintes conjuntos: 
 Dígitos = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
Vogais = {a, e, i, o, u} 
Pares = {0, 2, 4, 6,...} 
Dígitos Vogais = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,e,i,o,u} 
Dígitos Pares = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,16,...} 
 
A representação geométrica do exemplo 1 é mostrada na figura abaixo. 
 
Figura: Representação da União do exemplo 1. 
 
 
 
A B 
 
 
 
27 
Matemática Elementar 
 
 
2) Suponha os conjuntos A = {x IN | x > 2} e B = {x IN | x2 = x}. Então: A B 
={0,1, 3, 4, 5, 6..} 
 
 
3) Consideremos A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6}. Desta forma o conjunto A B é 
dado por: A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A representação geométrica de A B é mostrada 
na figura abaixo. 
 
Figura : Representação da União do exemplo. 
 
4) Consideremos A = {3, 5, 6} e B = {1, 2, 7}. Desta forma o conjunto A B é dado 
por: A B = {1, 2, 3, 5, 6, 7}. A representação geométrica de A B é mostrada na 
figura. 
 
Figura: Representação da União do exemplo. 
 
 
28 
Matemática Elementar 
 
 
5) Consideremos A = {3, 4} e B = {1, 2, 3, 4}. Desta forma o conjunto A B é dado 
por: A B = {1, 2, 3, 4}. A representação geométrica de A B é mostrada na figura 
abaixo. 
Figura: Representação da União do exemplo. 
 
1.1.7.1.1 Propriedades da União de Conjuntos 
As seguintes propriedades da operação união podem ser facilmente 
verificadas. Suponha os conjuntos A, B e C: 
a) Elemento neutro. A  =   A = A 
b) Idempotência. A A = A 
c) Comutativa.A B = B A 
d) Associativa. Na figura abaixo é ilustrada a associatividade usando Diagramas 
de Venn. 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
Matemática Elementar 
 
 
A (B

C) = (A B) C 
 
Figura: Associatividade da união. 
 
1.1.7.2 Intersecção de Conjuntos 
Dados os conjuntos A e B, chamamos de intersecção de A e B ao conjunto 
A B formado pelos elementos que são comuns aos dois conjuntos. Em símbolos, 
a intersecção entre A e B é caracterizada por: A B = {x | x A e x B}. A 
representação gráfica da interseção é apresentada na figura. 
 
Figura: Representação geométrica da Intersecção entre A e B. 
 
 
 
 
30 
Matemática Elementar 
 
 
A seguir alguns exemplos que ilustram a intersecção entre dois conjuntos A e B. 
1) Consideremos os conjuntos: 
Dígitos = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
Vogais = {a, e, i, o, u} 
Pares = {0, 2, 4, 6,...} 
Dígitos Vogais =  (Conjuntos disjuntos) 
Dígitos Pares = {0, 2, 4, 6, 8} 
 
A figura abaixo mostra a representação geométrica das situações descritas no 
exemplo 1. 
Figura: Intersecção do exemplo 1. 
 
Dois conjuntos A e B são ditos disjuntos quando a intersecção entre eles é o 
conjunto vazio. Suponha os conjuntos A={x IN | x > 2} e B = {x IN | x 2 = 
x}. Então: A  B = (conjuntos disjuntos). 
 
 
 
 
 
 
 
31 
Matemática Elementar 
 
 
 
2) Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6}, os elementos comuns a A e B são 2 e 4, ou 
seja, temos que o conjunto intersecção de A e B, A  B = {2, 4}. A figura abaixo 
ilustra tal situação. 
 
Figura: A Intersecção do exemplo 2. 
 
3) Consideremos A = {3, 4} e B = {1, 2, 3, 4, 5}. Neste caso o conjunto intersecção 
de A e B é dado por: A  B = {3, 4}. A figura abaixo ilustra tal situação. 
Figura: A Intersecção do exemplo 3. 
 
 
 
 
 
 
32 
Matemática Elementar 
 
4) Consideremos A = {3, 5} e B = {6, 8}. Neste caso não existem elementos comuns, 
ou seja, o conjunto intersecção de A e B é o conjunto vazio. A B= 
(conjuntos disjuntos). A figura abaixo ilustra tal situação. 
Figura: A Intersecção do exemplo 4. 
 
1.1.7.2.1 Propriedades da Intersecção de Conjuntos 
As seguintes propriedades da operação intersecção podem ser facilmente verificadas. 
Suponhamos os conjunto A, B e C: 
 
a) Elemento neutro. A  U = U  A = A 
b) Idempotência. A  A = A 
c) Comutativa. A  B = B  A 
d) Associativa. A  (B C) = (A  B) C 
 
1.1.7.3 Diferença de Conjuntos 
Dados os conjuntos A e B, chamamos de diferença A – B ao conjunto dos elementos 
que pertencem a A (ao primeiro) e não pertencem a B (ao segundo). Em símbolos 
a diferença A – B é definida da seguinte forma: A – B = {x | x A e x B} 
 
 
 
 
33 
Matemática Elementar 
 
 
Vejamosalguns exemplos que ilustram a diferença entre conjuntos. 
1) Consideremos os conjuntos: 
Dígitos = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
Vogais = {a, e, i, o, u} 
Pares = {0, 2, 4, 6,...} 
Dígitos – Vogais = Dígitos 
Dígitos – Pares = {1, 3, 5, 7, 9} 
 
As diferenças determinadas acima são mostradas na figura abaixo. 
 
Figura: Diferença: Dígitos – Vogais (esquerda) e Dígitos – Pares (direita). 
 
2) Consideremos agora os conjuntos A = {x  IN | x > 2} e B = {x IN | x 2 = x}. 
Então: 
A – B = {3, 4, 5, 6,...} 
B – A = {0, 1} 
 
 
 
 
34 
Matemática Elementar 
 
3) Sejam A = { 1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6, 8}, daí A – B = {1, 3, 5} como mostramos 
na figura. 
Figura: A diferença A – B do exemplo. 
 
4) Consideremos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6, 8} então B – A = {6, 8} como 
mostrado na figura a seguir. 
Figura: A diferença B – A do exemplo. 
 
5) Consideremos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 5} então A – B = {1, 3, 4} como 
mostrado na figura. 
 
 
 
 
 
 
35 
Matemática Elementar 
 
 
 
Figura: A diferença A – B do exemplo. 
 
6) Consideremos A = {2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4, 5} então A – B é o conjunto vazio, 
ou seja, A – B =  . 
 
 
7) Consideremos A = {3, 4, 5} e B = {2, 7, 8}, então: 
A – B = {3, 4, 5} = A 
B – A = {2, 7, 8} = B 
Desta forma, percebemos neste exemplo que em geral temos que A – B ≠ B – A. 
 
 
8) Consideremos os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5} então: 
A – B = {1, 2} e B – A = {5} 
 
 
 
 
 
 
36 
Matemática Elementar 
 
1.1.7.4 Complemento de Um Conjunto A 
Consideremos o conjunto universo U. O Complemento de um conjunto A  U, é 
denotado por: A’ ou ~ A e é representado como segue: ~ A = {x U | x A}. 
 
Relacionando com a lógica, o complemento corresponde a noção de negação. Ou 
seja, considera todos os elementos do universo que não pertencem ao conjunto 
original. Observemos que o símbolo de complemento (~) é um dos símbolos 
usados para a negação na lógica. 
 
Vejamos alguns exemplos ilustrativos envolvendo o complemento de um conjunto 
A. 
1) Consideremos o conjunto universo Dígitos = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Seja A = {0, 1, 
2}. Então: ~ A = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
O complementar de A neste exemplo 1 é mostrado na figura. 
 
Figura: Um conjunto (esquerda) e o seu complemento (direita). 
 
2) Suponhamos o conjunto universo IN. Seja A={0, 1, 2}. Então: ~ A={x IN |x >2} 
 
 
 
 
 
 
 
37 
Matemática Elementar 
 
 
IMPORTANTE : 
o A união de um conjunto com seu complemento sempre resulta no 
conjunto universo. 
o A intersecção de um conjunto com seu complemento sempre resulta 
no conjunto vazio. 
o Uma importante propriedade da operação de complemento, 
decorrente da sua própria definição, denominada de duplo 
complemento, é o fato de que, para um dado conjunto A U, vale: ~ ~ 
A = A 
 
1.2 Conjuntos Numéricos 
Os seguintes conjuntos são importantíssimos dentro da Matemática em 
geral e, principalmente para os nossos propósitos na disciplina em particular e que 
possuem uma denotação universalmente aceita são os listados a seguir. Mas, a priori 
já conhecemos os conjuntos dos números naturais (ℕ) e dos números inteiros (ℤ), 
sendo que ℕ 

 ℤ. 
 
 
 
ℕ: Conjunto dos Números Naturais = {0, 1, 2, 3,...} 
ℤ: Conjunto dos Números Inteiros = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} 
ℚ: Conjunto dos Números Racionais 
I : Conjunto dos Números Irracionais 
ℝ: Conjunto dos Números Reais 
 
 
38 
Matemática Elementar 
 
Temos a seguinte relação de inclusão entre os conjuntos numéricos citados acima, 
como podemos visualizar na figura abaixo. 
Figura: A relação de inclusão entre os principais conjuntos numéricos. 
 
Neste caso, leia a simbologia da seguinte forma: o conjunto dos números naturais 
(ℕ) está contido no conjunto dos números inteiros (ℤ); que, por sua vez, está contido 
no conjunto dos números racionais (ℚ); que por sua vez está contido no conjunto 
dos números reais ℝ, que será o nosso universo de estudo. 
 
Número Racional: Chamamos de número racional a todo número que pode ser 
escrito na forma 
𝑝
𝑞
 onde p e q são números inteiros, com q ≠ 0. Indicaremos o 
conjunto dos números racionais por ℚ. Desta forma: 
 
 
ℚ = {x / x = 
𝑝
𝑞
; p ℤ, q ℤ e q ≠ 0} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
Matemática Elementar 
 
 
Por exemplo: 
a) 1 = 
1
1
 b) 0,75 =
4
3
 c) 
3
1
 = 0,3333333... 
 
d) 0 = 
1
0
 e) 2,71 = 
100
271
 f) 5 =
1
5
 g) 0,7171717171... = 
99
71
 
 
 
 
IMPORTANTE : 
o Temos que N  Z  Q. 
o A forma decimal de todo número racional ou é exata ou é não exata e 
periódica infinita. Em outras palavras, um número racional é aquele que 
você pode escrever na forma de fração. Nessa definição encaixam-se todos 
os números naturais, inteiros, decimais e também as dízimas periódicas. 
o Dízimas periódicas são números racionais cuja representação decimal é 
infinita. São originadas da divisão entre 2 números inteiros. Ou ainda: é um 
número que quando escrito no sistema decimal apresenta uma série infinita 
de algarismos decimais que, a partir de um certo algarismo, se repetem em 
grupos de um ou mais algarismos, ordenados sempre na mesma disposição 
e chamados de período. 
 
o Exemplos: 
o 0,7222222222..... 
o 
3
1
 = 0,3333333.... 
o 0,584444444..... 
 
 
 
40 
Matemática Elementar 
 
 
Número Irracional: Existem, ainda, os números cujas formas decimais não são exatas 
nem periódicas, os quais denominamos de números irracionais. Ou seja, um número 
é irracional quando não podemos passá-lo para a forma de fração, ou seja, é número 
não fracionário e tem infinitas casas decimais não periódicas. Logo, não podemos 
expressar um número irracional como uma divisão entre dois números inteiros. 
Perceba que a união desses dois conjuntos, racionais e irracionais, dá o conjunto dos 
números reais ℝ. 
 
Ao representarmos, na reta numérica, os números racionais e os números irracionais, 
estamos estabelecendo a seguinte correspondência: todo número real possui uma 
representação na reta numérica e todo ponto da reta numérica é a representação 
de um número real (veremos mais a frente). 
 
Exemplo de números irracionais: 
-2,24681012... 
-1,234567234709876... 
0,10011101100001111... 
4,367823498701011123... 
2 = 1,414213562... 
3 = 1,7320508... 
e = 2,718281827... 
 = 3,1415926535... 
 
 
 
 
41 
Matemática Elementar 
 
 
1.2.1 Intervalos: Subconjuntos importantes dos Números Reais 
Vimos que o conjunto dos números irracionais é, portanto, o complementar 
do conjunto ℚ (dos números racionais) em relação ao conjunto  dos números 
reais. Desta maneira, definimos alguns subconjuntos dos números reais que são muito 
importantes, dentre eles os intervalos. Todavia, antes de definirmos os intervalos, 
definimos: 
ℝ = { 𝒙 ∈ ℝ | x ≤ 0} 
ℝ = { 𝒙 ∈ ℝ | x < 0} 
ℝ+= { 𝒙 ∈ ℝ | x ≥ 0} 
ℝ+
∗ = { 𝒙 ∈ ℝ | x > 0} 
 
De forma similar, podemos definir os associados a ℕ, ℤ e ℚ. Além disso, se 
considerarmos a e b dois números reais, com a < b, consideraremos, na nossa 
disciplina e ao longo do curso, os seguintes subconjuntos de ℝ chamados de 
intervalos, definidos como segue: 
 
[a, b] = {𝒙 ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b} 
]a, b[ = {𝒙 ∈ ℝ | a < x < b} 
[a, b[ = { 𝒙 ∈ ℝ | a ≤ x < b} 
]a, b] = { 𝒙 ∈ ℝ | x ≥ a}]a,  [ = { 𝒙 ∈ ℝ | x > a} 
[- , a] = { 𝒙 ∈ ℝ | x ≤ a} 
[- , a[ = { 𝒙 ∈ ℝ | x < a} 
 
 
 
 
 
42 
Matemática Elementar 
 
Atividades 
Para encerrarmos, como forma de fixação da teoria 
apresentada, listamos algumas atividades resolvidas sobre o 
conteúdo de Conjuntos e Conjuntos Numéricos 
trabalhados nessa unidade 1. 
 
 
 
 
 
 
 
Conjuntos 
1) Escrever os elementos dos seguintes conjuntos: 
a) A = {x | x é letra da palavra matemática} 
b) A = {x | x é cor da bandeira brasileira} 
c) A = {x | x é nome do estado que começa com a} 
 
2) Descrever por meio de uma propriedade característica dos elementos cada um 
dos conjuntos seguintes: 
a) A = {0, 2, 4, 6, 8,...} 
b) B = {0, 1, 2,..., 9} 
c) C = {Brasília, Rio de Janeiro, Salvador} 
 
3) Escrever os elementos dos conjuntos a seguir: 
a) O conjunto dos múltiplos inteiros de 3, entre -10 e +10; 
b) O conjunto dos divisores inteiros de 42; 
c) O conjunto dos múltiplos inteiros de 0; 
 
 
 
 
 
43 
Matemática Elementar 
 
 
d) O conjunto das frações com numerador e denominador compreendidos entre 
0 e 3; 
e) O conjunto dos nomes das capitais da região Centro-Oeste do Brasil. 
 
4) Descrever por meio de uma propriedade dos elementos: 
a) A = {+1, -1, +2, -2, +3, -3, +6, -6} 
b) B = {0, -10, -20, -30, -40,...} 
c) C = {1, 4, 9, 16, 25,...} 
d) D = {Lua} 
 
5) Quais dos conjuntos abaixo são unitários? 
a) A = {x | x < 
4
9
 e x > 
5
6
} 
b) B = {x | 0.x = 2} 
c) C = {x | x é inteiro e x 2 = 3} 
d) D = {x | x = 2.x + 1 = 7} 
 
6) Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4}, pede-se: 
a) Escrever com os símbolos da teoria dos conjuntos as seguintes sentenças: 
1a) 3 é elemento de A 
2a) 1 não está em B 
3a) B é parte de A 
4a) B é igual a A 
5a) 4 pertence a B 
 
 
 
44 
Matemática Elementar 
 
b) Classifique as sentenças anteriores em falsa ou verdadeira. 
 
7) Transcreva as sentenças abaixo utilizando a notação simbólica: 
a) O conjunto A está contido no conjunto B. 
b) O conjunto C inclui B. 
c) O conjunto A não é subconjunto de B. 
d) O conjunto A não contém C. 
 
8) Escreva os conjuntos abaixo na forma tabular: 
a) Conjunto dos números positivos, ímpares e menores que 20. 
b) Conjunto dos números primos de 1 a 20 (inclusive). 
c) Conjunto das raízes da equação 3.x + 1 = 2.x – 4 
d) {x / 𝑥2 - 16 = 0}. 
e) O Conjunto das soluções que simultaneamente resolvem 2.x – 1 = 7 e 𝑥2 – 
5.x + 4 = 0. 
f) {x / 𝑥2 – 25 e x – 2 = -7} 
g) Os algarismos de 12355. 
h) {x / x é algarismo de 1214}. 
i) Conjunto das raízes da equação x = 0. 
j) Conjunto dos números positivos, pares e menores que 15. 
 
 
 
 
 
 
 
45 
Matemática Elementar 
 
 
9) Escreva os conjuntos abaixo utilizando a notação da propriedade: 
a) {2, 4, 6, 8,..., 20 
b) {2, 8, 5} 
c) O conjunto dos números primos entre 5 e 21, inclusive. 
d) {2, 3, 4} 
 
10) Seja A = {x / x é algarismo de 34210}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 0}, C = {1, 3}, D = {2, 4, 
5}. Assinale V para verdadeiro e F para falso: 
 
a) C B 
b) C A 
c) A  C 
d) D B 
 
11) Se B = {p, q, r}, diga se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas. 
 
a)   B 
b)   B 
c) B U 
d) B U 
 
12) Escrever todos os subconjuntos de {1, {1}, {2}, 3} com dois elementos. 
 
 
 
 
46 
Matemática Elementar 
 
13) Sendo A = {1, 2, 3}, vamos obter o conjunto das partes de A. 
 
14) Consideremos as seguintes sentenças: 
1 a ) Nenhum esportista é preguiçoso. 
2 a ) Carlos é advogado. 
3 a ) Todos os advogados são preguiçosos. 
 
Admitindo que as três sentenças são verdadeiras, verifique qual das sentenças a seguir 
é certamente verdadeira. 
 
a) Todos os preguiçosos são advogados. 
b) Algum esportista é advogado. 
c) Alguns advogados são esportistas. 
d) Carlos não é esportista. 
 
15) Diga que conjunto abaixo são finitos e infinitos: 
a) O conjunto dos números inteiros entre 1 e 5. 
b) O conjunto das frações compreendidas entre 1 e 2. 
c) O conjunto das soluções de x 8 +2.x 4 – x 3 + 12 = 0. 
d) O conjunto dos números primos maiores do que 7. 
e) O conjunto dos números pares. 
f) O conjunto dos números ímpares. 
g) O conjunto das raízes da equação x 2 = -1, considerando o conjunto universo 
como sendo o conjunto dos números reais. 
h) O conjunto dos pares maiores que 2. 
 
 
 
47 
Matemática Elementar 
 
 
i) O conjunto dos números ímpares inferiores a 1.234.678. 
 
16) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5} e C = {1, 5, 6}, determine o 
conjunto D, sabendo que A D = {3}, B D = {3, 5} e C D = {5, 6} e D possui 
apenas quatro elementos. 
 
17) Suponhamos o conjunto universo S = {p, q, r, s, t, u, v, w} bem como os seguintes 
conjuntos: 
A = {p, q, r, s} 
B = {r, t, v} 
C = {p, s, t, u} 
Então, determine: 
a) B C 
b) A C 
c) ~ C 
d) A B C 
e) B – C 
f) ~ (A B) 
g) (A B)  ~ C 
 
18) Uma prova era constituída de dois problemas. 300 alunos acertaram somente um 
dos problemas, 260 acertaram o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram 
o primeiro. Quantos alunos fizeram a prova? 
 
 
 
 
48 
Matemática Elementar 
 
19) Numa indústria, 120 operários trabalham de manhã, 130 trabalham à tarde, 80 
trabalham à noite, 60 trabalham de manhã e à tarde, 50 trabalham de manhã e à 
noite, 40 trabalham à tarde e à noite e 20 trabalham nos três períodos. Quantos 
operários trabalham só de manhã? 
 
 
20) Se A  B = {6, 8, 10}, A = {4, x, 8, 10} e B = {2, x, y, 10, 12} obtenha x + y. 
 
 
21) Sendo A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6} e C = {4, 5, 6, 7}, calcule (A  B) – (B
C). 
 
 
22) Seja A um conjunto com m subconjuntos, m natural. Acrescentando-se dois novos 
elementos ao conjunto A, qual o número de subconjuntos do novo conjunto 
formado? 
 
23) Transcreva as sentenças abaixo utilizando a notação simbólica: 
a) “e” é membro do conjunto A. 
b) “p” é elemento de A. 
c) “a” não é elemento de A. 
d) “b” não é membro de B. 
 
24) No Centro Universitário do Sul de Minas Gerais são lidos dois jornais, A e B; 
exatamente, 80% dos alunos lêem o jornal A e 60% o jornal B. Sabendo que todo 
aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, qual o percentual de alunos que 
lêem ambos? 
 
 
 
49 
Matemática Elementar 
 
 
Conjuntos Numéricos 
1) Encontrar a fração geratriz de 0,44444... 
 
 
2) Encontrar a fração geratriz de 2,7051515151... 
 
 
3) Qual a intersecção dos conjuntos {{ x }} e { x }? 
 
 
4) Dê alguns exemplos de números racionais compreendidos entre  e  + 1. 
 
 
 
5) Classificar em Verdadeira (V) ou Falsa (F) as seguintes afirmações: 
 
a) 
9
4
 Q 
 
b) 
3
2
 I 
 
c) 
7
2
 Q 
 
 
 
50 
Matemática Elementar 
 
d) 
3
2
  
 
e) 
7
2
  
 
f) e   
 
g) π   
 
h) 
7
2
  
 
i) 
3
15
 Q 
 
j) 
7
2
  
 
k) 
3
12
 Q 
 
l) 
3
15
  
 
 
 
 
51 
Matemática Elementar 
 
 
m) 0  
 
n) 0 I 
 
o) 1 I 
 
p) 10 Q 
 
 
6) Converta a notação de intervalo para desigualdade ou vice-versa. Encontre os 
extremos e verifique se o intervalo é limitado e seu tipo. 
a) [-6, 3 [ 
b) ]- , -1[ 
c) -2 ≤ x ≤ 352 
Matemática Elementar 
 
Gabarito 
Conjuntos 
1) Escrever os elementos dos seguintes conjuntos: 
a) A = {x | x é letra da palavra matemática} 
b) A = {x | x é cor da bandeira brasileira} 
c) A = {x | x é nome do estado que começa com a} 
Solução: 
a) A = {m, a, t, e, i, c} 
b) B = {branco, azul, amarelo, verde} 
c) C = {Amazonas, Amapá, Acre, Alagoas} 
 
2) Descrever por meio de uma propriedade característica dos elementos cada um 
dos conjuntos seguintes: 
a) A = {0, 2, 4, 6, 8,...} 
b) B = {0, 1, 2,..., 9} 
c) C = {Brasília, Rio de Janeiro, Salvador} 
Solução: 
a) A = {x | x é inteiro, par e não negativo} 
b) B = {x | x é algarismo arábico} 
c) C = {x | x é nome da cidade que já foi capital do Brasil} 
 
3) Escrever os elementos dos conjuntos a seguir: 
a) O conjunto dos múltiplos inteiros de 3, entre -10 e +10; 
b) O conjunto dos divisores inteiros de 42; 
c) O conjunto dos múltiplos inteiros de 0; 
 
 
 
53 
Matemática Elementar 
 
 
d) O conjunto das frações com numerador e denominador compreendidos entre 
0 e 3; 
e) O conjunto dos nomes das capitais da região Centro-Oeste do Brasil. 
Solução: 
a) A = {-9, -6, -3, 0, 3, 6, 9} 
b) B = {±1, ±2, ±3, ±6, ±7, ±14, ±21, ±42} 
c) C = {0} 
d) D = {1
1
, 2
1
, 1
2
, 2
2
} 
e) {Cuiabá, Campo Grande, Goiânia} 
 
4) Descrever por meio de uma propriedade dos elementos: 
a) A = {+1, -1, +2, -2, +3, -3, +6, -6} 
b) B = {0, -10, -20, -30, -40,...} 
c) C = {1, 4, 9, 16, 25,...} 
d) D = {Lua} 
Solução: 
a) A = {x | x é divisor de 6} 
b) B = {x | x é múltiplo inteiro e negativo de 10} 
c) C = {x | x é quadrado de um inteiro} 
d) D = {x | x é satélite da Terra} 
 
5) Quais dos conjuntos abaixo são unitários? 
a) A = {x | x < 
4
9
 e x > 
5
6
} 
 
 
54 
Matemática Elementar 
 
b) B = {x | 0.x = 2} 
c) C = {x | x é inteiro e x 2 = 3} 
d) D = {x | x = 2.x + 1 = 7} 
Solução: Neste caso, temos que apenas o conjunto D é um conjunto unitário, ou 
seja, podemos escrever D = {3}. 
 
6) Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4}, pede-se: 
a) Escrever com os símbolos da teoria dos conjuntos as seguintes sentenças: 
 
1a) 3 é elemento de A 
2a) 1 não está em B 
3a) B é parte de A 
4a) B é igual a A 
5a) 4 pertence a B 
 
b) Classifique as sentenças anteriores em falsa ou verdadeira. 
 
Solução: 
1a) 3 A (VERDADEIRA) 
2a) 1  b (VERDADEIRA) 
3a) B  A (VERDADEIRA) 
4a) B = A (FALSA) 
5a) 4 B (VERDADEIRA) 
 
 
 
 
55 
Matemática Elementar 
 
 
7) Transcreva as sentenças abaixo utilizando a notação simbólica: 
a) O conjunto A está contido no conjunto B. A B 
b) O conjunto C inclui B. C 

B 
c) O conjunto A não é subconjunto de B. A B 
d) O conjunto A não contém C. A ⊉ C 
 
8) Escreva os conjuntos abaixo na forma tabular: 
a) Conjunto dos números positivos, ímpares e menores que 20. 
b) Conjunto dos números primos de 1 a 20 (inclusive). 
c) Conjunto das raízes da equação 3.x + 1 = 2.x – 4 
d) {x / 𝑥2 - 16 = 0}. 
e) O Conjunto das soluções que simultaneamente resolvem 2.x – 1 = 7 e 𝑥2 – 
 5.x + 4 = 0. 
f) {x / 𝑥2 – 25 e x – 2 = -7} 
g) Os algarismos de 12355. 
h) {x / x é algarismo de 1214}. 
i) Conjunto das raízes da equação x = 0. 
j) Conjunto dos números positivos, pares e menores que 15. 
 
 
Solução: 
a) {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} 
b){1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} 
c) {-5} 
 
 
56 
Matemática Elementar 
 
d) {-4, 4} 
e) {4} 
f) {-5} 
g) {1, 2, 3, 5} 
h) {1, 2, 4} 
i) {0} 
j) {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} 
 
9) Escreva os conjuntos abaixo utilizando a notação da propriedade: 
a) {2, 4, 6, 8,..., 20} 
{x / x é par e 2 ≤ x ≤ 20} 
 
b) {2, 8, 5} 
{x / x é algarismo de 285} 
 
c) O conjunto dos números primos entre 5 e 21, inclusive. 
{x / x é primo e está entre 5 e 21 inclusive} 
 
d) {2, 3, 4} 
{x / x é algarismo de 324} 
 
 
10) Seja A = {x / x é algarismo de 34210}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 0}, C = {1, 3}, D = {2, 4, 
5}. Assinale V para verdadeiro e F para falso: 
 
 
 
 
57 
Matemática Elementar 
 
 
e) C B (F) 
f) C A (F) 
g) A  C (V) 
h) D B (V) 
 
 
11) Se B = {p, q, r}, diga se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas. 
 
e)   B (F) 
f)   B (F) 
g) B U (V) 
h) B U (F) 
 
 
12) Escrever todos os subconjuntos de {1, {1}, {2}, 3} com dois elementos. 
Solução: Escolhendo sempre dois entre os 4 elementos, 1, {1}, {2} e 3, podemos 
formar os seguintes subconjuntos do conjunto dado: 
{1, {1}}; {1, {2]}; {1, 3}; {{1}, {2}}; {{1}, 3} e {{2}, 3} 
 
13) Sendo A = {1, 2, 3}, vamos obter o conjunto das partes de A. 
Solução: 
Observemos que: Elementos de A: 1 A, 2 A, 3 A 
 
 
 
58 
Matemática Elementar 
 
Subconjuntos de A:   A; {1} A; {2} A; {3} A; {1, 2} A; {1, 3} A; {2, 
3} A; {1, 2, 3} A 
 
Desta forma, concluímos que o conjunto das partes de A, ao qual denotamos por 
P(A) é dado por: P(A) = { , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} 
 
14) Consideremos as seguintes sentenças: 
1 a ) Nenhum esportista é preguiçoso. 
2 a ) Carlos é advogado. 
3 a ) Todos os advogados são preguiçosos. 
 
Admitindo que as três sentenças são verdadeiras, verifique qual das sentenças a 
seguir é certamente verdadeira. 
 
a) Todos os preguiçosos são advogados. 
b) Algum esportista é advogado. 
c) Alguns advogados são esportistas. 
d) Carlos não é esportista. 
Solução: Consideremos os seguintes conjuntos: 
A = Conjunto dos Advogados 
E = Conjunto dos Esportistas 
P = Conjuntos dos Preguiçosos 
 
Das premissas (premissas são as sentenças iniciais, supostas verdadeiras) concluímos 
que o diagrama dos conjuntos é como mostrado na figura abaixo: 
 
 
 
59 
Matemática Elementar 
 
 
Logo, concluímos que: 
a) Esta não pode ser considerada obrigatoriamente verdadeira, pois o que sabemos 
é que “todos os advogados são preguiçosos” (isto é, A P), mas ninguém nos 
garante que todos os preguiçosos são advogados (isto é, A P ). 
b) Não há elemento comum aos conjuntos P e E. Portanto, a sentença (b) é falsa. 
c) Pela mesma razão da letra anterior, a sentença (c) é falsa. 
d) A sentença (d) é verdadeira. 
 
15) Diga que conjunto abaixo são finitos e infinitos: 
j) O conjunto dos números inteiros entre 1 e 5. Finito 
k) O conjunto das frações compreendidas entre 1 e 2. Infinito 
l) O conjunto das soluções de x 8 +2.x 4 – x 3 + 12 = 0. Finito 
m) O conjunto dos números primos maiores do que 7. Infinito 
n) O conjunto dos números pares. Infinito 
o) O conjunto dos números ímpares. Infinito 
p) O conjunto das raízes da equação x 2 = -1, considerando o conjunto universo 
como sendo o conjunto dos números reais. Finito 
 
q) O conjunto dos pares maiores que 2. Infinito 
 
 
60 
Matemática Elementar 
 
r) O conjunto dos números ímpares inferiores a 1.234.678. Finito 
 
16) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5} e C = {1, 5, 6}, determine o 
conjunto D, sabendo que A D = {3}, B D = {3, 5} e C D = {5, 6} e D 
possui apenas quatro elementos. 
Solução: 
A D = {3}, donde concluímos que 1 D; 2 D; 3 D. 
B D = {3, 5}, logo concluímos que 3 D; 4 D; 5 D. 
C D = {5, 6}, logo concluímos que 5 D; 1 D; 6 D. 
Logo, D = {3, 5, 6, x} onde x {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
17) Suponhamos o conjunto universo S = {p, q, r, s, t, u, v, w} bem como os seguintes 
conjuntos: 
A ={p, q, r, s} 
B = {r, t, v} 
C = {p, s, t, u} 
Então, determine: 
h) B C 
i) A C 
j) ~ C 
k) A B C 
l) B – C 
m) ~ (A B) 
n) (A B)  ~ C 
 
 
 
 
61 
Matemática Elementar 
 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
a) B C = { t } 
b) A C = {p, q, r, s, t, u} 
c) ~ C = {q, r, v, w} 
d) A B C = (A B) C = {r} C = { } 
e) B – C = {r, v} 
f) ~ (A B) = {u, w} 
g) (A B)  ~ C = {q, r, v} 
 
18) Uma prova era constituída de dois problemas. 300 alunos acertaram somente 
um dos problemas, 260 acertaram o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 
210 erraram o primeiro. Quantos alunos fizeram a prova? 
 
Solução: 
Vamos resolver o exercício utilizando o Diagrama de Venn, para tal 
consideremos os conjuntos: 
A = {alunos que acertaram o primeiro problema} 
B = {alunos que acertaram o segundo problema} 
 
 
62 
Matemática Elementar 
 
 
Desta forma: 
Primeiro Passo: colocar o valor 100 (A B); 
Segundo Passo: colocar o valor 160 (260 – 100); 
Terceiro Passo: colocar o valor 210 (210 = número de alunos que erraram o 
primeiro problema); 
Quarto Passo: colocar o valor 140 (140 = 300 – 160); 
Portanto, o total de alunos que fizeram a prova é: 140 + 100 + 160 + 50 = 450 
alunos 
 
19) Numa indústria, 120 operários trabalham de manhã, 130 trabalham à tarde, 80 
trabalham à noite, 60 trabalham de manhã e à tarde, 50 trabalham de manhã e à 
noite, 40 trabalham à tarde e à noite e 20 trabalham nos três períodos. Quantos 
operários trabalham só de manhã? 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
A = {trabalham de manhã} 
B = {trabalham à tarde} 
C = {trabalham à noite} 
 
 
 
63 
Matemática Elementar 
 
 
 
Desta forma, temos o seguinte diagrama de Venn associado: 
 
 
Onde devemos seguir a seqüência de passos descrita abaixo: 
 
Primeiro Passo: colocar o valor 20 (trabalham nos três períodos, i.e., a interseção 
dos três conjuntos); 
Segundo Passo: colocar o valor 40 (60 trabalham de manhã e à tarde); 
Terceiro Passo: colocar o valor 20 (interseção: C B); 
Quarto Passo: colocar o valor 30 interseção: (A C); 
Quinto Passo: colocar os valores 60, 50 e 10 (que trabalham só em um período); 
Portanto, o número de operários que trabalham só no período da manhã é igual 
a 30. 
 
 
 
 
64 
Matemática Elementar 
 
 
20) Se A  B = {6, 8, 10}, A = {4, x, 8, 10} e B = {2, x, y, 10, 12} obtenha x + y. 
 
Solução: Olhando para A e A B, concluímos que x = 6; além disso, olhando para 
B e A B segue que y = 8. Portanto, temos que: x + y = 6 + 8 = 14 
 
 
21) Sendo A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6} e C = {4, 5, 6, 7}, calcule (A  B) – (B
C). 
 
Solução: Olhando para os conjuntos, segue que: 
A B = {3, 4} 
B C = {3, 4, 5, 6, 7} 
 
Portanto 
(A B) – (B C) =  
 
22) Seja A um conjunto com m subconjuntos, m natural. Acrescentando-se dois novos 
elementos ao conjunto A, qual o número de subconjuntos do novo conjunto 
formado? 
Solução: Faça um exemplo particular para entendimento, por exemplo, considere 
m = 2, e comprove que o novo conjunto tem 4 x 2 = 8 subconjuntos. 
 
 
 
 
 
 
 
65 
Matemática Elementar 
 
 
 
23) Transcreva as sentenças abaixo utilizando a notação simbólica: 
e) “e” é membro do conjunto A. e

A 
f) “p” é elemento de A. p A 
g) “a” não é elemento de A. a A 
h) “b” não é membro de B. b B 
 
24) No Centro Universitário do Sul de Minas Gerais são lidos dois jornais, A e B; 
exatamente, 80% dos alunos lêem o jornal A e 60% o jornal B. Sabendo que todo 
aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, qual o percentual de alunos que lêem 
ambos? 
Solução: Consideremos os conjuntos: 
A = {alunos que lêem o jornal A} 
B = {alunos que lêem o jornal B} 
Dica: Sempre devemos começar pela interseção entre os conjuntos. 
 
Sendo assim, o número de alunos que lêem ambos os jornais, pode ser obtido como 
segue: 80% - x + x + 60% - x + 0% = 100% 
Portanto x = 40% 
 
 
66 
Matemática Elementar 
 
Conjuntos Numéricos 
1) Encontrar a fração geratriz de 0,44444... 
 
Solução: Consideremos x = 0,444444..., então: 
10x = 4,44444444... 
x = 0,44444444.... 
 
Subtraindo, obtemos que: 
10x – x = 4 
9.x = 4 
x = 
9
4
 
 
2) Encontrar a fração geratriz de 2,7051515151... 
 
Solução: Consideremos x = 2,70515151...., daí: 
100x = 270,51515151.... 
x = 2,70515151.... 
 
Subtraindo, obtemos que: 
100x – x = 267,81 
99.x = 267,81 
x = 
99
81,267
 
Ou seja, multiplicando e dividindo a fração anterior por 100, obtemos: 
 
 
 
67 
Matemática Elementar 
 
 
x = 
9900
26781
 
 
3) Qual a intersecção dos conjuntos {{ x }} e { x }? 
Solução: Como os conjuntos dados não possuem nenhum elemento em comum, 
podemos afirmar que: {{ x }}  { x } = { } 
 
 
4) Dê alguns exemplos de números racionais compreendidos entre  e  + 1. 
Solução: Lembrando que   3,1416, segue que  + 1  4,1416, logo alguns 
números racionais compreendidos entre  e  + 1 são 3,142; 3,149; 4,078; etc. 
 
5) Classificar em Verdadeira (V) ou Falsa (F) as seguintes afirmações: 
 
a) 
9
4
 Q (Verdadeiro) 
 
b) 
3
2
 I (Falso) 
 
c) 
7
2
 Q (Falso) 
 
d) 
3
2
  (Verdadeiro) 
 
 
 
68 
Matemática Elementar 
 
e) 
7
2
  (Falso) 
 
f) e   (Verdadeiro) 
 
g) π   (Verdadeiro) 
 
h) 
7
2
  (Falso) 
 
i) 
3
15
 Q (Verdadeiro) 
 
j) 
7
2
  (Falso) 
 
k) 
3
12
 Q (Falso) 
 
 
l) 
3
15
  (Falso) 
 
m) 0  (Falso) 
 
 
 
 
69 
Matemática Elementar 
 
 
n) 0 I (Verdadeiro) 
 
o) 1 I (Verdadeiro) 
 
p) 10 Q (Falso) 
 
 
6) Converta a notação de intervalo para desigualdade ou vice-versa. Encontre os 
extremos e verifique se o intervalo é limitado e seu tipo. 
 
a) [-6, 3 [ 
O intervalo [-6, 3 [ corresponde a -6 ≤ x , 3, é limitado e é do tipo fechado á 
esquerda e aberto à direita.os extremos são -6 e 3. 
 
b) ]- , -1[ 
O intervalo ]- , -1[ corresponde a x < -1, não é limitado e é aberto. O extremo 
é somente -1. 
 
c) -2 ≤ x ≤ 3 
A desigualdade -2 ≤ x ≤ 3 corresponde a um intervalo fechado e limitado, dado 
por [-2, 3]. Os extremos são -2 e 3. 
 
 
 
70 
Matemática Elementar 
 
 
 
 
 
- Aplicar as propriedades envolvendo a potenciação e radiciação na resolução de 
problemas simulados. 
- Reconhecer um monômio e um polinômio como uma soma algébrica de 
monômios. 
 
 
 
 Potenciação 
 Radiciação 
 Monômio e Polinômio 
 
 
Objetivos da Unidade 
 
 
Plano de Estudos 
 
 
II Unidade II – Potência, 
Radicais e Polinômios 
 
 
 
71 
Matemática Elementar 
 
 
2.1 Radiciação e Potenciação 
 
Nessa unidade estaremos interessados em discutir as definições envolvendo a 
radiciação e a potenciação, bem como suas principais propriedades, que constituem 
assuntos importantes dentre os aspectos introdutórios da Matemática Elementar e 
serão muito utilizados em várias situações problemas. Uma breve definição de cada 
um desses termos está apresentada na figura abaixo. 
 
 
Figura: Radiciação e Potenciação. 
 
A figura a seguir generaliza a representação da potência: 
 
xn 
 
Figura: Representação de Potência 
 
 
Potenciação
• Operações envolvendo potências (expoentes)• Quando dizemos que um número qualquer está "elevado à potencia 
4", por exemplo, estamos dizendo que este número será multiplicado 
por ele mesmo 4 vezes. 
• Exemplo: 54 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
Radiciação
•Operações envolvendo radicais (raízes).
•Radiciação é o inverso da potenciação.
•Para acharmos a raiz quarta de 625 devemos nos perguntar qual o número 
que multiplicado por ele mesmo quatro vezes resulta em 625? Ou seja, qual o 
número que elevado a potência 4 resulta em 625? 
•Exemplo: 
4
625= 5
Expoente 
ou potência 
Base 
 
 
72 
Matemática Elementar 
 
A figura abaixo representa as nomenclaturas da radiciação: 
 
 
√𝑎
𝑛
 
 
Figura: Nomenclatura da radiciação 
 
 
Se b 2 = a, então dizemos que b é a raiz quadrada de a. Por 
exemplo, 2 e –2 são raízes quadradas de 4 porque 2 2 = (–2) 2 = 4. 
Analogamente, temos que: 
 
 
 
 3 e – 3 são raízes quadradas de 9, já que 3 2 = (–3) 2 = 9. 
 4 e – 4 são raízes quadradas de 16, já que 4 2 = (–4) 2 = 16. 
 5 e – 5 são raízes quadradas de 25, já que 5 2 = (–5) 2 = 25. 
 
 
Similarmente, temos que se b 3 = a, então dizemos que b é a raiz 
cúbica de a. Por exemplo, 2 é raiz cúbica de 8 porque 2 3 = 8. 
Analogamente, temos que: 
 
 
 3 é raiz cúbica de 27 porque 3 3 = 27. 
 4 é raiz cúbica de 64 porque 4 = 64. 
 5 é raiz cúbica de 125 porque 5 3 = 125. 
 
Desta maneira podemos generalizar as duas informações anteriores como segue. 
 
Definição: Consideremos n um número inteiro maior que 1 (n > 1) e a e b números 
reais. Definimos: 
radical 
radicando 
 
 
 
73 
Matemática Elementar 
 
 
i) Se b n = a, então b é dita uma raiz n-ésima de a. 
ii) Se a possui uma raiz n-ésima, então a principal raiz n-ésima de a é aquela com o 
mesmo sinal de a. 
iii) A principal raiz n-ésima de a é denotada pela expressão com radical 
n a
. O inteiro 
positivo n é o índice do radical e a é o radicando. 
 
Sendo assim, por exemplo: 
 3 e – 3 são raízes quadradas de 9, já que 3 2 = (–3) 2 = 9. Logo, a principal raiz 
quadrada de 9 é 3. 
 4 e – 4 são raízes quadradas de 16, já que 4 2 = (–4) 2 = 16. Logo, a principal raiz 
quadrada de 16 é 4. 
 4 é raiz cúbica de 64 porque 43 = 64. Logo, a principal raiz cúbica de 64 é 4. 
 
 
Ressaltamos, que todo número real tem exatamente uma raiz n-
ésima real quando n é ímpar. Por exemplo, 2 é a única raiz cúbica 
real de 8. 
Quando n é par, números reais positivos têm duas raízes n-ésimas 
reais, enquanto que números reais negativos não têm raízes n-
ésimas reais. Por exemplo, 4 16 = ± 2 e –16 não tem raiz quarta 
real. A principal raiz quarta de 16 é 2. 
 
 
 
Quando n = 2, utilizamos uma notação especial, i.e., uma notação padronizada. 
Omitimos o índice e escrevemos
2
, ao invés de escrevermos
2 a
. Se a é um 
número real positivo e n um inteiro par positivo, suas duas raízes n-ésimas são 
denotadas por 
n a
 e – 
n a
. 
Vejamos alguns exemplos ilustrativos, onde apresentamos a verificação de algumas n-
ésimas principais. 
 
1) 
36
 = 6, pois (6) 2 = 36. 
2) 
3
8
27

 = – 
2
3
 porque (– 
2
3
) 3 = – 
8
27
. 
 
 
74 
Matemática Elementar 
 
3) 
4 625
 não é um número real porque o índice 4 é par e o radicando – 625 é 
negativo (não existe número real cuja quarta potência seja negativa). 
 
2.1.1 Propriedade Fundamentais e Operatórias das Potências 
 
Vejamos agora algumas propriedades fundamentais das potências, juntamente com 
exemplos que nos auxiliam a ilustrar seus significados. 
 
Regra Descrição Exemplo 
a0 = 1 
 
Qualquer número elevado à potência ZERO 
resulta 1. Só não pode ser 00, pois este não existe! 
 
  137 04  
20 = 1 
 
a1 = a 
 
A potência 1 indica que devemos multiplicar "a" 
por ele mesmo 1 única vez. Portanto, é o próprio 
"a". 
 
  414 3737  
231 = 23 
 
1n = 1 
 
A potência "n" indica quantas vezes o número 1 
será multiplicado por ele mesmo, e não interessa 
quantas vezes seja, sempre será 1. 
 
11 5  
123 = 1 
 
0n = 0 
 
Não interessa quantas vezes o zero seja 
multiplicado por ele mesmo, sempre será zero. 
 
00 5  
0(-47) = 0 
 
n
n
a
a
1
 
Sempre que tivermos um expoente negativo, este 
troca de numerador para denominador e troca o 
sinal da potência para positivo. 
 
44
2
9
9
2













 
2
2
3
1
3  
n
n
a
a


1
 
Se tivermos uma potência negativa no 
denominador, este se transforma em numerador 
ao trocar o sinal da potência para positivo. 
7
7
1
1

 
4
4
92
9
2
x
 
 
 
 
 
 
75 
Matemática Elementar 
 
 
A tabela a seguir apresenta algumas propriedades operatórias das potências, que são 
extremamente importantes para nos auxiliar na agilidade com os cálculos onde estão 
envolvidas: 
Regra Descrição Exemplo 
baba xxx .
 Multiplicação de potências de mesma 
base: Conserva-se a base e soma-se os 
expoentes. 
73434 555.5  
 
ba
b
a
x
x
x 
 
Divisão de potências de mesma base: 
Conserva-se a base e subtrai-se os 
expoentes 
 
42626 121212/12   
aaa xyyx )(.  
Multiplicação de potências de 
mesmo expoente: Conserva-se o 
expoente e multiplica-se a base 
5555 54)96(9.6  x 
a
a
a
y
x
y
x







 
Divisão de potências de mesmo 
expoente: Conserva-se o expoente e 
divide-se as bases 
 
4
44
5
8
5/8 






 
  baba xx . 
Potência de Potência: Conserva-se a 
base e multiplica-se os expoentes. 
63232 44)4(  x
 
 
 
Número negativo elevado a qualquer expoente PAR este se 
comporta como se fosse positivo: multiplicação de "menos com 
menos dá mais". 
Exemplo: (-5)4 = (-5).(-5).(-5).(-5) = 625 
 
Número negativo elevado a qualquer expoente ÍMPAR o sinal 
negativo permanecerá na resposta. 
Exemplo: (-5)3 = (-5).(-5).(-5) = -125 
 
(-5)2 é totalmente diferente de -52 . 
No primeiro caso o sinal de menos também está elevado ao 
quadrado, então a resposta é +25. 
Já no segundo caso, o menos não está elevado ao quadrado, 
somente o 5, portanto a resposta é -25. 
 
 
 
76 
Matemática Elementar 
 
2.1.2 Propriedade Fundamentais e Operatórias dos Radicais 
 
Quando trabalhamos com radicais, a forma mais simples de desenvolvê-lo é 
transformando-o em potência. Dessa forma, aplicaremos as propriedades já 
conhecidas. 
Vejamos agora algumas propriedades fundamentais dos radicais, juntamente com 
exemplos que nos auxiliam a ilustrar seus significados. 
 
Regra Descrição Exemplo 
00 n
 Isto acontece porque ZERO vezes ZERO 
sempre será zero, não importa quantas "n" 
vezes ele aparecer. 
 
005 
 
004 
 
11 n
 Um multiplicado por um é sempre um, 
independente de quantas vezes ele 
aparecer. 
113 
 
114 
 
aa 1
 Esta podemos provar pela definição de raiz. 
Qual o número que multiplicado uma vez 
por ele mesmo resulta ele? Ele mesmo! 
551 
 
12121 
 
nn aa
1

 
Se colocarmos esta raiz na forma de 
potência temos: nn aa 11  
 
3
1
3 44  
√8 = 8
1
2 
aan n 
 Se colocarmos esta raiz na forma de 
potência temos: nnn n aa  e a fração de 
𝑛
𝑛
 
vale 1, então: 
aaaa n
n
n n  1
 
4444 13
3
3 3  
14141414 16
6
6 6  
n
b
n b aa 
 
Esta propriedade é idêntica à anterior, com 
a única diferença deque agora o "a" está 
elevado em uma potência diferente do 
radical n. 
36666 24
8
4 8 
 
 
A tabela a seguir apresenta algumas propriedades operatórias dos radicais: 
 
 
 
77 
Matemática Elementar 
 
 
 
Regra Descrição Exemplo 
√𝑎𝑏
𝑥
 . √𝑎𝑐
𝑦
= 𝑎
𝑏
𝑥+
𝑐
𝑦 
Ao transformarmos as raízes da 
multiplicação em potenciação, 
utilizamos a propriedade de 
multiplicação de potências de mesma 
base: Conserva a base e soma os 
expoentes. 
√22
2
. √28
4
= 
2
2
2+
8
4 = 21+2 = 23 
= 8 
√
𝑎
𝑏
𝑛
 = 
√𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛 
Se tivermos uma fração em uma raiz, 
podemos desmembrar numerador 
de denominador, considerando a 
divisão dos termos e conservando 
sempre o mesmo radical para cada 
um deles. 
4
6
96
= 
4 16
 = 2 
2
56,1
13,3
6
96
4
4

 
 
√𝑎
𝑛 . √𝑏
𝑛
= √𝑎. 𝑏
𝑛
 
Se transformarmos a multiplicação 
de raízes em multiplicação de 
potências, podemos utilizar a 
propriedade de multiplicação de dois 
números na mesma potência. 
3.575
3.253.25


 
 
 
√ √𝑎
𝑦𝑥
= √𝑎
𝑥𝑦
 
Se transformarmos a raiz em 
potência, teremos: 
√ √𝑎
𝑦𝑥
= (𝑎
1
𝑦)
1
𝑥
= 𝑎 
Agora o que devemos fazer é voltar 
de potência para raiz 
(𝑎
1
𝑦)
1
𝑥
= 𝑎
1
𝑥.
1
𝑦 = 𝑎
1
𝑥𝑦 = √𝑎
𝑥𝑦
 
63.23 777 
 
 
 
 
 
 
78 
Matemática Elementar 
 
 
2.1.3 Simplificação de Expressões com Radicais 
 
Diversas técnicas de simplificação de raízes de números reais não são mais usadas, 
devido à utilização permanente de calculadoras e programas computacionais. 
Todavia, mostraremos abaixo através de exemplos ilustrativos quais os 
procedimentos necessários a fim de simplificarmos expressões que envolvem radicais 
quaisquer. 
 
1) 
4 80
 = 
4 5.16
= 
4 4 5.2
= 4 42 . 4 5 = 2. 4 5 
2) 
5.18 x
 = 
xx 2...9 4
 = 
xx 2.)3( 2
 = 3.x2 .
x2
 
3) 
4 44 .yx
= 
4 4).( yx
= |x.y| 
4) 
3 624y
= 
3 32 3.).2( y
= –2.y 2 .
3 3
 
 
 
Uma expressão envolvendo potências ou radicais está simplificada: 
 
 
 Se cada fator aparecer somente uma vez. 
 Se todos os expoentes são positivos. 
 Remover fatores dos radicais. 
 Eliminar radicais dos denominares e 
denominadores dos radicandos. 
 Combinar, sempre que possível, somas e 
diferenças dos radicais. 
 
 
 
Vejamos mais alguns exemplos ilustrativos. 
 
 
 
79 
Matemática Elementar 
 
 
 
 
3)( yx
 = (x + y) 23 
 3.x. (
5 2x
= 3.x.x 52 = 3.x 57 
 x 32 .y 31 = (x 2 y) 31 = 
3 2 yx
 
 
 
2.2 Polinômios e Fatoração 
 
Aqui discutiremos a parte relacionada as operações básicas que envolvem os 
polinômios, que em verdade são expressões comuns que aparecem no dia-a-dia da 
Matemática, independentemente da sua subárea. 
 
 Monômios são expressões algébricas representando o produto de 
constantes e variáveis. São ditos semelhantes quando a parte das 
variáveis de um são idênticas. 
 
 
 
 
Polinômio: toda expressão algébrica composta por monômios ou 
pela soma de monômios. Os monômios que fazem parte do 
polinômio são chamados termos. 
Exemplos: 5x2y +2b 
3x + 2yt + t 
 
 
 
Definição formal: Entendemos como sendo um polinômio em x (ou na variável x) é 
qualquer expressão que pode ser escrita na forma: 
 
 
80 
Matemática Elementar 
 
 
a
n
.x n + . a
1n
.x 1n + a
2n
.x 2n +...+ a
1
.x + a
0
 
 
onde n é um inteiro não negativo e a
n
≠ 0. Os números a
1n
,..., a
1
, a
0
 são números 
reais chamados coeficientes. O grau do polinômio é n e o coeficiente principal é o 
número a
n
. 
 
 
A figura abaixo apresenta os conceitos básicos da teoria que envolve o conteúdo de 
polinômios: 
 
Figura: Alguns conceitos básicos da teoria envolvendo os polinômios. 
 
 
Além disso, polinômios com um, dois, três termos são monômios, binômios e 
trinômios, respectivamente. Um polinômio escrito com as potências de x na ordem 
decrescente está na forma padrão. Veja exemplos na figura a seguir. 
Coeficientes: são números reais, valores 
constantes, os valores numérico do 
polinômio. 
Grau: é o valor do maior n da parte variável 
(para polinômio de uma variável) ou o grau 
do maior monômio (para polinômio com 
duas ou mais variáveis). 
Coeficiente Principal: 
número do an do polinômio.
Variável: a letra que irá representar qualquer 
número ou um conjunto de números. 
Polinômios
 
 
 
81 
Matemática Elementar 
 
 
 
Figura: Grau do Polinômio e sua Forma Padrão. 
 
Vejamos alguns exemplos ilustrativos de polinômios. 
 
 
 2.x + 1 : grau 1, binômio 
 3x: grau 1, monômio 
 2x 3 + 4x 2 – 10x: grau 3, trinômio 
 2 x 4 + 7x3 + 5x 2 : grau 4, trinômio 
 x 7 + 2.x4 + 7x 3 : grau 7, trinômio 
 2x 3 + 19: grau 3, binômio 
 
Para adicionarmos ou subtrairmos polinômios, nós adicionamos ou subtraímos 
termos semelhantes usando a propriedade da distributiva. Termos dos polinômios 
que têm a mesma variável, cada uma elevada à mesma potência, são termos 
semelhantes. 
 
 
Termos semelhantes são àqueles termos dos polinômios que têm a 
mesma variável, cada uma elevada à mesma potência. 
 
 
 
 
 
Monômios
2a2b3
Binômios
2x + 3y
Trinômios
2x2 + 3y + xt
Forma Padrão
x3 + 2x2 -x + y
Polinômios
 
 
82 
Matemática Elementar 
 
2.2.1 Operação com Polinômios 
 
 
Adição entre polinômios: reduzir à forma mais simples, ou seja, redução de termos 
semelhantes (os que possuem a mesma parte variável). Para tanto, eliminamos os 
parênteses e somamos os termos semelhantes. 
 
 
 
 
Subtração de polinômios: conservar os sinais dos termos do minuendo e trocar os 
do subtraendo, recaindo, portanto, na adição. 
 
 
 
 
 
Multiplicação de monômio por polinômios: determinar os produtos do monômio 
pelos termos do polinômio. 
 
 
 
 
 
 
 
83 
Matemática Elementar 
 
 
Multiplicação de polinômio por polinômio: determinar os produtos de cada termo 
do polinômio multiplicado pelos termos do polinômio multiplicando, um a um. 
 
 
 
 
Divisão de polinômios: determinar os quocientes de cada termo do polinômio 
dividendo pelo monômio divisor, recaindo no caso anterior. 
 
 
 
 
2.3 Produtos Notáveis 
 
Em muitas situações alguns produtos podem ser bastante úteis, tais produtos 
denominamos de produtos notáveis. Na figura abaixo listamos alguns produtos 
notáveis que utilizamos no dia-a-dia dos cálculos. 
 
 
 
84 
Matemática Elementar 
 
 
Figura: Principais produtos notáveis que utilizamos em cálculos diversos. 
 
Vejamos a descrição dos mesmos como segue: 
 
Descrição Desenvolvimento Exemplo 
Quadrado de 
uma soma de 
dois termos 
(u + v) 2 = u 2 + 2uv + v 2 a) (2 + 3) 2 = 
b) 2 2 + 2.2.3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 
c) 25 
Quadrado de 
uma diferença 
de dois termos 
(u – v) 2 = u 2 – 2uv + v 2 (4 – 2)2 = 
4 2 – 2.4.2 + 2 2 = 
16 – 16 + 4 = 
4 
Produto de 
uma soma e 
uma diferença 
(u + v).(u – v) = u2 – v2 (5 + 3).(5 – 3) = 
5 2 – 3 2 = 
25 – 9 = 
d) 16 
e) 
f) (3x + 8).(3x – 8) = 
g) (3x) 2 – (8)2 = 
h) 9x 2 – 64 
Quadrado de 
uma soma de 
dois termos
Quadrado de 
uma diferença 
de dois termos
Produto de 
uma soma e 
umadiferença
Cubo de uma 
soma de dois 
termos
Cubo de uma 
diferença de 
dois termos
 
 
 
85 
Matemática Elementar 
 
 
Cubo de uma 
soma de dois 
termos 
(u + v) 3 = u 3 + 3 u2 v + 3uv 2 + v3 (2 + 3)3 = 
2 3 + 3 2 2 .3 + 3.2.3 2 + 3 3 = 
8 + 36 + 54 + 27 = 
125 
Cubo de uma 
diferença de 
dois termos 
(u – v) 3 = u 3 – 3 u2 v + 3uv 2 – v3 i) (2x – 3y) 3 = 
j) (2x) 3 – 3.(2x)2 .(3y) + 
3.(2x)(3y) 2 – (3y)3 = 
k) 8x 3 – 36x2 .y + 54.xy 2 – 
27y 3 
 
 
2.4 Fatoração de Polinômios usando Produtos Notáveis 
 
Observemos que quando escrevemos um polinômio como um produto de dois ou 
mais fatores polinomiais, estamos fatorando um polinômio. Um tipo especial de é 
polinômio irredutível, conforme descrito na figura. 
 
Figura: Polinômio Irredutível. 
 
Além disso, salientamos que um polinômio está fatorado completamente se estiver 
escrito como um produto de seus fatores irredutíveis. 
 
Polinômio 
Irredutível Não pode ser 
fatorado usando 
coeficientes inteiros
 
 
86 
Matemática Elementar 
 
 
a) 2x 2 + 7x – 4 = (2x – 1).(x + 4) 
b) x 3 + x 2 + x + 1 = (x + 1).(x 2 + 1) 
O exemplo “b” está fatorado completamente, pois 
podemos mostrar que x 2 + 1 é irredutível. 
 
 
Se o polinômio x 3 – 9x for fatorado como x.(x 2 – 9), podemos afirmar que ele 
não estaria fatorado completamente, pois (x 2 – 9) não é irredutível. 
De fato, notamos que podemos escrever que: 
(x 2 – 9) = (x – 3).(x + 3) 
x 3 – 9x = x.(x – 3).(x + 3). Assim, o polinômio x 3 – 9x estará fatorado 
completamente. 
 
 
O primeiro passo na fatoração de um polinômio é remover e 
colocar em evidência fatores comuns de seus termos usando a 
propriedade distributiva, como mostramos nos exemplos 
seguintes. 
 
 
Exemplos de fatoração de polinômios pelo “Fatores Comuns em Evidência” 
 
a) x 2 + x = x.(x + 1), colocamos o fator x em evidência 
b) 2x 3 + 2x 2 – 6x = 2x.( x 2 + x – 3), colocamos o fator 2x 
em evidência 
c) x 2 + x 4 = x2 .(1 + x 2 ), colocamos o fator x 2 em 
evidência 
d) u 3 .v + u.v3 = u.v.( u2 + v 2 ), colocamos o fator u.v em 
evidência 
e) 5x 2 + 5x + 5 = 5.(x 2 + x + 1), colocamos o fator 5 em 
evidência 
f) x.u + v.x + a.x = x.(u + v + a), colocamos o fator x em 
evidência 
 
 
 
 
87 
Matemática Elementar 
 
 
 
Além disso, devemos notar também que: 
 
 
 
 
 
 
Exemplos de fatoração de polinômios pela “Fatoração da Diferença de Dois 
Quadrados” 
 
 
a) 25x 2 – 36 = (5x) 2 – 62 = (5x + 6).(5x – 6) 
b) 4x 2 – (y + 3) 2 = (2x) 2 – (y + 3) 2 = [2x + 9y + 3)].[2x 
– (y + 3)] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplos de fatoração de polinômios pela “Fatoração de Trinômios Quadrados 
Perfeitos” 
 
 
a) 9x 2 + 6x + 1 = (3x) 2 + 2.(3x).(1) + 1 2 
b) 4x 2 – 12xy + 9y 2 = (2x) 2 – 2.(2x).(3y) + (3y) 2 
 
 
 
Reconhecer a forma expandida dos cinco 
produtos notáveis citados anteriormente nos 
ajudará a fatorar uma expressão algébrica. 
 
Um trinômio quadrado perfeito é o quadrado de um binômio e tem 
uma das duas formas mostradas aqui. O primeiro e último termos 
são quadrados de u e v e o termo central é duas vezes o produto 
de u e v. Os sinais da operação antes do termo central e no binômio 
são os mesmos. 
 
 
88 
Matemática Elementar 
 
2.5 Expressões Fracionárias e Expressões Racionais 
 
Outros dois tipos de expressões que muito nos interessam nessa introdução de 
conceitos matemáticos, são as expressões fracionárias e as expressões racionais, 
conforme definidas na figura abaixo. 
 
 
 
Figura: Expressão fracionária e Expressão racional. 
 
 Exemplos de Expressões Fracionárias 
 
 
a) 
x
x 1 b) 
1
12
2
2


x
xx
 
c) x
yx
2
. 2
 d) 
32
2


x
x 
 
 
 
 
 
 
 
Expressão Fracionária (ou fração)
• É um quociente envolvendo duas expressões algébricas, sendo 
que pelo menos um termo possui incógnita no denominador.
Expressão Racional
• É o quociente envolvendo polinômios.
 
 
 
89 
Matemática Elementar 
 
 
Exemplos de Expressões Racionais 
 
 
a) 32
27


x
x
 
b) 
4x
x
 c) 
32
13
2 

xx
x
 
d) 
45
12
3
2


xx
xx
 
e) 
35
12
2
23


xx
xx
 
f) 
5x
x
 
 
 
 
CONCLUSÃO 
 
Na maioria das vezes, um problema matemático envolve o uso 
de mais de um conceito ou teoria. Em algumas situações será preciso 
utilizar-se das propriedades fundamentais da potência ou dos radicais 
para efetuar um cálculo de uma expressão racional ou fracionária. Ou 
ainda, será preciso simplificar ou racionalizar ou fatorar um polinômio, 
para chegarmos a uma forma possível de desenvolver o cálculo 
algébrico. 
Assim, é preciso ter essas propriedades, conceitos e contextos 
bem esclarecidos para que os mesmos possam ser aplicados de forma 
isolada ou em conjunto como artifícios para facilitar uma determinada 
resolução de problemas de situações reais. 
 
 
90 
Matemática Elementar 
 
Atividades 
Para encerrarmos, como forma de fixação da teoria 
apresentada, listamos algumas atividades resolvidas sobre o 
conteúdo de Potências, Radicais e Polinômios trabalhados 
nessa unidade 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Potência e Radicais 
1) Simplifique as potências e o radicais. 
a) z 23 = 
3
1
z
 
b) (x 2 y 9 ) 31 .(x.y 2 ) = (x 32 .y3 ).( x.y 2 ) = x 35 . y5 
c) 



















 
5
2
2
1
2
1
3
2
.2
.
.3
y
x
y
x = 
10
9
6
1
.6
y
x 
d) 2. 80 – 125 = 2. 5.16 – 5.25 = 8. 5 – 5. 5 = 3. 5 
 
2) Utilize as propriedades de potências e radicais e encontre o valor de x na 
expressão: 32x+1 . 93x+1 = 9x – 1 
 
Solução: 
3(2x+1). 32(3x+1) = 32(x-1) 
Multiplicação de potências de mesma base: conserva-se a base e soma-se os 
expoentes. Como procuramos o valor de x e não o valor da expressão, vamos 
trabalhar agora só com os expoentes: 
2x+1 + 2(3x+1) = 2(x-1) 
2x+1 + 6x+2 = 2x -2 
6x = -5 
x = -5/6 
 
 
 
 
 
91 
Matemática Elementar 
 
 
3) O valor de 33 . 93 . 39 . 99 é igual a: 
 
Solução: 
312.912 = (3.9)12 = 2712 
 
1) Utilize as propriedades de potências e radicais e encontre o valor de x na 
expressão: (2x) x+2 = 256 
 
Solução: 
2x(x+2)=28 
x(x+2) = 8 => x2 + 2x - 8 = 0 
Delta = b2 – 4.a.c = 4-4.1.(-8) = 4+32 = 36 
x’=(-2+6)/2 = 4/2=2 
x” = (-2-6)/2 = -4 
 
Operações com polinômios: 
5) Vamos calcular a soma entre os polinômios (3x + 4) e (7x – 10). 
 
Solução: Vamos agrupar os termos semelhantes e então combinamos, como segue: 
(3x + 4) + (7x – 10) 
= (3x + 7x) + (4 – 10) 
= 10x – 6 
 
6) Vamos calcular a soma entre os polinômios (2x 3 – 3) e (5x 3 + x2 + x – 2). 
 
Solução: Vamos agrupar os termos semelhantes e então combinamos, como segue: 
(2x 3 – 3) + (5x 3 + x 2 + x – 2) 
= (2x 3 + 5x 3 ) + x 2 + x + (– 3 – 2) 
= 7x 3 + x 2 + x – 5 
 
7) Vamos calcular a diferença entre os polinômios (2x + 5) e (3x – 1). 
 
Solução: Vamos agrupar os termos semelhantes e então combinamos, como segue: 
(2x + 5) – (3x – 1) = (2x – 3x) + (5 – (– 1)) = – x + 6 
 
 
92 
Matemática Elementar 
 
 
8) Vamos calcular a soma entre os polinômios (2x 3 – 3.x2 + 4x – 1) e (x 3 + 2x2 – 
5x+ 3). 
 
Solução: Vamos agrupar os termos semelhantes e então combinamos, como segue: 
(2x 3 – 3.x 2 + 4x – 1) + (x 3 + 2x 2 – 5x + 3) 
= (2x 3 + x 3 ) + (– 3.x 2 + 2.x 2 ) + (4x + (–5x) + (1 – 3) 
= 3x 3 – x 2 – x + 2 
 
9) Vamos calcular a soma entre os polinômios (4x 2 + 3x – 4) e (2x3 + x 2 – x + 3). 
 
Solução: Vamos agrupar os termos semelhantes e então combinamos, como segue: 
(4x 2 + 3x – 4) e (2x3 + x 2 – x + 3) 
= (0 – 2x 3 ) + (4x 2 – x 2 ) + (3x – (– x)) + ( – 4 – 2) 
= – 2x 3 + 3x 2 + 4x – 6 
 
10) Calcular o produto de dois polinômios (3x + 2).(4x – 5) 
 
Solução: 
3x.(4x – 5) + 2.(4x – 5) 
= (3x).(4x) – (3x).(5) + (2).(4x) – (2).(5) 
= 12x2 – 15x + 8x – 10 
 
 
 
 
 
93 
Matemática Elementar 
 
 
 
 
 
Reconhecer, interpretar e resolver problemas envolvendo equações e 
inequações de forma geral. 
 
 
 
 Equações de 1º grau 
 Equações de 2º grau 
 Sistemas de Equações 
 Inequações de 1º grau 
 Inequações de 2º grau 
 Sistemas de Inequações 
Unidade III – Equações 
e Inequações 
 
Objetivos da Unidade 
 
 
Plano de Estudos 
 
 
III 
 
 
94 
Matemática Elementar 
 
3.1 Introdução às Equações 
 
O conceito de equação que discutiremos neste momento, já aparece 
constantemente no nosso cotidiano. Entendemos por equação a uma afirmativa de 
igualdade entre duas expressões. 
De forma mais elaborada, podemos dizer que o conceito de Equação significa 
igualarmos duas expressões, visando descobrir o valor das variáveis ou incógnitas. 
Desse modo, quando falamos em equacionar um problema, estamos nos propondo 
a modelar matematicamente um problema, visando estruturar meios para 
encontrarmos uma solução. 
 
Trabalharemos nessa unidade com dois tipos especiais de equação, conforme figura 
abaixo: 
 
 
Figura: Tipos de equações a serem discutidas. 
 
3.1.1 Equação do Primeiro Grau 
 
Inicialmente ressaltamos que a equação do primeiro grau aparece de forma contínua 
no nosso dia-a-dia sem percepção de tal utilização. 
Logo, podemos definir de maneira formal a noção de equação do 1º grau, como 
segue. 
 
 
 
Equações
Equação de 
1º grau
Equação de 
2º grau
 
 
 
95 
Matemática Elementar 
 
 
 
Definição: Uma equação do primeiro grau é formada por 
monômios cujo de maior grau é de grau 1, podendo sempre ser 
reduzida à seguinte forma: a.x + b = 0, onde a e b são números 
reais, com a ≠ 0 e x a variável (incógnita) da equação. 
 
 
 
Vejamos alguns exemplos envolvendo a resolução de equações do primeiro grau. 
 
 
1) Suponhamos que de cada sorvete vendido por um picolezeiro 
por R$1,00 sobre R$0,40. Quantos sorvetes ele precisará 
vender para juntar R$320,00? 
 
Solução: Este é um exemplo bastante simples em que utilizamos 
diretamente a noção de equação do primeiro grau. Basta 
montarmos a seguinte equação do primeiro grau: 
0,4.x – 320=0 
Ou ainda, 
0,4.x=320, onde x será a icognita que representará o número de 
sorvetes. 
Desta maneira, basta isolarmos o x, ou seja: 
0,4.x = 320 
x = 
4,0
320
 
x = 800 sorvetes 
Portanto, concluímos que o picolezeiro deve vender 800 sorvetes 
para conseguir juntar R$320,00. 
 
 
 
2) Quantos quartos existem em 26 inteiros? 
Solução: Neste caso, temos a seguinte equação do primeiro grau 
associada: 
4
x
 = 26 
E, portanto, concluímos que x = 26.4, ou seja, em 104. 
Em 26 inteiros existem 104 quartos. 
 
 
 
96 
Matemática Elementar 
 
 
3) Quanto devo adicionar em 
5
2
 para obter 35 inteiros? 
Solução: Neste caso, temos a seguinte equação do primeiro grau 
associada: 
x + 
5
2
 = 35 x = 35 – 
5
2
 
 x = 
5
173
 
 
 
 
3) Quanto devo adicionar em 
5
2
 para obter 35 inteiros? 
Solução: Neste caso, temos a seguinte equação do primeiro grau 
associada: 
x + 
5
2
 = 35 x = 35 – 
5
2
 
 x = 
5
173
 
 
 
4) Quatro pessoas resolveram montar uma sociedade. A primeira colocou uma 
quantia de capital igual ao dobro do capital da terceira. A segunda colocou a metade 
do que colocou a quarta, que por sua vez colocou o triplo da terceira. Se o capital 
da empresa é de R$150.000,00, quanto colocou cada uma delas? 
 
Solução: De acordo com o enunciado podemos escrever: 
1ª Pessoa: 2.x (a primeira pessoa colocou o dobro do capital da terceira) 
2ª Pessoa: 
2
3x
 (a segunda pessoa colocou a metade do capital da terceira) 
3ª Pessoa: x (capital investido pela terceira pessoa) 
4ª Pessoa: 3.x (a quarta pessoa colocou o triplo do capital da terceira) 
Logo, podemos montar a seguinte equação do primeiro grau: 
 
2x + 
2
3x
 + x + 3x = 150000 
Ou seja, 
 
 
 
97 
Matemática Elementar 
 
 
6x + 
2
3x
 = 150.000 


2
312 xx
150.000 
15x=300.000 
x = 20.000 (Por quê?) 
 
Portanto: 
- A primeira pessoa investiu R$40.000,00 na sociedade; 
- A segunda pessoa investiu R$30.000,00 na sociedade; 
- A terceira pessoa investiu R$20.000,00 na sociedade; 
- A quarta pessoa investiu R$60.000,00 na sociedade; 
 
Para finalizarmos o desenvolvimento deste exemplo, notemos claramente que a soma 
das quantias é igual a 150000 (40000 + 30000 + 20000 + 60000). 
 
5) Se uma empresa vende um produto em que a cada venda sobram R$2,50, quantos 
produtos deverá vender para juntar uma sobra de R$6.250,00? 
Solução: Neste caso, podemos escrever que: 
2,5.x = 6250 x = 
5,2
6250
 x = 2500 
A empresa deverá vender 2500 unidades do referido produto. 
 
 
 
 
Quando encontramos o valor de x, afirmamos que encontramos 
a raiz da equação. 
 
 
 
3.1.2 Equação do Segundo Grau 
 
Uma vez que acabamos de discutir os aspectos teóricos relacionados à equação do 
primeiro grau, podemos avançar para a equação do segundo grau. Ressaltamos que 
ainda estaremos trabalhando com igualdade de expressões, porém, numa equação 
do segundo grau, o monômio de maior grau que compõe é do segundo grau. 
 
 
98 
Matemática Elementar 
 
 
 
Definição: Uma equação do segundo grau é uma equação que 
possui a forma: a.x² + b.x + c = 0, onde a, b e c são números 
reais, com a ≠ 0 e x a variável (incógnita) da equação. 
 
No caso de uma equação do segundo grau, poderemos ter duas raízes reais, melhor 
explicando, dois valores que x pode assumir para satisfazer à equação. Para 
encontrarmos as raízes de uma equação do segundo grau, utilizamos a fórmula de 
Bháskara: 
 
 
x = 
a
b
.2
 , em que  (Delta) é o discriminante da equação, 
obtido pela seguinte fórmula: 

= b² – 4.a.c 
 
 
Além disso, em função do discriminante 

 podemos ter três 
situações distintas, que são: 
 
1ª) Delta maior do que zero (

 > 0): duas raízes reais e distintas 
(x’≠ x’’) 
2ª) Delta igual a zero (

 = 0): duas raízes reais e iguais (x’ = x’’) 
3ª) Delta menor do que zero (

 < 0): não existem raízes reais 
 
 
 
 
A fórmula de Bhaskara está entre as cinco principais fórmulas 
matemáticas utilizadas. Para conhecer um pouco mais sobre 
acesse: 
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/quadratics/solving-
quadratics-using-the-quadratic-formula/a/quadratic-formula-
explained-article 
 
 
 
 
 
 
 
 
99 
Matemática Elementar 
 
 
 
 
Vejamos alguns exemplos ilustrativos envolvendo a resolução de 
equações do segundo grau. 
 
Vamos resolver as seguintes equações do segundo grau abaixo. 
a) x 2 + 3x + 2 = 0 
b)-x 2 + 6x – 9 = 0 
c) x 2 + 4x + 9 = 0 
 
Solução: 
a) Aqui, temos que a = 1, b = 3 e c = 2, desta forma: 

 = b 2 – 4.a.c 

 = 3 2 – 4.(1).(2) 

 = 9 – 8 

 = 1 
Logo, as raízes são: 
x’ = 
a
b
.2
 = 
)1.(2
13  = 
2
2
 = -1 
x’’ = 
a
b
.2
 =
)1.(2
13 = 
2
4
 = -2 
Notemos ainda que se substituirmos os valores de x encontrados obviamente a 
equação nos levará a 0 = 0. 
 
b) Aqui, temos que a = -1, b = 6 e c = -9, desta forma: 

 = b 2 – 4.a.c 

 = 6 2 – 4.(-1).(-9) 

 = 36 – 36 

 = 0 
Logo, as raízes são: 
 
 
10
0 Matemática Elementar 
 
x’ = 
a
b
.2
 = 
)1.(2
06

 = 
2
6


 = 3 
x’’ = 
a
b
.2
 = 
)1.(2
06

 = 
2
6


 = 3 
 
c) Aqui, temos que a = 1, b = 4 e c = 9, desta forma: 

 = b 2 – 4.a.c 

 = 4 2 – 4.(1).(9) 

 = 16 – 36 

 = -20 
 
Logo, como não podemos extrair a raiz de -20, não existem raízes reais. Isto significa 
que não existe um único número real que substituindo x na equação faça-a igual a 
zero. 
 
 
 
Existem vários aplicativos online que nos auxiliam com a a fórmula 
de Bhaskara. O link a seguir nos ajuda a confirmar os valores 
encontrados na aplicação da fórmula. Veja: 
http://ecalc.blogspot.com.br/p/baskara.html 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura abaixo apresenta o resumo das situações envolvendo o 
valor de 

 (delta): 
 
Figura: Situações envolvendo o discriminante de uma equação do segundo 
grau. 
Delta > 0
•Duas raízes reais 
e distintas
Delta = 0
•Duas raízes reais 
e iguais
Delta < 0
•Não existem 
raízes reais. 
 
 
 
101 
Matemática Elementar 
 
 
3.1.3 Sistemas de Equações 
 
Em alguns problemas teremos mais de uma equação para solucionar e até mesmo 
mais de uma incógnita para encontrar o valor. Veja o exemplo a seguir que envolve 
um sistema de equações de 1º grau: 
 
 
A soma das idades de duas colegas é 24 anos. Quais são suas 
idades sabendo que a maior é 4 anos mais velha? 
 
Nesse caso temos duas variáveis desconhecidas, que vamos chamar de x e y. 
x – idade da mais velha 
y – idade da mais nova 
 
O enunciado nos permite montar duas equações distintas: 
I) x + y = 24 (a soma das idades é 24 anos) 
II) x - y = 4 (a maior é 4 anos mais velha, isto é a diferença de 4 anos) 
 
Isolando x na equação I: 
x = 24 – y 
 
Substituindo o valor isolado de x na equação II: 
x – y = 4 
(24 - y) –y = 4 
24 – 2y = 4 
-2y = -24 + 4 
-2y = -20 
y = 10 
 
Substituindo o valor de y na equação I: 
 
 
10
2 Matemática Elementar 
 
x+y = 24 
x + 10 = 24 
x = 24 – 10 
x = 14 
 
A colega mais velha (x) tem 14 anos e a mais nova (y) tem 10 anos. 
A equação I é atendida: x + y = 24 
A equação II é atendida: x – y = 4 
 
Em resumo, para resolver o problema proposto vamos seguir o passo a passo: 
 
 
1º) Montar as duas equações de acordo com o enunciado do 
problema. 
2º) Isolar uma das variáveis em uma das equações. Por exemplo x, 
na equação I. 
3º) Utilizar o valor isolado na equação I e substituir na equação II. 
Por exemplo, substituir o valor de x isolado em I, na equação II. 
4º) Resolver a equação II e encontrar o valor de y. 
5º) Substituir o valor encontrado para y na equação I e encontrar 
o valor de x. 
6º) Confirmar se os valores encontrados satisfazem as duas 
equações inicialmente estabelecidas. 
 
 
IMPORTANTE: O sistema de equações pode envolver mais de 
duas equações e todas devem ser atendidas no resultado final 
obtido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
103 
Matemática Elementar 
 
 
 
Esse próximo exemplo envolverá um sistema de equações do 2º 
grau. 
Um salão de festas tem a forma da figura a seguir, com perímetro 
de 64m e área de 192m2. Determine as medidas x e y indicadas 
na figura e calcule a dimensão desse salão de festas. 
 
 
 
 
De acordo com o enunciado teremos: 
I) y + 2x + y + 2x + y + 2x + y + 2x = 64m 
II) 2x . ( y + 2x + y) = 192 
 
Simplificando as equações, teremos: 
I) 8x + 4 y = 64m (: 4) 
2x + y = 16 
 
II) 2x (2y+2x) = 192 
4xy+ 4x2 = 192 (:4) 
xy + x2 = 48 
 
Chegamos a um sistema de equações do 2º grau. É um sistema porque temos duas 
variáveis e é de 2º grau porque o sistema porque possui uma equação que é de 2º 
grau. 
{
2𝑥 + 𝑦 = 16
𝑥2 + 𝑥𝑦 = 48
 
 
 
 
10
4 Matemática Elementar 
 
Isolando y na 1ª equação: 
y = 16 – 2x 
 
Substituindo y na 2ª equação: 
x2 + x(16-2x) = 48 
x2 + 16x- 2x2 = 48 
-x2 + 16 x – 48 = 0 (-1) 
x2 - 16 x + 48 = 0 
 
Encontrando as raízes da equações de 2º grau, usando a fórmula de Bháskara: 
x’ = 
a
b
.2
 = 
)1.(2
48.1.41616 2  = 
2
816 
 = 12 
x’’ = 
a
b
.2
 = 
)1.(2
48.1.41616 2  = 
2
816 
 = 4 
 
Agora devemos determinar y cada um dos valores de x: 
 
Substituindo x = 4 Substituindo x = 12 
y = 16 – 2x 
y = 16 – 2.(4) 
y = 16 – 8 
y = 8 
y = 16 – 2x 
y = 16 – 2.(12) 
y = 16 – 24 
y = -8 
 
Encontramos então pares ordenados como solução do sistema: (4, 8) e (12,-8) 
Considerando que um salão de festas não pode ter uma dimensão negativa, vamos 
desconsiderar então o par ordenado que possui um valor negativo. 
 
Utilizando apenas os valores x = 4 e y = 8, vamos calcular as dimensões do salão de 
festas: 
2x = Largura 
8m = Largura 
y + 2x + y = Comprimento 
8 + 2.4 + 8 = Comprimento 
24m = Comprimento 
 
 
 
105 
Matemática Elementar 
 
 
 
3.1.3.1 Métodos de Resolução de um Sistemas de Equações 
 
Para resolver um sistema de duas equações e duas variáveis vamos conhecer dois 
métodos, conforme apresenta a figura: 
 
Figura: Métodos de Resolução do Sistemas de Equações. 
 
 Veja a resolução do sistemas de equações pelo método de 
substituição. 
{
𝑥 − 5𝑦 = 10 (𝐼)
3𝑥 + 𝑦 = 14 (𝐼𝐼)
 
Isolamos x na equação I: 
x = 10 + 5y 
 
 
Substituimos a equação equivalente de x na equação II: 
3x + y = 14 
3 (10 + 5y) + y = 14 
30 + 15y + y = 14 
16y = 14 – 30 
16 y = -16 
y = -1 
Metódo de Substituição 
• Isolar uma das variáveis em uma 
das equações. 
• Substituir essa variável na outra 
equação.
• Resolver a equação que ficou com 
uma variável. 
• Substituir o valor encontrado na 
equação que que ainda tem duas 
variáveis. 
Método de Adição ou Subtração
• Adicionar (ou subtrair) a equação I 
com (da) a equação II, tentando 
anular uma das variáveis. 
• Caso não seja possível eliminar 
uma das variáveis, multiplicar ou 
dividir uma das equações por um 
fator comum, que possibilite anular 
uma das variáveis antes de realizar 
a operação das equações. 
• Ao anular uma das variáveis, 
resolver a equação conforme o 
método de substituição. 
 
 
10
6 Matemática Elementar 
 
 
Substituindo y na equação I, para encontrar x: 
x – 5y = 10 
x = 10 + 5.(-1) 
x = 10 - 5 
x = 5 
 
Teremos como solução do sistema os valores de x = 5 e y = -1, ou seja o par 
ordenado (5, -1). 
 
 
Veja agora a resolução do mesmo sistemas de equações pelo 
método de adição. 
{
𝑥 − 5𝑦 = 10 (𝐼)
3𝑥 + 𝑦 = 14 (𝐼𝐼)
 
 
Se adicionarmos diretamente as equações teremos: 
{
𝑥 − 5𝑦 = 10 (𝐼)
3𝑥 + 𝑦 = 14 (𝐼𝐼)
 
__________________ 
4x – 4y = 24 
 
Ou seja, continuaremos com duas variáveis e não teremos condições de caminhar. 
Sendo assim, será preciso multiplicar uma das equações por um valor que nos permitaa eliminação de uma das variáveis. 
 
{
𝑥 − 5𝑦 = 10 (−3)
3𝑥 + 𝑦 = 14 
 
{
−3𝑥 + 15𝑦 = −30 (−3)
3𝑥 + 𝑦 = 14 
 
_______________________ 
 / 16y = -16 y = -1 
 
 
 
 
107 
Matemática Elementar 
 
 
Agora podemos substituir o valor y em qualquer uma das equações e encontraremos 
o valor de x. 
 
x – 5y = 10 
x – 5 (-1) = 10 
x +5 = 10 
x = 10-5 
x = 5 
 
Teremos, novamente, como solução do sistema os valores de x = 5 e y = -1, ou seja, 
o par ordenado (5, -1). 
 
 
Se o enunciado da questão não mencionar o tipo de método que 
deve ser utilizado para resolver o sistema, você pode escolher por 
fazer uso do que julgar de mais conveniente para a resolução. Os 
resultados sempre serão os mesmos. 
 
3.2 Inequações do Primeiro Grau 
 
Uma vez que já trabalhamos os conceitos sobre equações, que trata da igualdade 
entre expressões, estaremos neste momento interessados em discutirmos as 
inequações que podem ser definidas conforme descrito na figura abaixo. 
 
Figura: A definição de inequação. 
 
 
 
 
Inequações São desigualdades 
entre expressões 
matemáticas. 
 
 
10
8 Matemática Elementar 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, o sinal que separa dois membros de uma inequação 
poderá ser: 
> Maior 
≥ Maior ou Igual 
< Menor 
≤ Menor ou Igual 
Dessa maneira, uma inequação do primeiro grau será uma 
inequação do tipo: 
a.x + b > 0 ou 
a.x + b ≥ 0 ou 
a.x + b < 0 ou 
a.x + b ≤ 0 
 
Diferentemente do que ocorre com as equações, quando buscamos solucionar uma 
determinada inequação, não estamos buscando um valor que a satisfaça, mas um 
conjunto de valores ou intervalo que atenda à inequação. 
 
1) Vamos resolver a seguinte inequação: 2x + 4 > 0. 
 
Solução: Para resolvermos a equação acima, procuraremos isolar x, 
de forma análoga a que fizemos com equações. Para tal: 
2x + 4 > 0 
2x > -4 
x > 
2
4
 
 
 
Portanto, temos que: x > -2 
 
Isso significa que se tomarmos qualquer valor real, maior que -2, e substituirmos no 
lugar de x, encontraremos um resultado maior que 0. 
 
 
 
 
 
109 
Matemática Elementar 
 
 
 
MUITO CUIDADO: Ao resolvermos inequações, é importante 
tomarmos cuidado quando o coeficiente que multiplica x for 
negativo. Neste caso, para resolvê-la deveremos multiplicar os dois 
membros por -1, o que nos obriga inverter o sinal de desigualdade. 
 
Veja: 
-x ≥ 4 .(-1) 
-x.(-1) ≥ 4.(-1) 
x ≤ -4 
 
 
 
2) Numa indústria de calçados, cada funcionário produz em média 
200 sapatos por dia. Considerando que há 5000 sapatos prontos 
em estoque, quantos funcionários deverão trabalhar para que, ao 
final de 10 dias, possam ser entregues mais de 20000 sapatos? 
 
 
Solução: Inicialmente, notemos que de acordo com o enunciado podemos escrever: 
Produção média por funcionário dia = 200 
Estoque Atual = 5000 
Dias disponíveis = 10 
Meta a ser atingida > 20000 
 
Ou ainda, podemos visualizar a situação da seguinte forma: 
 
Dias 
disponíveis 
(10) 
 
. 
Produção 
Diária por 
funcionário 
(200) 
 
. 
Nº de 
Funcionários 
(x) 
 
+ 
Estoque 
existente 
(5000) 
> Estoque 
necessário 
20.000 
 
 
 
Ou seja, em símbolos temos que: 
10 . 200 . x + 5000 > 20000 
2000x + 5000 > 20000 
2000x > 20000 – 5000 
 
 
11
0 Matemática Elementar 
 
2000x > 15000 
x> 15000÷ 2000 
x > 7,5 
 
Portanto, devemos ter trabalhando pelo menos 8 funcionários para que ao final de 
10 dias tenhamos mais de 20000 sapatos em estoque. 
Para finalizarmos a discussão com referência a este exemplo, poderíamos apresentar 
a solução de uma outra forma, como segue: 
 
S = ]7,5; +∞[ 
Ou ainda: S = {x ∈ ℝ | x > 7,5} 
 
Onde S representa o conjunto solução da referida inequação ou desigualdade. 
 
 
 
3) Vamos resolver as seguintes inequações do primeiro grau. 
 
a) 3x + 5 ≥ 17 
b) -2x – 6 < 15 
 
 
Solução: Temos que: 
 
a) 3x + 5 ≥ 17 

 3x ≥ 17 – 5 

 3x ≥ 12 

 x ≥ 4, ou seja, S = {x

/ x ≥ 4} 
b) -2x – 6 < 15 

 -2x < 15 + 6 

 -2x > 21 

 x < 
2
21
, ou seja, S = {x

/ 
x < 
2
21
} 
 
 
3.2.2 Inequações do Segundo Grau 
 
Analogamente ao que fizemos em inequações do primeiro grau, ao resolvermos 
inequações do segundo grau estamos em busca de um conjunto de soluções que 
satisfaça à inequação proposta. 
 
 
 
 
111 
Matemática Elementar 
 
 
Definição: Chamamos de inequação do segundo grau a qualquer expressão algébrica 
que possa ser reduzida a uma das formas: 
a.x² + bx + c > 0 ou 
a.x² + bx + c ≥ 0 ou 
a.x² + bx + c < 0 ou 
a.x² + bx + c ≤ 0 
 
 
 
 
A solução de uma inequação do segundo grau pode ser resumida 
nos seguintes passos: 
1º Passo: Igualamos a inequação a zero, transformando-a em uma 
inequação. 
2º Passo: Calculamos o discriminante da equação (delta). 
3º Passo: No caso de delta maior ou igual a zero, calcular as raízes 
x’ e x’’. 
4º Passo: Fazer a análise de sinais, conforme apresentamos a seguir. 
 
 
 
Delta > 0 e a 
> 0 
 
Neste caso, observemos que entre as raízes o sinal é contrário de 
a (ca), o que significa que qualquer valor entre x’ e x’’ nos dará um 
resultado negativo, enquanto que à e esquerda e à direita das 
raízes x’ e x’’ o resultado será o mesmo sinal de a (ma), portanto 
positivo. 
 ma ca ma 
 + - + 
 x’ x’’ 
 
 
 
 
Delta > 0 e a 
< 0 
 
Neste caso, notemos que entre as raízes o sinal continua contrário 
de a (ca), o que significa que qualquer valor entre x’ e x’’ nos dará 
um resultado positivo, pois a é menor que zero, enquanto que à e 
esquerda e à direita das raízes x’ e x’’, o resultado terá o mesmo 
sinal de a (ma), portanto negativo. 
 ma ca ma 
 - + - 
 x’ x’’ 
 
 
 
 
 
 
 
 
11
2 Matemática Elementar 
 
 
 
Delta = 0 
 
 
Neste caso, as duas raízes x’ e x’’ são iguais, portanto não existe o 
intervalo entre as raízes, fazendo com que o sinal seja sempre o 
mesmo de a. Isto fará com que a inequação só tenha solução se o 
sinal da desigualdade for igual ao sinal de a. 
 ma ca 
 
 x’ = x’’ 
 
 
 
Delta < 0 
 
Neste caso, não existem raízes reais. Isto também fará com que a 
inequação só tenha solução se o sinal da desigualdade for igual ao 
sinal de a. 
 ma 
 
 
 
 
 
Vamos resolver a seguinte inequação do segundo grau: x2 + 3x + 
2 > 0. 
 
Solução: Observemos que a = 1, b = 3 e c = 2, desta forma: 

 = b 2 – 4.a.c 

 = 3 2 – 4.(1).(2) 
 

 = 9 – 8 

 = 1 
Logo, as raízes são: 
x’ = 
a
b
.2
 = 
)1.(2
13  = 
2
2
 = -1 
x’’ = 
a
b
.2
 =
)1.(2
13 = 
2
4
 = -2 
 
Sendo assim, como a = 1 > 0 e 

 = 1 > , temos a seguinte disposição geométrica: 
 ma cama 
 + - + 
 -2 -1 
 
 
 
 
113 
Matemática Elementar 
 
 
Notemos que se substituirmos qualquer valor menor do que (-2), ou maior do que 
(-1) encontraremos um resultado positivo, pois a é positivo. 
 
Substituindo -3 no lugar de x 
x 2 + 3x + 2 > 0 
(-3) 2 + 3.(-3) + 2 > 0 
9 – 9 + 2 > 0 
2 > 0 
Substituindo +2 no lugar de x 
x 2 + 3x + 2 > 0 
(2) 2 + 3.(2) + 2 > 0 
4 + 6 + 2 > 0 
12 > 0 
 
 
Temos que 2 é maior do que 0, portanto -3 e qualquer valor à 
esquerda de -2 (x’’) será solução para a inequação. 
Analogamente, 12 é maior do que 0, portanto +2 e qualquer valor 
à direita de -1 será solução para a inequação. 
 
Agora, vamos substituir um valor que fica entre as raízes, -1,5 por 
exemplo: 
Substituindo -1,5 no lugar de x 
x 2 + 3x + 2 > 0 
(-1,5) 2 + 3.(-1,5) + 2 > 0 
–2,25 – 4,5 + 2 > 0 
-8,75 > 0 (Falso) 
 
 
 
Temos que -8,75 não é maior do que zero, portanto -1,5 e 
qualquer valor que esteja no intervalo [-2; -1] não serão solução 
para a inequação. 
 
Temos que -8,75 não é maior do que zero, portanto -1,5 e 
qualquer valor que esteja no intervalo [-2; -1] não serão solução 
para a inequação. 
 
 
11
4 Matemática Elementar 
 
 
3.2.3 Sistema de Inequações 
 
É importante relembrar que em um sistema de inequações vamos trabalhar com mais 
de uma inequação. Dessa forma, o intervalo de valores procurados deverá atender 
as todas as inequações relacionadas no enunciado do problema. 
 
A seguir um passo a passo para resolução de um sistemas de inequações: 
 
 
1º passo: Calcular o conjunto solução da 1ª inequações. 
2º passo: Representar na reta o conjunto solução da 1ª inequações, 
marcando com uma bolinha fechada quando o sinal tiver o igual e 
com a bolinha aberta quando o sinal não tiver o igual. 
3º passo: Calcular o conjunto solução da 2ª inequações. 
4º passo: Representar na reta o conjunto solução da 2ª inequações, 
marcando com uma bolinha aberta ou fechada de acordo com o 
sinal da desigualdade. 
5º passo: Calcular conjunto solução do sistema de inequações. 
 
 
Vejamos o exemplo que envolverá o desenvolvimento de um 
sistema de inequações de 1º grau: 
 
Resolva o sistema de inequações {
3𝑥 + 1 > 0
5𝑥 − 4 ≤ 0
 
 
{
3𝑥 + 1 > 0
5𝑥 − 4 ≤ 0
 
 
3x+1 > 0 
3x > -1 
X > -1/3 
 
 
 
 
 
115 
Matemática Elementar 
 
 
5x – 4 ≤ 0 
5x ≤ 4 
x ≤ 4/5 
 
 
Conjunto solução do sistema de inequações será a interseção entre S1 e S2: 
 
 
 
Portanto, S = {x ∈ ℝ | 
−1
3
< 𝑥 ≤ 
4
5
} 
 
 
 
CONCLUSÃO 
 
Vimos anteriormente, que a Matemática é produto da cultura 
humana e faz parte do nosso cotidiano. Por isso, deve ser 
trabalhada de forma a ser aprendida por todos. É uma ciência 
exata, cuja produção envolve o pensar crítico e criativo. Ela 
atualmente estar presente em todas as áreas do conhecimento, 
participando de forma significativa para o desenvolvimento de 
novas teorias, resolvendo diversas situações. Desta forma, foram 
apresentadas as principais definições e resultados preliminares da 
Matemática Elementar, que servirão de alicerce para a 
continuidade no curso que você esteja inserido. 
Na Unidade 04 discutirmos as funções afim e quadrática, 
estaremos trabalhando com mais exemplos de equações e 
inequações do primeiro e segundo graus. 
 
 
 
11
6 Matemática Elementar 
 
Atividades 
Para encerrarmos, como forma de fixação da teoria 
apresentada, listamos algumas atividades resolvidas sobre o 
conteúdo de Equações e Inequações trabalhados nessa 
unidade 3. 
 
 
 
 
 
 
 
Equações 
1) Resolver as seguintes equações do primeiro grau: 
a) 10x – 500 = 0 
b) -3x + 25 = 76 
c) 3x – 4.(x – 2) = 8 
d) 9x – 2.(2x + 3) = x – 4 
e) 
2
3x
 – 
3
1x
 = 
6
x
 
f) 3x – (x – 
3
3x
) = -1 
g) 
4
3
9
3
1
7


x
x
 = 
9
8
 
h) 2x – 3. 
2
1x
 = -1 
 
Solução: Temos que: 
a) 10x – 500 = 0, implica que, 10x = 500, ou seja, x = 
10
500
 = 50. 
b) -3x + 25 = 76, implica que, -3x = 76 – 25, ou seja, -3x = 51, ou ainda, x = 
3
51

 
= -17. 
 
c) 3x – 4.(x – 2) = 8, implica que, 3x – 4x + 8 = 8, ou seja, -x = 8 – 8 = 0 e, desta 
forma segue que x = 0. 
 
 
 
117 
Matemática Elementar 
 
 
 
d) 9x – 2.(2x + 3) = x – 4, implica que, 9x – 4x – 6 = x – 4, ou seja: 
9x – 4x – x = -4 + 6 
4x = 2 
x = ½ 
 
e) 
2
3x
 – 
3
1x
 = 
6
x
, neste caso, tiramos o mínimo e agrupamos a fim de encontrar 
o valor de x, ou seja: 
2
3x
 – 
3
1x
 = 
6
x
 
6
)1.(2)3.(3  xx
 = 
6
x
 
6
229  xx
 = 
6
x
 
Donde segue que: 
9x – 2x + 2 = x 
7x – x = -2 
6x = -2 
x = 
3
1
 
 
f) 3x – (x – 
3
3x
) = -1, neste caso temos que: 
3x – (x – 
3
3x
) = -1 
3x – (
3
)3(3  xx
) = -1 
3x – (
3
33  xx
) = -1 
3x – (
3
32 x
) = -1 
3
)32(9  xx
 = -1 
3
329  xx
 = -1 
3
37 x
 = -1 
7x – 3 = -3 
7x = -3 + 3 
 
 
11
8 Matemática Elementar 
 
7x = 0 
x = 0 
 
g) 
4
3
9
3
1
7


x
x
 = 
9
8
, neste caso, temos que: 
4
336
3
121


x
x
 = 
9
8
 
3
121 x
. 
336
4
x
 = 
9
8
 
9108
484


x
x
= 
9
8
 
9.(84x – 4) = 8.(108x – 9) 
756x – 36 = 864x – 72 
756x – 864x = -72 + 36 
-108x = -36 
x = 
108
36


 
x = 
3
1
 
 
h) 2x – 3. 
2
1x
 = -1, neste caso, temos que: 
2x – 3. 
2
1x
 = -1 
4x – 3x – 3 = -2 
4x – 3x = -2 + 3 
x = 1 
 
2) Qual número é o quíntuplo de um quinto de 90? 
Solução: Vamos chamar tal número de x, sendo assim, de acordo com o enunciado 
podemos escrever que: 
 
 
 
119 
Matemática Elementar 
 
 
x = 5. 
5
1
.90 x = 90 
Portanto tal número é o próprio 90. 
 
 
3) Uma empresa é composta por três departamentos. O primeiro 
deles faturou R$80.000,00. O segundo faturou três quintos do 
primeiro. Quanto deverá faturar o terceiro, se o faturamento total 
precisa ser o dobro do faturamento dos dois primeiros 
departamentos? 
 
Solução: Vamos denotar o faturamento do terceiro departamento de x, sendo assim 
de acordo com o enunciado podemos escrever: 
totalofaturament
 x + .(80000)
5
3
 + 80000
= 2.(80000 + 
5
3
.80000) 
80000 + 48000 + x = 160000 + 96000 
x = 256000 – 128000 
x = 128000 
 
Portanto o investimento do terceiro departamento deve ser igual a 128000. 
 
4) Vamos resolver as seguintes equações do segundo grau abaixo. 
a) x 2 + 2x + 1 = 0 
b) 2x 2 + 3x + 1 = 0 
 
 
Solução: 
a) Aqui, temos que a = 1, b = 2 e c = 1, desta forma: 

 = b 2 – 4.a.c 

 = 2 2 – 4.(1).(1) 

 = 4 – 4 

 = 0 
Logo, as raízes são: 
x’ = 
a
b
.2
 = 
)1.(2
02 = 
2
2
 = -1 
 
 
12
0 Matemática Elementar 
 
 
x’’ = 
a
b
.2
 = 
)1.(2
02 = 
2
2
 = -1 
 
b) Aqui, temos que a = 2, b = 3 e c = 1, desta forma: 

 = b 2 – 4.a.c 

 = 3 2 – 4.(2).(1) 

 = 9 – 8 

 = 1 
Logo, as raízes são: 
x’ = 
a
b
.2
 = 
)2.(2
13 = 
4
2
 = - ½ 
 
x’’ = 
a
b
.2
 =
)2.(2
13 = 
4
4
 = -1 
 
Sistemas de Equações: 
Duas pessoas ganharam juntas 50 reaispor um trabalho e uma delas ganhou 25% do 
que a outra ganhou. Quanto ganhou cada pessoa? 
Solução: 
{
𝑥 + 𝑦 = 50
𝑥 = 1/4𝑦
 x = 50 –y x = 50 – 40 = 10 
50 – y = y/4 
4(50-y) = y 
200 – 4y = y 
-y -4y = -200 
-5y = -200 (-1) 
y = 200/5 = 40 
 
 
 
121 
Matemática Elementar 
 
 
Uma delas recebeu R$ 10,00 e a outra R$ 40,00 
 
Resolva o sistema pelo método de Método de Adição: 
{
𝑥 + 𝑦 = 20
3𝑥 + 4𝑦 = 72
 
{
𝑥 + 𝑦 = 20 (−3)
3𝑥 + 4𝑦 = 72
 {
−3𝑥 − 3𝑦 = −60
3𝑥 + 4𝑦 = 72
 
 
{
−3𝑥 − 3𝑦 = −60
3𝑥 + 4𝑦 = 72
𝑦 = 12
 
 
Escolher uma das duas equações e substituir o valor de y encontrado: 
x + y = 20 
x + 12 = 20 
x = 20 – 12 
x = 8 S = (8, 12). 
 
 
Inequações 
1) Resolver as inequações de 1º grau: 
a) 
4
2x
 > 
8
)42.(3 x
 
b) 12.(3x – 10) ≤ 4.(2x + 1) 
 
Solução: Temos que: 
 
a) 
4
2x
 > 
8
)42.(3 x
 

 
4
2x
 > 
8
126 x
 

 8.(x – 2) > 4.(6x – 12) 

 8x – 16 
> 24x – 48 

 8x – 24x > 48 + 16 

 -16x > 64 

 x < -4, ou seja, S = {x

/ 
x < -4} 
 
b) 12.(3x – 10) ≤ 4.(2x + 1) 

 36x – 120 ≤ 8x + 4 

 36x – 8x ≤ 4 + 120 

 
28x ≤ 124 

 x ≤ 
7
31
, ou seja, S = {x

/ x ≤ 
7
31
} 
 
 
 
12
2 Matemática Elementar 
 
2) Resolver o sistema de inequações de 1º grau: 
{
10𝑥 − 2 ≥ 4
6𝑥 + 8 < 2𝑥 + 10
 
 
Calculando o conjunto solução da 1ª inequação, temos: 
 
10x – 2 ≥ 4 
10x ≥ 4 + 2 
10x ≥ 6 
x ≥ 6/10 
x ≥ 3/5 
 
 
Calculando o conjunto de solução da 2ª inequação, temos: 
6x + 8 < 2x + 10 
6x -2x < 10 – 8 
4x < 2 
x < 2/4 
x < 1 /2 
 
O conjunto solução do sistema de inequações será a interseção entre o conjunto 
solução da 1ª inequações e o conjunto solução da 2ª inequação: 
 
 
 
Nesse caso, não se observam interseções entre os conjuntos soluções S1 e S2, 
portanto o conjunto solução desse sistema de inequações é um conjunto vazio. 
S = ∅ 
 
 
 
123 
Matemática Elementar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Conhecer e diferenciar as funções de 1º e 2º grau. 
- Construir e Interpretar gráficos de funções de 1º e 2º grau. 
- Obter domínios e imagens de uma função. 
- Compreender a paridade e o crescimento de funções. 
- Analisar e resolver situações-problema envolvendo análise do comportamento de 
funções em geral. 
 
 
 
 Introdução e Aplicações de funções. 
 Conceitos preliminares: par ordenado; produto cartesiano; relação; gráfico, 
domínio e imagem, crescimento e paridade de funções. 
 Função do Primeiro Grau 
 Função do Segundo Grau 
Unidade IV - Funções 
de 1º e 2º grau 
Objetivos da Unidade 
 
 
Plano de Estudos 
 
 
IV 
 
 
12
4 Matemática Elementar 
 
4.1 Introdução e Aplicação das Funções 
 
Nesta Unidade é de nosso interesse apresentar os conceitos fundamentais da 
Teoria de Funções, funções do primeiro grau (funções afim) e funções do segundo 
grau (funções quadráticas), tais como domínio, contradomínio e conjunto imagem, 
bem como caracterização e interpretação gráfica envolvendo os aspectos citados 
anteriormente. 
A noção de função surge quando se procura estudar fenômenos e fatos do 
nosso mundo e, especialmente, nos mais diversos campos do conhecimento. 
Reparemos inicialmente, quantas vezes criamos ou procuramos relacionar as coisas 
entre si, por exemplo, ao estudarmos a relação do lucro com a quantidade vendida 
de determinado produto, ou de outra forma, ao estudarmos o fenômeno da queda 
livre de um corpo, podemos associar a cada instante a sua velocidade, bem como a 
sua posição. Em outras palavras, diretamente e indiretamente estamos utilizando a 
noção de função de uma variável real. 
 
 
Ao observarmos fenômenos da nossa realidade, podemos 
caracterizar dois conjuntos e alguma lei que associa os elementos 
de um dos conjuntos aos elementos do outro. Uma análise destas 
três coisas, os dois conjuntos e a lei, pode esclarecer detalhes 
sobre a interdependência dos elementos destes conjuntos e 
descrever o fenômeno em observação. Isso é função. 
 
 
Seja T um conjunto de pessoas num dado instante e seja IN o 
conjunto dos números naturais. Ao associarmos a cada elemento 
de T a sua idade (que é um número natural), fica estabelecida uma 
função de T em IN. 
 
Repare que é possível, talvez até muito provável, que haja em T várias pessoas com 
a mesma idade, mas existe, pelo menos, dois aspectos matemáticos importantes, que 
são: 
 
o A todo elemento de T corresponde um elemento de IN, já 
que toda pessoa tem uma idade. 
o Nenhuma pessoa tem duas ou mais idades. 
 
 
 
 
125 
Matemática Elementar 
 
 
 
 
Função, em linhas gerais, é uma relação entre variáveis, em que 
teremos uma variável dependente (y) e uma variável 
independente (x), ou seja, y é função de x. 
Seja a função y = x + 1. Observemos que o valor de y depende 
do valor de x, de forma que para cada x colocado, teremos um 
único y que satisfaz à expressão característica da função, ou seja, à 
regra determinada pela função, que é: 
Todo x faz com que haja um y que é igual a x + 1. 
 
Em resumo, sobre a definição geral de função, podemos afirmam algumas diretrizes 
iniciais, conforme apresentado na figura abaixo: 
 
 
Figura: Diretrizes iniciais sobre função. 
 
São vários os tipos especiais de funções que estudaremos na disciplina: 
 Função do 1º grau (ou Função Afim) 
 Função do 2º grau (ou Função Quadrática) 
 Função Modular 
 Função Exponencial 
 Função Logarítmica 
 
Relacionar coisas entre si
Nem todo tipo de relação é uma 
função
Para cada elemento de x deve 
existir um único elemento em y.
Conjunto Partida: variável 
independente (x)
Conjunto Chegada: variável 
dependente (y)
Função
 
 
12
6 Matemática Elementar 
 
Nesta unidade estudaremos particularmente os dois primeiros tipos: funções do primeiro 
grau e funções do segundo grau. 
 
 
4.2 Conceitos Preliminares da Teoria de Funções 
 
Agora estaremos apresentando os conceitos introdutórios da Teoria de Funções, que 
é base para o desenvolvimento de nossos propósitos na disciplina. Entre eles estão: 
par ordenado, produto cartesiano, relação de A em B, função de A em B, domínio, 
contradomínio, imagem, crescimento e paridade de funções. 
 
4.2.1 Par Ordenado 
 
Vimos que dois conjuntos não vazios são iguais se e somente se tiverem os mesmos 
elementos. Desta forma, temos em particular, que: {x, y} = {y, x} 
 
Em muitas ocasiões, porém, haverá interesse em considerar também a ordem de 
disposição dos elementos. Surge assim o conceito de par ordenado. Sobre par 
ordenado, podemos traçar algumas definições, conforme figura a seguir: 
 
 
Figura: Definições sobre funções 
 
A cada par de elementos x e y podemos associar o par ordenado (x; y) de tal 
modo que: (x1, y1) = (x2, y2) se e somente se x1 = x2 e y1 = y2
Se x e y , representamos o par ordenado (x; y) pelo ponto P do plano cartesiano 
que possui abscissa x e a ordenada y.
Abscissa (primeira coordenada do par) = x. Ordenada (segunda coordenada do 
par) = y
 
 
 
127 
Matemática Elementar 
 
 
Temos no plano cartesiano na figura abaixo os pares (3; 2) e (2; 3). Notemos que 
estes pares são diferentes, já que as coordenadas de ambos são distintas. 
 
Figura: Representação de pares ordenados. 
 
 
Localizar no plano cartesiano ospontos a seguir: 
A (-7;4) B (-3;-2) C (2;-1) 
D (9/2;1) E (7;0) F (0;3) 
G (𝜋;5) H (-3;0) I (-6;-7/2) 
 
No plano cartesiano, o primeiro número representa a abscissa (x) e o segundo a 
ordenada (y) do ponto. 
Solução: Cada um dos pontos colocados acima é mostrado na Figura abaixo, a sua 
representação no plano cartesiano. Notemos que cada “pequeno quadrado” da 
Figura representa uma unidade de comprimento. 
 
 
12
8 Matemática Elementar 
 
 
Figura: Representação dos pares ordenados do exemplo em questão. 
4.2.2 Produto Cartesiano 
 
Chamamos Produto cartesiano de um conjunto não vazio A por um conjunto não 
vazio B ao conjunto dos pares ordenados: A x B = {(x; y) / x

A e y

B} 
Se pelo menos um dos conjuntos A ou B for vazio, então o produto cartesiano 
também o será: A x B = 

 se e somente se A = 

 ou B = 

 
 
 
Considere os conjuntos A = {1, 2} e B = {3, 4, 5}. Determinemos 
A x B e B x A, a fim de respondermos a seguinte indagação: Esta 
operação (produto cartesiano) goza da propriedade comutativa, 
isto é, o produto cartesiano A x B é igual ao produto cartesiano B 
x A? 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
A x B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)} e 
B x A = {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (5, 1), (5, 2)} 
 
 
 
 
129 
Matemática Elementar 
 
 
Como os dois conjuntos, A x B e B x A não possuem os mesmos elementos eles 
não são iguais, ou seja, a resposta para tal indagação é NEGATIVA, a operação de 
produto cartesiano entre dois conjuntos não goza da propriedade comutativa, isto é, 
em geral, A x B ≠ B x A. Salientamos ainda, que o conjunto A x B possui 6 elementos 
(6 pares), analogamente o conjunto B x A possui 6 elementos (6 pares), porém estes 
seis elementos de cada um dos conjuntos são diferentes. 
 
 
 
 
Observações Importantes 
1) Se A ≠ B, então A x B ≠ B x A, isto é, o produto cartesiano de 
dois conjuntos não goza da propriedade comutativa. 
2) Se A e B são conjuntos finitos com m e n elementos 
respectivamente, então A x B é um conjunto finito com m.n 
elementos. 
3) Se A ou B for infinito e nenhum deles for o conjunto vazio, então 
A x B é um conjunto infinito. 
A representação que utilizamos para o exemplo de “A dois” A 2 , 
pode ser generalizada, para o caso de A = 

e, neste caso, teremos 
o produto cartesiano 

2 = 

 x 

, que é denominado de espaço 
euclidiano bidimensional. 
 
4.2.3 Relação de A em B 
 
Dados os conjuntos A e B, chamamos a relação de A em B a qualquer subconjunto 
do produto cartesiano A x B. Em outras palavras, uma relação de A em B é qualquer 
conjunto de pares ordenados (x, y), com x

A e y

B, ou o conjunto vazio. 
 
As vezes, a relação de A em B é também 
denominada de relação binária de A em B. 
R é relação binária de 
A em B

R 

 A x B 
Se eventualmente, os conjuntos A e B forem 
iguais, todo subconjunto de A x A é chamado 
relação binária em A. 
R é relação binária em 
A 

R 

 A x A 
 
 
 
13
0 Matemática Elementar 
 
 
Com relação às notações utilizaremos as seguintes nomenclaturas já consagradas e, 
provavelmente conhecidas por todo, conforme tabela a seguir: 
Nomenclatura Leitura/Descrição 
O conjunto A Chamado de conjunto partida da relação R. 
O conjunto B 
 
Chamado de conjunto chegada ou contradomínio da 
relação R. 
Quando o par (x, y) 
pertence à relação R. 
Escrevemos x R y (lemos “x erre y”), ou seja: (x, y) 

R

x R y. 
Quando o par (x, y) não 
pertence à relação R. 
Escrevemos x R y (lemos “x não erre y”), ou seja: 
(x, y) 

R

x R y. 
 
 
Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4}, vamos caracterizar os 
elementos da relação R = {(x, y) / x < y} de A em B? 
 
Solução: Notemos que os elementos de R (pares ordenados) são todos os pares 
ordenados de A x B nos quais o primeiro elemento é menor do que o segundo, isto 
é, são os pares formados pela “associação de cada elemento x

A com cada 
elemento de y

B tal que x < y. Desta forma, temos que: 
 
R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} 
 
Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, quais são os elementos 
da relação binária R de A em A definida da seguinte forma: x R y 

y = x + 2? 
 
 
 
 
 
131 
Matemática Elementar 
 
 
Solução: Notemos que fazem parte da relação todos os pares ordenados (x, y) tais 
que x

A, y

B e y = x + 2. A representação gráfica da relação R do exemplo é 
mostrada na figura abaixo. 
 
 
Figura: A representação gráfica da relação R do exemplo. 
 
4.2.4 Função de A em B 
 
Sendo A e B dois conjuntos, diremos que uma relação de A em B é uma função se 
e somente se nesta relação para cada x, x

A, tivermos um único y, y

B. 
Genericamente, esta definição pode ser vista nas figuras a seguir. 
 
Figura: A interpretação da definição de função. 
1 
 
2 
 
3 
 
1 
 
2 
 
3 
 
4 
A B 
 
 
13
2 Matemática Elementar 
 
 
 
Assim, podemos concluir que: 
 
Toda relação é uma função, 
mas nem toda função é uma 
relação. 
 
 
Figura: Toda relação é uma função. 
 
 
Vejamos alguns exemplos de funções. 
a) Considere os conjuntos: A={
22|  xZx
} e 
B={
40|  yZy
}. Associando a cada elemento de A o 
seu quadrado em B, estabelecemos uma função de A em B. 
Indicando genericamente um elemento de A por x e o seu 
quadrado em B por y, temos então que y = x2 , conforme 
figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura : A interpretação da função descrita no exemplo A. 
 
 
 
b) Consideremos os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {-1, 0, 1, 2, 
3}, temos que a relação T = {(0,0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)} é uma 
função de A em B, já que para todo elemento x

A, sem exceção, 
existe um só elemento y

B tal que (x,y)

T, conforme figura 52. 
 
Função
Relação
 
 
 
133 
Matemática Elementar 
 
 
b) Consideremos os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {-1, 0, 1, 2, 3}, temos que a 
relação T = {(0,0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)} é uma função de A em B, já que para todo 
elemento x

A, sem exceção, existe um só elemento y

B tal que (x,y)

T, conforme 
figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura: A representação gráfica 
da função T do exemplo B. 
 
 
c) Consideremos os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {-1, 0, 1, 2, 
3}, temos que a relação V = {(0,0), (1, -1), (2, 0), (3, 3)} é uma 
função de A em B, já que para todo elemento x

A, sem exceção, 
existe um só elemento y

B tal que (x,y)

V, conforme figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura: A representação gráfica da função do exemplo C. 
-1 
 
0 
 
1 
 
0 
 
1 
 
2 
A B 
-1 
 
0 
 
1 
 
2 
0 
 
1 
 
2 
 A B 
 
 
13
4 Matemática Elementar 
 
4.2.4.1 Outras Formas de Representação de Funções 
 
Consideremos a função f definida de 

 em 

, tal que y = 2.x+3. Assim temos, por 
exemplo, que x=2 

 y=7. Dizemos que 7 é a imagem de 2 pela função f e 
escrevemos f(2)=7. 
Analogamente, temos que f(0)=3, f(-1)=1 e assim por diante. Inicialmente, em vez 
de escrevermos y = 2.x + 3, podemos escrever f(x) = 2.x + 3 e para indicar que a 
função foi definida de 

 em 

 escrevemosf:

. Ou seja, y = f(x) 
 
4.2.5 Gráfico de Uma Função 
 
A definição e interpretação do gráfico de uma função talvez seja um dos conceitos 
mais importantes no contexto, visto que é de fundamental importância para as áreas 
do conhecimento e utilizado na resolução de aplicações diversas. 
Muitas vezes, ao longo da nossa disciplina e disciplinas afins encontraremos funções 
que envolvem apenas números reais, e na maioria destes casos será vantajoso 
usarmos uma representação gráfica da uma função em estudo. 
 
 
Sejam A e B dois subconjuntos não vazios de 

. Consideremos f 
uma função definida de A em B, i.e., f: A

B. Denominamos gráfico 
da função f ao conjunto de todos os pontos P(x; y) do plano 
cartesiano, tal que x

A, y

 B e y = f(x). Em outras palabras, é a 
representação geométrica de uma função. 
 
 
Vejamos alguns exemplos de funções apresentados nas figuras 
abaixo. 
 
 
 
 
135 
Matemática Elementar 
 
 
 
Consideremos a função f:
  
/f(x)=x. 
 
Figura : A representação da função 
f: 

 
 
 / f(x) = x. 
 
Consideremos a função f: 

 
 
 / 
f(x) = x 2 .
 
Figura: A representação da função f: 

 
 
 / 
f(x) = x2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Compare a seguir alguns exemplos gráficos que comprovam ou 
não se a relação é uma função. A figura xx é uma função e a figura 
xx representam o gráfico de uma relação que não é uma função. 
Regra Prática – Gráfico Cartesiano 
Podemos verificar pela representação cartesiana da relação f 
de A em B se f é ou não uma função. Para tal, basta 
verificarmos se a reta paralela ao eixo y, conduzida pelo ponto 
(x, 0), em que x A, encontra sempre o gráfico de f em um só 
ponto. 
 
 
 
13
6 Matemática Elementar 
 
a) A relação de f de A em 

, com A = 
{x

/ -1 < x < 3}, representada na 
figura, é função, pois toda reta vertical 
conduzida pelos pontos de abscissa x

A 
encontra sempre o gráfico de f num só 
ponto. 
 
Figura: A representação da função f do exemplo A. 
b) A relação de f de A em 

, com A 
= {x

/ -2 < x < 2}, representada 
na figura abaixo, não é função, pois 
existem retas verticais que cortam o 
gráfico de f em dois pontos. 
 
Figura: A representação da relação f que não é 
função do exemplo B. 
 
 4.2.6 Domínio, Contradomínio e Conjunto Imagem de Uma Função 
 
Ao considerarmos uma função definida de A em B, chamamos A e B respectivamente 
de domínio e contradomínio da função. Ao conjunto de todas as imagens chamamos 
de conjunto imagem. A figura representa esses elementos. 
 
 
Figura: D(f): domínio, CD(f): contradomínio, Im(f): imagem 
 
 
 
 
137 
Matemática Elementar 
 
 
 
Desta forma, por exemplo, se: 
A = {x

/ -2 ≤ x ≤ 3} e B = {y

/ -1 ≤ x ≤ 9} 
E considerando a função f: A 

B / f(x) = x 2 , temos que: 
 
 
 
A é o dominio. 
Conjunto partida. 
São os elementos para os quais a 
função está definida. 
Isso pode ser visto na figura, 
representada a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura: A representação do domínio, 
contradomínio e conjunto imagem da função 
f: A 

B / f(x) = x 2 . 
B é o contradomínio 
Conjunto chegada. 
Contém o conjunto imagem. 
{0, 1, 4, 9} é o conjunto imagem. 
São os pontos do contradomínio que 
são imagem de algum elemento do 
domínio. 
É um subconjunto do contradomínio. 
 
 
Vejamos agora algumas outras observações importantes, que servem para um 
melhor entendimento sobre os conceitos citados acima, ou seja, referentes a domínio, 
contradomínio e conjunto imagem de funções reais. 
 
-1 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
-2 
-1 
0 
1 
2 
3 
A B 
 
 
13
8 Matemática Elementar 
 
 
Muitas vezes se faz referência a uma função dizendo apenas qual 
é a lei de correspondência. Quando não é dado explicitamente o 
domínio D(f), deve-se subentender que D é formado por todos 
os números reais que podem ser colocados no lugar de x na lei 
de correspondência y = f(x), de modo que, efetuados os cálculos, 
resultem em um y real. O domínio de uma função significa 
condição de existência para a função. 
 
Vamos explicitar o domínio em seis diferentes casos: 
Situação da varíavel x Exemplo 
Quando a variável x estiver no numerador, 
sem radical  o domínio serão todos os 
números reais. D = R 
a) y = 3x – 2 
f(1) = 3 . 1 – 2 = 1 
f(0) = 3 . 0 – 2 = -2 D = R 
 
b) y = 
5𝑥+3
7
 D = R 
Quando a variável x estiver no 
denominador, sem radical  o domínio 
serão todos os números reais que não 
anulam o denominador (diferente de 
zero). 
a) y = 
2𝑥−3
𝑥−1
 
x – 1 ≠ 0  x ≠ 1 
D = R – { 1 } ou D = { x  R  x ≠ 1 } 
 
Quando a variável x, estiver no numerador, 
com radical e índice par  o domínio só 
não será real para valores negativos de x, 
ou seja, ele deve ser maior ou igual a zero 
f(x)= 
√2𝑥−1
3
 
o numerador deve ser maior ou igual a 
0. 
2x -1 0  x  ½ 
D = { x  R x  ½ } ou D = [ ½ , + ∞ 
[ 
Quando a variável x estiver no 
denominador, com radical e índice para  
o domínio só será real para valores 
positivos de x, ou seja, maior que zero. 
f(x) = 
5
√2𝑥−1
 
2x – 1> 0  x > ½ 
D={ xR|x>½} ou D=] ½, +  [ 
 
 
 
139 
Matemática Elementar 
 
 
Quando a variável x estiver no numerador, 
com radical e índice ímpar  o domínio 
serão todos os reais. 
a) 
2
1
)(
3 

x
xf
 D = R 
b) 
5 3)( xxf 
 D = R 
Quando a variável x estiver no 
denominador, com radical e índice 
ímpar o denominador tem que ser 
diferente de zero. 
 
3 2
2
)(


x
xf
 
202  xx
 
}2/{}2{  xRxDouRD
 
 
 
Considerações Importantes sobre domínio e imagem de uma 
função 
1) A projeção do gráfico de uma função sobre o eixo das 
abscissas é o domínio da mesma. Ou seja, o domínio da 
função (D) é o conjunto das abscissas dos pontos tais que 
as retas verticais conduzidas por esses pontos interceptam 
o gráfico de f, isto é, é o conjunto formado por todas as 
abscissas dos pontos do gráfico de f. 
2) A projeção do gráfico de uma função sobre o eixo das 
ordenadas é a imagem da mesma, i.e., o conjunto imagem. 
Em outras palavras, o conjunto imagem de uma função 
(Im) é o conjunto das ordenadas dos pontos tais que as 
retas horizontais conduzidas por esses pontos interceptam 
o gráfico de f, isto é, é o conjunto formado por todas as 
ordenadas dos pontos do gráfico de f. 
 
 
 
14
0 Matemática Elementar 
 
No gráfico apresentado na figura abaixo temos podemos observar uma função tal 
que seu domínio e sua imagem seja: 
 
 
 
}51/{)Im(
}42/{)(


yRyf
xRxfD
 
 
 
 
Figura: A interpretação gráfica dos conceitos de domínio e imagem de uma função. 
 
4.2.7 Crescimento de Uma Função 
 
Consideremos A e B subconjuntos de 

e f uma função de A em B, i..e, f: A

 B. 
Seja I um subconjunto de A, I

A. Com relação ao crescimento de funções temos os 
seguintes tipos: 
 Função Crescente; 
 Função Decrescente; 
 Função Constante; 
 Função Não Crescente; 
 Função não Decrescente. 
Desta forma, definimos: 
 
 
 
 
 
 
141 
Matemática Elementar 
 
 
Crescimentoda Função Gráfico da Função 
 Função Crescente em I: f é uma função 
crescente em I se, e somente se, para 
todo par de elementos de I, {
1x
, x
2
}, 
 x
2
> x
1
, tivermos f(x
2
) > f(x
1
), isto é, 
quando x aumenta f(x) aumenta. 
 
 Função Decrescente em I: f é uma função 
decrescente em I se, e somente se, para 
todo par de elementos de I, {
1x
, x
2
} , x
2
> x
1
, tivermos f(x
2
)<f(x
1
), isto é, 
quando x aumenta f(x) diminui. 
 
 Função Constante em I: f é uma função 
constante em I se, e somente se, para 
todo par de elementos { x1, x2} de I, 
tivermos f(x2) = f(x1). 
 
 
 Função Não Crescente em I: f é uma 
função não crescente em I se, e somente 
se, para todo par de elementos de I, {
1x
, 
x
2
} , x
2
> x
1
, tivermos f(x
2
) ≤ f(x
1
), isto 
é, quando x aumenta, f(x) não aumenta. 
 
 Função Não Decrescente em I: f é uma 
função não decrescente em I se, e 
somente se, para todo par de elementos 
de I, {
1x
, x
2
} , x
2
> x
1
, tivermos f(x
2
) ≥ 
f(x
1
), isto é, quando x aumenta, f(x) não 
diminui. 
 
 
 
 
14
2 Matemática Elementar 
 
4.2.8 Paridade de Funções 
 
Inicialmente para definirmos a paridade de funções será necessário um conceito 
introdutório de conjunto simétrico, que colocamos a seguir: 
 
Consideremos f uma função cujo domínio é um conjunto simétrico. Diremos que f é 
uma função 
Paridade 
da Função 
Condição Gráficos da Função 
Par se, e somente se, f é uma 
função par 

f(–x) = 
f(x), 
para todo x pertencente 
ao domínio de f. 
Uma função par é 
sempre simétrica em 
relação ao eixo de y. 
 
 
Conjunto Simétrico: Consideremos A um subconjunto não vazio de  , 
diremos que A é um conjunto simétrico se, e somente se, 
x A implica que –x A. 
 
Exemplo de conjuntos simétricos: A = {-3, 3} e B = [-3, 3] 
 
 
 
143 
Matemática Elementar 
 
 
Ímpar se, e somente se, f é uma 
função ímpar

f(x)=–
f(-x), 
para todo x pertencente 
ao domínio de f. 
Uma função ímpar é 
sempre simétrica em 
relação à origem. 
 
 
 
Nem par 
nem ímpar 
 
Uma função que não se classifica em nenhum desses casos, isto é, uma 
função que não é par e nem ímpar, é chamada função sem paridade. 
 
 
Para confirmar a paridade de uma função podemos também utilizar a tabela de 
valores, como orientação a seguir: 
 
 
 Atribua valores para x, considerando sempre pares (x e –
x). 
 Analise os resultados: 
 
o Se f(-x)= f(x), a função será par; 
o Se f(x)=f(-x), a função será ímpar; 
o Se nenhuma dessas condições ocorrer, será uma função 
nem par nem ímpar. 
 
 
 
 
14
4 Matemática Elementar 
 
Dada a função f: R  R I f(x) = x² + 1, classifique sua paridade. 
x Y 
-2 (-2)² + 1 = 4 +1=5 
-1 (-1)² + 1 = 1+1=2 
0 0² + 1 = 0 +1=1 
1 1² + 1 = 1+1=2 
2 2² + 1 = 4+ 1=5 
 
 
 
 
 
Dada a função f: R  R I f(x) = x3 , classifique sua paridade. 
x Y 
-2 (-2)3 = -8 
-1 (-1)3 = -1 
0 03 = 0 
1 13 = 1 
2 23 = 8 
 
 
 
 
 
 
Nesse caso, a função x2+1 é par, 
porque f(-2) = f(2) e f(-1) = f(1) 
Nesse caso, a função x3 é ímpar, 
porque f(2) = -f(-2) e f(1) = -f(-
1) 
 
 
 
145 
Matemática Elementar 
 
 
4.3 Função Afim (Polinomial do 1º Grau) 
 
Até esse momento estudamos funções, de forma geral. Agora que vamos estudar as 
funções especificas de 1º grau é preciso compreender que os conceitos apresentados 
anterioremente também se aplicam aqui. Uma função de 1º grau também tem sua 
paridade, seu tipo de crescimento, seus pares ordenados que dão origem ao gráfico 
etc. 
A seguir algumas características que nos facilitarão identificar uma função de 1º grau 
(ou função afim, como também é conhecida). 
 
 
 
 
 
São funções do tipo: f(x) = a.x+b, onde a e b são constantes 
reais e a ≠0
O gráfico característico de uma função afim é uma reta.
Para desenharmos uma reta necessitamos de dois pontos 
distintos.
A reta intercepta o eixo x das abscissas no ponto (x0; 0) onde x0
= -b/a é denominado zero (ou raiz) da função.
A toda reta está associado um número que especifica sua direção, 
o qual denominamos Coeficiente Angular, ou Declive ou 
Declividade. Esse valor nada mais é que o valor a. 
Se o valor de a > 0 a função será crescente. 
Se o valor de a < 0 a função será decrescente. 
 
 
14
6 Matemática Elementar 
 
 
Vejamos alguns exemplos de gráficos de funções polinomiais do 
primeiro grau. 
 
 
 
A função f(x) = 2x definida em 

, tem 
como gráfico a reta apresentada na 
figura abaixo. 
 
A função f(x) = 2.x + 1 definida em 

, 
tem como gráfico a reta apresentada na 
Figura 84 abaixo. 
 
A função f(x) = 2.x – 1 definida em 

, 
tem como gráfico a reta apresentada na 
figura abaixo. 
A função f(x) = – x – 1 definida em 

, 
tem como gráfico a reta apresentada na 
figura abaixo. 
 
 
 
147 
Matemática Elementar 
 
 
 
 
 
1) Equação de uma reta é quando conhecemos um ponto 
qualquer que pertença a mesma, bem como o seu coeficiente 
angular. Desta maneira, conhecendo um ponto qualquer desta 
reta definido pelo par ordenado (x0, y0) e seu coeficiente angular 
m, sua expressão será dada por: y – y0= m.(x – x0). 
2) Existem algumas nomenclaturas para alguns casos particulares 
envolvendo a equação do primeiro grau como apresentamos na 
Tabela abaixo. 
 
Tabela: Nomenclaturas específicas envolvendo a função do primeiro grau. 
 
Função Lei de Formação Comentário 
Função 
Constante 
f(x) = k k é uma constante numérica (número real 
qualquer) 
Função 
Identidade 
f(x) = x Esta reta que caracteriza a função identidade 
é conhecida como bissetriz dos quadrantes 
ímpares 
Função Linear f(x) = a.x (a ≠ 0) O gráfico associado é uma reta que passa 
pela origem (0; 0), ou ainda, temos que f(0) 
= 0 
Função Afim f(x) = a.x + b (a 
≠ 0) 
Função do primeiro grau mais geral 
 
 
14
8 Matemática Elementar 
 
 
4.4 Função Quadrática (Polinomial do 2º Grau) 
 
Chamamos de função polinomial do segundo grau ou simplesmente de função 
quadrática àquela redutível à forma: f(x) = a.x2+ b.x + c. Onde a, b e c são constantes 
reais, com a
0
. 
 
 
 
 
Vejamos alguns exemplos de gráficos de funções polinomiais do 
segundo grau. 
 
 
 
 
 
 
A curva característica do gráfico de uma função quadrática é uma 
parábola.
Para desenharmos uma parábola necessitamos de pelo menos três 
pontos distintos, preferencialmente o vértice e as duas raízes.
Se o valor de a > 0 a concavidade da parábola estará voltada para cima. 
Se o valor de a < 0 a concavidade da parábola estará voltada para baixo.
Toda função de 2º grau é crescente/decresente até o ponto do vértice e 
descrecente/crescente a partir dele. 
 
 
 
149 
Matemática Elementar 
 
 
 
A função f: 

tal que f(x) = x 2 . 
 
Figura: O gráfico da função f(x) = x2 . 
 
A função f: 

tal que f(x) = – x 2 . 
 
Figura: O gráfico da função f(x) = – x2 . 
 
 
A função f: 

tal que f(x) = x 2 – 1. 
 
Figura: O gráfico da função f(x) = x 2 – 1. 
 
A função f: 

tal que f(x) = – x 2 + 1. 
 
Figura: O gráfico da função f(x) = – x2 + 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15
0 Matemática Elementar 
 
A funçãof: 

tal que f(x) = 2x 2 – 2x + 
2. 
 
Figura: O gráfico da função f(x) = 2x2 – 2x + 2. 
A função f: 

tal que f(x) = x 2 – 2x + 1 
= (x – 1)2 . 
 
Figura: O gráfico da função f(x) = x 2 – 2x + 1 = (x – 
1)2 . 
 
 
Vejamos algumas considerações relacionadas às funções 
polinomiais do segundo grau (funções quadráticas), que são 
importantes para a resolução e interpretação de problemas 
simulados envolvendo tais funções. 
 
 
1) a > 0 
2) Concavidade para cima 
 
 
a < 0 
Concavidade para baixo 
 
 
 
 
151 
Matemática Elementar 
 
 
3) Vértice da parábola é o 
ponto V (
a
b
2

;
a4

) onde 
acb 42 
. 
4) Abscissa do vértice = 
a
b
2

 
5) Ordenada do vértice = 
a4

 
Ponto Máximo Ponto Mínimo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando o discriminante  >0, a parábola intercepta o eixo x das 
abscissas em dois pontos distintos onde x’ e x’’ são dados pela fórmula 
a
b
2

. 
Quando  = 0, então a parábola é tangente ao eixo x das abscissas no 
ponto x V = a
b
2

 . A função possui duas raízes reais e iguais. 
1) Quando  < 0, significa que a função quadrática do 2º grau não admite 
raízes reais, geometricamente isto significa que a parábola não toca o 
eixo x das abscissas. 
 
 
15
2 Matemática Elementar 
 
 
Então para a>0, teremos parábolas conforme representadas na 
figura dos exemplos abaixo: 
 
Duas raízes 
reais distintas 
 

>0 e a >0 
Duas raízes 
reais iguais 
 

=0 e a >0 
Duas raízes 
complexas distintas 
 

< 0 e a >0 
Figura : Interpretação geométrica das raízes quando a > 0. 
 
Para a<0, teremos parábolas conforme representadas na figura 
dos exemplos abaixo: 
 
Duas raízes 
reais distintas 
 
Duas raízes 
reais iguais 
Duas raízes 
complexas distintas 
 
 
 
 
153 
Matemática Elementar 
 
 

>0 e a<0 
 

=0 e a<0 

<0 e a<0 
Figura: Interpretação geométrica das raízes quando a< 0. 
 
4.5 Construção de Gráficos Via Implementação Numérica 
 
Atualmente com o desenvolvimento acelerado da tecnologia e obviamente dos 
softwares que temos na área específica da Matemática, podemos construir gráficos 
de funções elementares ou até mesmo gráficos de funções mais complexas, tais como 
logarítmicas, exponenciais, hiperbólicas etc.. No mercado, temos uma série de 
programas matemáticos com esta função, sendo alguns pagos e outros livres. 
Na figura a seguir pontuamos algumas possibilidades de softwares dentre os vários 
disponíveis, que podemos utilizar para esse procedimento. No momento em que 
você estiver estudando esse material é possível que outras opções já estejam 
disponíveis com recursos até mais avançados. 
 
 
15
4 Matemática Elementar 
 
 
Figura: Alguns softwares matemáticos: construção de gráficos. 
 
Aqui, estaremos interessados em apresentar de forma bastante simples a criação de 
gráficos de funções do primeiro e segundo graus via o programa Winplot e planilha 
eletrônica Microsoft Excel, sendo o primeiro um programa livre e o segundo um 
programa pago. Não é de nosso interesse, um completo estudo envolvendo tais 
softwares, além do mais existem vastos e muitos bons tutorias que ensinam passo a 
passo essa utilização. Por isso, relacionamos alguns tutores para você explorar esses 
programas. 
 
O winplot pode ser baixado através do seu link oficial: 
http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html 
Um tutorial simples para usar o winplot você pode obter em 
http://www.ime.unicamp.br/~marcio/tut2005/winplot/04380
8Gregory.pdf 
 
Os vídeos a seguir trazem exemplos simples de como montar um 
gráfico de uma função de 2º grau utilizando o Microsoft Excel. 
https://www.youtube.com/watch?v=l11F84vn34E 
https://www.youtube.com/watch?v=rUiNEC8BTLc 
 
Winplot Maple Mathematica
Matlab Derive
Planilhas Eletrônicas 
(Microsoft Excel, 
OpenOffice)
 
 
 
155 
Matemática Elementar 
 
 
VV 
 
 
 
 
 
- Interpretar funções definidas por dupla sentença. 
- Conhecer e trabalhar com inversão de funções. 
- Resolver problemas envolvendo a função modular, o conceito de logaritmo, a 
função logarítmica e função exponencial. 
 
 
 
 Função Composta e Função Inversa 
 Função Modular 
 Função Logarítmica 
 Função Exponencial 
Objetivos da Unidade 
 
 
Plano de Estudos 
 
 
V 
Unidade V - Funções 
Exponenciais, Logarítmicas e 
Modulares 
 
 
15
6 Matemática Elementar 
 
5. Outras funções 
 
Nesta última unidade apresentaremos algumas propriedades associadas à teoria de 
funções que é a composição e inversão de funções, bem como familiarizarmos com 
a função exponencial, logarítmica e modular. 
Para o bom aproveitamento do conteúdo que será abordado nesta unidade da 
disciplina, é importante relembrar os conceitos apresentados na unidade 4, visto que 
se trata de uma evolução e sequência natural no tratamento de funções. 
 
5.1 A Função Composta 
 
A composição de função não é novidade para nós. Já falamos diretamente e 
indiretamente sobre tal assunto, desde quando falamos de função polinomial do 
primeiro grau. Na verdade, criamos uma função composta quando substituirmos a 
variável independente x de uma função por outra função. 
 
Figura: O surgimento de uma função composta. 
 
A expressão que representa para o Custo Total (CT) no caso do lava-
jato era dada por: CT = x+ 1.692, onde x é o Custo Variável (CV). 
Sendo assim, se considerarmos CV = 4,4.x, podemos substituir a variável 
independente x da função CT pelo valor do CV. Neste caso, obteremos 
uma função composta, como segue: 
 
Temos uma função 
qualquer
Variável independente 
x
A variável x é 
substituída por uma 
outra função
 
 
 
157 
Matemática Elementar 
 
 
CT = x + 1.692 
CT = CV + 1.692 
CT = 4,4x + 1.692 
Em termos matemáticos, usamos a seguinte nomenclatura: 
Dadas f(x) = 3x + 2 e g(x) = 4x + 1, encontrar f(2). 
Para isso substituímos 2 em f(x). 
f(x) = 3x + 2 
f(2) = 3.2 + 2 = 8. 
 
Quando é de nosso interesse encontrar f

g(x), substituímos g(x) no lugar de x, ou 
seja: 
f(x) = 3x + 2 e g(x) = 4x + 1 
f

g(x) = f(g(x)) = 3.(4x +1) + 2 
f

g(x) = 12x + 3 + 2 
f

g(x) = 12x + 5 
 
Contrariamente, também podemos pensar em g

f(x) e, de forma similar: 
f(x) = 3x + 2 e g(x) = 4x + 1 
g

f(x)= g(f(x)) = 4.(3x + 2) + 1 
g

f(x) = 12x + 8 + 1 
g

f(x) = 12x + 9 
 
Agora, vamos definir em termos formais a noção de composição de funções, ou seja, 
a noção de função composta. 
 
 
 
15
8 Matemática Elementar 
 
 
 
 
 
 
 
𝒇: 𝑨 → 𝑩 𝒆 𝒈: 𝑩 → 𝑪 𝒉 = 𝒈(𝒇(𝒙)), 𝒉: 𝑨 → 𝑪 
 
 
 
 
 
 
Figura: A interpretação geométrica da definição de função composta. 
 
Consideremos as funções f:

/ f(x) = – 2x + 3 e g: 

/ g(x) 
= 3x – 4, 
Calcular g

f(x). 
 
Solução: 
g(f(x)) = 3.f(x) – 4 = 3.(-2x + 3) – 4 
g

f(x) = – 6x + 5. 
 
Consideremos as funções f:

/ f(x) = – 2x + 3 e g: 

/ g(x) = 3x – 4, 
vamos encontrar g

f(x). 
Solução: 
f(2) = – 2.2 + 3 = – 1 
Definição (Função Composta): Consideremos f uma função definida de A 
em B e seja g uma função definida de B em C. Denominamos de função 
composta de g com f a função h, definida de A em C, tal queh(x) = 
g(f(x)) para todo x pertencente a A, a qual é denotada por g f(x). 
 
 
 
159 
Matemática Elementar 
 
 
g

f(2) = g(f(2)) = g(– 1) = 3. (– 1) – 4 = – 7 
 
Consideremos f(x) = x2 e g(x) = x3. Encontrar o valor de f(g(2)). 
Solução: 
g(2) = 2 3 = 8 
f

g(2) = f(g(2)) = f(8) = 82= 64 
 
5.2 Função Inversa 
 
Aqui vamos trabalhar com um conceito muito importante na Teoria de Funções 
que é a parte relacionada a inversão de funções, ou o conhecimento da função 
inversa de uma dada função. Neste contexto, de forma bastante simples percebe-
se que a variável dependente se torna independente e a variável independente se 
torna dependente. 
 
No caso inicial do lava-jato para a Função Linear, estabelecemos que a Receita Total 
é uma função da quantidade vendida, pois: R = PV.x, em que PV é o preço de venda 
e x a quantidade vendida. Todavia, em algumas situações, a quantidade vendida será 
função do volume possível de vendas e, neste caso, escrevemos se 
R = 12.x, então a inversa será dada por: x = 
12
R
 
 
Dada a função y = 2x – 1, calcule a respectiva função inversa. 
y + 1 = 2.x 
2.x = y + 1 
x = 
2
1y
 
 
 
16
0 Matemática Elementar 
 
Ou ainda, x = 0,5.y + 0,5 
 
Para definirmos formalmente o conceito de função inversa necessitamos de alguns 
conceitos auxiliares, já que não é toda função que admite função inversa. 
Apresentaremos então os conceitos seguintes: função injetora, função sobrejetora e 
função bijetora. 
 
5.2.1 Função Injetora 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição (Função Injetora): Falamos que uma função f: A 
B é uma função injetora se e somente se, para cada par de 
variáveis distintas em A tivermos imagens distintas em B, isto 
é: x1 ≠ x2 f(x1) ≠ f(x2) 
 
(1) É injetora (2) Não é injetora 
Figura xx: A interpretação da definição de função injetora. 
 
 
 
161 
Matemática Elementar 
 
 
 
5.2.2 Função Sobrejetora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.2.3 Função Bijetora 
 
 
 
 
 
Definição (Função Sobrejetora): Dizemos que uma função f: A B 
é uma função sobrejetora se e somente se, o seu conjunto imagem 
for igual ao seu próprio contradomínio B. 
 
Definição (Função Bijetora): Falamos que uma função f: A B 
é uma função bijetora se e somente se ela for injetora e 
também sobrejetora. 
 
(1) É sobrejetora (2) Não é sobrejetora 
 
Figura: A interpretação da definição de função sobrejetora. 
 
 
16
2 Matemática Elementar 
 
 
Figura: A interpretação da definição de função bijetora. 
 
Tendo em vista tais definições, diremos que a condição necessária e 
suficiente para que uma função admita inversa é que ela seja bijetora. 
Vejamos alguns exemplos ilustrativos. 
 
 
Considerando as funções abaixo, classificar as mesmas da seguinte 
forma: 
I – Se ela for injetora e não sobrejetora; 
II – Se ela for sobrejetora e não injetora; 
III – Se ela for bijetora; 
IV – Se ela não for nem injetora nem sobrejetora. 
 
a) f:

 / f(x) = x2 
b) f:

 / f(x) = x2 
c) f:

 / f(x) = x2 
d) f:
 
 / f(x) = x2 
e) f:
 
 / f(x) = x2 
 
 
 
 
 
163 
Matemática Elementar 
 
 
Solução: 
a) f:

 / f(x) =x2, onde o domínio e o contradomínio da função é o conjunto 
dos números reais. 
Além disso, temos que: 
f(x) = x2, x
 
 x2 ≥ 0, ou seja, o conjunto imagem da função da letra (a) é 
Imf = 

. 
Por outro lado, notemos que não podemos afirmar que x1 ≠ x2

 f(x1) ≠ f(x2), 
já que por exemplo – 4 ≠ 4 e f(– 4) = f(4) = 16. 
Portanto, concluímos que a função 
f:

 / f(x) = x2 não é injetora e nem sobrejetora, sendo do tipo IV. 
 
b) f:

 / f(x) = x2, temos que o domínio da função é o conjunto dos números 
reais e o contradomínio é o conjunto 

. 
Além disso, temos que: 
f(x) = x2, x
 
 x2 ≥ 0, ou seja, o conjunto imagem da função da letra (b) é 
Imf = 

, donde concluímos que a função é sobrejetora. 
Por outro lado, notemos que não podemos afirmar que x1 ≠ x2

 f(x1) ≠ f(x2), 
já que por exemplo – 4 ≠ 4 e f(– 4) = f(4) = 16. 
Portanto, concluímos que a função f: 

/ f(x) = x2 é sobrejetora e não é 
injetora, ou ainda seria classificada como sendo do tipo II. 
 
c) f:

 / f(x) = x2, temos que o domínio é o conjunto 

 e o contradomínio 
é o conjunto 

. 
Além disso, temos que: 
f(x) = x2, x


 x2 ≥ 0, ou seja, o conjunto imagem da função da letra (c) é 
Imf = 

, donde concluímos que a função não é sobrejetora. 
 
 
16
4 Matemática Elementar 
 
Além disso, neste caso observemos que podemos afirmar que x1 ≠ x2

 f(x
1
) ≠ 
f(x
2
), pois não existem dois números positivos distintos cujos quadrados não 
sejam distintos, ou seja, a função é injetora. 
Portanto, concluímos que a função f:

 / f(x) = x2 não é sobrejetora 
porém é injetora, ou ainda seria classificada como sendo do tipo I. 
 
d) f:
 
 / f(x) = x2, temos que o domínio é o conjunto 

 e o contradomínio 
é o conjunto 

. 
Além disso, temos que: 
f(x) = x2, x
 
 x2 ≥ 0, ou seja, o conjunto imagem da função da letra (d) é 
Imf = 

, donde concluímos que a função é sobrejetora. 
Além disso, temos que x
1
 ≠ x2

 f(x1) ≠ f(x2), pois mais uma vez claramente não 
existem dois números positivos distintos cujos quadrados não sejam distintos, ou 
seja, a função é injetora. 
Portanto, concluímos que a função f: 
 
 / f(x) = x2 é sobrejetora e 
injetora, ou seja, a função é bijetora sendo classificada como sendo do tipo III. 
 
e) f:
 
 / f(x) = x2, temos que o domínio é o conjunto 

 e o contradomínio 
é o conjunto 

. 
Além disso, temos que: 
f(x) = x2, x


 x2 ≥ 0, ou seja, o conjunto imagem da função da letra (d) é 
Imf = 

, donde concluímos que a função é sobrejetora. 
Além disso, temos que x
1
 ≠ x2

 f(x1) ≠ f(x2), já que dois números negativos 
distintos possuem quadrados distintos, ou seja, a função é injetora. 
Portanto, concluímos que a função f: 
 
 / f(x) = x2 é sobrejetora e 
injetora, ou seja, a função é bijetora sendo classificada como sendo do tipo III. 
 
 
 
165 
Matemática Elementar 
 
 
 
 
Sendo f: 

 tal que f(x) = 2x – 1 encontrar f -1. 
Solução: 
Na função f temos que y = 2x – 1. 
Como (u; v) 

 f implica (v; u) 

 f -1, temos na função inversa f -1 que 
x = 2y – 1. 
x = 2y – 1 
x + 1 = 2y 
y = 
2
1x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura: A simetria entre os 
gráficos de f e f 1 . 
1) Se f é uma função bijetora de A em B, então o domínio e o contradomínio de f 
são respectivamente o contradomínio e o domínio da sua inversa f 1 . 
2) Considerando f uma função bijetora e f 1 a sua inversa então f(f 1 (x)) = f 1 
(f(x)) = x para todo x no domínio. 
3) Se f é uma função bijetora e (u; v)  f, então (v; u)  f 1 , consequentemente, 
os gráficos de f e f 1 são curvas simétricas com relação à bissetriz dos quadrantes 
ímpares, conforme figura xx. 
 
 
 
16
6 Matemática Elementar 
 
 
5.3 Função Exponencial 
 
Para bem compreendermos o conceito de função exponencial é preciso 
relembrarmos do conteúdo de potência, estudado na unidade 2 e de equações, 
estudado na unidade 3.A função exponencial é bastante utilizada para representação de situações em que a 
taxa de variação é considerada grande. Isso ocorre, por exemplo, em situações de 
rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, como veremos no estudo 
de caso apresentado no final dessa unidade. Esse tipo de função deve resolvido 
utilizando, sempre que necessário, as regras de potenciação. 
 
Sabemos que uma função é uma relação de dependência, na qual uma incógnita 
depende do valor da outra. No caso da função exponencial, sua principal 
característica é ter a parte variável, representada por x, no expoente. 
 
Colocados esses conceitos podemos definir a função exponencial como: 
 
Definição (Função Exponencial): Sendo b um número real 
positivo e diferente da unidade (b ≠ 1), chamamos de função 
exponencial a função definida por: f: * , x  f(x) = b x 
 
Equação: significa igualarmos duas expressões, visando descobrir 
o valor das variáveis ou incógnitas. 
Equação exponencial é quando a incógnita está no expoente. 
Expoente: é o mesmo que potência. Quando dizemos que um 
número qualquer está "elevado à potência x" estamos dizendo 
que este número será multiplicado por ele mesmo x vezes. 
 
 
 
 
 
 
167 
Matemática Elementar 
 
 
 
A função exponencial é caracterizada pelo decrescimento e crescimento muito 
acelerado, por isso é muito utilizada tanto na Matemática como em outras áreas 
correlacionadas com cálculos. 
 
 
Vejamos alguns exemplos ilustrativos. 
 
 
A função f: 
*

 definida por f(x) = 2
x . 
 
Figura: O gráfico da função exponencial f(x) = 2x. 
A função f: 
*

 definida por f(x) = 
x






2
1
. 
 
 
 
 
Figura: O gráfico da função exponencial f(x) = 
x






2
1
 
 
 
 1) Para os exemplos apresentados, envolvendo a função 
exponencial, temos que o conjunto imagem é 
*

, já que para 
todo x real, 2 x > 0 e (
1
2
)
𝑥
 > 0. Portanto, concluímos que o 
conjunto imagem da função exponencial f(x) = b x , com b > 
0 e b ≠ 1, é 
*

, ou seja, qualquer que seja o número real x 
teremos b x > 0. 
 
 
16
8 Matemática Elementar 
 
 
2) Se x1> x2, então 
21 22
xx 
, isto é, a função f(x) = 2x é 
crescente. Generalizando, concluímos que sendo b > 1, x1> x2 
então 
21 xx bb 
, isto é, a função exponencial f(x) = bx é 
crescente. 
 
3) Se x
1
> x
2
, então 1
2
1
x






< 
2
2
1
x






, isto é, a função f(x) = x






2
1
é decrescente. Generalizando, concluímos que sendo 0 < b < 
1, x
1
> x
2
 então 
21 xx bb 
, isto é, a função exponencial f(x) = 
bx é decrescente. 
 
Desta maneira, em símbolos podemos resumir as principais propriedades da função 
exponencial de base b, no Quadro 01 abaixo. 
Quadro 01: Propriedades da função exponencial b x . 
 
Propriedade Descrição 
 
I 
O conjunto imagem da função exponencial f(x) = b x , com 0 < b
1
, é 
*

, isto é, qualquer que seja o número real x teremos b x > 0. 
 
Domínio = IR e Im = IR+ 
II Sendo b >1, então se x1> x2 

 
21 xx bb 
, isto é, a função 
exponencial f(x) = bx é crescente. 
 
b > 1 = Função Crescente 
III Sendo 0 < b < 1, então x1> x2 

 
21 xx bb 
, isto é, a função 
exponencial f(x) = bx é decrescente. 
 
0 < b < 1 = Função decrescente 
 
 
 
 
 
 
 
 
169 
Matemática Elementar 
 
 
 
 
5.4 Função Logarítmica 
 
Agora, estaremos interessados em discutir as principais propriedades da função 
inversa da exponencial b x . Para tal, incialmente devemos apresentar a noção de 
logaritmo, bem como as suas principais propriedades. 
 
5.4.1 Logaritmos 
 
A grosso modo temos que a noção de função acrescida da definição de logaritmo 
nos leva de forma natural a definição da função logarítmica. 
 
Figura: O surgimento da função logarítmica. 
 
A origem dos logaritmos remonta ao século XVII e, ao que consta na literatura, eles 
tinham como função específica facilitar os cálculos aritméticos complicados que 
frequentemente apareciam nas operações comerciais, como por exemplo: 
2,9.(1,03) 14,91 
 
Função
Logaritmo
Função 
Logarítmica
 
 
17
0 Matemática Elementar 
 
 
A fim de definirmos a noção de logaritmo, pensemos primeiramente na 
seguinte indagação: 
Para que valores de a e b a equação exponencial bx=a apresenta sempre 
uma única solução? 
 
A resposta para tal indagação nos leva ao conhecimento ou definição de logaritmo. 
Vejamos algumas situações numéricas: 
 2x=8 apresenta uma única solução que é x=3, já que 2x=8=23. 
 












16
1
2
1
x
 apresenta uma única solução que é x=4, já que 4
2
1
16
1
2
1


















x . 
 3x=9 apresenta uma única solução x=2. 
 1x=4 não apresenta solução. 
 0x=4 não apresenta solução. 
 (-1)x=2 não apresenta solução. 
 5x=-1 não apresenta solução. 
 
Desta maneira, observamos que a equação bx = a admite sempre uma única solução 
se b>0, b≠1 e a>0. Logo, temos naturalmente a seguinte definição de logaritmo. 
 
 
 
 
 
 
Definição (Logaritmo): Dados dois números reais a e b, ambos 
positivos com b≠1, existe sempre um único número real x tal que 
bx= a. Este expoente x, que deve ser colocado na base b para que 
o resultado seja a, recebe o nome de logaritmo de a na base b. 
Em símbolos: x = ablog  bx = a 
 
 
 
 
171 
Matemática Elementar 
 
 
 
 
Nomenclaturas 
ablog
 a é o logaritmando e b é a base do logaritmo 
Se x > 0, então 
x10log
 logaritmo decimal de x. Convencionaremos omitir o 
número 10 na notação do logaritmo decimal. 
Se x > 0, então 
xelog
 logaritmo neperiano de x. O número e é um número 
irracional cujas primeiras casas decimais são 2,71828.... 
O logaritmo neperiano de x costuma ser chamado de 
logaritmo natural de x, sendo indicado por ln x. 
 
 
Alguns logaritmos são fáceis de ser encontrados. Outros são achados 
nas tabelas. Vejamos, agora, como encontrar alguns logaritmos em 
exemplos ilustrativos. 
 
 
Vamos encontrar os seguintes logaritmos: 
a) log25 5 
Solução: 
log25 5= x, então 25x= 5, ou seja, (52)x = 5, donde concluímos que 2x=1, ou seja, 
x=½ e, portanto concluímos que log25 5= ½ . 
 
 
b) log9 27 
Solução: 
log9 27=x, então 27x= 9, ou seja, (33)x = 32, donde concluímos que 3x=2, ou seja, 
x=3/2 e, portanto concluímos que log9 27=3/2. 
 
 
c) 
1,0log10
 
Solução: 
 
 
17
2 Matemática Elementar 
 
1,0log10
 = x, então 10 x = 0,1, ou seja, (10) x = 10 1 , donde concluímos que x = – 
1, ou seja, 
1,0log10
= – 1. 
 
 
d) 
3
2 2log
 
Solução: 
3
2 2log
= x, então 2 x = 3 2 , ou seja, 2 x = 3 2 = 23
1 , donde concluímos que x = 
3
1
, ou seja, 
3
2 2log
= 
3
1
. 
 
Desta maneira, a partir dos exemplos discutidos anteriormente enumeramos no 
Quadro 02 abaixo, algumas consequências imediatas da definição de logaritmo, ou 
seja, se b


 – {1} e a


, surgem naturalmente tais considerações. 
 
 
Quadro 02: Consequências imediatas da definição de logaritmo. 
 
5.4.2 Propriedades Operatórias dos Logaritmos. 
 
Por outro lado, quatro propriedades são de fundamental importância nos cálculos 
envolvendo os logaritmos a fim de simplificação emelhor entendimento dos mesmos. 
Desta forma, considerando b


 – {1} e a


, temos as seguintes propriedades 
operatórias dos logaritmos enumeradas no Quadro 03 abaixo. 
 
Consequência Descrição 
I 
1log b
 = x 

 b x = 1 

 b x = b 0

x = 0

1log b
 = 0 
II 
bblog
 = x 

 b x = b 

 b x = b1

x = 1

bblog
 = 1 
III 
k
b blog
 = x 

 b x = b k 

 x = k
 k
b blog
 = k 
IV 
ablog
 = c 

 b c = a 

 b ablog = a 
 
 
 
173 
Matemática Elementar 
 
 
 
Propriedade Descrição 
I 
).(log 21 aab
= 
1log ab
+ 
2log ab
 Logaritmo do Produto 
II 






2
1log
a
a
b
= 
1log ab
– 
2log ab
 
Logaritmo do Quociente 
III 
 
ablog
 = 

.
ablog
 Logaritmo da Potência 
IV 
 ablog
 = 
b
a
c
c
log
log
, com 0 < b ≠ 1 
Mudança de Base 
Quadro 03: Propriedades dos Logaritmos. 
 
 
 
 
 
 
Note que como vimos anteriormente, o logaritmo só é definido para números 
positivos, por isso o domínio da função logarítmica é o conjunto
*

. Além disso, 
vimos que se a base for um número entre 0 e 1, o logaritmo será um número 
negativo. 
 
 
Representar geometricamente as funções logarítmicas: 
 
 
 
 
Definição (Função Logarítmica): Sendo b um número real 
positivo e diferente da unidade (0 < b ≠ 1), chamamos função 
logarítmica a função: g: * 
x  g(x) = xblog 
 
 
 
17
4 Matemática Elementar 
 
a) g: 

*
 dada por g(x) = 
x3log
 b) g: 

*
 dada por g(x) = 
x
2
1log
 
 
Figura: O gráfico da função 
x3log
. 
 
Figura O gráfico da função 
x
2
1log
. 
 
 
c) g: 

*
 dada por g(x) = 
x
3
1log
. 
 
 
 
 
Figura: O gráfico da função 
x
3
1log
. 
 
 
 
 
Notemos que, da definição de logaritmo, temos que se 
11log yxb 
 e 
22log yxb 
, 
então 
1
1
y
bx 
 e 
2
2
y
bx 
, onde {x
1
, x
2
}


. Considerando x
1
> x
2
, temos que: 





10,loglog,,
1,loglog,,
2121
2121
bsexxéistoyy
bsexxéistoyy
bb
bb
 
 
 
 
175 
Matemática Elementar 
 
 
 
Ou seja, resumindo temos que: 
b > 1 

 a função g(x) = 
xblog
 é 
crescente; 
 
Figura: O gráfico da função f(x) = 
x2log
 
– função crescente. 
0 < b < 1 

 a função g(x) = 
xblog
 é 
decrescente. 
 
Figura: O gráfico da função f(x) = 
x
2
1log
 
– função decrescente. 
 
 
Reparemos que f: 
*

, f(x) = bx e g: 

*
, g(x) =
xblog
 
são funções bijetoras (b > 0 e b

1), ou seja, são sobrejetoras e 
injetoras. 
Desta forma podemos pensar nas inversas de cada uma delas. 
Uma é a função inversa da outra. Para tal, observemos que: 
f(g(x)) = b )(xg = b xblog = x, para todo x, x


, e 
g(f(x)) = log
b
b x = x, para todo x real. 
Portanto, com base nisto, podemos afirmar que g(x)=
xblog
 é a 
função inversa de f(x)=bx e, vice-versa. 
Geometricamente isto significa que os gráficos de g e f são curvas 
simétricas com relação à reta y = x, i.e., bissetriz dos quadrantes 
ímpares como discutido na parte de inversão de funções. 
A função logarítmica g(x)=
xblog
é a função inversa da função 
exponencial f(x)=bx e, vice-versa. 
 
 
17
6 Matemática Elementar 
 
 
Geometricamente tal simetria é apresentada na Figura xx abaixo. 
 
Figura: A simetria entre os gráficos das funções f(x) = 2 x e a função g(x) = 
x2log
. 
 
 
Em linhas gerais para os valores de b, temos a representação da simetria entre os 
gráficos mostrados na Figura abaixo. 
 
 
 
 
 
177 
Matemática Elementar 
 
 
 
Figura: A simetria entre os gráficos das funções logarítmica e exponencial. 
 
 
 
5.5 Função Modular 
 
 
 
 
 
 
 
 
A função modular é definida a partir do que já conhecemos como 
sendo o valor absoluto ou o módulo de x, que como vimos é 
definido pela função de dupla sentença: 
| x | = 




0,
0,
xsex
xsex
 
 
 
 
17
8 Matemática Elementar 
 
Sendo assim, temos que: 
| 0 | = 0 | 1 | = 1 | – 2| = – (– 2 ) = 2 
| 4 | = 4 | 8 | = 8 | – 9| = – (– 9 ) = 9 
| – 0,8| = – (– 0,8 ) = 0,8 | – 1,3| = – (– 1,3 ) = 1,3 | – 90| = – (– 90 ) = 90 
 
 
Desta maneira, surge naturalmente a função módulo de x, bem como, as funções que 
levam em sua lei de formação o valor absoluto, sendo denominadas de funções 
modulares. 
 
Vamos representar geometricamente a função módulo de x, a qual 
denotamos por f(x) = | x |. 
 
 
Figura: O gráfico da função f(x) = | x |. 
 
Vamos representar geometricamente a função módulo de x, a qual denotamos por 
f(x) = | x + 2 |. 
Solução: 
 
 
 
179 
Matemática Elementar 
 
 
 
Figura: O gráfico da função f(x) = | x + 2 |. 
 
 
 
 
 
Vamos representar geometricamente a função módulo de x, a qual denotamos por 
f(x) = | x – 2 |. 
Solução: 
 
 
Figura: O gráfico da função f(x) = | x – 2 |. 
 
 
Esboçar o gráfico da função f(x) = | x 2 – 1| – 1. 
 
 
 
18
0 Matemática Elementar 
 
Solução: 
 
Figura 43: O gráfico da função f(x) = | x2 – 1| – 1. 
 
 
 
 
 
 
 
Num mesmo plano cartesiano esboçar os gráficos das funções modulares que 
seguem e tecer alguns comentários comparando-os. 
f(x) = | x | 
g(x) = |x + 3| 
h(x) = |x - 3| 
 
 
 
 
 
181 
Matemática Elementar 
 
 
Solução: 
 
 
 
Figura xx: O gráfico da função f(x) = | x|, g(x) = |x+3| e h(x) = |x-3|. 
 
Percebe-se que quando termos qualquer valor no termo independente da função, 
dentro do módulo, deslocará o gráfico da função em relação a ao eixo de x. 
Se o valor for negativo, o gráfico deslocará para direita, no sentido positivo de x, em 
relação a origem, conforme h(x)=|x-3|. 
Se o valor for positivo, o gráfico deslocará para esquerda, no sentido negativo de x, 
em relação a origem, conforme g(x)=|x+3|. 
 
 
 
18
2 Matemática Elementar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O exemplo a seguir apresenta um estudo de caso para a aplicabilidade da função do 
primeiro grau na gestão financeira de uma pequena empresa. 
 
Um lava jato de automóveis tem como único serviço uma lavagem simples, pela qual 
cobra R$12,00 (PV – Preço de Venda). Cada lavagem gasta em média R$3,00 de 
produtos de limpeza. As contas de água e luz têm média mensal de R$350,00 
somadas. A empresa possui 3 funcionários, recebendo cada um deles R$260,00 fixos 
mais R$1,00 por cada carro lavado. As obrigações sociais ficam em 40%. O prédio 
da empresa é alugado, pelo qual o proprietário paga R$250,00 por mês. Não há mais 
custos consideráveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estudo de Caso: 
O Lava - jato 
 
 
 
 
 
 
 
 
183 
Matemática Elementar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Antes vamos rever alguns conceitos relevantes apresentados no 
exemplo: 
o O faturamento bruto, ou Receita Bruta (R) de uma 
empresa é a soma total de suas vendas e recebimentos. 
Não podemos confundir com o lucro da empresa. De 
forma simples, podemos visualizar a receita bruta é o 
dinheiro que entra no caixa. 
o Obrigações sociais são despesas provenientes dos valores 
pagospelos salários (FGTS, INSS,...), além de férias e 
décimo terceiro salário. Elas incidem também sobre 
remunerações variáveis, ou seja, sobre ascomissões. 
o Os custos de uma empresa podem ser divididos em 
Custos Fixos (CF) e Custos Variáveis (CV). O somatório 
dos custos fixos e custos variáveis resultam no Custo Total 
(CT) da empresa. A priori estamos considerando que 
custo é o que sai do caixa. 
o Custos Fixos (CF) são aqueles que não dependem da 
quantidade vendida ou produzida pela empresa. Como por 
exemplo, podemos citar o custo relacionado ao aluguel. 
No exemplo foram considerados para a conta de água e 
de luz valores médios, fazendo com que, neste caso, sejam 
considerados custos fixos. 
o Custos Variáveis (CV) são aqueles que variam de acordo 
com a quantidade vendida ou produzida pela empresa. A 
matéria-prima é um exemplo, pois, se não houver 
produção ou venda, não haverá consumo da matéria-
prima. 
o O lucro bruto (LB) pode ser entendido como a diferença 
entre a Receita Bruta (RB) e o Custo Total (CT). 
 
Tendo o exemplo apresentado, pede-se: 
a) Qual a receita total do lava-jato se lavar num mês apenas 10 carros? 
b) Qual a receita total do lava-jato se lavar 250 carros no mês? 
 
 
18
4 Matemática Elementar 
 
c) Qual expressão pode representar a receita total para um número qualquer de carros 
lavados? 
d) Qual o Custo Fixo mensal da empresa? 
e) Qual o Custo Variável de um carro lavado? 
f) Qual o Custo Variável da empresa se lavar apenas 10 carros? 
g) Qual o Custo Variável da empresa se lavar 250 carros? 
h) Qual expressão pode representar o custo variável para um número qualquer de 
carros lavados? 
i) Qual expressão pode representar o Custo Total da emrpesa para um número 
qualquer de carros lavados? 
j) Qual o lucro bruto da empresa se lavar 250 carros no mês? 
k) Qual o lucro bruto da empresa se lavar 223 carros no mês? 
l) De cada carro lavado, tirando os custos variáveis, quanto sobra? Esta sobre é lucro? 
m) Agora tente interpretar o resultado da letra (k). 
 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
a) Se a Receita Total (R) representa para nós o dinheiro que entrou no caixa e sendo 
que a cada carro lavado entram R$12,00, podemos concluir que a Receita Total se 
lavarem 10 carros no mês é dada por: 
R = (PV).(Quantidade de carros lavados) 
R = 12 x 10 
R = R$120,00 
 
b) Lavando 250 carros no mês, mudaremos apenas a quantidade de carros lavados, ou 
seja, aqui temos que: 
R = (PV).(Quantidade de carros lavados) 
R = 12 x 250 
R = R$3.000,00 
 
 
 
 
185 
Matemática Elementar 
 
 
c) A expressão que pode representar qualquer quantidade de carros lavados pode ser 
montada a partir da observação das respostas das duas letras anteriores, pois a 
Receita Total depende apenas do preço de cada lavagem (PV) e da quantidade de 
carros lavados, que podemos denominar de (x), por ser uma variável, ou seja: 
R = (PV).(Quantidade de carros lavados) 
R = PV . x 
R = R$12,00 . x 
 
d) Com base nas informações anteriores, temos os seguintes custos fixos no lava-jato: 
 
Água e Luz R$350,00 
Aluguel R$250,00 
Mão-de-obra (3) (R$260,00 x 3) = R$780,00 
Obrigações Sociais: 40% sobre R$780,00 R$312,00 
Total R$1.692,00 
 
e) Também com base nas informações do caso, vejamos que o custo variável é aquele 
que depende da quantidade vendida, ou seja, no nosso caso, depende do número de 
carros lavados. São os custos que só existem se lavar carros. Por exemplo, a matéria-
prima. Se a empresa não lavar nenhum carro, não gastará com produtos químicos. 
Analogamente, com relação a comissão dos vendedores. Eles recebem R$1,00 por 
carro lavado. Notemos que nos foi informado que incidem obrigações sociais 
também sobre as comissões. Então, para um carro lavado o custo variável é dado 
por: 
 
Matéria-prima R$3,00 
Comissões R$1,00 
Obrigações Sociais: 40% sobre 
R$780,00 
R$0,40 
Custo Variável por Carro (CVU) R$4,40 
 
 
 
18
6 Matemática Elementar 
 
f) Se o Custo Variável de um carro (CVU) é igual a R$4,40, de 10 carros temos que: 
CV = (4,40) x 10 
CV = R$44,00 
 
g) Como o que fizemos na letra anterior, temos que: 
CV = (4,40) x 250 
CV = R$1.100,00 
 
h) De forma análoga, ao que fizemos na letra (c), notemos que o custo variável é função 
apenas do Custo Variável Unitário (CVU) e do número de carros lavados (x), 
portanto: 
CV = (4,40) . x 
CV = 4,40 . x 
 
i) Vamos denotar por (CT) o Custo Total e considerando as informações com relação 
ao Custo Total, que o mesmo é a soma do custo variável com o custo fixo, temos 
que: 
CT = CV + CF 
CT = 4,40.x + 1692 
 
j) De acordo com o que foi informado no enunciado, Lucro Bruto é a diferença entre 
Receita Total e Custo Total, assim sendo: 
LB = R – CT 
LB = 12.x – (4,40.x + 1692) 
LB = 12.x – 4,40.x – 1692 
LB = 7,60.x – 1692 
 
 
 
 
187 
Matemática Elementar 
 
 
(Expressão do Lucro Bruto para este lava-jato) 
LB = 7,60.x – 1692 
LB = 7,60.250 – 1692 
LB = 1900 – 1692 
LB = R$208,00 
 
k) Utilizando agora a expressão que montamos na letra anterior, calculamos: 
LB = 7,60.x – 1692 
LB = 7,60.223 – 1692 
LB = 1694,80 – 1692 
LB = R$2,80 
Portanto, o lucro bruto da empresa, se lavar 223 carros por mês, será de R$2,80. 
 
l) Cada lavagem, R$12,00. Retirando os custos variáveis de R$4,40, sobram R$7,60. Mas 
R$7,60? Tal número apareceu na letra (j), quando definimos a expressão que permite 
calcular o Lucro Bruto de qualquer quantidade de carros lavados: 
LB = 7,60.x – 1692 
 
Para determinarmos o Lucro Bruto pegamos o valor que representa a sobra de cada 
carro lavado, retirando os custos variáveis, ou seja, R$7,60, e multiplicamos pelo 
número de carros lavados. Daí retiramos o Custo Fixo, R$1692,00. 
MCU = 12 – 4,40 
MCU = 7,60 
 
 
 
18
8 Matemática Elementar 
 
 
Este valor, R$7,60, que representa a Receita menos Custo Variável, 
é um dos componentes mais importantes para a gestão financeira 
de uma empresa. 
É a chamada Margem de Contribuição Unitária (MCU). 
MCU = PV – CVU 
 
m) Vamos agora tentar explicar o ocorrido na letra (k). Vejamos que com 223 carros 
lavados, o Lucro Bruto foi igual a R$2,80. Acabamos de ver na letra anterior que a 
Margem de Contribuição Unitária é de R$7,60, ou seja, de cada carro lavado, sobram 
R$7,60. Assim sendo, se a empresa lavar 222 carros, terá como resultado um Lucro 
Bruto Negativo. Em outras palavras, terá prejuízo. 
LB = 7,60.x – 1692 
LB = 7,60.222 – 1692 
LB = – 4,80 (Prejuízo de R$4,80) 
 
 
Assim sendo, 223 é o número de carros que a empresa deve lavar 
para não ter prejuízo. Este é outro conceito importantíssimo, 
chamado de Ponto de Equilíbrio, que significa o ponto em que a 
empresa não tem lucro nem prejuízo. 
 
Para calcularmos, basta substituirmos o valor do Lucro Bruto por zero, na expressão: 
LB = 7,60.x – 1692 
0 = 7,60.x – 1692 
– 7,60.x = – 1692 (–1) 
7,60.x = 1692 
x = 1692 ÷ 7,60 
x = 222,63 carros (Aprox. 223 carros) 
 
Aplicando a Função do Segundo Grau na Área de Gestão: 
 
 
 
189 
Matemática Elementar 
 
 
Com relação ao nosso estudo de caso referente ao lava-jato, suponhamos que o 
proprietário do lava-jato ficou entusiasmado com os números que levantamos sobre 
o seu negócio (quando aplicamos a noção função do primeiro grau). Visando 
melhorar as informações para a tomada decisão, ele contratou uma empresa 
especializada em pesquisa de mercado para estudar o comportamento de seu 
público-alvo, tendo como parâmetro variações no preço da lavação.O objetivo do 
empresário é descobrir qual preço lhe dará maior Receita Total e qual preço 
propiciará maior Lucro. Após exaustivos trabalhos de pesquisa, que envolveram a 
análise do perfil dos clientes do lava-jato, região onde residem, além de entrevistas 
com amostras destes clientes, a empresa apresentou o relatório na Tabela 02 abaixo, 
mostrando a provável demanda em função do preço cobrado. 
 
 
 
 
 
 
Tabela 02: Os dados apresentados pela empresa de consultoria: demanda em função do preço 
cobrado. 
 
Pede-se: 
 
a) Qual a expressão que pode representar o número de carros lavados (d) em função 
do preço da lavagem (PV)? Notemos que a variação é linear. 
 
b) Considerando-se que Receita Total é o preço da venda multiplicado pela quantidade 
vendida (R = PV.d), qual a expressão que pode representar a Receita Total em função 
do preço cobrado pela lavação? 
 
Variável Independente Variável Dependente 
Preço da Lavação – PV Provável Número de 
Carros Lavados (d) 
10 400 
12 300 
14 200 
16 100 
 
 
19
0 Matemática Elementar 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
a) Como a variação é linear, tomando os seguintes pontos no Quadro 02 acima: (10; 
400) e (16; 100), segue que: 
De 
01
0
01
0
xx
xx
yy
yy





, como queremos a quantidade demandada (x) em função do 
preço de venda (PV), temos que: 
01
0
01
0
PVPV
PVPV
dd
dd





 
Ou seja, 
1016
10
400100
400




 PVd
 
Donde concluímos que: d = – 50.PV + 900 (I) 
 
b) Como R = PV.d e, substituindo (I) em (II), vem que: 
R = PV.(– 50.PV + 900) 
d = – 50.PV 2 + 900.PV 
Notemos que a expressão da Receita em função do Preço de Venda passou a ter 
um termo contendo a variável independente elevada ao quadrado, constituindo desta 
forma, uma função do segundo grau (função quadrática). 
 
O gráfico da função d = – 50.PV 2 + 900.PV é mostrado na Figura xxx abaixo. 
 
Figura xxx: O gráfico da função d = – 50.PV 2 + 900.PV. 
 
 
 
191 
Matemática Elementar 
 
 
 
Finalizando o estudo de caso, onde apresentamos a aplicação da noção de função do 
primeiro grau (função afim) e função de segundo grau (quadrática) na área da gestão, 
devemos salientar o seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apesar de não termos uma noção geral das finanças da pequena 
empresa (lava-jato), percebemos que aprendemos vários conceitos, 
tais como receita, custos, margem de contribuição etc.. São 
conceitos de fundamental importância para um gestor no seu dia-a-
dia além de serem conceitos que o acompanharão por todo curso 
e por toda a sua vida profissional, de tal forma que a interpretação 
e domínio da teoria de funções, é relevante para a sua formação. 
 
 
 
19
2 Matemática Elementar 
 
 
 
 
 
 
 
 
Interessa-nos agora apresentar a função exponencial e suas principais propriedades 
através de uma aplicação envolvendo a área de finanças, mais especificamente 
relacionada ao cheque especial. A maior parte de nós vivencia ou tem conhecidos 
que já vivenciaram essa situação de uso do cheque especial em algum momento da 
vida. 
 
Estudo de Caso: O Cheque Especial 
Poucas pessoas tem uma real noção dos efeitos de capitalização composta de juros, 
amplamente utilizada no sistema financeiro brasileiro: o conhecido regime de 
capitalização composta. Num linguajar bem simples a capitalização composta é o que 
conhecemos como “juros sobre juros”. 
Para que você tenha uma melhor noção, vamos montar uma tabela que representa 
a situação de um brasileiro que foi morar no exterior, tentando uma vida melhor. Só 
que ao viajar de mudança esqueceu uma conta corrente em um determinado banco, 
com saldo negativo de R$500,00. O banco tentou contato, mas não o encontrou. 
Cinco anos depois, este brasileiro retornou ao Brasil, feliz porque havia juntado neste 
período trinta mil dólares, o que correspondia, no momento de sua volta ao Brasil, à 
quantia de R$ 64.500,00. Para sua surpresa, quando voltou, tomou conhecimento de 
que havia deixado esta conta com saldo descoberto. A taxa de juros cobrada era de 
8,5% a.m. (ao mês). Sendo que ele ficou cinco anos fora, passaram-se 60 meses. Se 
a cobrança dos juros fosse por meio de juros simples, ou seja, sem a cobrança de 
juros sobre os juros, o débito do correntista seria calculado da seguinte forma: 
Estudo de Caso: 
O Cheque Especial 
 
 
 
 
 
 
 
 
193 
Matemática Elementar 
 
 
Juros Devidos = Capital x Taxa x Número de meses 
Juros Devidos = 500 . 8,5% . 60 
Juros Devidos = R$ 2.550,00 
 
Portanto, a dívida com o banco seria de: R$ 3.050,00 (R$ 500,00 + R$ 2.550,00) 
 
Para a tristeza do aventureiro internacional, a cobrança era feita de forma capitalizada, 
de maneira que do saldo no final de cada mês era debitado o juro mensal, fazendo 
com que a base de cálculo aumentasse, mês a mês. Desta forma, averiguemos na 
Tabela 01 o saldo devedor apresentado pelo banco. 
 
Tabela 01 - Caracterização do saldo devedor: regime composto e regime simples 
de juros. 
Mês Base de 
Cálculo 
Taxa Valor dos 
Juros 
Compostos 
Saldo 
Devedor 
Atualizado 
Base 
de 
Cálculo 
para 
Juros 
Simples 
Valor 
dos 
Juros 
Simples 
Saldo 
Devedor 
com 
Juros 
Simples 
1 500,00 8,5% 42,50 542,50 500,00 42,50 542,50 
2 542,50 8,5% 46,11 588,61 500,00 42,50 585,00 
3 588,61 8,5% 50,03 638,64 500,00 42,50 627,50 
4 638,64 8,5% 54,28 692,93 500,00 42,50 670,00 
5 692,93 8,5% 58,90 751,83 500,00 42,50 712,50 
6 751,83 8,5% 63,91 815,73 500,00 42,50 755,00 
7 815,73 8,5% 69,34 885,07 500,00 42,50 797,50 
8 885,07 8,5% 75,23 960,33 500,00 42,50 840,00 
9 960,33 8,5% 81,63 1.041,93 500,00 42,50 882,50 
 
 
19
4 Matemática Elementar 
 
10 1.041,93 8,5% 88,56 1.130,49 500,00 42,50 925,00 
11 1.130,49 8,5% 96,09 1.226,58 500,00 42,50 967,50 
12 1.226,58 8,5% 104,26 1.330,84 500,00 42,50 1.010,00 
13 1.330,84 8,5% 113,12 1.443,96 500,00 42,50 1.052,50 
14 1.443,96 8,5% 122,74 1.566,70 500,00 42,50 1.095,00 
15 1.566,70 8,5% 133,17 1.699,87 500,00 42,50 1.137,50 
16 1.699,87 8,5% 144,49 1.844,36 500,00 42,50 1.180,00 
17 1.844,36 8,5% 156,77 2.001,13 500,00 42,50 1.222,50 
18 2.001,13 8,5% 170,10 2.171,23 500,00 42,50 1.265,00 
19 2.171,23 8,5% 184,55 2.355,78 500,00 42,50 1.307,50 
20 2.355,78 8,5% 200,24 2.556,02 500,00 42,50 1.350,00 
21 2.556,02 8,5% 217,26 2.773,29 500,00 42,50 1.392,50 
22 2.773,29 8,5% 235,73 3.009,01 500,00 42,50 1.435,00 
23 3.009,21 8,5% 255,77 3.264,78 500,00 42,50 1.477,50 
24 3.264,78 8,5% 277,51 3.542,29 500,00 42,50 1.520,00 
25 3.542,29 8,5% 301,09 3.843,38 500,00 42,50 1.562,50 
26 3.843,38 8,5% 326,69 4.170,07 500,00 42,50 1.605,00 
27 4.170,07 8,5% 354,46 4.524,52 500,00 42,50 1.647,50 
28 4.524,52 8,5% 384,58 4.909,11 500,00 42,50 1.690,00 
29 4.909,11 8,5% 417,27 5.326,38 500,00 42,50 1.732,50 
30 5.326,38 8,5% 452,74 5.779,13 500,00 42,50 1.775,00 
31 5,779,13 8,5% 491,23 6.270,35 500,00 42,50 1.817,50 
32 6.270,35 8,5% 532,98 6.803,33 500,00 42,50 1.860,00 
33 6.803,33 8,5% 578,28 7.381,61 500,00 42,50 1.902,50 
34 7.381,61 8,5% 627,44 8.009,05 500,00 42,50 1.945,00 
35 8.009,05 8,5% 680,77 8.689,82 500,00 42,50 1.987,50 
 
 
 
195 
Matemática Elementar 
 
 
36 8.689,82 8,5% 738,63 9.428,46 500,00 42,50 2.030,00 
37 9.428,46 8,5% 801,42 10.229,87 500,00 42,50 2.072,50 
38 10.229,87 8,5% 869,54 11.099,41 500,00 42,50 2.115,00 
39 11.099,41 8,5% 943,45 12.042,86 500,00 42,50 2.157,5040 12.042,86 8,5% 1.023,64 13.066,51 500,00 42,50 2.200,00 
41 3.066,51 8,5% 1.110,65 14.177,16 500,00 42,50 2.242,50 
42 14.177,16 8,5% 1.205,06 15.382,22 500,00 42,50 2.285,00 
43 15.382,22 8,5% 1.307,49 16.689,71 500,00 42,50 2.327,50 
44 16.689,71 8,5% 1.418,63 18.108,33 500,00 42,50 2.370,00 
45 18.108,33 8,5% 1.539,21 19.647,54 500,00 42,50 2.412,50 
46 19.647,54 8,5% 1.670,04 21.317,58 500,00 42,50 2.455,00 
47 21.317,58 8,5% 1.811,99 23.129,58 500,00 42,50 2.497,50 
48 23.129,58 8,5% 1.966,01 25.095,59 500,00 42,50 2.540,00 
49 25.095,59 8,5% 2.133,13 27.228,72 500,00 42,50 2.582,50 
50 27.228,72 8,5% 2.314,44 29.543,16 500,00 42,50 2.625,00 
51 29.543,16 8,5% 2.511,17 32.054,33 500,00 42,50 2.667,50 
52 32.054,33 8,5% 2.724,62 34.778,94 500,00 42,50 2.710,00 
53 34.778,94 8,5% 2.956,21 37.735,15 500,00 42,50 2.752,50 
54 37.735,15 8,5% 3.207,49 40.942,64 500,00 42,50 2.795,00 
55 40.942,64 8,5% 3.480,12 44.422,77 500,00 42,50 2.837,50 
56 44.422,77 8,5% 3.775,94 48.198,70 500,00 42,50 2.880,00 
57 48.198,70 8,5% 4.096,89 52.295,59 500,00 42,50 2.922,50 
58 52.295,59 8,5% 4.445,13 56.740,72 500,00 42,50 2.965,00 
59 56.740,72 8,5% 4.822,96 61.563,68 500,00 42,50 3.007,50 
60 61.563,68 8,5% 5.232,91 66.796,59 500,00 42,50 3.050,00 
Saldo Devedor Atualizado 66.796,59 - - 3.050,00 
 
 
19
6 Matemática Elementar 
 
 
 
É isso mesmo!!! Não existem cálculos errados. O efeito é este mesmo. 
Com o regime de capitalização simples, a dívida seria de R$ 3.050,00 e 
com o regime de capitalização composto (capitalização exponencial) 
seria de R$ 66.796,00. Então, percebeu a importância de estarmos 
atentos aos números? 
 
Notemos que o principal responsável pela diferença dos dois saldos devedores é o 
fator tempo. 
 
 
Figura xx: Uma comparação geométrica entre os juros simples e os juros compostos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
197 
Matemática Elementar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o Em verdade o tempo é a variável chave para o estudo da 
Matemática Financeira. Com três meses de utilização do 
cheque especial, a diferença dos saldos devedores era de 
aproximadamente R$ 10,00 (638,64 - 627,50), de forma 
que este tipo de empréstimo somente deve ser usado em 
curtíssimo prazo. 
 
o O gráfico apresentado na figura xx mostra que, num 
exemplo específico, os juros simples e compostos são 
iguais quando chegamos no período de capitalização 1,0 e 
depois disso existe um crescimento dos juros compostos 
que o distância dos juros simples. 
 
 
 
 
19
8 Matemática Elementar 
 
Referência Bibliográfica 
BOULOS, Paulo. Pré-cálculo. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001. 
LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. 3 Edição. Volume 1. São 
Paulo: Harbra, 1994. 
MACHADO, Antônio dos Santos. Conjuntos Numéricos e Funções. 2 Edição. 
Volume 1. Matemática: Temas e Metas. São Paulo: Atual, 1988. 
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações. Volume 1. São Paulo: 
Ática, 2002. 
EDWARDS, Jr. C. H.; PENNEY, D. E. Cálculo com Geometria Analítica. Volume 1. 
Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brasil, 1999. 
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. 5 Edição. Volume 1. Rio de 
Janeiro: LTC, 2003. 
MACHADO, Antônio dos Santos. Geometria Analítica e Polinômios. Volume 5. 
Matemática: Temas e Metas. São Paulo: Atual, 2004. 
PAIVA, Manoel R. Matemática. Volume 1. São Paulo: Moderna, 2002.