geo-espacial

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GEOMETRIA ESPACIAL 
 
CONTEÚDOS 
 Capacidade e volume 
 Poliedros 
 Pirâmides 
 Cilindros 
 Cone 
 Esfera 
AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS 
Capacidade e volume 
Na receita de bolo estava indicado 500 mL de leite ou 500 cm³? 
É muito comum que as receitas apresentem, para as 
quantidades referentes aos líquidos, unidades de 
medida que representam múltiplos ou submúltiplos 
do litro (L, mL, dL,...). Porém, se na receita a 
quantidade estivesse informada utilizando os 
centímetros cúbicos, seria possível compreendê-la, 
ao identificar que as duas unidades de medida ( cm³ 
e mL) podem ser relacionadas. 
Quando falamos em litros (ou seus múltiplos e submúltiplos) estamos nos referindo a 
capacidade de um determinado recipiente. No caso da receita, se fosse utilizado, para 
medir a quantidade de leite, um recipiente de volume igual 500 cm³, a quantidade em 
mL seria de 500 mL. 
Por exemplo, uma caixa de leite, que apresenta o formato de um paralelepípedo, e tem 
volume igual a 1.000 cm³ pode conter a quantidade máxima de 1.000 mL ou 1 litro de 
leite. Isso porque essas unidades estão relacionadas da seguinte forma: 
 
Figura 1 – leite 
Fonte: Microsoft Office 
 
 
 
Medida em litros Medida em metros cúbicos 
1 L 1.000 cm³ 
Ou seja, 1L corresponde a exatamente a 1.000 cm³. 
Veja outras relações entre essas unidades de medida. 
1 cm³ 1 mL 
1 m³ 1.000 L 
1 dm³ 1 L 
Relembrar essas unidades e a relação entre elas trará contribuições para os estudos a 
seguir. Isso porque vamos falar das formas geométricas espaciais. E, elas estão 
relacionadas as medidas de capacidade e volume. 
FORMAS GEOMÉTRICAS 
A geometria espacial trata do estudo de formas: como o cubo, a pirâmide, a esfera, ou 
seja, formas geométricas que possuem mais de duas dimensões. Essas formas são 
chamadas de sólidos geométricos, e estes são divididos em dois grupos, os corpos 
redondos e os poliedros. 
Acompanhe alguns exemplos: 
 
 
Corpos redondos: são sólidos 
delimitados por alguma superfície 
arredondada. 
Poliedros: são sólidos que apresentam 
suas superfícies delimitadas por figuras 
geométricas planas. 
 
Cilindro 
Cone Esfera 
Prisma 
Pirâmide 
Cubo 
 
 
 
 
Conhecendo os poliedros 
 
 
 
 
 
 
Alguns exemplos de poliedros: 
 
Esse poliedros são conhecidos como poliedros regulares. Eles, recebem tal 
classificação por apresentarem as seguintes características: 
 Suas faces são polígonos regulares congruentes 
 De cada vértice do poliedro sai o mesmo número de arestas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tetraedro Cubo ou hexaedro Octaedro 
As superfícies planas de um poliedro são chamadas de 
faces. 
Os lados dos polígonos que delimitam as 
superfícies de um poliedro são chamados de 
aresta. 
O encontro de três ou mais arestas é chamado 
de vértice. 
Polígonos regulares são polígonos que apresentam todos os lados e todos os 
ângulos congruentes, ou seja, todos os lados e todos os ângulos com medidas 
iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Além do tetraedro, hexaedro e octaedro, há outros dois sólidos que também são 
conhecidos como poliedros regulares, são eles: 
 
 
Icosaedro Dodecaedro 
 
Esses cinco poliedros também são convexos. E, por serem convexos e regulares, 
também são conhecidos como poliedros de Platão. 
Os poliedros de Plantão possuem as seguintes caracteristicas: 
 As faces apresentam o mesmo número de lados. 
 De cada vértice do poliedro sai o mesmo número de arestas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um poliedro é identificado como convexo quando fixada uma face, as demais 
encontram-se no mesmo semiespaço (em relação à fixada). Pode-se ainda afirmar 
que, considerando que todo poliedro limita uma região do espaço chamada de 
interior desse poliedro, este é classificado como convexo se o seu interior for 
convexo. Ou seja, se qualquer segmento que liga dois pontos desse interior estiver 
totalmente contido neste interior. 
Veja exemplos de poliedros convexos e não convexos: 
 
 Figura 1- Poliedros convexos e não convexos 
 Fonte: Mec, Objetos Educadionais 
 
 
 
 
 
 
 
DICA: 
Para saber mais sobre os poliedros de Platão, você pode consultar o seguinte material: 
Os Sólidos de Platão 
Disponível em: 
http://www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/DetalheObraForm.do?select_action=&co_o
bra=20831. 
Identificando o número de vértices, arestas e faces de um poliedro 
Antes de iniciarmos as discussões sobre faces, arestas e vértices, vamos analisar 
alguns polígonos e identificar o número de vértices e de lados de cada um. 
 
 
 
Quadrado Pentágono Triângulo 
4 lados 5 lados 3 lados 
4 vértices 5 vértices 3 vértices 
 
É possvel que você tenha observado que em cada um desses polígonos o números de 
vértices é igual ao número de lados. Essa relação entre vértices e lados é observada 
em qualquer polígono convexo. Agora, cabe a seguinte pergunta: 
Será que também podemos observar essa relação nos poliedros? 
 
 
 
 
 
´ 
 
 
 
 
Para responder essa pergunta, observe na tabela, a relação entre o número de arestas, 
vértices e faces para cada um dos sólidos apresentados. 
 
Em análise a tabela, talvez você tenha observado que existe um relação entre vértices 
(V), arestas (A) e faces (F). 
V - A + F = 2 
( Vértices – Arestas + Face = 2) 
 
Essa relação é identificada como Relação de Euler, e é válida para todo poliedro convexo. 
Poliedro convexo Número 
de 
vértices 
Número 
de 
arestas 
Número 
de 
faces 
Poliedro 
Tetradedro 
regular 
4 6 4 
 
Octaedro regular 6 12 8 
 
Hexaedro regular 8 12 6 
 
Pirâmide 
quadrangular 
5 8 5 
 
Prisma hexagonal 12 18 8 
 
 
 
 
Prisma 
São chamados de prismas os poliedros que apresentam bases congruentes e paralelas, 
essas bases são poligonais. Além dessas características, os prismas também são 
identificados por apresentarem arestas laterais que ligam as bases 
 
 
 
 
O prisma apresentado é identificado como prisma triangular. Essa classificação ocorre 
a partir do número de arestas de sua base. 
 
Veja outros exemplos de prismas: 
 
 
 
 
 
 
Base do prisma 
Base do prisma 
Prisma Pentagonal Prisma Hexagonal Prisma Quadrangular 
Aresta lateral 
Aresta da base 
 
 
 
Prisma reto, oblíquo e seus elementos 
 
 
 
A altura de um prisma representa a distância entre os planos que suas bases estão 
contidas. 
 
Observe que os dois prismas apresentados foram identificados de diferentes maneiras. 
Um deles foi denominado prisma reto e o outro prisma oblíquo. Veja as características 
que permitem esse tipo de identificação. 
Prisma reto: um prisma é identificado como reto, quando suas arestas laterais são 
perpendiculares aos planos que contém suas bases. 
Prisma oblíquo: em um prisma oblíquo, as retas laterais não são perpendiculares aos 
planos que contêm suas bases. 
Além de reto, um prisma também pode ser identificado como regular, veja as 
características de um prisma regular. 
Um prisma é identificado como regular se este for reto e suas bases polígonos 
regulares. 
 
 
 
Prisma reto Prisma oblíquo 
Altura do prisma 
Altura do prisma 
 
 
 
Diagonal de um prisma: observe que o segmento 
BDtem suas extremidades não 
pertencentes a mesma face. Esse segmento é identificado como diagonal do prisma. 
Outro exemplo de diagonal do prisma, poderia ser o segmento traçado do vértice A 
até o vértice E. 
Já o segmento 
BF
 não é identificado como diagonal do prisma, pois suas 
extremidades pertencem a uma mesma face. 
 
Comprimento da diagonal de um paralelepípedo 
Observe que a diagonal desse paralelepípedo reto retângulo tem medida igual D. 
 
As medidas de comprimento, largura e altura desse sólido são a, b e c. 
Para calcular sua diagonal utiliza-se a seguinte expressão: 
D = 
c²b²a² 
 
Considerando que as dimensões desse sólido são representadas pelos seguintes 
valores: 
a = 10 b = 4 c = 4 
Temos a seguinte medida de diagonal: 
D = 
4²4²10² 
 
D = 
16 16 100 
 
D = 
132
 
 
 
 
D = 2
33
 
Denomina-se paralelepípedo, o prisma que têm suas bases representadas por 
paralelogramos. 
Um paralelepípedo reto retângulo é o prisma que tem suas bases representadas por 
retângulos. 
Área das superfícies de um prisma 
Para calcular a área de um prisma, vamos retomar o cálculo da área de alguns 
polígonos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A área total de prisma é representada pela soma das áreas laterais com as áreas das 
superfícies das bases. 
Vamos considerar por exemplo, que um prisma de base quadrangular tem 8 cm de 
aresta da base e 12 cm de aresta lateral, qual será a área total desse prisma? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Polígono Cálculo da área 
Quadrado lado x lado 
Retângulo Base x altura 
Triângulo qualquer Base x altura 
 
Triângulo equilátero 
 
4
3lado
2 
Hexágono regular 
 
2
3lado3
2 
2 
8 cm 
8 cm 
12 cm 
A base do prisma é um quadrado 
de lado igual a 8 cm. Temos 
então o cálculo da base da 
seguinte forma: 
Abase = 8² 
Abase = 64 cm² 
As laterais são retângulos, e 
portanto temos: 
A lateral= 8.12 
A lateral = 96 cm² 
 
 
 
 
 
Neste prisma, temos: 
4 faces laterais, e portanto, a área lateral total é: 96.4 = 384 cm² 
2 bases, e portanto, a área total das bases é: 64.2 = 128 cm² 
A área total do prisma é: 384 cm² + 128 cm² = 512 cm² 
 
Volume de um prisma 
 
O volume de um prisma é obtido ao multiplicar a área de sua base por sua altura. 
 
 Acompanhe o cálculo do volume de um prisma quadrangular. 
 
 
 
 
 
O hexaedro, mais conhecido como cubo, é um prisma que apresenta arestas com 
medidas iguais. Para calcular o volume desse prisma, utiliza-se a seguinte expressão: 
Volume = a³ (a variável a representa a medida da aresta) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 cm 
 8 cm 
2 cm 
Para que seja calculado o volume desse prisma, deve-se observar 
quais são suas dimensões. 
Altura = 8 cm Largura = 2 cm Comprimento = 4 cm 
Observe que o prisma é quadrangular, e para calcular a área de 
sua base realiza-se o seguinte cálculo: 
Área da base: comprimento x largura 
Área da base = 4 x 2 Área da base = 8 cm² 
Conforme já comentado, o volume do prisma é igual ao produto 
da área da base por sua altura. 
Tem-se então: 
Volume = 8 x 8 Volume = 64 cm³ 
 
 
 
 
 
 
Observe um exemplo: 
 
 
 
 
Pirâmide 
Observe que diferente dos prismas, a figura a seguir, apresenta apenas uma base. Além 
disso, suas faces laterais são triangulares e possuem um vértice em comum. Essa figura 
é chamada de pirâmide. 
 
 
 
 
 
 
A pirâmide apresentada é identificada como pirâmide quadrangular. Essa classificação 
é realizada a partir do número de arestas de sua base. 
 
 
 
 
 
 
Face lateral 
Base 
Vértice comum 
Volume do cubo: 
Volume = área da base . altura 
Volume = a².a a².a = a³ 
Volume = a³ 
Volume = 5³ 
 Volume = 125 cm³ 
 
 
 
 
 
 
Veja outros exemplos de pirâmides: 
 
 
 
Pirâmide regular 
 
A pirâmide ao lado é identificada como pirâmide regular, 
por ter em sua base um polígono regular e altura 
representada pela distância entre o centro desse 
polígono e o vértice V, é perpendicular a base. 
 
Apótema e as relações entre os elementos 
 
 
 
 
 
Pirâmide triangular Pirâmide pentagonal 
Identificamos como apótema da base de uma 
pirâmide regular, o segmento que tem uma de 
suas extremidades no centro da pirâmide e a 
outra no ponto médio de qualquer um dos lados 
da base dessa pirâmide. No caso apresentado, 
o apótema da base está representado pelo 
segmento 
OM
. 
Identificamos como apótema de uma pirâmide regular, o segmento que tem uma de 
suas extremidades no vértice da pirâmide e a outra no ponto médio de qualquer uma 
das arestas da base. No caso apresentado, o apótema da pirâmide está representado 
pelo segmento 
VM
. 
 
 
 
Observe que os pontos V, M e O, formam um triângulo retângulo. Sendo assim, para 
calcular as medidas dos apótemas da pirâmide, pode-se aplicar o teorema de Pitágoras. 
Temos então: 
     222 OMVOVM 
 
Além dos apótemas, na pirâmide quadrangular regular apresentada, visualiza-se uma 
medida R. Esta representa o raio da circunferência circunscrita à base. E, entre o raio 
R, a altura da pirâmide e a aresta lateral, também pode-se observar a existência de um 
triângulo retângulo, sendo portanto estabelecida a relação: 
L² = H² + R² ( sendo L a medida da aresta lateral da pirâmide) 
Área de uma pirâmide 
Para determinar a área total de uma pirâmide, basta somar a área de suas faces com 
a área de sua base. 
Vejamos por exemplo o cálculo da área de uma pirâmide de base quadrangular regular 
 
 
Área da base = 6² 
Área da base = 36 
Para calcular a área lateral, vamos lembrar que cada face lateral da pirâmide regular é 
um triângulo isósceles. E, a altura desse triângulo coincide com o apótema da pirâmide, 
sendo assim, vamos calcular a medida do apótema, e em seguida calcular a área das 
faces laterais. 
 
 
 
 
 
 
6 
4 
3 
3 
 
3 
Apótema 
(apótema)² = 3² + 4² 
( apótema)² = 9 + 16 
( apótema)² = 25 
apótema = 
25
 
apótema = 5 
4 
 
 
 
Temos então: 
Área da face lateral = 
2
5.6
 
Área da face lateral = 15 
A área de todas as faces laterais é 4. 15 = 60 unidades ao quadrado 
Área total = Área da base + Área lateral 
Área total = 36 + 60 
Área total = 96 unidades ao quadrado 
 
Volume de uma pirâmide 
O volume de uma pirâmide é calculado por meio da seguinte expressão: 
Volume = 
.hA
3
1
b
 ( Ab é a área da base e h, representa a altura do sólido) 
Vamos acompanhar um exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para calcular o volume desse sólido, vamos identificar 
suas medidas: 
Altura = 9 cm 
Área da base = 5 x 5 ( cálculo da área de uma quadrado, 
já que é informado que essa pirâmide tem base quadrada) 
Área da base = 25 cm² 
Volume = 
.hA
3
1
b
 
Volume = 
9.25.
3
1
 Volume = 75 cm³ 
 
9 cm 
5 cm 
5 cm 
 
 
 
Cilindro 
São chamados de cilindros os sólidos que apresentam bases congruentes e paralelas. 
Além dessa característica, os cilindros também são identificados por apresentarem 
linhas laterais que ligam os pontos correspondentesdessas bases. 
 
Área do cilindro 
A área de um cilindro é calculada ao somar a área de suas bases com a área lateral. A 
área da base de um cilindro é obtida ao calcular a área de um círculo. Já a área lateral 
é obtida ao observar que essa pode ser identificada por meio da área de um retângulo 
de dimensões h ( altura do cilindro) e 
r..2
 ( comprimento do círculo da base) 
 
Portanto, a área lateral é igual a 
.2 r
h 
Utilizando as expressões apresentadas, vamos determinar a área de um cilindro de raio 
igual a 6 cm e altura igual a 10 
Área da base =
²r
 
Área da base = 3,14.6² 
Área da base = 113,04 cm² 
Altura do cilindro 
Raio da base 
r..2 
 
 
 
Se cada base tem área igual a 113,04 cm², a área total da base é igual a 226,08 cm². 
Ou seja, área total da base é igual 2.
²r
. 
Área lateral = 
.2 r
h 
Área lateral = 2.3,14.6.10 
Área lateral = 376,8 cm² 
Área total = área das bases + área lateral 
Área total = 226,08 cm² + 376,8 cm² 
Área total = 602,88 cm² 
Volume do cilindro 
 
 
 
 
Vejamos um exemplo do cálculo do volume de um cilindro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 cm 
3 cm 
Volume = Ab.h 
Neste caso, temos: 
Raio = 3 cm 
Altura = 10 cm 
Vamos considerar 

 = 3,14 
Área da base = 

r² 
Área da base = 3,14.3² 
Área da base = 28,26 
Volume = 

r².h 
Volume = 28,26.10 Volume = 282,6 cm³ 
 
O volume de um cilindro é calculado por meio da seguinte expressão: 
Volume = Ab.h (área da base x altura) 
Neste caso, temos: Área da base = 

R² Altura = h Volume = πR².h 
 
 
 
 Cones 
 
 
 
Área do cone 
Assim como os prismas e as pirâmides, a área total do cone é representada pela soma 
da área da base com a área lateral. A base é um círculo, sendo sua área obtida por 
meio da expressão 
²r
. Já a área lateral é obtida ao calcular a área de um setor circular. 
O raio do setor é identificado pela geratriz do cone. O arco desse setor tem comprimento 
igual a 
r2
. 
Imagine um ponto A que não 
está sobre essa região circular. 
Imagine sobre um plano uma circunferência 
Ao traçar linhas retas que liguem os pontos que se 
encontram no perímetro dessa circunferência ao 
ponto A, forma-se um Cone. 
 A 
A 
Cone 
 
 
 
 
 
Vamos trabalhar um exemplo do cálculo da área de um cone. Para tanto, observe as 
medidas desse cone. 
 
 
Para saber a medida da geratriz, vamos aplicar o teorema de Pitágoras. Onde g é a 
hipotenusa. 
g² = (2,5)² + 6² 
g² = 6,25 + 36 
g² = 42,25 
g = 
25,42
 
g = 6,5 cm 
 
Para calcular a área desse setor, podemos lembrar que para calcular a área de um setor 
circular, fazemos uso da seguinte relação: Asetor = 
2
.lr
 
Altura do cone 
 
 
 
Para não confundir as medidas, neste caso, r é substituído por g (medida da geratriz), 
isso porque já teremos o r que está relacionado ao comprimento do arco, 
l
 é o 
comprimento do arco representado por 
r2
. 
No caso da área lateral do cone, tem-se: 
Asetor = 
2
2. rg 
 Asetor = 
..rg
 
Conhecendo a medida da geratriz e do raio, tem-se: 
Área total = 
²r
 + 
..rg
 
Área total = 3,14.(2,5)² + 6,5.2,5.3,14 
Área total = 19,625 + 51,025 
Área total = 70, 65 cm² 
 Volume do Cone 
O volume de um cone é calculado por meio da seguinte expressão: 
Volume = 
.HA
3
1
b
 (área da base x altura) 
Área da base = 

r² e Altura = H 
 
Vejamos um exemplo do cálculo do volume de um cone: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Volume = 
.HA
3
1
b
 
Neste caso, temos: raio = 2 cm Altura = 6 cm 
Vamos considerar 

= 3,14 
Área da base = 
²r
 Área da base = 3,14.2² 
Área da base = 12,56 
Volume = 
12,56.6
3
1
 
Volume = 25,15 cm³ 
 
 
2 cm 
6 cm 
 
 
 
 Esfera 
Denomina-se esfera de centro A e raio R, o conjunto de pontos do espaço que 
apresentam uma distância, até o ponto A, menor ou igual ao raio R. 
 
 Volume da esfera 
Volume de uma esfera é calculado por meio da seguinte expressão: 
Volume = 
3
R³4
 
Vejamos um exemplo do cálculo do volume de uma esfera: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 cm 
Volume = 
3
R³4
 
Neste caso, temos: Raio = 3 cm e vamos considerar 

 = 3,14 
Volume = 
3
3³.14,3.4
 Volume = 
3
27.14,3.4
 
Volume = 
4.3,17.9
 Volume = 
cm³ 113,04
 
 
A 
 
 
 
ATIVIDADES 
1. Classifique cada um dos sólidos como prisma ou pirâmide. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Um poliedro é convexo e apresenta 10 vértices e 20 arestas, qual é o número de 
faces desse sólido? 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Identifique os poliedros, destacando aqueles que são prismas. Para os sólidos 
identificados como prismas, destaque qual é a forma de sua base e se o prisma é reto 
ou oblíquo. 
 
 
 
4. No prisma apresentado, identifique: 
a) os vértices 
b) as arestas das bases 
c) as arestas laterais 
d) pelo menos duas de suas faces 
e) duas de suas diagonais 
5. Determine o volume de um cubo, de medida de aresta igual a 8 cm. 
 
 
 
 
 
 
6. Se um cubo tem volume igual a 125 cm³, qual é a medida de sua aresta? 
Volume = a³ 
 
7. Com as informações do exercício anterior, calcule a área total do cubo de volume 
igual a 125 cm³. 
 
 
8. Para embrulhar um presente que está em uma caixa que tem o formato de um prisma 
reto retângulo, Miriam comprou um papel de área igual a 2.000 cm². Se a caixa tem as 
seguintes dimensões: comprimento igual a 25 cm, altura igual a 10 cm e largura igual a 
15 cm. O papel comprado será suficiente para embrulhar o presente? 
 
9. (UFRN – 2011) Como parte da decoração de sua sala de trabalho, José colocou sobre 
uma mesa, um aquário de acrílico em forma de paralelepípedo retângulo, com 
dimensões medindo 20 cm x 30 cm x 40 cm. Com o aquário apoiado sobre a face de 
dimensões 40 cm x 20 cm, o nível da água ficou a 25 cm de altura. 
 
Se o aquário fosse apoiado sobre a face de dimensões 20 cm x 30 cm, a altura da água, 
mantendo-se o mesmo volume, seria de, aproximadamente, 
a) 16 cm 
b) 17 cm 
c) 33 cm 
d) 35 cm 
 
 
 
 
 
5 cm 
5 cm 
5 cm 
 
 
 
10. Complete a tabela. 
Pirâmide Número de 
arestas da 
base 
Número de 
arestas 
laterais 
Número de 
faces 
Número de 
vértices 
Quadrangular 4 4 5 5 
Triangular 
Hexagonal 
Pentagonal 
 
11.Considerando uma pirâmide regular de base quadrada, sendo a aresta da base 
igual a 10 cm e a altura dessa pirâmide igual a 12 cm, determine: 
a) a área lateral 
 
b) a área total. 
 
12. (Unesp – 2002 - Adaptada) O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à 
prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base 
quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura. 
 
Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3 m e que a altura da pirâmide será 
de 4 m, o volume de concreto (em m3), necessário para a construção da pirâmide será 
a) 36. 
b) 27. 
c) 18. 
d) 12. 
 
 
 
 
 
 
13. (ENEM – 2010 – Adaptada) Um porta-lápis de madeira foi construído no formato 
cúbico, seguindo o modelo ilustrado a seguir. O cubo de dentro é vazio. A aresta do 
cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que é interno, mede 8 cm.O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de 
a) 12 cm³ 
b) 64 cm³ 
c) 96 cm³ 
d) 1.216 cm³ 
 
14. Uma empresa de tintas trabalha com a venda de latas de diferentes capacidades. A 
menor delas armazena 3 litros de tinta. A maior delas armazena 18 litros de tinta. 
Deseja-se aumentar a capacidade da maior lata. Para tanto, toda a embalagem foi 
modificada, e a lata, agora de formato cilíndrico, tem 30 cm de diâmetro e altura igual a 
30 cm. Em quantos litros, aproximadamente, essa nova lata excede a capacidade da 
lata que anteriormente era classificada como a maior lata? ( Considere 
14,3
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15. (ENEM – 2010) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café 
para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, 
Dona Maria dispões de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos também cilíndricos. 
 
Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima 
de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, 
Dona Maria deverá 
a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume 
do copo. 
b) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume 
do copo. 
c) encher a leiteira toda de água, pois ela tem o volume 10 vezes maior que o volume 
de copo. 
d) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume 
do copo. 
e) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume 
do copo. 
 
 
 
 
 
 
16. (ENEM – 2010) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de 
paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate 
no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm 
de espessura. 
Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas 
dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a 
a) 5 cm. 
b) 6 cm. 
c) 12 cm. 
d) 24 cm. 
e) 25 cm. 
 
17. (ENEM – 2010) Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus 
convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na 
cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças 
quebradas, utilizou-se um outro tipo com o formato de cone (Figura 2). No entanto, os 
noivos solicitaram que o volume do champanhe nos dois tipos de taça fosse igual. 
 
 
 
 
Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida completamente cheia, a 
altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, 
é de 
a) 1,33. 
b) 6,00. 
c) 12,00. 
d) 56,52. 
e) 113,04. 
 
 
 
INDICAÇÕES 
Consulte os links indicados a seguir e estude um pouco mais sobre a geometria 
espacial. 
 
Geometria Espacial 
Disponível em: 
http://www.eja.educacao.org.br/bibliotecadigital/indicacoes/sites/Lists/Sites/DispForm.a
spx?ID=412&Source=http%3A%2F%2Fwww%2Eeja%2Eeducacao%2Eorg%2Ebr%2F
bibliotecadigital%2Findicacoes%2Fsites%2FLists%2Fsites%2Fmatematica%2Easpx 
 
REFERÊNCIAS 
Alfa Virtual School Matemática. Poliedro 
GEO10.http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/10483/open/file/
geo1001.htm>. Acesso em: 23 mar. 2016.10h. 
BARRETO FILHO, Benigno. BARRETO, Cláudio Xavier. Matemática aula por aula. 
São Paulo: FTD, 2000. 
CECIERJ, Fundação. Matemática e suas Tecnologias – Módulo III/ Matemática. Rio 
de Janeiro, 2013. Disponível em: < http://projetoseeduc.cecierj.edu.br/eja/material-
aluno/modulo-03/Miolo_Matematica_Nova_Eja_Aluno_Mod03.pdf>. Acesso em: 29 
mar. 2016. 10h. 
ENEM 2010 – Exame Nacional do Ensino Médio. INEP – Instituto Nacional de Estudos 
e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Ministério da Educação. Disponível em: 
<http://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/provas/2010/AZUL_Domingo_GA
B.pdf>. Acesso em: 22 mar. 2016. 10h. 
SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática Ensino Médio, v 2: livro do 
professor. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 2010. p. 222 - 260. 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE. Comperve – Vestibular 
2011. Disponível em:< http://www.comperve.ufrn.br/conteudo/provas/provas2011.php>. 
Acesso em: 29 mar. 2016. 10h10min. 
WALLE, Jonh A. Van. Matemática no Ensino Fundamental. Formação de 
Professores e Aplicação em sala de aula. 6ª ed. Porto Alegre: Artmed, 2009 
 
 
 
 
GABARITO 
 1. 
 
Prisma 
 
 
Pirâmide 
 
 
Pirâmide 
 
 
Prisma 
 
Prisma 
 
 
Pirâmide 
 
 
2. Aplicando o teorema de Euler, sabe-se que V – A + F= 2. Logo, tem-se: 
10 - 20 + F = 2 
 F = 20 + 2 – 10 
F = 22 - 10 
F = 12 
 
 
 
 
3.a, b, c, e f são prismas. 
a) base hexagonal, prisma reto. 
b) base pentagonal, prima oblíquo. 
c) base quadrangular, prisma oblíquo. 
f) base pentagonal, prisma reto. 
4. 
a) A, B, C, D, E, F, G, H 
b) 
AB
,
BC
, 
CD
, 
AD
, 
EF
, 
FG
, 
GH
 e 
HE
 
c) 
AE
, 
BF
, 
CG
, 
HD
 
d) Exemplos de faces laterais: os quadriláteros ABFE e BCGF 
e) 
AG 
 e 
BH
 
5. V = 8³ V = 512 cm³ 
 
6. 125 = a³ 
3 125
= a a = 5 
 
7.Área da base = 2.5.5 
Área da base = 50 cm² 
Área lateral = 4.5.5 
Área lateral = 100 cm² 
Área total = 150 cm² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Sim, pois serão utilizados apenas 1.550 cm² de papel. Acompanhe o cálculo 
desenvolvido: 
Se o presente está em uma caixa de formato igual a um prisma reto retângulo. É 
necessário determinar a área total desse prisma para saber se o material foi suficiente. 
Vamos utilizar um esboço do prisma mencionado, para que seja possível visualizar suas 
medidas. 
 
 
 
 
 
Área da base = 15.25 
Área da base = 375 cm² 
Área total da base = 2.375 cm² 
Área total da base = 750 cm² 
Para calcular a área lateral, vamos dividir em lateral I e latera lI. 
Área lateral I = 15.10 
Área lateral I = 150 cm² 
São duas laterais que medem 15 x 10, logo tem-se 300 cm². 
Área lateral II = 25.10 
Área lateral II = 250 cm² 
São duas laterais que medem 25 x 10, logo tem-se 500 cm². 
Área total = área das bases + área lateral I + área lateral II 
Área total = 750 cm² + 300 cm² + 500 cm² 
Área total = 1.550 cm². 
 
 
25 cm 
10 cm 
15 cm 
 
 
 
9. Alternativa C. 
Se o aquário tem o formato de um paralelepípedo retângulo, é ideal fazer o esboço 
desse aquário para que seja visualizado como ele foi disposto sobre a mesa. Neste 
esboço, a altura do aquário será considerada apenas com referência a medida que a 
água atingiu. 
 
 
 
 
Considerando essas medidas para o aquário, tem-se volume igual a: 
V = 40 cm x 20 cm x 25 cm 
Volume = 20.000 cm³ 
Conhecendo o volume, considerando as medidas de 40 cm x 20 cm x 25 cm, vamos 
fazer um novo esboço para interpretar as medidas do aquário se a face de apoio 
apresentasse dimensões 20 cm x 30 cm. 
 
 
 
 
 
 
Volume = 20.30.y 
20.000 = 20.30.y 
y = 
600
20.000
 
y = 33,33 ( aproximadamente) 
40 cm 
20 cm 
25 cm 
30 cm 
20 cm 
y 
 
 
 
10. 
Pirâmide Número de 
arestas da 
base 
Número de 
arestas 
laterais 
Número de 
faces 
Número de 
vértices 
Quadrangular 4 4 5 5 
Triangular 3 3 4 4 
Hexagonal 6 6 7 7 
Pentagonal 5 5 6 6 
 
11. a) a área lateral 
Sendo a altura de uma pirâmide regular, a distância entre o vértice da pirâmide e o 
centro desse polígono, entre a altura da pirâmide,o apótema da base e o apótema da 
pirâmide, temos o seguinte triângulo retângulo: 
 
 
 
 
(apótema)² = 12² + 5² 
(apótema)² = 144 + 25 
(apótema)² = 169 
apótema = 
169
 
apótema = 13 
Área de uma face lateral = 
65
2
13.10

cm² 
Área lateral total = 4.65 
Área lateral total = 260 cm² 
b) A área total. 
Área total = área da base + área lateral 
Área total = 10.10 + 260 
Área total = 100 + 260 
Área total = 360 cm² 
5 cm 
12 cm 
 
 
 
12. Alternativa D. 
Para encontrar a medida procurada é necessário calcular o volume de uma pirâmide. 
Considerando que essa pirâmide tem base quadrada, sabe-se que a área de sua base 
é igual a 9 m². 
Volume = 
3
1
Ab. h Volume = 
3
1
9. 4 Volume = 12 m³ 
13. Alternativa D. 
Para saber a quantidade de madeira, deve-se calcular o volume dos dois cubos. Após 
obter essas medidas, subtrairemos da medida do cubo maior o volume do cubo menor, 
isto é, a quantidade de material que foi retirado. Assim, encontraremos a quantidade de 
madeira utilizada. 
V = 12³ 
V = 1.728 cm³ 
V = 8³ 
V = 512 
1.728 cm³ - 512 cm³ = 1.216 cm³ 
14. Para saber em quantos litros essa nova lata excede a capacidade lata que era 
classificada como a maior, é necessário calcular a capacidade volumétrica da lata que 
apresenta diâmetro igual a 30 cm e altura igual a 30 cm. ( Considere 

= 3,14) 
Inicialmente será calculado a área da base. 
Área = 
²r
 
Área = 3,14.15² 
Área = 3,14.225 
Área = 706,5 cm² 
Volume = Ab.h 
Volume = 706,5.30 
Volume = 21.195 cm³ 
Se 1 cm³ é equivalente a 1 mL, 21.195 cm³ são equivalentes a 21.195 mL. 
 
 
 
Se 1.000 mL equivalem a 1 L, para saber quantos litros tem-se em 21.195 mL, basta 
dividir por 1.000. 
21.195 ml : 1.000 = 21,195 L. 
Neste caso, a nova lata excede a quantidade da antiga lata em 3,195 L. 
15. Alternativa A. 
 Para saber a quantidade de água de café que Dona Maria deverá fazer, é necessário 
calcular o volume do copinho e o volume da leiteira. 
Volume da leiteira: 
Volume = Ab.h 
Volume = 

.4².20 
Volume = 

.16.20 
Volume = 320

cm³ 
Volume do copo: 
Volume = Ab.h 
Volume = 

.2².4 
Volume = 

.4.4 
Volume = 16

cm³ 
Volume da leiteira : volume do copo 
320

: 16

= 20 
Portanto, Dona Maria deverá encher a leiteira até a metade pois ela tem volume 20 
vezes maior que o volume do copo. 
 
 
 
 
 
 
16. A alternativa correta é a letra B. 
Para saber a medida das arestas do chocolate no formato cúbico, é necessário primeiro 
calcular o volume do chocolate no formato de paralelepípedo. 
Volume = 3 x 18 x 4 
Volume = 216 cm³ 
A aresta do chocolate no formato cúbico, será a raiz cúbica de 216. Pois, os dois 
formatos de chocolate têm o mesmo volume e o volume de um cubo é igual a aresta 
elevada ao cubo. Logo, tem-se: 
Volume do cubo = a³ 
216 = a³ 
3 216
 = a 
 a = 6 
 
17. Alternativa correta é a letra B. 
Se as taças tinham o mesmo raio e deveriam apresentar o mesmo volume tem-se: 
V esfera = 
³
3
4
R
 
V cone = 
hR².
3
1

 
Devemos lembrar que a taça no formato hemisfério representa apenas metade do 
volume da uma esfera. 
2
1
V esfera = V cone 
³
3
4
.
2
1
R
= 
hR².
3
1

 
h².3
3
1
³3
6
4
 
 
h.
3
9
6
27.4 

 18

 = 3

h 
h
3
18



 
h = 6