RF 06 - Movimento Amortecido de um Pêndulo

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Universidade Estadual Vale do Acaraú - UEVA
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas
Curso de Licenciatura em Física
Laboratório de Oscilações e Ondas
Discente: 
Docente: 
Movimento Amortecido de um Pêndulo
Sobral/CE
2019
Introdução:
Os pêndulos são muito empregados nas atividades de ensino de cursos introdutórios de física. Nessas atividades, frequentemente, faz-se uso de modelos ideais para estudar o comportamento do pêndulo. Neste trabalho é sugerido um modelo que leva em conta o amortecimento das oscilações. Uma metodologia experimental é proposta com a finalidade de detectar a diminuição da amplitude das oscilações e ajustar estes dados a um modelo matemático. Os resultados demonstram que o pêndulo simples, composto de esferas de pequeno volume e oscilando com baixas velocidades, pode ser estudado por modelos simplificados. A metodologia e o modelo matemático são compatíveis com o nível de conhecimento de alunos de cursos introdutórios de física e oferecem uma visão mais realística sobre o comportamento do pêndulo.
Na literatura encontram-se muitos trabalhos que buscam por esta condição mais realista de análise. Verifica-se claramente que, apesar da simplicidade do experimento, o tratamento físico e matemático adquire grande complexidade. No entanto, muitos dos trabalhos presentes na literatura se restringem a análises teóricas ou incluem conhecimentos mais avançados da física, descompassados com o nível de conhecimento do estudante.
Andamento das Atividades:
O objetivo deste trabalho é apresentar um experimento em que se obtenham interpretações mais abrangentes, estimulantes e reais empregando-se um sistema físico simples e acessível ao estudante. Conseguimos perceber através da figura ao lado que sua amplitude muda conforme o tempo passa, ou seja, estamos tratando inicialmente de um sistema que não se conserva. 
A componente da força peso na direção perpendicular ao fio, para um ângulo θ pequeno. é
A força de arrasto é sempre contrária à velocidade e está na mesma direção da força 
 .
Aplicando a segunda lei de Newton, temos:
	Dividindo esta equação por ml podemos escrever: (equação x₁)
		
onde chamamos e esta última é a frequência angular que teria o 
pêndulo se não houvesse atrito
 Vemos que o coeficiente é diretamente proporcional à viscosidade do ar
A expressão acima é uma equação diferencial linear com coeficientes constantes. Portanto admite uma solução do tipo:
	Substituindo- a na equação (x₁) vemos que será realmente uma solução se
Isto é, 
Estas duas raízes serão reais e negativas se . Neste caso o amortecimento é tão grande que o movimento do pêndulo não é mais oscilatório.
De posse dos dados obtidos no laboratório podemos calcular γ.
Xₒ = 10 cm
X = 9,3 cm
20 T = 37 segundos
	Haste = 90 cm
Passo 01: Encontrar ωt
T = 2π / ω 
ω = 2π / T
ωT = [2π / (37/20)] ( 37 = 
ωT = 2π ( 20 
ωT = 40π rad/s
Passo 02: Substituir valores na equação do pêndulo amortecido
x (t) = Ae¯ᵞ ᵗ cos (ωt)
x (37) = 9,3 = 10e ¯ᵞ ֹ ³⁷ cos (40π)
cos (40π) = 1 
0,93 = e¯ᵞ ֹ ³⁷
Calculando através de logaritmo natural e mantendo a igualdade em ambos os lados:
ln (0,93) = In (e ¯ᵞ ֹ ³⁷)
ln (0,93) = -37γ
γ = - [ln (0,93) / 37]
γ =~ 1,96 ( 10 ¯³ rad/s
Com isso conseguimos a seguinte equação do movimento:
x (t) = 10e ¯¹˒⁹⁶ ֹ ¹⁰¯³ᵗ cos (40π / 37) t