RF 07 - Revisão de Conceitos e Experimentos de Oscilações

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Universidade Estadual Vale do Acaraú - UEVA
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas
Curso de Licenciatura em Física
Laboratório de Oscilações e Ondas
Discente: 
Docente: 
Revisão de Conceitos e Experimentos de Oscilações
Sobral/CE
2019
Oscilador Harmônico Simples
Um oscilador harmônico é um sistema que quando deslocado de sua posição de equilíbrio, sofre uma força restauradora F proporcional ao seu deslocamento.
{\displaystyle {\vec {F}}=-k{\vec {x}},}	 	
{\displaystyle {\vec {F}}=-k{\vec {x}},}
em que k é uma constante positiva.
Se F for a única força atuando no sistema, ele é denominado oscilador harmônico simples e estará sujeito a um movimento harmônico simples, constituído de oscilações senoidais em torno do ponto de equilíbrio, com amplitude e frequência constantes (sendo que a frequência independe da amplitude).
Utilizando a 2ª Lei de Newton temos:
A aceleração a é igual a derivada segunda de x:
Se definirmos {\displaystyle {\omega _{0}}^{2}=k/m}ωₒ² = k/m, então a solução poderá ser escrita do seguinte modo:
Podemos observar que:
Substituindo:
Integrando:
onde K é uma constante, dado K = (A ωₒ)²
Integrando dos dois lados (sendo φ a constante resultante da integração) teremos:
E assim teremos a solução geral para x:
Sendo que a amplitude e a fase inicial Ø serão determinadas através das condições iniciais. Do mesmo modo poderíamos escrever:
Entretanto agora Ø está deslocado em relação à forma anterior.
Ou senão podemos escrever também:
Já que a soma de soluções de uma equação diferencial também é solução para a equação diferencial.
A frequência das oscilações será dada pela seguinte fórmula:
Osciladores Acoplados:
Em geral os osciladores não existem isolados, interagem com outros osciladores, nomeadamente se eles fizerem parte de um sistema que contenha vários deles. O acoplamento de osciladores é por isso um conceito muito importante. Cada oscilador tem a sua equação de movimento, que não há de ser independente das equações dos restantes osciladores seus vizinhos, com os quais interatuam. Essas equações serão por hipótese todas lineares. Assim, em princípio deve ser possível combinar as equações de movimento e construir novas coordenadas que sejam combinações lineares das coordenadas originais, e satisfaçam equações diferenciais desacopladas. 
O sistema oscilante escolhido para o estudo é constituído de duas massas, m₁ e m₂, acopladas por três molas de constantes de força k₁, k₂ e k₃, dispostas como na figura acima. A oscilação é unidimensional, horizontal e com dois graus de liberdade para vibração. Para o desenvolvimento do estudo abaixo será suposto que F₂ (t) > F₁ (t) e x₂ > x₁.
Diagrama de forças para o corpo de massa m₁:
Diagrama de forças para o corpo de massa m₂:
Oscilações Amortecidas:
Consideremos um sistema composto por uma massa m presa a uma mola cuja constante elástica é k, conforme diagrama apresentado na figura abaixo, imerso em um fluido viscoso. As oscilações neste sistema serão amortecidas pela presença do fluído, gerando um movimento oscilatório amortecido. Se o amortecimento for pequeno, a amplitude das oscilações diminui lentamente com o tempo. Um caso simples de osciladores amortecidos é aquele em que a força de amortecimento Fₐ é proporcional à velocidade v da massa que oscila: 
Fₐ ( ( bv
Sendo b uma constante de amortecimento que depende das características do corpo (forma geométrica e tamanho da superfície) e do fluido viscoso no qual o corpo oscila. 
Se a origem do referencial x ( 0 for definida na extremidade inferior da mola sem a ação da força peso da massa m, Figura 1(a), a equação de movimento é escrita como: 
Se a origem do referencial x ( 0 for definida na posição de equilíbrio do sistema massa-mola, Figura 1(b), a equação de movimento é escrita como: 
As duas equações anteriores são fisicamente equivalentes, mas a segunda é mais fácil de ser resolvida. Reorganizando os termos dela, temos: 
A solução geral dessa equação é do tipo:
Com ( ( 2(((f, (² = k/m, ( ( b/2( m, sendo x a posição da massa em relação à origem do referencial em função do tempo t, ω a frequência angular, f a frequência, e θ a fase inicial do movimento. A amplitude da oscilação não é mais uma constante, e sim uma quantidade que é decrescente com o tempo. Na Figura 2 é apresentada uma curva da dependência da amplitude da oscilação em um sistema com amortecimento, sendo a amplitude escrita A como:
A amplitude do movimento no oscilador amortecido assume seu valor máximo de
 Aₒ em t = 0 e θ ( 0.
Oscilador Harmônico Forçado:
Este oscilador está na base de um grande número de fenômenos da Natureza e aplicações práticas na vida diária. Ele consiste em um oscilador harmônico (simples ou amortecido) sujeito a uma força externa (F); sua equação geral é, portanto:
Onde, γ = b/m e (ₒ² =k/m. A solução dessa equação depende da função que descreve a força F.
Quando a força varia periodicamente com o tempo, teremos então:
Onde ( (diferente de (ₒ) é a frequência angular de oscilação do módulo da força e Fₒ é o maior valor que a força pode ter. Com essa expressão, a equação fica:
A solução dessa equação é obtida com a teoria das equações diferenciais e não a discutiremos aqui. Basta sabermos que a solução é constituída pela soma duas funções: a primeira, que corresponde a qualquer um dos casos discutidos do movimento harmônico amortecido, decai exponencialmente com o tempo, de modo que ela só existe no início do movimento. Por isso, ela é chamada de solução transiente. A segunda função permanece durante todo o movimento, sendo conhecida como solução estacionária. Daqui em diante, discutiremos apenas a solução estacionária. 
A solução estacionária da equação (45.2) é: 
A equação mostra que:
O oscilador oscila com a frequência da força aplicada (() e não com a sua frequência natural (ₒ;
Para uma força de amplitude Fₒ dada, a amplitude de oscilação é controlada pelo fator ⅟G;
O deslocamento do oscilador é defasado de um ângulo de fase θ em relação a força; isto é, quando ela é máxima ou mínima, os deslocamentos do oscilador não é nem máximo nem mínimo. 
 
O ângulo de fase Ø está compreendido entre 0 e ( , para ( < (ₒ, cos θ > 0 e θ <(/2; para ( > (ₒ, cos θ < 0 e θ > (/2.; quando ( = (ₒ, o deslocamento está atrasado em relação a força de (/2.
Figura 1
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