7ª Lista

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Sétima Lista de Exercícios - Engenharia Civil
Disciplina Cálculo II - IFSP
2o sem. - 2014
Prof. José Renato
. Introdução às Equações Diferenciais.
Exercício 1: Verifique que a função dada é solução da equação dada.
a) x(t) = tg(t), e
dx
dt
= 1 + x2, −pi
2
< t <
pi
2
b) y = e
x2
2 , e
dy
dx
= x y.
Exercício 2: Resolva.
a)
dx
dt
= x t b)
dy
dx
= y2
c)
dy
dx
=
t
x
, x > 0 d)
dT
dt
= −2 (T − 10)
e)
dy
dx
= e−y f)
ds
dt
= t e−s
Respostas:
a) x = k e
t2
2
b) y(x) =
−1
x+ k
c) x =
√
t2 + k
d) T (t) = k e−2 t + 10 e) y = ln(x+ k) f) s = ln
(
t2
2
+ k
)
Exercício 3: Determine y = y(x) que satisfaça as condições dadas.
a)
dy
dx
= ey e y(0) = 1
b)
dy
dx
= 3 y2 e y(0) = 1/2
Respostas:
a) y = −ln
(
1
e
− x
)
b) y(x) =
1
2− 3x
1
Exercício 4: Resolva.
a)
dx
dt
= −x+ 2 b) dx
dt
= 2x− 1
c)
dy
dx
= x− y, x > 0 d) dT
dt
= −2 (T − 3)
e)
dx
dt
= x+ sen(t) f)
dy
dx
= −2y + cos(2x)
Respostas:
a) x = k e−t + 2 b) x = k e2 t +
1
2
c) y = k e−x + x− 1
d) T (t) = k e−2 t + 3 e) x = k e7 − 1
2
(sen(t) + cos(t))
Exercício 5: Resolva.
a)
dx
dt
− 3x = et b) dx
dt
− x = 2t+ 1
c)
dx
dt
− 2x = e2 t d) dx
dt
− x = 5
Respostas:
a) k e3 t − 1
2
et b) k et − 2 t− 3
c) e2 t(k + t) d) k et − 5
Exercício 6: Suponha E, R e L constantes não nulas. Determine a solução i = i(t) do
problema
L
di
dt
+R i = E,
onde i(0) = 0. (Resp.: i(t) = ER
(
1− e−RL t
)
)
Exercício 7: Um objeto aquecido a 100oC é colocado em um quarto a uma temperatura
ambiente de 20oC; um minuto após a temperatura do objeto passa a 90oC. Admitindo (lei de
resfriamento de Newton) que a temperatura T = T (t) do objeto esteja variando a uma taxa
proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a do quarto, isto é,
dT
dt
= α (T − 20),
onde α é uma constante. Determine a temperatura do objeto no instante t. Suponha t dado em
minutos. (Resp.: T = 80
(
7
8
)t
+ 20)
2
Exercício 8: Um capital C = C(t) está crescendo a uma taxa
dC
dt
proporcional a C. Sabe-se
que o valor do capital no instante t = 0 era de $ 20.000, 00 e 1 ano após, $ 60.000, 00. Determine
o valor do capital no instante t. Suponha t dado em anos. (Resp.: C(t) = 20000 × 3t)
Exercício 9: Equação Diferencial Logística.
Encontre a relação entre P e t para a equação
dP
dt
= r (M − P )P.
Em seguida, verifique que a solução da equação acima é P =
M
1 +Ae−rM t
, onde A é uma
constante arbitrária.
Dica: Reescreva a equação acima na forma de uma equação separável. Em seguida, use a
solução de integral para funções racionais. A relação entre P e t é dada por
∣∣∣∣ PP −M
∣∣∣∣ = C2 e(rM) t,
onde C2 = e
C1
, C1 constante de integração. Observo que a equação acima é muito utilizada em
problemas de crescimento populacional.
Exercício 10:Solução catastrófica.
Sejam k e P0 constantes positivas. Resolva o problema de valor inicial
dP
dt
= k P 2, com P (0) = P0.
Dica: Simule a resposta, por exemplo, no Scilab. Teste vários valores de P0. A resposta do
problema é P =
1
k t− 1P0
=
P0
1− k P0 t .
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